Matemática Financeira Seções: 3.1 até 4.3 Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva

Transcrição

1 3.1 até 3.3 Stuações de fnancamento VP = parc [ 1 (1+) n ] (3.1) AV E = parc [ 1 (1+) n ] (3.2) (AV E) (1 + ) k 1 = parc [ 1 (1+) n ] (3.3) As fórmulas apresentadas acma são apresentadas nas seções 3.1, 3.2 e 3.3 e servem para calcular o valor presente ou valor de uma parcela de uma stuação de fnancamento. A prmera (3.1) é usada nos casos de fnancamento do valor ntegral de um produto ou servço, a segunda (3.2) para casos em que o fnancamento envolva entrada na operação e a últma (3.3) em stuações que envolvam entrada e carênca. Abaxo um exemplo completo para entendmento do cálculo. Exemplo: Um produto, cujo valor à vsta é R$ 500,00, pode ser fnancado com entrada de R$ 300,00 e o restante qutado em 12 vezes mensas e guas, sob taxa de juros compostos de 2,5% a.m.. Ademas, o vendedor oferece o pagamento da prmera parcela após 3 meses do ato da compra (ou seja, um prazo de carênca de 2 meses). Determnar o valor da prestação, caso o produto seja fnancado. ( ) (1 + 0,025) (1 + 0,025) 12 = parc [ ] 0,025 parc = R$ 20,48 Pela calculadora fnancera: Vsor da calculadora (duas casas decmas) 500 ENTER 500, ENTER 200,00 1 ENTER 1,00 0,025 + ENTER 1,03 3 ENTER 3, y x x CHS PV - 210,13 2,5 2,50 PMT 20,48

2 3.4 Determnação da taxa de juros do valor presente Para achar a taxa de juros de uma operação, se deve segur os três passos apresentados abaxo. Passo 1: f() = VP parc + (1 + ) n 1 (testar uma taxa arbtrara. Se em módulo ela for 0,0001 então é a taxa do fnancamento e o exercíco acaba neste passo. Caso contráro, fazer passos 2 e 3). Passo 2: f () = VP n (1 + ) n 1 parc Passo 3: j+1 = f() f () novamente pelo passo 1. (o passo 3 rá fornecer nova taxa de juros a ser testada, e dessa forma, nca-se Exemplo: Determnado produto no valor de R$ 1.000,00 fo fnancado em 12 prestações mensas e guas no valor de R$ 100,00. Determnar a taxa de juros mensas da operação. Usare taxa de 2,8% a.m. para descobrr o valor da taxa de juros da operação. P1: f(0,028) = ,028 + (1 + 0,028) 12 1 = 0, , é maor do que 0,0001 e dessa forma vamos para passos 2 e 3. P2: f (0,028) = (1 + 0,028) 13 = 1, P3: j+1 = 0,028 0, , = 0, Voltando para passo 1. P1: f(0,029278) = , (1 + 0,029278) 12 1 = 0, , é menor ou gual a 0,0001, dessa forma a taxa encontrada é a taxa cobrada na operação. Resposta: 0, = 2,9278 2,93% a. m.. Pela calculadora fnancera: Vsor da calculadora (duas casas decmas) 1000 CHS PV , PMT 100,00 2,92 Perceba que resultado é levemente dferente e sto se deve ao arredondamento quando o processo fo conduzdo pelas fórmulas.

3 4.1: Valor futuro aplcações VF = dep [ (1 + )n 1 ] Exemplo: Pessoa nveste em determnada aplcação R$ 100,00 por mês durante 1 ano, a uma taxa de juros de 1,5% a.m.. Determnar o saldo da aplcação ao seu térmno. VF = 100 [ (1 + 0,015)12 1 ] => VF = R$ 1.304,12 0,015 Pela calculadora fnancera: Vsor da calculadora (duas casas decmas) 100 PMT 100,00 1,5 1,50 FV ,12 4.2: Determnação da taxa de juros do valor futuro Passo 1: f() = VF (1 + dep )n + 1 (testar taxa. Se em módulo ela for 0,0001 então é a taxa da aplcação. Caso contráro, fazer passos 2 e 3). Passo 2: f () = VF n (1 + )n 1 dep Passo 3: j+1 = f() (o passo 3 rá fornecer nova taxa de juros a ser testada, e dessa forma, nca-se f () novamente pelo passo 1) Perceba que o exemplo fo dspensado. Com pequena varação nas fórmulas, o processo de resolução é exatamente gual ao apresentado na seção 3.4

4 4.3: Amortzação (SAC/ PRICE) Stuação onde determnada dívda ou compromsso fnancero deverá ser saldado no tempo. Os regmes de amortzação que remos tratar é o SAC (Sstema de Amortzação Constante) e o PRICE (onde a prestação paga é constante até o fm do período). Na tabela abaxo é apresentado um comparatvo entre os dos sstemas de amortzação. Item SAC PRICE Prestações Decrescente Constante Amortzações Constante Crescente Juros Decrescente Decrescente Vantagens Saldo devedor, quando comparado ao PRICE, dmnu rapdamente e o valor das prestações ca contnuamente Valor da prestação é sempre gual Desvantagens Prestação ncal maor; prestações varam todos os meses Saldo devedor dmnu lentamente quando comparado ao SAC; valor da prestação não dmnu Exemplo: Um empréstmo de R$ ,00 fo parcelado em 3 vezes mensas e guas, com taxa de juros compostos de 3% a.m.. Determnar sstema de amortzação pelo SAC e pelo PRICE. Resolução pelo SAC: Para descobrr o valor da amortzação, deve-se pegar o valor total da dívda e dvdr pelo número de parcelas: A = = R$ 5.000,00 O saldo devedor no momento 0 é gual a R$ ,00. No mês 1 é R$ ,00 ( amortzação). No mês 2 é R$ 5.000,00 ( amortzação). No mês 3 é R$ 0,00 (5.000 amortzação). Para descobrr os juros pagos em cada mês basta: No mês 1 multplcar ,00 * 3% = R$ 450,00. No mês 2 multplcar ,00 * 3% = R$ 300,00. No mês 3 multplcar * 3% = R$ 150,00. Para descobrr prestação paga em cada mês basta somar o valor da amortzação com os juros do período: No mês 1 fcara = R$ 5.450,00. No mês 2 temos = R$ 5.300,00. No mês 3 temos = R$ 5.150,00. Preenchendo tabela SAC com nformações: Tabela Plano de amortzação do empréstmo pelo SAC: t Saldo devedor (SD) Amortzação (A) Juros (J) Prestação (P) , , ,00 Total ,00 900, ,00

5 Resolução pelo PRICE: Para descobrr o valor da prestação usamos: parc = VP [ (1 + )n (1 + ) n 1 ] parc = [ (1+0,03)3 0,03 ] = R$ 5.302,96 e preenche todos os valores com este valor na coluna prestação. (1+0,03) 3 1 Calculado valores do mês 1: Juros = * 3% = R$ 450,00. Amortzação = 5.302,96 450,00 = R$ 4.852,96. Saldo devedor = , ,96 = R$ ,04. Calculando valores do mês 2: Juros = ,04 * 3% = R$ 304,41. Amortzação = 5.302,96 304,41 = R$ 4.998,55. Saldo devedor = , ,55 = R$ 5.148,49. Calculando valores do mês 3: Juros = 5.148,49 * 3% = R$ 154,45. Amortzação = 5.302,96 154,45 = R$ 5.148,51. Saldo devedor = R$ 5.148, ,51 = -0,02 (dívda zerada *) t Saldo devedor (SD) Amortzação (A) Juros (J) Prestação (P) , ,96 450, , ,49 * 4.998,55 304, , ,51 * 154, ,96 Total ,00 908, ,88 * Normal está pequena dferença entre 1 e 3 centavos por conta dos arredondamentos. Ela ocorre por conta das aproxmações realzadas para a segunda casa decmal. nsttuções fnanceras abatem esse valor para zerar a dívda do clente.