Sistemas de Amortização

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1 Matemática Financeira Sistemas de Amortização Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline

2 Matemática Financeira Séries de Pagamentos Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline

3 Séries de Pagamentos Este conteúdo pode ser visto como uma estensão de Juros Compostos. Enquanto em Juros Compostos um empréstimo, ou uma compra, eram feitos para serem quitados em um único pagamento, em série de pagamentos, como o próprio nome já diz, esse pagamento será feito por mais de uma parcela. O mesmo pode enxergar as aplicações, que em Juros Compostos analisávamos apenas uma aplicação de um valor único, em série de pagamentos permite-nos estudar casos nos quais o investidor ou o mutuário, por exemplo, faz depósitos ou pagamentos durante vários meses para chegar-se a um montante. Tipos de Séries de Pagamentos As séries de pagamentos dividem-se, basicamente, em dois tipos de séries: A Série Antecipada e a Série Postecipada, vejamos a seguir:

4 Séries de Pagamentos Série de Pagamentos Postecipada: é aquela na qual não há um depósito inicial, não existe uma entrada, no caso de empréstimos ou financiamentos, apresenta o seguinte comportamento demonstrado no fluxo abaixo: C M Parcelas (P)

5 Séries de Pagamentos Série de Pagamentos Antecipada: é aquela na qual existe um depósito inicial ou um pagamento a título de entrada. Cuidado, nem todas as operações que possuem entrada são séries de pagamentos antecipada. É necessário para ser caracterizada como série de pagamentos antecipada, que o valor da entrada seja o mesmo valor das demais prestações, vejamos o fluxo abaixo: C M Parcelas (P)

6 Matemática Financeira SAF Sistema de Amortização Francês Tabela Price Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline

7 Sistema de Amortização Francês - SAF TABELA PRICE Características As parcelas são constantes Juros decrescentes Amortizações crescentes Saldo devedor decrescente Onde: P= Valor da prestação C = Valor do Capital (Entrada, aplicação inicial) M = Valor do Montante i = Taxa de juros; t = Prazo. A prestação de uma série de pagamento é composta de duas partes, Juros e Amortização, ou seja, Prestação = Juros + Amortização

8 Sistema de Amortização Francês - SAF TABELA PRICE Série Postecipada ( 1 + i ) t x i P = C x ( 1 + i ) t - 1 Cálculo da prestação usando-se o Capital i P = M x ( 1 + i ) t - 1 Cálculo da prestação usando-se o Montante

9 Sistema de Amortização Francês - SAF TABELA PRICE Série Antecipada ( 1 + i ) t x i 1 P = C x x ( 1 + i ) t 1 (1 + i ) Cálculo da prestação usando-se o Capital i 1 P = M x x ( 1 + i ) t 1 ( 1 + i ) Cálculo da prestação usando-se o Montante

10 Sistema de Amortização Francês - SAF Vamos ver um exemplo de como construir uma tabela de amortização de um sistema francês (tabela price). Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ ,00 para pagar em 5 prestações mensais iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 dias após a data da contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10% ao mês, calcule o valor da prestação e os juros e cota de amortização de cada mês. Como a primeira prestação vence 1 mês após a data da contratação do empréstimo, estamos diante de uma série postecipada Dados: C = ,00 t = 5 meses i=10% ao mês P =??? Aplicando a formula temos:

11 Sistema de Amortização Francês - SAF Aplicando a formula temos: ( 1 + i ) t x i P = C x ( 1 + i ) t - 1 ( 1 + 0,10 ) 5 x 0,10 P = x ( 1 + 0,10 ) 5-1 1,61 x 0,10 P = x ,61-1 0,16105 P = x ,61 P = x 0,26402 P = 2.640,18

12 Sistema de Amortização Francês - SAF Agora vamos preencher a tabela de amortização com os dados que já conhecemos Toda informação que temos até agora é que o empréstimo será liquidado em 5 parcelas consecutivas de R$ 2.640,18 (valor encontrado acima). Para completar a tabela temos que ter os seguintes conceitos definidos: Os juros da parcela n é cobrado sobre o saldo devedor após o pagamento da parcela (n - 1), ou seja, o juros da 2ª parcela é cobrado sobre o saldo devedor após o pagamento da primeira parcela e assim sucessivamente. O valor da prestação é os juros somado com a amortização, podemos também concluir que a amortização é igual a prestação menos os juros. Somente a amortização reduz o saldo devedor, os juros não impactam no saldo devedor do empréstimo.

13 Sistema de Amortização Francês - SAF Agora vamos calcular os juros da 1ª parcela: (considerando uma taxa de juros de 10% = 0,10) J1 = i x SD0 J1 = 0,10 x J1 = 1.000,00 Podemos calcular a amortização da primeira parcela como a diferença entre a prestação e os juros: A1 = P J1 A1 = 2.640, ,00 A1 = 1.640,80 O novo saldo devedor será dado por: SD1 = SD0 A1 SD1 = , ,80 SD1 = 8.359,20

14 Sistema de Amortização Francês - SAF Agora vamos calcular os juros da 1ª parcela: (considerando uma taxa de juros de 10% = 0,10) J1 = i x SD0 J1 = 0,10 x J1 = 1.000,00 Podemos calcular a amortização da primeira parcela como a diferença entre a prestação e os juros: A1 = P J1 A1 = 2.640, ,00 A1 = 1.640,80 O novo saldo devedor será dado por: SD1 = SD0 A1 SD1 = , ,80 SD1 = 8.359,20

15 Sistema de Amortização Francês - SAF Agora vamos repetir os mesmos procedimentos para completar a linha 2 J2 = i x SD1 J2 = 0,10 x 8.359,20 J2 = 835,92 Amortização A2 = P J2 A2 = 2640,80 835,92 A2 = 1.804,88 O novo saldo devedor será dado por: SD2 = SD1 A2 SD2 = 8.359, ,88 SD2 = 6.554,32

16 Sistema de Amortização Francês - SAF Agora é só repetir os mesmos procedimentos para as próximas 3 linhas e encontrar os respectivos valores. J3 = i x SD2 J3 = 0,10 x 6.554,32 J2 = 655,43 A3 = P J2 A2 = 2640,80 655,43 A3 = 1.984,75 SD3 = SD2 A3 SD3 = 6.554, ,75 SD2 = 4.569,57

17 Sistema de Amortização Francês - SAF Nesse exemplo procritérios de arredondamento restou uma diferença, o correto é que o saldo final seja igual a zero. O mais importante, nesse exemplo é entendermos os seguinte conceitos: 1. A prestação é sempre constante; 2. Os valores pagos de juros são decrescentes 3. Os valores de amortização são crescentes 4. Prestação é igual a juros + amortização 5. Os juros são calculados multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor do período anterior 6. Apenas a amortização reduz o saldo devedor

18 Sistema de Amortização Francês - SAF Nesse exemplo procritérios de arredondamento restou uma diferença, o correto é que o saldo final seja igual a zero. O mais importante, nesse exemplo é entendermos os seguinte conceitos: 1. A prestação é sempre constante; 2. Os valores pagos de juros são decrescentes 3. Os valores de amortização são crescentes 4. Prestação é igual a juros + amortização 5. Os juros são calculados multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor do período anterior 6. Apenas a amortização reduz o saldo devedor

19 Sistema de Amortização Francês - SAF Exercícios: 1) Qual o valor das prestações mensais que deverão ser pagas a um empréstimo no valor de R$ 2.500,00 contratados a uma taxa de 10% ao mês em 3 vezes? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 1.005,28) 2) Qual o valor das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$ ,00 contratado para ser liquidado em 3 prestações mensais, a uma taxa de juros de 10% a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 4.021,10) 3) Um cliente financiou uma motocicleta no valor de R$ ,00 com uma entrada e mais 2 parcelas, sendo a primeira a vencer 30 dias após a compra. Sabendo que o banco responsável pelo financiamento cobra uma taxa de juros de 10% ao mês, qual o valor da prestação? (Prestação: 3.655,54) 4) Qual o valor das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$ ,00 contratado para ser liquidado em 12 prestações mensais, a uma taxa de juros de 1,2% a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 8.997,54)

20 Sistema de Amortização Francês - SAF Exercícios: 1) Qual o valor das prestações mensais que deverão ser pagas a um empréstimo no valor de R$ 2.500,00 contratados a uma taxa de 10% ao mês em 3 vezes? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 1.005,28)

21 Sistema de Amortização Francês - SAF Exercícios: 2) Qual o valor das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$ ,00 contratado para ser liquidado em 3 prestações mensais, a uma taxa de juros de 10% a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 4.021,10)

22 Sistema de Amortização Francês - SAF Exercícios: 3) Um cliente financiou uma motocicleta no valor de R$ ,00 com uma entrada e mais 2 parcelas, sendo a primeira a vencer 30 dias após a compra. Sabendo que o banco responsável pelo financiamento cobra uma taxa de juros de 10% ao mês, qual o valor da prestação? (Prestação: 3.655,54)

23 Sistema de Amortização Francês - SAF Exercícios: 4) Qual o valor das parcelas pagas por um empréstimo no valor de R$ ,00 contratado para ser liquidado em 12 prestações mensais, a uma taxa de juros de 1,2% a.m, sendo que a primeira parcela vencerá após 30 dias a data da compra? Construa a tabela mês a mês. (Prestação: 8.997,54)

24 Matemática Financeira SAC Sistema de Amortização Constante Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline

25 Sistema de Amortização Constate - SAC A principal diferença do SAF em relação ao SAC é o fato que no SAC as prestações não são constantes, no SAC as prestações são decrescentes. Na maioria dos financiamentos bancários utilizamos o Sistema de Amortização Francês (tabela Price) Porém os bancos adotam o sistema de amortização conhecido como SAC nos financiamentos habitacionais. Este sistema substituiu o SAF pelo fato da tabela Price cometer anatocismo (cobrança de juros sobre juros).

26 Sistema de Amortização Constate - SAC Características Amortizações são constantes Juros decrescentes Parcelas decrescentes Saldo devedor decrescente Onde: P= Valor da prestação C = Valor do Capital (Entrada, aplicação inicial) M = Valor do Montante i = Taxa de juros; t = Prazo. SD= Saldo devedor A = Amortização

27 Sistema de Amortização Constate - SAC Fórmulas C A = t Amortização P = A + J Prestação J1 = SD0 x i Juros

28 Sistema de Amortização Constate - SAC Vamos usar o mesmo exemplo citado no capitulo anterior, trocando o Sistema de Amortização Francês pelo SAC. Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ ,00 para pagar em 5 prestações mensais iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 dias após a data da contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10% ao mês, calcule o valor da prestação e os juros e cota de amortização de cada mês considerando que o banco utiliza o Sistema de Amortização Constante. Passo 1: Como o valor emprestado é de ,00 para ser liquidado em 5 prestações, podemos calcular o valor da cota de amortização mensal.

29 Sistema de Amortização Constate - SAC Vamos usar o mesmo exemplo citado no capitulo anterior, trocando o Sistema de Amortização Francês pelo SAC. Um cliente solicitou um empréstimo no valor de R$ ,00 para pagar em 5 prestações mensais iguais e consecutivas, sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 dias após a data da contratação. Sabendo que a taxa de juros cobrada pela financeira é de 10% ao mês, calcule o valor da prestação e os juros e cota de amortização de cada mês considerando que o banco utiliza o Sistema de Amortização Constante. Passo 1: Como o valor emprestado é de ,00 para ser liquidado em 5 prestações, podemos calcular o valor da cota de amortização mensal. C A = t A = =

30 Sistema de Amortização Constate - SAC Como sabemos que o Saldo Devedor é descontado apenas da amortização, podemos calcular o saldo devedor após o pagamento de cada parcela: Podemos também calcular o valor dos juros cobrados na primeira parcela: Para calcularmos o valor da primeira parcelas, temos:

31 Sistema de Amortização Constate - SAC Como sabemos que o Saldo Devedor é descontado apenas da amortização, podemos calcular o saldo devedor após o pagamento de cada parcela: 1ª parcela: , ,00 = 8.000,00 2ª parcela: 8.000, ,00 = 6.000,00 3ª parcela: 6.000, ,00 = 4.000,00 4ª parcela: 4.000, ,00 = 2.000,00 5ª parcela: 2.000, ,00 = 0,00 Podemos também calcular o valor dos juros cobrados na primeira parcela: J1 = SD0 x i J1 = x 0,10 J1 = Para calcularmos o valor da primeira parcelas, temos: P = A + J P = = 3.000

32 Sistema de Amortização Constate - SAC Mantendo-se a mesma linha de reciocínio, tem-se: Logo, na parcela, assim teremos:

33 Sistema de Amortização Constate - SAC Mantendo-se a mesma linha de reciocínio, tem-se: J2 = x 0,10 = 800 J3 = x 0,10 = 600 J4 = x 0,10 = 400 J5 = x 0,10 = 200 Logo, na parcela, assim teremos: P2 = = P3 = = P4 = = P5 = = 2.200

34 Sistema de Amortização Constate - SAC Assim vamos construir a tabela de amortização

35 Sistema de Amortização Constate - SAC Exemplo: Uma família financiou 100% de um imóvel no valor de R$ ,00 para pagamento em 20 anos com prestações mensais contratadas a ser amortizado pelo sistema de amortização constante - SAC. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 1% ao mês calcule: a) O valor da a ser amortizado mensalmente: b) O valor da primeira prestação: c) O valor da parcela número 51: a) A = C/t = / 240 = 250 b) P1 = A + J J1 = SD0 x i P1 = A + (SD0 x i) P1 = ( x 0,01) P1 = = 850

36 Sistema de Amortização Constate - SAC Exemplo: c) P51 = A + J J51 = SD50 x i P51 = A + (SD50 x i) P51 = A + (( SD0 - ( n x A)) x 0,01) P51 = (( ( 50 x 250)) x 0,01) P51 = (( ( )) x 0,01) P51 = (( ) x 0,01 ) P51 = ( x 0,01 ) P51 = P51 = 725

37 Sistema de Amortização Constate - SAC Exercícios: 1) Um empréstimo de R$ 1.000,00, à taxa de 10% a.a., será pago em 5 prestações anuais. O valor da primeira prestação, a pagar pelo Sistema de Amortização Constante, e o saldo devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de : 2) Uma pessoa deve pagar um financiamento de R$ 1.000,00 em dez prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com a primeira prestação sendo devida um mês após o financiamento. A taxa de juros compostos usada é de 1% a.m. O valor, em reais, da primeira prestação é de: 3) Um casa que pretende casar daqui a dois anos comprou o imóvel no qual formarão o seu lar, uma tradicional constituição de família de classe média brasileira dá-se em condições de difícil situação financeira, para tanto a compra desse imóvel foi financiada pela Caixa Econômica Federal pelo sistema SAC nas seguintes condições: Valor financiado de ,00, juros de 6% a.a., pelo prazo de 360 meses. Pede-se: 1) Qual o valor a ser amortizado na parcela de número 120? 2) Qual o valor de juros a ser pago na parcela de número 180? 3) Qual o saldo devedor após o pagamento de 240 parcelas? 4) Para a parcela de 360 calcular: amortização, juros e parcela. 5) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número 360?

38 Sistema de Amortização Constate - SAC Exercícios: 1) Um empréstimo de R$ 1.000,00, à taxa de 10% a.a., será pago em 5 prestações anuais. O valor da primeira prestação, a pagar pelo Sistema de Amortização Constante, e o saldo devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de : Dados: Capital = Taxa: 10% a.a. Prazo = 5 anuais

39 Sistema de Amortização Constate - SAC Exercícios: 2) Uma pessoa deve pagar um financiamento de R$ 1.000,00 em dez prestações calculadas pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com a primeira prestação sendo devida um mês após o financiamento. A taxa de juros usada é de 1% a.m. O valor, em reais, da primeira prestação é de: Dados: C = Taxa = 1%a.m. Prazo = 10 meses

40 Sistema de Amortização Constate - SAC Exercícios: 3) Um casa que pretende casar daqui a dois anos comprou o imóvel no qual formarão o seu lar, uma tradicional constituição de família de classe média brasileira dá-se em condições de difícil situação financeira, para tanto a compra desse imóvel foi financiada pela Caixa Econômica Federal pelo sistema SAC nas seguintes condições: Valor financiado de ,00, juros de 6% a.a., pelo prazo de 360 meses. Pede-se: 1) Qual o valor a ser amortizado na parcela de número 120? 2) Qual o valor de juros a ser pago na parcela de número 180? 3) Qual o saldo devedor após o pagamento de 240 parcelas? 4) Para a parcela de 360 calcular: amortização, juros e parcela. 5) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número 360?