XXVII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Primeira Fase

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1 Soluções Nível Unverstáro XXVII Olmpíada Braslera de Matemátca GABARITO Prmera Fase SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Pelo enuncado, temos f(x) = (x )(x + )(x c) = x 3 cx x + c, f'(x) = 3x cx, f '( ) = ( + c) e f '() = ( c). Assm, as equações das retas AC e BC são, respectvamente, y = ( + c)(x + ) e y = ( c)(x ). [ pontos até aqu] Igualando para obter as coordenadas de C, temos ( + c)(x + ) = ( c)(x ) x = /c y = (c + )(c )/c Assm a área pedda é S = (c + )(c )/c, pos o trângulo ABC tem base AB = e altura y = ( c+ )( c )/ c. [+3 pontos até aqu] Como c e a área S são nteros, temos c (c + )(c ). Mas (c + ) e (c ) são prmos com c, c. Assm c = ± ou c = ±. Os casos c = ± dão S =, um trângulo degenerado. Os casos c = ± dão S = 3. O valor da área é, portanto, gual a 3. [+5 pontos, solução completa] SOLUÇÃO DO PROBLEMA : senx senx+ cos x Temos ln( + tgx) = ln + = ln. cos x cos x Entretanto, sen x+ = sen x cos + sen cos x = (senx+ cos x), e logo senx+ cos x= sen x+. [3 pontos] sen x + ln Assm, ln( + tgx) = ln = + ln sen x + ln cos x, cos x

2 ln ln( + tgx) dx = + ln sen x + dx ln cos x dx. 8 [+ 3 pontos] Agora, sen x+ = cos x+ = cos x, ln sen x+ dx= ln cos x dx= ln cos y dy ln ln + tgx dx =. [+ pontos] 8 (fazendo a substtução ( ) y = x ), SOLUÇÃO ALTERNATIVA DO PROBLEMA : Seja I ln( tgx ) dx ; = + faça u = x, du = dx. [ pontos]. tgu Então I = ln + tg u ( du) = ln + du = ln du + tgu + tgu ln ln ln = ln du ln( + tgu) du = I I = I =.[ +5 pontos] 8 [ +3 pontos]. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3: LEMA: O tetraedro de maor volume nscrto na esfera untára x + y + z = é o tetraedro regular. Seus vértces podem ser tomados como (± c, ± c, ± c) com um número par de snas onde c = 33. Sua aresta é a = 6 3e seu volume é V = 8 3. O elpsóde do problema é obtdo a partr da esfera untára aplcando a transformação lnear 3 T = dag(3,,5) =. Tetraedros nscrtos na esfera são levados em tetraedros nscrtos 5 no elpsóde multplcando o volume por det (T) = 6. Assm um tetraedro de volume máxmo é (±3c, ±c, ± 5c), com um número par de snas, de volume Demonstração do LEMA: A únca parte não trval é a de provar que um tetraedro de volume máxmo deve ser regular. Vamos provar que todas as faces de um tetraedro de volume máxmo são trângulos equláteros. Para sso vamos fxar o vértce V e varar os vértces V, V, V 3 restrtos ao círculo defndo por estes pontos. Ora, com este tpo de mudança a altura do tetraedro não muda, maxmzamos o volume maxmzando a área do trângulo V, V, V 3. É um fato sabdo e de fácl demonstração que o trângulo de área máxma nscrto em um círculo dado é o equlátero. Solução usando o lema mas sem a demonstração do lema: [ 8 pontos] Solução completa, nclundo a demonstração do lema: [ pontos]

3 SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Temos, de A + B = ( A+ B) = ( A+ B)( A+ B) = A + AB+ BA+ B que AB + BA = Agora, A + B = ( A+ B) = ( A+ B)( A+ B) = ( A+ B)( A + B ) = A + AB + BA + B, AB + BA =. Como BA = AB, = AB + BA = AB ABA = A( B BA) e, como A é nvertível, B BA=. [+ pontos] Temos, também A + B = ( A+ B) = ( A+ B) ( A+ B) = ( A + B )( A+ B) = A + A B+ B A+ B, AB+ BA=. Como B = BA, segue que AB+ BA =, e, como BA = AB, obtemos = A B + BA = A B ABA = A( AB BA), AB = BA, pos A é nvertível. [+ pontos] Fnalmente, de AB + BA =, segue que AB =,, como A é nvertível, devemos ter B =. [+ 3 pontos] SOLUÇÃO DO PROBLEMA 5: Sabemos que para todo natural exste um polnômo P () t = c, t c, t+ c, de grau tal que cos( a) = P (cos a) para todo a. Por exemplo, P =, P = t, P = t Temos portanto a = P (cos( jα )) = c (cos( jα)) j, < Podemos agora, para >, subtrar c, vezes a prmera lnha da -ésma lnha sem alterar o determnante obtendo assm que, para >, a = c (cos( jα)). j, < < Para >, subtraímos c, vezes a segunda lnha da -ésma lnha, anda sem alterar o determnante. Repetndo o processo, vemos que det(a) = det(b) onde bj = c, (cos( jα )) Assm, a menos dos fatores c,, B é uma matrz de Vandermonde, e seu determnante é gual a + α c (cos( j ) (cos( j )) ( ) c sen nn ( )/, α α =, n j< j n < j α sen. Assm det(a) = se e somente se exstem j < j n tas que sen α sen + α =. Mas sto ocorre se e somente se ( j ± j) α=, ntero. Ou seja, det(a) = se e somente se α= /( j± j) para alguma escolha de j < j n ou Falta verfcar quas os valores possíves de j ± j. Para n o problema é trval (det(a) = ), não há nenhum α com essa propredade. Para n =, os úncos valores possíves de j± jsão e 3, α deve ser da forma, com ntero 3

4 Para n >, j ± j assume todos os valores nteros postvos m até n, α deve ser da forma m, com m n e ntero. Observação [Não vale pontos extras]: Temos anda c, = para > ( )( )/, n n c = e n nn ( )/ ( n ) det( A) ( ). j< j = ( j+ j) α ( j j) α sen sen Demonstração da afrmação cos(a) = P (cos(a)) [Não vale pontos extras]: Temos cos(( + ) a) + cos(( ) a) = cos( a) cos a,, assumndo que o resultado vale para e para, cos(( + ) a) = cos a P(cos a) P (cos a), o que prova o resultado fazendo P ( x) = xp ( x) P ( x), para, com P ( x ) = e P ( x) = x. Note que, sabendo que o + coefcente líder c, de P ( x ) é ( ) ( ) P + x é = = +., segue medatamente que o coefcente líder c +, + de Conjecturar a resposta sem demonstrar: [ ponto]. Solução correta para n >, gnorou o caso n = : [9 pontos]. Fazer apenas os casos n : [ ponto]. Fazer apenas os casos n 3: [ pontos]. 6. Vamos estmar ncalmente a quantdade de tpos de números de 5 algarsmos a menos de uma permutação de seus algarsmos. Um tal tpo de números está determnado pelas quantdades x, x,..., x 9 de algarsmos guas a,,, 9, respectvamente; devemos ter x + x x9 = 5. Assm, a quantdade desses tpos de números é, no máxmo, o número de soluções de x + x x = 5, com x para 9, que é = < < = 9 9 Por outro lado ( ). 5 5 [3 pontos] n tem 5 algarsmos se, e somente se, 5 n < n<, há pelo menos naturas n tas que n tem 5 algarsmos. Entretanto,

5 5 ln ln 7 ln 7 36 = = e > > > 5,, pelo prncípo da casa dos pombos, há pelo menos 5 naturas n tas que n tem 5 algarsmos e esses números n são todos do mesmo tpo (seus algarsmos são os mesmos a menos de uma permutação). [+7 pontos] Nota: É possível estmar x sem usar a desgualdade e x. Por exemplo: ( ) ( ) ( ) > = > 3 >,7 >,3 >, >,5, >,5 > (que fo o que usamos).