ESTUDO DO MÉTODO DE FATORAÇÃO DE INTEIROS CRIVO QUADRÁTICO

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1 ESTUDO DO MÉTODO DE FATORAÇÃO DE INTEIROS CRIVO QUADRÁTICO Alne de Paula Sanches (Bolssta UEMS), Adrana Betâna de Paula Molgora Unversdade Estadual de Mato Grosso do Sul Cdade Unverstára de Dourados, Caxa postal 351, CEP: Resumo. Um dos métodos mas poderosos utlzados na fatoração de nteros é O Crvo Quadrátco. Este método explora os concetos da Teora dos Números para encontrar um fator prmo de um número ntero. O prncpal objetvo deste trabalho é apresentar uma descrção do método Crvo Quadrátco. Palavras-chave: Crptografa. RSA. Fator. Abstract. One of the most powerfull methods for nteger factorzaton s the Quadratc Seve. Ths method explores the concepts of the Theory of Numbers to fnd a prme factor of an nteger number. The man goal of ths work s to present a descrpton of method Quadratc Seve. Key-words: Crptography. RSA. Factor. 1. Introdução A fatoração de números nteros tem sdo de grande destaque e mportânca na área de Teora dos Números. Essa mportânca deve-se ao fato de que sstemas crptográfcos, como o RSA, têm sua segurança comprometda caso seja desenvolvdo um método de fatoração que fatore qualquer ntero dado. O método de fatoração denomnado Crvo Quadrátco, crado por Pomerance (1985, p.169), é um dos métodos mas mportantes já desenvolvdos, pos tem como objetvo a fatoração de números nteros grandes. O entendmento do funconamento do método Crvo Quadrátco requer um estudo aprofundado de seus aspectos matemátcos. Nesse sentdo, esse trabalho tem como objetvo prncpal apresentar um estudo teórco do método Crvo Quadrátco de forma a dsponblzar conhecmentos, sobre este método de fatoração, vsando publcação na área de trabalho e

2 possbltando estudos mas avançados em pesqusas posterores. Esse estudo é descrto como segue. Na Seção é apresentada a metodologa utlzada durante o desenvolvmento do trabalho. Na Seção 3 são apresentados os resultados obtdos durante a pesqusa. Por fm, na Seção 4, encontra-se uma dscussão desse trabalho.. Metodologa Para alcançar o objetvo proposto o trabalho fo dstrbuído em quatro etapas compreendendo: Estudo das pesqusas mas recentes relaconadas com o método Crvo Quadrátco. Esse estudo fo realzado através de pesqusa bblográfca. Estudo dos fundamentos matemátcos para o entendmento do método Crvo Quadrátco, também realzado através de pesqusa bblográfca. Estudo do processo de fatoração de números nteros realzado pelo método Crvo Quadrátco. Documentação do processo de fatoração pelo método Crvo Quadrátco, de forma a facltar o entendmento do mesmo. 3. Resultados 3.1 Fatoração de nteros e Crptografa RSA A crptografa de chave públca, como é o caso do RSA, é um sstema de fundamental mportânca para a segurança das nformações. No entanto, esse crptossstema pode ter sua efcáca comprometda caso seja desenvolvdo um método de fatoração que fatore qualquer número ntero dado. Ou seja, estudos sobre métodos de fatoração são mprescendíves no sentdo de analsar a vulnerabldade do RSA. A mplementação do RSA utlza dos parâmetros báscos: dos números prmos p e q que consttuem o segredo do sstema. A partr do cálculo de φ ( n) = ( p 1)( q 1), onde n = p q, obtêm-se o par ( n, e), onde e satsfaz a segunte condção mdc( e, φ ( n)) = 1. O par ( n, e) corresponde a chave públca do sstema que é utlzado para a codfcação das mensagens. Para decodfcar a mensagem é necessáro o uso da chave prvada dada pelo par ( n, d) onde d é o nverso de e módulo φ (n). O receptor da mensagem é o propretáro da chave prvada e d consttu o segredo do sstema. É possível o cálculo de d sendo conhecdos os fatores p e q de n. A escolha dos prmos p e q que compõem n é um dos pontos prncpas da

3 segurança do RSA. A possbldade de fatorar n mplca na obtenção dos fatores p e q e consequentemente na decodfcação da mensagem. Essa relação dreta entre a segurança do RSA e o problema de fatoração consttu uma boa razão para o estudo dos métodos de fatoração de nteros. Isso tem servdo como um estímulo para o estudo do método Crvo Quadrátco, que fgura como um dos prncpas métodos de fatoração já desenvolvdos. 3.. Crvo Quadrátco O método Crvo Quadrátco, ou QS, fo crado em 1981, por Pomerance (1985, p.169). Esse método de fatoração de nteros é conhecdo como um dos algortmos mas rápdos de fatoração exstentes, já tendo possbltado a fatoração de números contendo mas de 100 dígtos decmas (ver Tabela 1). Tabela 1 Métodos Número de dígtos decmas dos números fatorados NFS acma de 100 dígtos decmas Crvo Quadrátco aproxmadamente 100 dígtos decmas ECM até aproxmadamente 70 dígtos Comparatvo entre os métodos de fatoração mas mportantes da atualdade. Para um melhor entendmento do funconamento do método Crvo Quadrátco, antes de descrevê-lo, serão ntroduzdos os concetos de Resíduo Quadrátco, Símbolo de Legendre e Crvo de Eratóstenes que são utlzados no processo de fatoração. Informações adconas sobre os concetos matemátcos envolvdos nesse processo podem ser encontradas em Crandall e Pomerance (00, p.01), Barros (008, p.01) e em Antunes (00, p.5) Resíduo Quadrátco Seja o conjunto Ζ p *, onde p é um número prmo maor que e a Zp *. Dzemos que a é um resíduo quadrátco módulo p se: Exemplo 1: b a (mod p) para algum b Zp * Tomamos como exemplo o conjunto Z 11 * e os quadrados dos cnco prmeros elementos do conjunto, a segur: 1 1 (mod 11) 4 (mod 11)

4 3 9 (mod 11) (mod 11) (mod 11) Nesse exemplo 1, tem-se como resíduos quadrátcos os números 1, 3, 4, 5, 9. Observe que para calcular o resíduo quadrátco módulo 11, tomamos os quadrados, apenas dos cnco prmeros elementos de Z 11 *. Calculando o quadrado dos demas elementos do conjunto, podemos verfcar que serão obtdos resultados guas aos anterores: (mod 11) (mod 11) (mod 11) (mod 11) (mod 11) Nesse sentdo, os demas elementos do conjunto podem ser gnorados devdo ao fato de fornecerem os mesmos resultados. Ou seja, vmos que em Z 11 * temos dez elementos dos quas apenas cnco são Resíduos Quadrátcos. Logo conclu que: Lema 1.1: Dado um número prmo p >, exatamente metade dos elementos de Zp * são Resíduos Quadrátcos. Demonstração: Vamos denotar por a 1, a,...,a p-1, os elementos de Zp * a =, a =,..., a p = p 1. É fácl observar que: 1 1 1, com a 1 + a p 1 = a + a p =... = p Portanto: Exemplo : 1+10 = +9 = 3+8 = 4+7 = 5+6 = 11 Ou seja a soma dos elementos eqüdstantes dos extremos é sempre gual a p. ( a k ) ( a p k ) ( a p k ) (mod p) Conforme enuncamos acma elevando ao quadrado dos elementos eqüdstantes dos extremos, o resultado módulo p será o mesmo. Devdo a Zp * ter exatamente p 1 elementos, temos ( p 1) Resíduos Quadrátcos. 3.. Símbolo de Legendre Legendre por: Dado um prmo p e um número n não dvsível por p, defnmos o Símbolo de

5 n p 1, se a é resíduo quadrátco mod p = 1, caso contráro Sabe-se que n p Legendre pode ser calculado. Exemplo 3: (p-1)/ n mod p e, através dessa congruênca, o valor do Símbolo de Seja n = 8051 e p = 7. Nesse caso, tem-se Resíduo Quadrátco mod mod 7 1. Logo, 8051 é 3..3 Crvo de Eratóstenes É um método que consste em dspor os números naturas de 1 a n, em ordem crescente em um quadro e elmnar, por etapas, os números que não são prmos. Exemplo 4: 1. Lstar os números naturas a partr do número (prmero número natural prmo) até um certo valor lmte:, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 13, 14, 15, 16, 17, 18,. Retrar da lsta todos os múltplos do prmero número prmo (), maores que ele: 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 3. Retrar da lsta todos os múltplos do próxmo número prmo (3), maores que ele: 6, 9, 1, 15, 18, 1, 4, 4. Retrar da lsta todos os múltplos do próxmo número prmo (5), maores que ele: 10, 15, 0, 5, 30, 35, 40, 5. Repetr o procedmento até o fnal da lsta. 6. Os números que não foram retrados da lsta formam a seqüênca de números naturas prmos:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3..4 Processo de fatoração de nteros através do método Crvo Quadrátco A fatoração de nteros através do Crvo Quadrátco tem como base o fato de que se

6 exstrem números x e y que satsfaçam a condção x y (mod n), então tem-se que ( x + y) ( x y) 0 (mod n). Logo, os números d = mdc( x + y, n) e f = mdc( x y, n) poderão ser fatores não trvas de n. Ou seja, a déa básca do método consste em encontrar congruêncas da forma x y (modn), onde y = y é um quadrado perfeto. Se x, então x y (modn). = x De acordo com Crandall e Pomerance (00, p.01), na prátca, para encontrar x e y, em prmero lugar deve-se encontrar uma base de fatores, que é um conjunto de números prmos como, por exemplo, o conjunto 1,, p,..., p }, tal que p B, para um certo lmte B e, { k para cada prmo p, o número n deve ser um resíduo quadrátco módulo p. Em seguda, são calculados números f ( x ) s dados por f ( x ) x n para x próxmo de n. = Usando o Crvo de Eratóstenes, apresentado no tem 3..3, devem-se determnar x s sufcentes para os quas f x ) pode ser completamente fatorado pela base de fatores. A quantdade desses f x ) s deve ser maor do que o número de prmos e menores do que B. Armazenando os f x ) s, em um vetor na base bnára, utlza-se a adção de vetores para descobrr uma combnação lnear que produz um vetor nulo que corresponderá a um quadrado perfeto. Então x será dado pelo produto dos x s correspondentes módulo n e y será dado pela raz do produto dos fatores dos f x ) s correspondentes. Em seguda é calculado d = mdc( x + y, n). Se d é fator não trval de n, então um fator fo encontrado e, para determnar o segundo fator basta calcular a dvsão de n por d. Em resumo, pode-se dzer que os passos para a fatoração de n pelo método Crvo Quadrátco, são: 1º Encontrar uma base de fatores. º Executar o Crvo de Erastóstenes para encontrar números que podem ser completamente fatorados sobre a base de fatores. 3º Usar a Elmnação Gaussana para encontrar um produto dos números determnados no º passo que seja um quadrado perfeto. Para um melhor entendmento desse processo apresentaremos, a segur, alguns exemplos de fatoração de números nteros desenvolvdos por meo do método Crvo Quadrátco. Exemplo 5: Seja n = 8051, o número a ser fatorado.

7 No 1º passo, para encontrar uma base de fatores escolhe-se prmeramente um lmte B. A base deverá conter números prmos menores do que B. Exstem dferentes abordagens para a obtenção do lmte B, no entanto, em geral, esse valor é obtdo de forma empírca, baseada em expermentação. Por exemplo, suponhamos que queremos uma base com < p < 105. Assume-se que já foram fetas dvsões por tentatvas em n até B, e sabe-se que p não dvde n. Serão consderados os prmos menores que B tas que: n p = +1 (símbolo de Legendre) testados: Sabemos que n n (p-1)/ mod p. Logo todos os prmos < p < 105 devem ser p p = mod p = mod , 3 não pertence para a base. 1=1, 5 pertence a base. 3 p = mod =1, 7 pertence a base. 5 p = mod , 11 não pertence a base E assm sucessvamente. Dessa forma encontra-se a base formada pelos prmos: No segundo passo deve-se determnar números a base de fatores. Ao nvés de escolher de r = k +1, k +,... Por exemplo para n = 8051 tem-se: r' s aleatoramente, escolhe-se s completamente fatorados sobre n k = e tomam-se para valores

8 k = 8051 = 89 Se forem tomados 00 valores de r tem-se: Logo, os números r' s seram: r = 89 +, p / = 1,,...,00 90, 91, 9, 93, 94,..., 89 Se f (r) for defndo como f ( r) = r n e se p (pertencente a base de fatores) não dvde n, mas dvde f (r) então. Por exemplo, para r = 9, tem-se: n r f ( r) = ou mod p 8051 = 413 = 7.59 mod7 mod59 Observação: Então se n é Resíduo Quadrátco mod p, ou seja, n = t mod p, e como, n r mod p, então t r mod p, o que sgnfca que r é congruente a t ou t mod p e, então p deve dvdr f (r). Contnuando o processo de fatoração, depos de obtdos os s completamente fatorados pela base de fatores. Exemplo: r = 90 tem-se f ( r) = r n f (90) = = 49 r' s, são determnados os = 7, pode ser utlzado como f (r). r = 91 tem-se f ( r) = r n f (91) = utlzará f ( 91) = 30. = 30 =.5.3, como não está na base de fatores, então não se r = 9 tem-se f ( r) = r n f (9) =

9 = 413 = 7.59, pode ser utlzado como f (r). E assm sucessvamente até r = 89 tem-se f ( 89) = = caso não será utlzado. =, que no Realzando-se esses cálculos obtém-se os seguntes f(r) s completamente fatorados: s : 413 = = = = = = = = = = : 9373 = = : 1685 = = : = = = = : = = : Depos de determnar os determnado pelo número de = = s, determna-se uma matrz onde o número de lnhas é s completamente fatorados e o número de colunas é o número de prmos da base de fatores. Através dessa matrz será realzada uma Elmnação Gaussana para encontrar uma combnação aproprada de s que é um quadrado perfeto. Para n = 8051, determnou-se uma base de 10 fatores e 11 s. Então para cada f (r) assoca-se uma (strng) de 10 dígtos bnáros, cada coluna correspondendo a um dos prmos da base de fatores. Se o prmo correspondente tem potênca par, então o dígto que o representa é 0; se a potênca é ímpar o dígto é 1. Nesse caso, temos a matrz B:

10 B = Lnha 1: 413 = Lnha : 765 = Lnha 3: 3185 = Lnha 8: = Uma matrz dentdade 11x11 é assocada à matrz B a fm de dzer qual combnação de s dará um quadrado perfeto. São realzados os passos da Elmnação Gaussana nas duas matrzes. A Elmnação Gaussana é realzada até que seja encontrada uma lnha com todos elementos nulos. A lnha correspondente de I ndcará quas multplcados para que se encontre um quadrado perfeto. s devem ser Se um fator não trval de n for encontrado, então deve-se tomar outra base e recomeçar o processo de fatoração. Por exemplo, ao realzar a elmnação gaussana em B a 1º lnha a ser zerada é a 8º lnha de B. A lnha correspondente em I será: [ ] As colunas com o dígto 1 ndcam quas s devem ser multplcados. Nesse caso o 3º e o 8º. Então tem-se: No 3º : 3185 = = Então x será o produto dos No 8º : produto dos fatores dos s. Ou seja: = = r' s correspondentes módulo n e y será dado pela raz do x = mod

11 y = mod 8051 = 414 x y = 330 mdc (330, 8051) = 83 que é fator de n = 8051 ou x + y = 8148 = mdc (8148, 8051) = 97 que também é fator de n. Dessa forma o número 8051 fo fatorado. Exemplo 6: Seja n = 9487 e B = 30. Verfca-se para cada prmo p menor do que 30, se n é resíduo quadrátco modulo p. através do teste de Euler, calculando-se ( n p 1) / mod p. Se o resultado for 1, tem-se que n é resíduo quadrátco modulo p. Caso contráro, o número prmo deve ser descartado. Assm, a base de fatores será dada por {-1,, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 9}. Depos de obtda a base de fatores, são calculados os f x ) s completamente fatorados pela base de fatores para x próxmo de Por exemplo, consderando x = 98, tem-se f (98) = = 117 = 3 13, sto é, 117 é completamente fatorado pela base de fatores. Em seguda, para cada f x ) encontrado é assocado um vetor de 9 dígtos bnáros, cada coluna correspondendo a um dos prmos da base. Se o número for negatvo o prmero dígto será 1, caso contráro será 0. Se o prmo correspondente tem potênca par, então o dígto será 0, caso contráro será 1. A segur são apresentados exemplos de x s, f x ) s e seus dígtos bnáros correspondentes. x f x )

12 Calculando v(81)+v(95)+v(100) obtém-se o vetor <0,0,0,0,0,0,0,0,0>, que corresponde ao quadrado perfeto ( ) = ( ) mod9487. Então x = (mod9487) 1053 e y = (mod9487) = Calculando d = mdc( ,9487) = 179, obtém-se um fator não trval de n. O segundo fator é dado por = Dscussão Esse trabalho apresentou uma descrção do funconamento do método de fatoração Crvo Quadrátco. Durante o desenvolvmento do projeto observou-se que fatorar um número através do Crvo Quadrátco não é uma tarefa trval. Ou seja, o processo de fatoração é complexo, necesstando de estudos mas aprofundados sobre esse método de fatoração. No entanto, esse estudo, mostrou-se muto mportante, servndo como base para facltar estudos mas avançados sobre o Crvo Quadrátco. 5. Agradecmentos Os autores agradecem pelo apoo fnancero (bolsa) conceddo pela Unversdade Estadual de Mato Grosso do Sul e também por todos os acadêmcos, coordenadores, professores e técncos que, dretamente ou ndretamente, contrbuíram para a realzação desse trabalho. 6. Referêncas Teses e Dssertações Antunes, S, C. M. 00. Métodos de Fatoração de Números Interos. Dssertação de Mestrado, Unversdade Federal do Ro Grande do Sul, 75p. Lvros Crandall, R., Pomerance, C. 00. Prme Numbers- A Computatonal Perspectve. New York: Sprnger-Verlag, 1º Edção, 7p. Pomerance, C The Quadratc Seve Factorng Algorthm. New York: Sprnger- Verlag, Ed. T. Beth, N. Cot, and I. Ingemarsson, 13p.

13 Stes de Internet Unversdade Federal do Ro de Janero- UFRJ Resíduos Quadrátcos e Fatoração: uma aplcação à crptoanálse do RSA. Dsponível em: (últmo acesso em 09/0/009). Wttens, Steven; Nagtegaal, Stefan Crvo de Eratóstenes Matemátca Mana. Dsponível em: (últmo acesso em 17/0/010).