A Matemática Financeira nos Financiamentos Habitacionais

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1 2013: Trabalho de Conclusão de Curso do Mestrado Profssonal em Matemátca - PROFMAT Unversdade Federal de São João del-re - UFSJ Socedade Braslera de Matemátca - SBM A Matemátca Fnancera nos Fnancamentos Habtaconas Alessandro Rbero dos Santos 1 Rcardo de Carvalho Falcão 2 Resumo: Com o objetvo de que este trabalho possa ser utlzado como materal de consulta aos alunos do ensno médo da educação básca, destacaremos as prncpas defnções e os prncpas resultados da Matemátca Fnancera fazendo uma abordagem objetva sobre a Matemátca dos Fnancamentos Habtaconas. No prmero momento apresentaremos os concetos báscos tas como captal, juros, taxas, aumentos, descontos, regmes de captalzação, taxas equvalentes e cálculo de prestações. Destacaremos também os resultados dos dos prncpas sstemas de amortzação, o SAC e o SAF. Todas as defnções e resultados serão a base para o entendmento da operação de fnancamento. Fnalzando destacamos uma proposta de aplcação dos resultados da Matemátca Fnancera na tomada de decsões que envolvam o valor do dnhero em épocas dferentes, aplcação que poderá ser desenvolvda com este grupo de alunos da educação básca. Palavras-chave: Fnancamento, Juros, Amortzação. 1 Introdução Ao longo da hstóra o Homem já se deparou com stuações em que houve a necessdade de negocar para seu própro sustento, no prncípo essa negocação se dava através do escambo, ou seja, a troca de mercadoras que corresponde à prmera manfestação comercal. Na Suméra, por volta de a.e.c., há ndícos de desenvolvmento de um sstema de crédto baseado em grãos e prata, sendo assm consdera-se que os juros e os mpostos exstem há muto tempo. Esses juros eram pagos pelo empréstmo de sementes e outras convenêncas. A hstóra também revela que a dea de trocar moedas tnha se dfunddo e estava tão bem estabelecda que já exstam banqueros nternaconas na Bablôna por volta de 575 a.e.c.. Os ndícos da exstênca de cálculo de juros estão presentes nas tábuas matemátcas da época, estma-se que das 400 tábuas, cerca de metade eram fnanceras. As tábuas de exponencas sugerem que as mesmas eram usadas no cálculo de juros compostos. 1 Aluno de Mestrado Profssonal em Matemátca, Turma 2012 Insttução: Unversdade Federal de São João del-re - UFSJ E-mal: 2 Orentador do Trabalho de Conclusão de Curso Departamento de Físca e Matemátca - DEFIM, CAP E-mal:

2 Outro fato hstórco de destaque são as chamadas Escolas de Ábaco, que trenavam jovens comercantes desde os 11 ou 12 anos em matemátca prátca, essas escolas se dfundram em váras regões da Itála, sobretudo em Florença e estão relaconadas ao desenvolvmento do captalsmo no fm da Idade Méda. Para tratar problemas lgados ao comérco ensnavase cálculo com numeras ndanos, a regra de três, juros smples e compostos, entre outras ferramentas de cálculo voltadas para problemas prátcos. Entender o fnancamento habtaconal através dos resultados da Matemátca Fnancera, destacar os dos prncpas sstemas de amortzação e avalar as decsões envolvendo o uso do dnhero é o objetvo deste trabalho. Essa necessdade de ldar com estas stuações vrou rotna em nossas vdas, assm como o fnancamento, nos deparamos com o mercado fnancero das bolsas de valores, com os fundos de nvestmentos oferecdos pelos bancos, com o pagamento de mpostos, com empréstmos, etc. Neste panorama o ensno da Matemátca Fnancera na educação básca requer uma atenção especal para dar suporte aos alunos no entendmento de tas operações. 2 Concetos Importantes Nessa seção destacaremos algumas defnções e resultados da Matemátca Fnancera que nos darão suporte para as análses das operações de fnancamento, amortzação, empréstmos, etc. A Matemátca Fnancera estuda as operações envolvdas em empréstmos e ou nvestmentos, quando uma pessoa empresta ou toma emprestado um valor monetáro durante certo período de tempo, esse valor é chamado de captal (ou prncpal). Após este período o valor a ser recebdo ou pago é o captal acrescdo de uma remuneração chamada juros. 2.1 Captal, Juros e taxa Defnção 2.1 (Captal) Captal é o valor monetáro o qual é aplcado em processos fnanceros e é ndcado por C. Defnção 2.2 (Juros) Juros corresponde ao valor monetáro referente ao rendmento da aplcação do captal e é ndcado por J. Defnção 2.3 (Taxa de juros) Taxa de juros é a taxa de crescmento do captal determnada pela razão = J, referndo-se sempre ao período da operação. Para representar a taxa C de juros usamos as porcentagens, razões centesmas que são representadas pelo seu numerador segudo do símbolo % (por cento) ou sua representação decmal que é muto útl na resolução de problemas envolvendo juros smples e compostos. Observação 1 O valor dos juros de um captal aplcado a uma taxa num certo período será dado por: J = C Exemplo 2.1 Um captal de R$ ,00 fo aplcado a uma taxa de 5% ao mês durante um mês. Qual fo o juros dessa aplcação? Como C= e =5% ou 0,05, temos: J = , 05 = 500 Portanto os juros da aplcação foram de R$ 500,00. 2

3 Defnção 2.4 (Montante) O montante refere-se ao valor resultante da soma entre o captal e os juros e será ndcado por M. Assm o montante é dado por: M = C + J No exemplo anteror teríamos um montante gual a R$ ,00, resultante da soma do captal(r$ ,00) com o juros(r$ 500,00). 2.2 Aumentos e descontos Defnção 2.5 (Aumento ou acréscmo) Se certo valor sofre um aumento a uma taxa, então o valor fnal resultante desse acréscmo será dado por: V = V 0 (1 + ), onde V é o valor fnal, V 0 o valor ncal e a taxa de aumento. Defnção 2.6 (Desconto ou abatmento) Se certo valor sofre um desconto a uma taxa, então o valor fnal resultante desse abatmento será dado por: V = V 0 (1 ), onde V é o valor fnal, V 0 o valor ncal e a taxa de desconto. Exemplo 2.2 Se uma mercadora que custava R$ 250,00 sofre um aumento de 2%, então o novo valor da mercadora, será R$ 255,00 conforme cálculo abaxo: V = 250(1 + 0, 02) = 250(1, 02) = 255. Exemplo 2.3 Em uma promoção uma tv que custa R$ 1.990,00 será vendda à vsta com um desconto de 10%. Neste caso vamos calcular o valor da tv com o desconto. Portanto o novo preço será de R$ 1.791, Regmes de Captalzação V = 1.990(1 0, 10) = 1.990(0, 90) = Quando um captal é aplcado a uma taxa percentual por período, durante város períodos de tempo, o montante poderá ser calculado através de duas convenções báscas de cálculo, chamadas de juros smples e juros compostos, esta últma está presente em quase todas as operações fnanceras exstentes. Defnção 2.7 (Juros Smples) Nesta modaldade os juros gerados em cada período são constantes e resultantes do produto do captal pela taxa. O cálculo dos juros smples de um captal C aplcado a uma taxa, durante n períodos de tempo é dado por: J = C } + C + C {{ + + C } J = C n n 3

4 Exemplo 2.4 Calculando os juros smples gerados por um captal de R$ 1.250,00 aplcado a uma taxa de 2% ao mês durante 6 meses, temos: J = C n J = , 02 6 = 150 Portanto os juros gerados foram de R$ 150,00. Teorema 2.1 (Juros Compostos) No regme de juros compostos de taxa, um captal C 0 transforma-se em n períodos de tempo, em um montante gual a C n, dado por: C n = C 0 (1 + ) n Demonstração: A demonstração será feta por ndução sobre n. Para n = 1, a fórmula do montante é verdadera uma vez que: C 1 = C 0 + C 0 = C 0 (1 + ) 1. Supondo que a fórmula do montante seja válda para algum n, queremos mostrar que é também válda para n + 1. Sabemos que: C n+1 = C n + C n = C n (1 + ). Pela hpótese de ndução temos que C n = C 0 (1 + ) n, logo: C n+1 = C 0 (1 + ) n+1. Portanto pelo Prncípo da Indução Matemátca a fórmula do montane é válda para todo n natural. Exemplo 2.5 De acordo com o Teorema 2.1, calculando o montante gerado por um captal de R$ ,00 aplcado a 3% ao mês durante 4 meses na modaldade de juros compostos teremos: C n = C 0 (1 + ) n = (1 + 0, 03) 4 = , 63. Portanto, o montante gerado será de R$ ,63. Observação 2 Para o cálculo dos juros dessa aplcação, basta fazer a dferença entre o montante encontrado pelo captal ncal. Exemplo 2.6 Marcela fez um empréstmo de R$ 3.000,00 para pagar daqu a 6 meses. Sabendo que a taxa é de 1,5% ao mês, qual o valor total que Marcela rá pagar se forem cobrados juros compostos? Mas uma vez recorreremos ao Teorema 2.1. Como C 0 = 3.000, =1,5% ou 0,015 e n=6, obtemos: C n = C 0 (1 + ) n = 3.000(1 + 0, 015) 6 = 3.280, 33. Portanto, Marcela rá pagar pelo empréstmo R$ 3.280,33. 4

5 Atualmente a modaldade de juros compostos é a mas utlzada em transações comercas. Vejamos agora uma comparação entre juros smples e compostos. Utlzaremos um captal de R$ 1.000,00 aplcados a uma taxa mensal de 2% em um período de 1 ano. Vejamos a tabela abaxo: Período Juros Smples Juros Compostos , , , , , , , , , , ,24 Já era de se esperar que o montante composto fosse superar o montante smples, uma vez que os juros compostos consttuem uma progressão geométrca e os juros smples uma progressão artmétca. 3 Taxas Equvalentes Defnção 3.1 Duas taxas são dtas equvalentes quando, aplcadas a captas guas, em tempos guas, produzem sempre montantes guas.[1] As taxas equvalentes nos auxlam nos casos em que o período da operação fnancera dfere-se do período da taxa de juros. O lema abaxo nos dará a fórmula que relacona as taxas equvalentes. Lema 3.1 Se I é a taxa de crescmento de uma grandeza relatvamente ao período de tempo T e é a taxa de crescmento relatvamente ao período t, e se T = nt, então: 1 + I = (1 + ) n. Demonstração: [4] Seja P 0 o valor ncal da grandeza. Após um período de tempo T (T = 1), o valor da grandeza será P 0 (1 + I) 1. Como um período de T, equvale a n períodos guas a t, o valor da grandeza será também gual a P 0 (1 + ) n, logo: P 0 (1 + I) 1 = P 0 (1 + ) n (1 + I) 1 = (1 + ) n Exemplo 3.1 Vejamos qual a taxa anual equvalente a uma taxa de 2% ao mês. Utlzando a relação de equvalênca acma temos que: 1 + I = (1 + 0, 02) 12 I = (1, 02) 12 1 I = 0, 268 Portanto a taxa equvale a 26,8% ao ano. 5

6 4 Cálculo de Prestações Para comprar uma geladera, cujo valor à vsta é R$ 1.200,00, Mara precsará parcelar o valor em 5 prestações mensas e guas, sendo a prmera paga um mês após a compra. Sendo a taxa de juros de 2% ao mês, qual será o valor de cada prestação? A dívda no fnal de 5 meses, será de: 1.200(1 + ) 5. A mesma dívda analsada em relação às prestações, onde a prmera é paga um mês após a compra, será: P (1 + ) 4 + P (1 + ) 3 + P (1 + ) 2 + P (1 + ) + P. Logo: 1.200(1 + ) 5 = P (1 + ) 4 + P (1 + ) 3 + P (1 + ) 2 + P (1 + ) + P Dvdndo ambos os membros da equação acma por (1 + ) 5 e colocando P em evdênca temos que: ( ) = P (1 + ) + 1 (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) 5 Este resultado guala na época zero, todos os pagamentos ao valor à vsta, ou seja, ao valor atual. Substtundo o valor da taxa e realzando os cálculos, encontramos P = R$ 254,60. Fazendo a soma de todas as prestações encontramos o valor a prazo de R$ 1.273,00, ou seja, serão pagos a cargo de juros R$ 73,00. A fgura abaxo lustra este esquema de pagamento. Fgura 1: Dagrama 1 Defnção 4.1 O conjunto de pagamentos referentes a períodos dversos é chamado de sére de pagamentos e quando estes pagamentos são guas e gualmente espaçados no tempo, a sére é unforme. Teorema 4.1 O valor atual(a) de uma dívda(empréstmo ou valor à vsta de uma mercadora) paga em n pagamentos guas a P, uma undade de tempo antes do prmero pagamento é gual a: [ ] 1 (1 + ) n A = P Demonstração: Analsando o dagrama da fgura 2, sabemos que: ( ) P A = (1 + ) + P (1 + ) + P 2 (1 + ) P 3 (1 + ) + P n 1 (1 + ) n 6

7 colocando P em evdênca temos que: ( ) 1 A = P (1 + ) + 1 (1 + ) (1 + ) (1 + ) + 1 n 1 (1 + ) } {{ n } S A soma S é a soma dos n termos de uma progressão geométrca cuja razão é (1 + ) 1, logo: [ ] [ ] [ ] 1 1 [(1 + ) 1 ] n 1 1 (1 + ) n 1 (1 + ) n S = = = (1 + ) 1 (1 + ) 1 (1 + ) (1 + ) 1 Substtundo S em 1, obetmos o resultado. (1) Fgura 2: Dagrama 2 Exemplo 4.1 João fez um empréstmo a uma taxa de 4% ao mês e pagará R$ 595,26 por mês durante 5 meses, sendo a prmera paga um mês após a contratação do empréstmo. Neste caso qual fo o valor do empréstmo? Pelo Teorema 4.1 temos que: [ ] 1 (1 + ) n A = P Como P = 595, 26, = 0, 04 e n = 5, obtemos: [ ] 1 (1, 04) 5 A = 595, 26 = , 04 Então o valor do empréstmo fo de R$ 2.650,00. Por este empréstmo João pagou R$ 2.976,30, totalzando um juros de R$ 326,03. Observação 3 O resultado do Teorema 4.1 também nos permte o cálculo do valor das prestações envolvdas nas operações fnanceras envolvendo juros compostos, para sto basta solar a varável P na fórmula. Voltando ao exemplo do níco da seção, vamos verfcar se encontramos o mesmo valor de prestação, utlzando agora o resultado do Teorema 4.1. Sabemos que: A = 1.200(valor da geladera à vsta), = 0, 02 e 5 o número de pagamentos. Recorrendo ao Teorema 4.1 temos que: [ ] 1 (1 + ) n A = P [ P = A 1 (1 + ) n substtundo os valores de A, e n, obtemos: [ ] [ ] 0, 02 P = A = = 254, (1 + ) n 1 (1, 02) 5 Portanto o valor da prestação será de R$ 254,60, o mesmo do exemplo ctado. 7 ]

8 5 Fnancamentos Habtaconas Atualmente falar em fnancamento habtaconal é muto comum devdo a város programas destnados a aqusção da casa própra, como por exemplo, o programa Mnha Casa Mnha Vda. Trataremos nesta seção, de manera objetva, como a Matemátca Fnancera ajuda no entendmento desta operação crédto que se trata na verdade de um empréstmo. 5.1 Sstema Fnancero da Habtação (SFH) Crado em 1964 pelo governo, o Sstema Fnancero de Habtação (SFH) fo a prmera e contnua sendo a mas tradconal forma de uma pessoa obter crédto para a compra, reforma ou construção de um móvel. Para prover crédto aos cdadãos o Sstema Fnancero da Habtação utlza os recursos do FGTS (Fundo de Garanta do Tempo de Servço), das contas de depóstos de poupança, de fnancamentos contraídos no país ou no exteror. Esses recursos são utlzados em projetos de habtações e títulos de crédto. Outra forma de adqurr um fnancamento habtaconal é através do Sstema Fnancero Imobláro (SFI), neste sstema o crédto habtaconal é conceddo com os recursos dos própros bancos. 5.2 Etapas de um Fnancamento Habtaconal A segur veremos as prncpas etapas para se obter um Fnancamento Habtaconal. 1. Valor do móvel: valor do crédto necessáro para a aqusção, reforma ou construção do bem. 2. Análse da renda bruta famlar: entende-se por renda bruta o valor recebdo por todos os ntegrantes da famíla sem descontos. 3. Comprometmento da renda: a Matemátca Fnancera auxla nesta etapa quando o banco realza o cálculo que estpulará o valor máxmo para a prestação, ou seja, calcula-se uma porcentagem dos ganhos famlares para analsar o rsco de um possível empréstmo. 4. Depos da análse de toda a documentação, as etapas que se seguem estão relaconadas ao empréstmo e neste caso um conhecmento prévo dos concetos báscos da Matemátca Fnancera faclta o entendmento e até a opção por um melhor plano de fnancamento. 5.3 Concetos báscos de um Fnancamento Habtaconal Defnção 5.1 (Taxa de juros) É a taxa referente para o cálculo de juros, nos fnancamentos habtaconas esta taxa é anual, para saber a taxa mensal podemos utlzar a relação de equvalênca de taxas presente na seção 3. Defnção 5.2 (Valor de entrada ou recursos própos) Este valor trata-se dos recursos que o cdadão dspõem para dmnur o valor a ser fnancado. 8

9 Defnção 5.3 (Valor fnancado) Valor do empréstmo, corresponde à dferença entre o valor do móvel e o valor da entrada. Defnção 5.4 (Prazo de fnancamento) Tempo para pagamento da dívda, atualmente o prazo máxmo é de 420 meses, ou seja, 35 anos. Defnção 5.5 (Saldo devedor) É o valor da dívda, este valor se altera na medda em que os pagamentos são realzados e no momento em que há a atualzação, baseada na taxa de juros contratados. Defnção 5.6 (Amortzação) Processo para extngur gradualmente o saldo devedor. Defnção 5.7 (I.O.F.) Imposto sobre operações fnanceras, calculado através de uma porcentagem sobre o valor fnancado. Defnção 5.8 (Custo efetvo total - CET) O custo efetvo total é expresso na forma de taxa percentual, nclundo todos os encargos e despesas da operação de crédto, sto é, o CET deve englobar não apenas a taxa de juros, mas também tarfas, trbutos, seguros e outras despesas cobradas do clente. Para entedermos o cálculo do CET, suponhamos um fnancamento nas seguntes condções: Valor fnacado : R$ 1.000,00 Taxa de juros : 0,95% a.m. Prazo da operação : 5 meses Tarfa de cadastro : R$ 50,00 I.O.F. : R$ 10,00 Utlzando o resultado do Teorema 4.1 da seção 4 obtemos uma prestação de R$ 205,73. Daí, para calcularmos o CET levamos em consderação a dferença entre o valor fnancado e as despesas da operação, logo: Daí, temos que: Valor do crédto = R$ 1.000,00 - R$ 60,00 = R$ 940, , 00 = ( 205, 73 (1 + I) + 205, 73 (1 + I) ) 205, , , (1 + I) 3 (1 + I) 4 (1 + I) 5 Com o auxílo de uma calculadora centífca ou planlha de cálculo eletrônca obtemos o custo efetvo total(i) de 3,08% a.m. ou 43,93% a.a. e anda o valor total das prestações de R$ 1.028,65.[10] Para facltar a análse por parte do clente, as nsttuções fnanceras dsponblzam, em seus sítos eletrôncos, programas que smulam o fnancamento. Na fgura 3 temos um exemplo de uma smulação feta levando em consderação a aqusção de um móvel novo no valor de R$ ,00, cuja entrada é de R$ ,00 e a renda famlar de R$ 5.000,00 mensas. Notamos que um conhecmento prévo da Matemátca Fnancera auxla e muto no entendmento dos processos de um Fnancamento Habtaconal. Além dos conhecmentos báscos 9

10 abordados no prmero capítulo, temos que destacar o processo de amortzação, ou seja, a manera de se pagar o saldo devedor. São dos os sstemas de amortzação mas utlzados, o Sstema de Amortzação Constante (SAC) e o Sstema Francês (Tabela Prce). Atualmente o mas utlzado é o SAC o qual veremos com mas detalhes no próxmo capítulo onde mostraremos a dferença entre os dos sstemas de amortzação. Fgura 3: Smulação Fnancamento - 6 Sstemas de Amortzação Como já dssemos anterormente, amortzação sgnfca extngur gradualmente uma dívda. Atualmente, devdo aos programas do governo que ncentvam o fnancamento de móves, o termo amortzar passou a ser conhecdo pelas pessoas. Hoje em da, quem paga a prestação do seu móvel sabe que parte desta prestação quta os juros do fnancamento e parte amortza a dívda, ou seja, abate parte do saldo devedor. O sstema de amortzação mas usado é o Sstema de Amortzação Constante(SAC) mas também há outro sstema, o Sstema Francês também conhecdo por Tabela Prce, nome devdo ao seu dealzador Rchard Prce (Inglês e especalsta em fnanças). 6.1 Sstema de Amortzação Constante (SAC) No SAC, a amortzação em cada período é a mesma, ou seja, a amortzação é sempre constante. Vejamos agora o teorema que apresenta os resultados que explcam este sstema. Teorema 6.1 Sejam A k, J k, P k e D k, a parcela de amortzação, a parcela de juros, a prestação e o estado da dívda na época k, respectvamente. No SAC, sendo n o número de pagamentos e a taxa de juros, temos que:. A k = D 0 n. D k = n k n D 0. J k = D k 1 v. P k = A k + J k 10

11 Demonstração:. Como o sstema é de amortzação constante e como a dívda ncal será amortzada em n partes guas temos que: A k = D 0 n.. A stuação da dívda na época k será a dferença entre a dívda ncal e as amortzações até a época k, daí: D k = D 0 k A K de temos que A k = D 0 n, logo D k = D 0 k A K D k = n k n. Pela defnção de juros apresentada na seção 2 e sendo a taxa temos que: J k = D k 1 D 0 A últma fórmula é óbva. Exemplo 6.1 Consderemos uma dívda(d 0 ) de R$ 1.500,00 que será paga em 6 meses, com taxa de juros de 2% ao mês pelo Sstema de Amortzação Constante(SAC). Faça uma planlha de amortzação. Como o sstema utlzado é o SAC, temos que: A k = D 0 n = = Faremos a nossa tabela com a segunte ordem, período(k), prestação (P k ), amortzação(a k ), juros (J k ), stuação da dívda (D k ) e total pago até o período k (T k ). k P k A k J k D k T k = , 02 = = , 02 = = , 02 = = , 02 = = , 02 = = , 02 = Neste exemplo o valor total pago em juros fo de R$ 105,00 o que representa 7% da dívda ncal. Exemplo 6.2 Consderando uma dívda(d 0 ) de R$ ,00 que será paga em 24 meses através do Sstema (SAC) a uma taxa de juros de 1,5% ao mês, determne: a) A amortzação em cada período. b) O valor da décma sexta prestação. c) A stuação da dívda nesta época. 11

12 a) Como o sstema utlzado é o SAC, temos que: A k = D 0 n = A amortzação em cada perído será de R$ 833,33. = 833, 33 b)pelo resultado do Teorema 6.1 temos : P 16 = J 16 + A 16 e J 16 = D 15. Daí, Logo, D 15 = = J 16 = 0, = 112, 5 e P 16 = 112, , 33 = 945, 83 Portanto, a décma sexta prestação será R$ 945,83. c)pelo resultado do Teorema 6.1 temos : D 16 = = 6.666, 67. A stuação da dívda na época da décma sexta prestação será de R$ 6.666, Sstema de Amortzação Francês (SAF) No SAF ou Tabela Prce, a prestação em cada período é constante. Vejamos agora o teorema que apresenta os resultados que explcam este sstema. Teorema 6.2 Sejam A k, J k, P k e D k, a parcela de amortzação, a parcela de juros, a prestação e o estado da dívda na época k, respectvamente. No SAF, sendo n o número de pagamentos e a taxa de juros, temos que: (. P k = D 0 1 (1+) n ) ( ). D k = D 1 (1+) (n k) 0 1 (1+) n. J k = D k 1 v. A k = P k J k Demonstração:. Do Teroema 4.1 temos que: ( ) 1 (1 + ) n A = P, sendo A = D 0 e P = P k, solando P k obtemos o resultado, ( ) P k = D 0. 1 (1 + ) n 12

13 . Observe que D k é a dívda que será paga na época após n k pagamentos sucessvos a P k, daí: ( ) 1 (1 + ) (n k) D k = P k, substtundo P k pelo resultado encontrado em () obtemos: ( ) ( ) ( ) 1 (1 + ) (n k) 1 (1 + ) (n k) D k = D 0 D 1 (1 + ) n k = D 0. 1 (1 + ) n. Pela defnção de juros apresentada na seção 2 e sendo a taxa temos que: v. Sabemos que P k = A k + J k, daí: J k = D k 1 A k = P k J k. Exemplo 6.3 Faça a planlha de amortzação, no Sstema Francês, referente aos dados do exemplo 6.1. No Sstema Francês, sabemos que a prestação é constante, então remos prmeramente calcular o seu valor. Pelo Teorema 6.2 temos que: ( ) P k = D 0 1 (1 + ) n onde, D 0 = 1.500, n = 6 e = 0, 02. Daí, ( ) 0, 02 P k = (1 + 0, 02) 6 ( = , 02 1 (1, 02) 6 ) = 267, 79 Portanto a prestação será de R$ 267,79. Agora faremos a nossa tabela com a segunte ordem, período(k), prestação (P k ), amortzação(a k ), juros (J k ), stuação da dívda (D k ) e total pago até o período k (T k ). k P k A k J k D k T k , , = 237, , 02 = , , , , 79 25, 24 = 242, , 21 0, 02 = 25, , , , , 79 20, 39 = 247, , 66 0, 02 = 20, , , , , 79 15, 45 = 252, , 26 0, 02 = 15, , , , , 79 10, 40 = 257, , 92 0, 02 = 10, , , , , 79 5, 25 = 262, , 54 0, 02 = 5, ,74 Neste exemplo o valor total pago em juros fo de R$ 106,74, com relação ao SAC(exemplo 6.1) a dferença fo de R$ 1,74. A dferença entre os dos sstemas pode ser consderável em operações que envolvam valores muto grandes fnancados a longo prazo. Como já fo dto e mostrado, no SAC a amortzação é constante e no SAF a prestação é constante, neste caso a méda dos pagamentos realzados no SAF será sempre maor que a méda dos pagamentos realzados no SAC. Nota-se anda que no SAC as prestações são decrescentes ao longo do período e no SAF as amortzações são crescentes ao longo do período. Essas dferenças são mportantes para auxlar na decsão de qual sstema de amortzação escolher. 13

14 7 Aplcação na Sala de Aula Na Matemátca Fnancera magna-se que o dnhero nunca fca parado, neste caso sabemos que o valor do dnhero sofre uma varação ao longo do tempo, neste panorama uma aplcação nteressante da Matemátca Fnancera é comparar e analsar o valor do dnhero em épocas dferentes, para sso devemos deslocar as quantas em questão para uma mesma época possbltando assm a análse e a decsão que temos que tomar em cada stuação. 7.1 Planejamento da aula O assunto, como fo dto acma, será a análse do valor do dnhero ao longo do tempo, assunto este presente em empréstmos, compras, nvestmentos, fnancamentos, etc. Esta aula é destnada aos alunos do ensno médo da educação básca com os seguntes objetvos: Utlzar os concetos báscos de juros, captas e taxas; Aplcar os resultados dos teoremas estudados nos capítulos anterores; Deslocar uma certa quanta ao longo do tempo em consonânca com a taxa de juros chamada de taxa mínma de atratvdade ; Analsar e comparar a melhor opção para o uso do dnhero referente a um rendmento; O desenvolvmento desta aula se dará através de problemas resolvdos com stuações que envolvem o valor do dnhero em épocas dferentes e em dferentes opções de aplcações e uso. Poderemos dvdr a aula em duas etapas, na prmera parte fazer uma revsão dos prncpas concetos abordados nas prmeras seções e na segunda parte trabalhar com os exemplos resolvdos. 7.2 Exemplos Resolvdos Na resolução dos exemplos, além dos resultados estudados nas seções anterores, usaremos também a relação abaxo, entre Valor Atual(V A ) e Valor Futuro(V F ), para o deslocamento de quantas no tempo. V F = V A (1 + ) n V A = V F (1 + ) n Daí, se qusermos adantar um certo valor em n períodos basta multplcar por (1 + ) n e se qusermos antecpar o valor em n períodos basta dvdr por (1 + ) n. Exemplo 7.1 João fez um empréstmo de R$ 500,00, a juros de 10% ao mês. Após dos meses, João pagou R$ 250,00 e um mês após lqudou a dívda. Neste caso qual fo o valor que João pagou para lqudar a dívda? Para resolver o problema, remos gualar à época zero os pagamentos realzados por João ao valor da dívda. Sendo P o valor do últmo pagamento temos que: 500 = 250 (1 + 0, 10) + P 2 (1 + 0, 10) P = 500(1, 3 10)3 250(1, 10) = 390, 50. Portanto o valor do últmo pagamento realzado por João fo de R$ 390,50. 14

15 Fgura 4: Esquema de pagamento ex. 7.1 Exemplo 7.2 Sôna tem as seguntes opções de pagamento na compra de um fogão que custa R$ 480,00: à vsta com 5% de desconto, ou seja, R$ 456,00. Três prestações mensas de R$ 160,00 sendo a prmera no ato da compra. Sete prestações mensas de R$ 70,00 sendo a prmera no ato da compra. Se o dnhero vale 2% ao mês, qual a melhor opção para Sôna? Deslocando, nas outras duas stuações, os pagamentos à época zero temos: V 2 = (1,02) (1,02) 2 = 470, 65. V 3 = (1,02) + 70 (1,02) (1,02) (1,02) (1,02) (1,02) 6 = 462, 10. Fgura 5: Esquema de pagamento ex. 7.2 Portanto a melhor opção para Sôna é o pagamento à vsta com 5% de desconto. Exemplo 7.3 Se para Marcelo o dnhero vale 25% ao mês, qual das três opções de pagamento abaxo ele deve escolher na compra de uma calça? À vsta com 30% de desconto. Em duas prestações, sem desconto, vencendo a prmera um mês após a compra. Em três prestações guas, sem desconto, vencendo a prmera no ato da compra. Prmeramente suponhamos um valor de R$ 90,00 para a mercadora. Neste caso teríamos o segunte esquema de pagamento: ) R$ 63,00 à vsta. (30% de desconto). ) duas prestações de R$ 45,00, sendo a prmera paga um mês após a compra. 15

16 ) três prestações de R$ 30,00 sendo a prmera paga no ato da compra. Igualando as stuações ) e ) à época zero e levando em consderação a taxa de 25% ao mês temos: ) V 2 = 45 (1,25) + 45 (1,25) 2 = 64, 80. ) V 3 = (1,25) + 30 (1,25) 2 = 73, 20. Fgura 6: Esquema de pagamento ex. 7.3 Neste caso a melhor opção para Marcelo é o pagamento à vsta. Exemplo 7.4 Paulo dspõe de um captal de R$ ,00 e pretende adqurr um apartamento cujo valor é R$ ,00, como ele terá que fnancar uma grande parte do móvel, ele fez as seguntes smulações: dar uma entrada no valor de R$ ,00 fnancando o restante com taxa de 9,5% a.a. no prazo de 30 anos através do Sstema de Amortzação Constante (SAC). nvestr o captal durante 5 anos na poupança, cujo o rendmento mensal é de 0,5%, aumentando assm a entrada. O prazo de fnancamento pelo SAC passa a ser de 25 anos a uma taxa de 9,5% a.a., durante estes 5 anos ele pagará um aluguel que representa uma despesa mensal de 0,6% do valor do móvel. utlzar 50% do captal para dar de entrada no apartamento fnancando R$ ,00 no prazo de 30 anos pelo SAC, neste período nvestr o restante do captal na poupança. Neste panorama, desconsderando outros encargos e a valorzação do móvel, qual sera a melhor opção para Paulo? Para verfcarmos qual a melhor stuação remos analsar em qual delas ele terá o menor prejuízo, ou seja, o menor gasto para adqurr o apartamento no prazo de 30 anos. Analsando as três stuações temos: Na prmera stuação utlzando os resultados do Teorema 6.1 e fazendo a planlha de amortzação, pelo SAC, constata-se que Paulo terá um gasto total, com o fnancamento, de R$ ,00, neste caso o valor total gasto será de: , , 00 = ,

17 Na segunda stuação remos utlzar o Teorema 2.1 para calcular o montante que Paulo terá ao fnal de 5 anos aplcando o captal na poupança. Neste caso temos: M = (1, 005) 60 = , 02 Este valor será a entrada para a compra do apartamento, fazendo a planlha de amortzação para esta stuação, Paulo rá pagar ao fnal do fnancamento um total de R$ ,00. Além dsso ele terá um gasto de R$ 1.800,00 mensas com o aluguel, ou seja, R$ ,00 ao fnal de 5 anos. Portanto nesta stuação o valor total gasto será de: , , , 00 = , 02. Na tercera opção a entrada será de R$ ,00, fazendo a planlha de amortzação, Paulo terá um gasto total, com o fnancamento, de R$ ,00. Como 50% do captal fcará nvestdo na poupança, Paulo terá, ao fnal do período, um montante no valor de: M = (1, 005) 360 = , 76. Neste caso ao fnal do período, o valor total gasto será de: , , , 76 = , 24. Portanto a stuação em que Paulo terá o menor prejuízo será a tercera opção. Na maora dos exemplos resolvdos deslocamos as quantas sempre para a época zero, decsão esta que não mpede de deslocarmos as quantas para qualquer época uma vez que estes deslocamentos, em consonânca com a taxa de juros, são equvalentes para a tomada de decsões. Por fm fzemos uso dos resultados do sstema de amortzação constante e dos juros compostos que auxlaram na análse da escolha de uma melhor opção de fnancamento habtaconal. 8 Consderações Fnas A Matemátca Fnancera se apresenta como uma mportante ferramenta a ser utlzada no cotdano das pessoas, as relações comercas exgem a cada da um pensamento raconal no momento de tomarmos alguma decsão referente a transações monetáras. Neste panorama o ensno da Matemátca Fnancera tem como objetvo nos auxlar nas análses das operações fnanceras das quas fazemos uso daramente e nos proporconar a chance de optar e decdr o que de melhor convém, nterpretando as opções que nos são oferecdas pelo mercado. O Fnancamento Habtaconal, apesar de parecer uma operação de empréstmo complexa, pode ser bem nterpretado através dos resultados báscos da Matemátca Fnancera, seus prncpas concetos e suas etapas são embasadas nas defnções que temos de juros, taxas, período, porcentagens, amortzação, etc. Além de despertar o nteresse e o senso crítco dos alunos, esta e outras aplcações são os prmeros passos para o entendmento de processos mas complexos, como a aplcação em bolsas de valores, fundos de nvestmentos, mposto de renda, fnancamentos, entre outros. A busca deste entendmento motva os alunos, cada vez mas, a buscar o conhecmento desta mportante ferramenta da Matemátca, por sso a Matemátca Fnancera é um conteúdo ndspensável e está presente nas proposções currculares e no currículo básco comum de alunos do ensno fundamental e médo da educação básca. 17

18 Referêncas [1] Rmsa, Leonardo G., Matemátca Fnancera Concsa - Para Concursos. Belo Horzonte: Edtora IUS, [2] Morgado, Augusto C., Wagner, Edurado., Zan, Shela C., Progressões e Matemátca Fnancera. Ro de Janero: Socedade Braslera de Matemátca, [3] Iezz, Gelson., Hazzan, Samuel., Degenszajn, Davd M., Fundamentos de Matemátca Elementar Vol. 11. São Paulo: Atual Edtora, [4] Lma, Elon L., Carvalho, Paulo C.P., Wagner, Eduardo., Morgado, Augusto C., A Matemátca do Ensno Médo Vol. 2. Ro de Janero: Socedade Braslera de Matemátca, [5] de Carvalho, João Bosco P., Roque, Tatana., Tópcos de Hstóra da Matemátca. Coleção PROFMAT. Ro de Janero: Socedade Braslera de Matemátca, [6] Eves, Howard., Introdução à Hstóra da Matemátca. Tradução: Hygno H. Domngues. Campnas: Edtora da UNICAMP, [7] Maor, El., e: A Hstóra de Um Número. Ro de Janero: Edtora Record, 2008, Cap.3. [8] Carnero, Máro Jorge Das., Spra, Mchael., Sabatucc, Jorge., Proposta Currcular - CBC, Matemátca - Ensnos Fundamental e Médo. Secretara de Estado de Educação de Mnas Geras. [9] Brasl, Portal., Fnancamento Habtaconal. Publcado em 05/11/2009. Dsponível em: Acesso em: 15/09/2013. [10] FAQ - Custo Efetvo Total. Atualzado em julho de Dsponível em: Acesso em: 15/09/2013. [11] Smulador Habtação. Dsponível em: - Habtação - Smulador. Acesso em: 18/09/

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