É uma sucessão de pagamentos e recebimentos em dinheiro previstos para uma determinada data ou período.

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1 Matemática Financeira Séries de Pagamentos

2 Noções de Fluxo de Caixa É uma sucessão de pagamentos e recebimentos em dinheiro previstos para uma determinada data ou período. O fluxo de caixa é representado por um gráfico que indica o recebimento com uma seta para cima e o pagamento com uma seta para baixo. 2

3 Exemplo de fluxo de caixa Um banco concede um empréstimo de $40.000,00 a um cliente, para pagamento em seis parcelas iguais de $9.000,00. Representar o fluxo de caixa (a) do ponto de vista do banco e (b) do ponto de vista do cliente. 3

4 Solução: Ponto de vista do Banco ,00 4

5 Solução: Ponto de vista do Cliente ,

6 Tipos de Séries de Pagamentos 1. Série de pagamentos iguais com termos vencidos(postecipadas); 2. Série de pagamentos iguais com termos antecipados; 3. Série de pagamentos variáveis com termos vencidos; 4. Série de pagamentos variáveis com termos antecipados. 6

7 Observações 1. A diferença de prazo entre dois termos consecutivos é sempre constante; 2. O número de termos é finito (quando o número de termos é infinito trata-se de rendas perpétuas que não será tratado neste tópico). 3. Os cálculos são baseados no sistema de capitalização composta(juros compostos). 7

8 Aplicações das séries de pagamentos Financiamento de veículos e imóveis Investimento em poupança, fundos, etc Compras com pagamento parcelado Empréstimos 8

9 Exemplo 1 9

10 Exemplo 2 10

11 Tipos de cálculos que podemos efetuar Montante acumulado após uma série de aplicações; O valor de cada termo para formar um montante desejado; Valor presente de uma série de pagamentos; Número de termos para formar um montante com taxa e prestações conhecidas; Taxadejurosdeumasériedepagamentos. 11

12 Montante de uma série de pagamentos vencidos VF R R R R R R 12

13 Cálculo do montante de uma série de pagamentos vencidos VF = R ( i) n 1+ 1 i R = valor de cada parcela i = taxa de juros n = número de parcelas 13

14 Exemplo 1 Determinar o valor do montante, no final do 5º mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $1000,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base, e que a última, no final do 5º mês, é coincidente com omomentoemqueépedidoomontante. 14

15 Solução do exemplo 1: fluxo de caixa VF=?

16 Continuação da solução VF = R ( ) n 1+ i 1 ( 1+ 0,04) i 1 =1000 = 0, ,32 16

17 Exercícios 01. Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $ 1.000,00 por mês,àtaxade3%a.m.? $ 8.892, Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses,emum FundodeRendaFixa,àtaxa de 5% a.b., durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final desse prazo, um montante de $ ,00? $ 4.899,32 17

18 Cálculo do VP para série de pagamentos constantes postecipados E se no exemplo anterior, ao invés do Valor Futuro (VF) pedíssemos o Valor Presente (VP)? Como encontrar VP? 18

19 Fluxo de caixa para VP VP=?

20 Mais uma Fórmula!!! Sabemos que VF = VP (1+i) n. Sabemos também que VF = R ( + i ) 1 i n 11 i Assim VP(1+ i) R ( 1+ i) n n 1 = i 20

21 Portanto: ( 1+ i ) n 1+ i 1 VP = R i(1+ i) n 21

22 E em nosso exemplo: VP ( ) n 1 1 ( 1 0,04) 5 + i + = 1000 i( 1+ i) n 0,041 ( + 0,04) = R n 1 5 =???? $ 4.451,82 22

23 Exercícios 03. Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de $ 3.500,00 cada uma, considerando uma taxa de 5% a.m. $ , Um empréstimo de $30.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxadejurosé3,5%a.m.,calcularovalorda prestação. $ 3.104,52 23

24 Matemática Financeira Série de Pagamentos Antecipados 24

25 Cálculo do Valor Futuro Série de pagamentos antecipados Termos vencidos (postecipados) VF=? Termos antecipados VF=?

26 Cada um dos termos é aplicado em um período a maisdo que na série de termos vencidos ( ) ( 1+ i) VF= R1+ i antecipados: Valor futuro da série de termos antecipados: i n 1 Valor Presente da série de pagamentos antecipados: VP= ( ) ( ) n 1+ i R1+ i i( 1+ i) n 1 26

27 Exercício 5 UmadonadecasacompraumaTVem 24 prestações de $630,64, sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de mercadoéde4%a.m.,qualovalorda TVàvista? $ ,00 27

28 Exercício 6 Determinar o montante ao final do 5º mês de uma série de 5 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $1.000,00 à taxa de 1% a.m., de forma antecipada. 28

29 Exercício 7 Um empréstimo de $ 4.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais, consecutivas e antecipadas. Sabendo-se que ataxadejuroséde2,7%a.m.determine: a) O gráfico de fluxo de caixa do ponto de vista de quem contraiu o empréstimo; b) Ovalordaprestação. $ 384,31 29

30 Matemática Financeira Exercícios Extras Série de Pagamentos 30

31 Exercício 8 Um veículo é financiado para pagamento em 36 parcelas mensais, à taxa de 4,5% ao mês.sabendo-se que o valor financiado foi de $ ,00, calcular o valor das prestações: a) de acordo com o conceito de termos vencidos; $ ,42 b) de acordo com o conceito de termos antecipados. $ ,21 31

32 Exercício 9 Qualéovalordeumempréstimoque pode ser liquidado em 10 prestações mensais (vencidas), à taxa de 3,5% ao mês, sendo as quatro primeiras prestações de $3.000,00 e as 6 últimas de $4.500,00? 32

33 Solução 3.000, , V p =11.019,24 V p4 =23.978,49 V p =20.895,87 VP VP = R ( ) n 1+ i ( i) n 1+. i 1 $ ,10 33