AULA 1 Juros 3. AULA 2 Descontos 7. AULA 3 Equivalência de capitais 11. AULA 4 Taxas de juros 13. AULA 5 Rendas certas ou anuidades 15

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1 Matemática Financeira 1

2 Índice AULA 1 Juros 3 AULA 2 Descontos 7 AULA 3 Equivalência de capitais 11 AULA 4 Taxas de juros 13 AULA 5 Rendas certas ou anuidades 15 AULA 6 Amortizações 18 Matemática Financeira 2

3 Juros AULA 1 A operação básica da matemática financeira é o empréstimo. Alguém dispõe de um valor C (chamado de capital inicial) e empresta esse capital a outro alguém por um certo período de tempo e, após esse período, recebe o seu capital inicial de volta acrescido de uma remuneração pelo empréstimo, essa remuneração é chamada de juro, indicado pela letra J. O capital inicial somado ao juro é chamado de montante, representado pela letra M, assim, M = C + J. A razão entre o juro e o capital inicial é a taxa de juros, indicada pela letra i, logo, i = J C. Considere uma pessoa que tomou um empréstimo de R$ 100,00 e após 2 meses devolveu R$ 140,00. Os juros pagos por essa pessoa são de R$ 40,00 e a taxa de juros é de = 0,4 = 40% ao bimestre. O capital inicial, que é a dívida inicial, é R$ 100,00 e o montante, que é a dívida na época de pagamento, é de R$ 140,00. Quando o empréstimo é feito para ser pago em mais de um período de tempo, o juro é calculado a cada período e existem duas possibilidades para isso, os juros simples e os juros compostos. Juros simples O juro simples é aquele que só existe nos exercícios de matemática, não existe no mundo real. Ocorre quando a taxa de juros incide a cada período sempre sobre o capital inicial, dessa maneira, o juro de cada período é igual, e o juro total é o juro de um período multiplicado pela quantidade de períodos, logo: J = Cit onde C é o capital inicial, i é a taxa de juros em razão centezimal ou índice e t é o tempo, que deve estar na mesma unidade que a taxa de juros, ou seja, se a taxa for mensal, o tempo deve estar em meses, se a taxa for bimestral, o tempo deverá estar em bimestres, e assim por diante. Caso seja necessário fazer alguma conversão, converta sempre tempo e não a taxa. Para conversões de tempo aqui na matemática financeira, 1 ano corresponde a 12 meses, 1 mês corresponde a 30 dias e 1 ano tem 360 dias. Bimestre, trimestre, quadrimestre e semestre, correspondem, respectivamente, a 2, 3, 4 r 6 meses. Exemplo 1: Um empréstimo de R$ 100,00 a uma taxa de juros simples de 10% ao mês, irá gerar qual montante após 1 ano? A cada mês, será calculado 10% sobre 100 reais que é o capital inicial, gerando 10 reais de juros por mês, que em 12 meses gera um juro total de 120 reais. Com a fórmula: J = Cit J = 100 0,1 12 J = 120 reais Como a questão pede o montante após 1 ano, temos: M = C + J M = M = 220 reais Juros compostos Os juros compostos são aqueles que de fato existem no mundo real, quando não se diz qual é o juro em questão, trata-se dele. É quando o cálculo dos juros em cada período é feito sobre o valor da dívida naquele momento e não sempre sobre o valor inicial da dívida como nos juros simples. Por exemplo, vejamos o que acontece num empréstimo de R$ 100,00 que será pago em 3 meses a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. No 1º mês, o juro será de 10% sobre 100 que é a dívida inicial, o que resulta 10, ficando o montante em 110. Já no 2º mês, o juro de 10% não será sobre 100, e sim sobre o 110, o montante nesse período, ou seja, a dívida no momento, resultando 11 de juro passando o montante a 121. E no 3º mês, teremos 10% sobre 121, que é 12,1 ficando o montante em R$ 133,1; que é o valor final da dívida. Para trabalhar com juros compostos de taxa i, temos uma fórmula que nos fornece como um capital inicial (C) transforma-se em um montante (M) após t períodos de tempo. A fórmula é a seguinte: M = C(1 + i) t onde a taxa de porcentagem i deve estar em índice e o tempo precisa estar na mesma unidade da taxa de juros. Da mesma maneira que no juro simples, caso seja necessário fazer alguma conversão, converta sempre o tempo para ficar na unidade da taxa de juros, é mais fácil, pois converter taxas não é tão simples, veremos isso em uma aula mais a frente. Matemática Financeira 3

4 Exemplo 2: Pedro investe 150 reais a juros de 10% ao mês. Qual será o montante de Pedro um trimestre depois? M = C(1 + i) t M = 150(1 + 0,1) 3 M = 150(1,1) 3 M = 150 1,331 M = 199,65 reais EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 - (Unimontes-MG) Um investidor aplicou a quantia de R$ 5.000,00 em um fundo de investimento que opera no regime de juros simples. Após 12 meses, esse investidor verificou que o montante era de R$ 6500,00. Qual é a taxa de juros desse fundo de investimento? a) 0,025% ao mês b) 2,5% ao mês c) 2,4% ao mês d) 0,24% ao mês 2 - (SEFAZ-MT - FGV) O número de meses necessários para que um investimento feito na poupança triplique de valor (assumindo que esta remunere à taxa de 6% ao ano, no regime de juros simples) é de a) 34 b) 200 c) 333 d) 400 e) (FGV) A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros composto de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) n.r.a. 4 - Determine em aproximadamente quanto tempo um capital triplica, no regime de capitalização composta à uma taxa de 20% a.m. (considere log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48) EXERCÍCIOS 1 (ESPM 2015) Um capital, aplicado à taxa de juros simples de 5% ao mês, vai triplicar o seu valor em: a) 3 anos e 6 meses b) 3 anos e 8 meses c) 3 anos d) 3 anos e 2 meses e) 3 anos e 4 meses 2 - (Banco do Brasil - FCC) Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ ,00 estará disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação? a) 4 meses b) 3 meses e 20 dias c) 3 meses e 10 dias d) 3 meses e) 2 meses e 20 dias 3 - (Petrobrás Cesgranrio ) As operadoras de cartões de crédito, em geral, cobram 12% ao mês por atrasos no pagamento. No caso de atra- sos superiores a 1 mês, o sistema utilizado é o de juros compostos e, no caso de atrasos inferiores a 1 mês, utiliza-se o sistema de juros simples. O vencimento da fatura de um cliente é no dia 5, mas ele só receberá o pagamento de seu salário no dia 15 do mesmo mês, quando, então, fará o pagamento da fatura com atraso de 10 dias. Se a fatura desse cliente é de R$ 900,00, quanto ele pagará, em reais, de juros? a) 108 b) 72 c) 36 d) 18 e) 12 Matemática Financeira 4

5 4 - (TRT - FCC) Na compra de um par de sapatos, Lucimara pode optar por duas formas de pagamento: à vista, por R$ 225,00 ou R$ 125,00 no ato da compra mais uma parcela de R$ 125,00, um mês após a compra. Se Lucimara optar por fazer o pagamento parcelado, a taxa mensal de juros simples cobrada nesse financiamento é de a) 10% b) 20% c) 25% d) 27% e) 30% 5 - (Petrobrás - Cesgranrio) Um equipamento pode ser adquirido com o pagamento de uma entrada de 30% do valor à vista e mais uma prestação de R$ 1.386,00 para 60 dias. Se a taxa de juros simples cobrada no financiamento é de 5% ao mês, o valor à vista, em reais, é a) 1800 b) 2000 c) 2100 d) 2200 e) (TCE-PR - FCC) Um capital no valor de R$ ,00 é aplicado durante 8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% ao ano. No final do período, o montante é resgatado e aplicado a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de 5% ao semestre. A soma dos juros das duas aplicações é igual a a) R$ 4.012,30 b) R$ 4.026,40 c) R$ 4.176,00 d) R$ 4.226,40 e) R$ 5.417, (FGV) Uma pessoa deposita R$ ,00 na caderneta de poupança. Trimestralmente, são creditados juros de 10% sobre o saldo. Se não houver retirada intermediária, quanto ela receberá de juros após 1 ano? 6 - (TRT FCC) Dois capitais, apresentando uma soma igual a R$ ,00, são aplicados sob o regime de capitalização simples. O primeiro capital é aplicado, durante 9 meses, a uma taxa de 12,0% ao ano. O segundo capital é aplicado, durante 10 meses, a uma taxa de 14,4% ao ano. Se, no final dos respectivos prazos de aplicação, o valor do montante da segunda aplicação supera o valor do montante da primeira aplicação em R$ ,00, então a soma dos valores dos juros correspondentes das duas aplicações é, em reais, igual a 9 - (TRE-PR - FCC) Um capital é aplicado a juros compostos, durante um ano, com uma taxa de 4% ao semestre. O valor dos juros desta aplicação foi igual a R$ 1.020,00. Caso este capital tivesse sido aplicado a juros compostos, durante dois anos, com uma taxa de 10% ao ano, então o montante no final deste período apresentaria um valor igual a a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 a) 4350 b) 4500 c) 3650 d) 3400 e) (CAIXA) O montante gerado por uma instituição financeira, em uma aplicação no regime de juros compostos, é R$ 5.000,00, em 10 meses, ou R$ 5.202,00, em 1 ano. Se a taxa de juros é constante, o valor aplicado é, em reais, de, aproximadamente a) b) c) d) e) Matemática Financeira 5

6 GABARITO 1-e) 2-c) 3-c) 4-c) 5-a) 6-a) 7-d) 8) R$ ,00 9-a) 10-e) ANOTAÇÕES Matemática Financeira 6

7 Descontos AULA 2 O desconto é uma compensação recebida por alguém que antecipa o pagamento de uma dívida. Aqui nos descontos, trabalharemos com alguns conceitos novos. O valor da dívida na data de vencimento chama-se valor nominal ou valor de face (N), o valor pago com antecipação é o valor atual (A), temos ainda a taxa de juros aplicada na operação de desconto (i) e o período de antecipação do pagamento (t), que corresponde ao intervalo de tempo que vai da data do pagamento antecipado até a data do vencimento. Existem basicamente dois tipos de desconto, o desconto racional (por dentro), e o desconto comercial ou bancário (por fora), ambos podem ser aplicados em juros simples (desconto simples) ou juros compostos (desconto composto). Desconto racional (por dentro) Nos juros, vimos como um capital inicial se transforma em um montante, ou seja, levamos um valor do presente para o futuro. No desconto racional, a diferença é que vamos fazer o inverso, traremos um valor de uma data futura encontrando o valor correspondente em uma data atual. Desconto racional simples É o desconto racional que ocorre no regime de juros simples. Na aula de juros, vimos que um capital inicial C aplicado a uma taxa de juros simples, gera um juro J = Cit. Somando esse juro ao capital inicial encontramos o montante: M = C + J M = C + C i t M = C(1 + it) Ou seja, em juros simples, para obter o valor futuro (montante), basta multiplicar o valor atual ou presente (capital inicial) por (1 + it). Já se quisermos o valor presente dado um valor futuro, temos que dividir o valor futuro por (1 + it). Basta isolar o C da equação: M = C(1 + it) C = M (1 + it) Dessa maneira, chegamos na fórmula que fornece o valor atual de uma dívida em certa data, dado seu valor nominal, sua data de vencimento e a taxa de juros simples: A r = N (1 + it) Já o desconto, corresponde ao valor nominal menos o valor atual: D = N A Podemos escrever então: D = N D = D = N (1 + it) N(1 + it) N (1 + it) N[(1 + it) 1] (1 + it) D r = Nit (1 + it) Assim, o desconto racional simples pode ser encontrado mesmo sem o valor atual. Exemplo 1: Um título de valor nominal R$ ,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento à taxa de juros simples de 2% a.m.. Qual o desconto racional concedido? D r = Nit (1 + it) D r = ,02 2 (1 + 0,02 2) D r = ,04 D r = 23706,92 O desconto racional foi de R$ ,92. Desconto racional composto No desconto racional composto, a ideia é a mesma do desconto racional simples, a diferença é que agora tudo acontece no regime de juros compostos. Matemática Financeira 7

8 No juro composto, temos M = C(1 + i) t, significa que agora, para obter o valor fututo, multiplica-se o atual por (1 + i) t. E para obter o valor atual basta dividir o valor futuro por (1 + i) t, observe: M = C(1 + i) t C = M (1 + i) t Logo, no desconto racional composto, o valor atual é dado por: E o desconto ficará: Exemplo 2: N A r = (1 + i) t D = N A N D r = N (1 + i) t Um título de valor nominal igual a R$ ,00 é resgatado 2 meses antes de seu vencimento, segundo o critério do desconto racional composto. Sabendo que a taxa de juros é 5 % a.m., qual o valor atual do título e o desconto obtido nessa operação? N A r = (1 + i) t O desconto é A r = (1,05) 2 A r = ,1025 A r = 9070,29 reais D = N A D = ,29 D = 929,70 reais Desconto comercial (por fora) O desconto comercial ou bancário ou ainda por fora, é o desconto aplicado sobre o valor nominal da dívida. Da mesma maneira que o desconto racional, pode ser simples ou composto. Desconto comercial simples A cada período de antecipação será calculado o desconto sobre o valor nominal, assim, o desconto de cada período é igual, e o desconto total é dado por: D c = Nit O valor atual corresponde ao valor nominal menos o desconto: Exemplo 3: A = N D A c = N Nit A c = N(1 it) (Banco do Brasil FCC) Uma duplicata foi descontada em R$ 700,00 pelos 120 dias de antecipação. Se foi usada uma operação de desconto comercial simples, com a utilização de uma taxa anual de desconto de 20%, o valor atual do título era de: a) R$ 7.600,00 b) R$ 8.200,00 c) R$ 9.800,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Para encontrar o valor atual precisamos do nominal: Logo: Gabarito: C. D c = Nit 700 = N 0, = 0,2N N = ,2 N = A = A = 9800 Desconto comercial composto No desconto comercial composto, os descontos são sucessivos a cada período de antecipação, e não sempre sobre o valor nominal como no desconto comercial simples. Matemática Financeira 8

9 O valor atual é dado por: A c = N(1 i) t Sabemos que D = N A, então podemos ter ainda o valor do desconto como: Exemplo 4: D c = N N(1 i) t Um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00 é resgatado 2 meses antes do vencimento, segundo o critério do desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% a.m, qual o valor atual e o valor do desconto? Valor atual: A r = N(1 i) t A r = 5000(1 0,03) 2 A r = 5000(0,97) 2 A r = ,9409 A r = 4704,5 reais Desconto: D = N A D = ,5 D = 295,5 reais EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 - (Caixa - Cespe) Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9% EXERCÍCIOS 1 - (Banco do Brasil) Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3 meses para seu vencimento, é descontado em um banco que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto simples por fora, de 5% ao mês. O valor presente do título, em reais, é a) 860 b) 850 c) 840 d) 830 e) (Banco do Brasil - FCC) Um título de valor nominal igual a R$ ,00 foi descontado por uma empresa 40 dias antes de seu vencimento, segundo a operação de desconto comercial simples, à taxa de desconto de 3% ao mês. Considerando a convenção do ano comercial, a empresa recebeu, no ato da operação, a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (Banco do Brasil FCC) Uma duplicata no valor de R$ 6.900,00 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento. Considerando que a taxa anual de desconto comercial simples foi de 48%, então, se o valor atual dessa duplicata era X reais, é correto afirmar que a) X b) < X c) < X d) < X e) X > (Banco do Brasil - Cespe) Uma dívida, contraída à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deverá ser paga em 12 meses. No vencimento, o valor total a ser pago é de R$ ,00, no entanto, o devedor quer quitá-la dois meses antes do prazo. Nessa situação, de acordo apenas com as regras de matemática financeira, o credor deverá conceder ao devedor um desconto superior a R$ 2.000,00. ( ) Certo ( ) Errado 4 - (Receita Federal - ESAF) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ ,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Matemática Financeira 9

10 5 - Um título de valor nominal igual a R$ ,00 é descontado 75 dias antes de seu vencimento e seu valor atual é igual a R$ ,00. Sabe-se que a operação foi a de desconto comercial simples e utilizou-se a convenção do mês comercial. A taxa anual de desconto desta operação foi de a) 14,4% b) 15,6% c) 16,8% d) 18,0% e) 19,2% 9 - (Caixa - Cesgranrio) Um título de valor nominal R$ ,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D - d, em reais, vale a) 399,00 b) 398,00 c) 397,00 d) 396,00 e) 395,00 (M) (t) 6 - (Caixa - Cespe) Se, ao descontar uma promissória com valor de face de R$ 5.000,00, seu detentor receber o valor de R$ 4.200,00, e se o prazo dessa operação for de 2 meses, então a taxa mensal de desconto simples por fora será igual a a) 5% b) 6% c) 7% d) 8% e) 9% 10 - Uma duplicata de valor nominal de R$ ,00 foi resgatada 3 meses antes do seu vencimento, pelo regime de desconto comercial composto. Tendo sido contratada à taxa de 10% ao mês, qual é valor atual do título na época do resgate e qual foi o desconto comercial composto concedido? 7 - (TCDF) Uma empresa estabelece um contrato de leasing para o arrendamento de um equipamento e recebe como pagamento uma promissória no valor nominal de R$ 1.166,40, descontada dois meses antes de seu vencimento, à taxa de 8% a.m. Admitindose que foi utilizado o sistema de capitalização composta, o valor do desconto racional será de: a) R$ 194,09 b) R$ 186,62 c) R$ 166,40 d) R$ 116,64 GABARITO 1-b) 2-a) 3-e) 4-b) 5-a) 6-d) 7-c) 8-e) 9-b) 10) A = R$ 7.290,00 e D = R$ 2.710, (ANP - Cesgranrio) A Empresa Vista Linda Ltda. descontou no Banco da Praça S/A uma duplicata no valor de R$ ,00 com 120 dias de prazo, a uma taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Com base nos dados acima e considerando o ano comercial, nos cálculos, o valor líquido creditado pelo Banco na conta corrente da empresa, em reais, foi ANOTAÇÕES a) ,08 b) ,88 c) ,61 d) ,12 e) ,21 Matemática Financeira 10

11 AULA 3 Equivalência de capitais No fundo sempre trabalhamos com o mesmo problema na matemática financeira: deslocar quantias no tempo. Já vimos como fazer isso nos juros e nos descontos racionais, agora vamos aplicar em alguns problemas interessantes. Capitas equivalentes, no regime de capitalização composta, são capitas que quando transportados para uma mesma época, resultam valores iguais. Por exemplo, se a taxa de juros for de 10% ao mês, 100 reais hoje é equivalente a 110 reais daqui um mês, que é equivalente a 121 reais daqui 2 meses. Então, é muito importante a época a qual está relacionada uma quantia, não podemos comparar valores que estão em épocas diferentes. Exemplo: Pedro tem três opções de pagamento na compra de um certo produto. 1) à vista, com 30% de desconto; 2) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra; 3) em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra. Qual a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês? A primeira opção contém um único pagamento que já está nessa época, 84. Na segunda opção, temos um pagamento de 60 que precisa voltar um período e outro pagamento de 60 que deve voltar dois períodos, logo: , = ,4 = 86,4 (1 + 0,25) 2 E na terceira opção, um pagamento de 40 já está na época zero, outro deve retornar um período e o terceiro pagamento precisa retornar dois períodos: (1 + 0,25) + 40 (1 + 0,25) 2 = ,6 = 97,6 Concluímos que a melhor opção para Pedro é a primeira, à vista, com 30% de desconto, e a pior opção é em três parcelas. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 - Paulo tomou um empréstimo de 300 reais, a juros de 15% ao mês. Dois meses após, Paulo pagou 150 reais e, um mês após esse pagamento, Paulo liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento? ANOTAÇÕES Fixando o preço do produto em 120, temos os três esquemas abaixo: Para comparar, precisamos determinar o valor dos três conjuntos de pagamentos na mesma época, (por exemplo, na época zero). Matemática Financeira 11

12 EXERCÍCIOS 1 - (TST - FCC) Determinada empresa possui as seguintes dívidas: R$ ,00 que vence em 30 dias. R$ ,00 que vence em 60 dias. Caso a empresa decida pagar as suas dívidas antecipadamente e o credor cobre 2% de juros compostos ao mês, o valor a ser desembolsado será de a) R$ ,00 b) R$ ,52 c) R$ ,00 d) R$ ,04 e) R$ , (TST - FCC) Uma pessoa deve R$ 2.040,00 a um amigo. Propõe-se a pagar o valor total da dívida em duas prestações de valores iguais, vencíveis em 30 e 60 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de juros compostos estipulada pelo amigo é de 4% ao mês, o valor das parcelas a serem pagas é, em reais, de a) 1.103,23 b) 1.101,60 c) 1.081,60 d) 1.060,80 e) 1.020, (TRT - FCC) Para comprar um carro, Maria realiza uma pesquisa em 3 Instituições Financeiras e obtém as seguintes propostas de financiamento: Instituição A: Entrada de R$ 7.900, prestação de R$ 8.240,00 para 30 dias após a entrada. Instituição B: Entrada de R$ 7.800, prestação de R$ 8.487,20 para 60 dias após a entrada. Instituição C: Entrada de R$ 7.652, prestações de R$ 4.243,60 para 30 e 60 dias após a entrada. Sabendo que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês, a proposta de financiamento 4 - Sr. José deseja adquirir um caminhão e, para tal, realiza uma pesquisa junto a 3 concessionárias especializadas que lhe oferecem as seguintes condições de financiamento: Concessionária Alfa: Entrada de R$ , prestação de R$ ,00, com vencimento para 30 dias após a entrada. Concessionária Gama: Entrada de R$ , prestação de R$ ,00, com vencimento para 60 dias após a entrada. Concessionária Beta: Entrada de R$ , prestações R$ 5.408,00, com vencimentos para 30 e 60 dias após a entrada. Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pelas três concessionárias é de 4% ao mês, a melhor condição de financiamento é a oferecida pela concessionária a) Alfa b) Alfa e pela concessionária Gama c) Alfa e pela concessionária Beta d) Gama e pela concessionária Beta e) Beta 5 - Um produto custa R$ 100,00 à vista, mas o comprador deseja pagá-lo a prazo. A menor taxa de juros compostos mensal compreende efetuar o pagamento a) em um mês em uma parcela única de R$ 110,00. b) em dois meses em uma parcela única de R$ 125,00. c) de R$ 50,00 à vista e R$ 56,00 em uma única parcela que vence em um mês. d) de R$ 30,00 à vista e R$ 80,00 em uma única parcela que vence em um mês. e) de R$ 53,00 em uma parcela que vence em um mês e outra de R$ 56,18 que vence em dois meses. GABARITO a) da instituição A é a melhor 1-c) b) da instituição B é a melhor 2-c) c) da instituição C é a melhor 3-c) d) das instituições A e C são equivalentes 4-b) e) das instituições A, B e C são equivalentes 5-e) Matemática Financeira 12

13 Taxas de juros AULA 4 Um erro muito comum é pensar que juros de 12% ao mês, por exemplo, equivalem a juros de 12 x 12% = 144% ao ano. Isso não ocorre porque vivemos em um universo de juros compostos, 12% ao mês equivalerá em um ano, a aproximadamente 290%. Se a taxa de juros relativamente a um determinado período de tempo é igual a i, a taxa de juros relativamente a n períodos de tempo é I tal que 1 + I = (1 + i) n A taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês é I tal que 1 + I = (1 + 0,12) 12. Daí, I 2,90 = 290% ao ano. Taxas como 12% ao mês e 144% ao ano, 5% ao mês e 30% ao semestre, ou ainda 10% ao mês e 20% ao bimestre, por exemplo, são chamadas de taxas proporcionais, pois a razão entre elas é igual a razão dos períodos aos quais elas se referem. Mas cuidado, taxas proporcionais não são equivalentes. O que acontece com muita frequência na matemática financeira é o anúncio de taxas proporcionais como se fossem equivalentes. Quando se diz uma taxa de 144% ao ano capitalizada mensalmente, significa que a taxa será de 12% ao mês, só isso, é a taxa mensal proporcional. A taxa anunciada de 144% é chamada de taxa nominal, é uma taxa ilusória, fazendo as pessoas menos entendidas matematicamente pensarem que de fato 12% ao mês equivale a 144% ao ano, mas como vimos anteriormente, sabemos que 12% ao mês equivale a aproximadamente 290% ao ano, essa taxa de 290% é chamada de taxa efetiva. Taxa real, aparente e de inflação A inflação, de maneira simples, seria o aumento dos preços de um modo geral, ou seja, é a desvalorização do dinheiro. Se a taxa de inflação de um determinado período foi de 10% por exemplo, uma coisa que você comprava por 100 reais, agora terá de ser adquirida por 110. Se esses 100 reais não cresceram 10% nesse mesmo período, você perdeu dinheiro. Imagine então, que seu dinheiro cresceu 20% nesse período, essa taxa de 20% é chamada de taxa aparente, ela revela um ganho aparente, não o ganho real, pois sabemos que houve uma desvalorização devido a inflação. A taxa que fornece o ganho real, considerando a inflação, é a taxa real, calculada de acordo com a expressão: i aparente 1 + i real = 1 + i inflação EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 - (Banco do Brasil) Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente, a) 12% b) 12,49% c) 12,55% d) 13% e) 13,43% 2 - (Caixa - Cesgranrio) Nas operações de empréstimo, uma financeira cobra taxa efetiva de juros, no regime de capitalização composta, de 10,25% ao ano. Isso equivale a cobrar juros com taxa anual e capitalização semestral de a) 5% b) 5,51% c) 10% d) 10,25% e) 10,51% 3 - (BACEN) Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi de 40%. O ganho real neste mês foi de: a) 20% b) 22% c) 24% d) 26% e) 28% EXERCÍCIOS 1 - (BACEN) A taxa de 4% ao mês, quando capitalizada com juros compostos, corresponde a uma taxa bimestral equivalente a: a) 8% b) 8,16% c) 1,08% d) 1,0816% e) 16% Matemática Financeira 13

14 2 - Determine a taxa trimestral equivalente a 6% ao mês. 3 - Determine a taxa anual equivalente a 12% ao trimestre. 4 - A Taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal corresponde a uma taxa efetiva anual de: a) 26,82% b) 25,51% c)25,44% d)24,00% e) 22,78% 5 - (TCE - RS) A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 18% ao semestre capitalizados mensalmente é 8 - Em um mês cuja inflação foi de 25%, Paulo Jorge investiu seu capital a juros de 30% ao mês. Qual foi o ganho real de Paulo Jorge nesse mês? 9 - (Caixa) A taxa de juros para aplicações de curto e médio prazos, em um banco, é de 40% ao ano. Que remuneração real recebe o cliente, se a inflação for 30% ao ano. a) 7,1% b) 7,2% c) 7,3% d) 7,4% e) 7,6% 10 - (Caixa - Cespe) Se a quantia de R$ 5.000,00, investida pelo período de 6 meses, produzir o montante de R$5.382,00, sem se descontar a inflação verificada no período, e se a taxa de inflação no período for de 3,5%, então a taxa real de juros desse investimento no período será de a) 4,5% b) 4% c) 3,5% d) 3% e) 2,5% a) 15,08% b) 21,49% c) 25,66% d) 19,41% e) 42,58% 6 - (TCE - FCC) Um contrato de financiamento de imóvel foi celebrado considerando-se uma taxa anual nominal de 12%, capitalizada quadrimestralmente. A taxa efetiva anual é de: a) 12,49% b) 12,55% c) 13,00% d) 15,12% e) 16,99% 1-b) 2) 19,10% 3) 57,35% 4-a) 5-e) 6-a) 7-b) 8) 4% 9-e) 10-b) GABARITO ANOTAÇÕES 7 - (Banco do Brasil 2015 Cesgranrio) Um investimento rende à taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalização trimestral. Para obter um rendimento de R$ 609,00 daqui a 6 meses, deve-se investir, hoje, em reais, a) b) c) d) e) Matemática Financeira 14

15 Rendas certas AULA 5 Um conjunto de pagamentos iguais (chamados de prestações ou parcelas) e igualmente espaçados no tempo, formam uma série uniforme, chamada de anuidade, ou ainda renda. Quando o primeiro pagamento é realizado um tempo após a contração da dívida, tem-se prestações chamadas de postecipadas, que trazidas para o tempo zero, geram a sequência: P 1 + i, P (1 + i) 2, P (1 + i) 3,, P (1 + i) n Essa sequência é uma progressão geométrica de razão 1. Fazendo a (1 + i) soma dos n termos dessa P.G, chegamos na fórmula que fornece o valor da soma dessas prestações postecipadas, ou seja, a soma das prestações no tempo zero, um tempo antes do primeiro pagamento. Conhecendo o valor que deseja-se obter no futuro (S n ), podemos também encontrar qual deve ser a parcela (P) investida a cada período para obter esta quantia após n períodos, dada também a taxa de juros. Rendas perpétuas Renda perpétua é uma série de pagamentos iguais e igualmente espaçados no tempo que não possui um número determinando de parcelas. Considerando a primeira fórmula, que nos fornece a soma de n parcelas iguais todas no tempo zero, fazendo n tender a infinito, ou seja, considerando infinitas parcelas, temos P i. Essa razão dá o valor da soma das infinitas parcelas P, todas no tempo zero, um tempo antes do primeiro pagamento, sendo i a taxa de juros. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 (1 + i) n S 0 = P i P é o valor da prestação ou parcela, n é a quantidade de prestações ou parcelas e i é a taxa de juros. Assim conseguimos, por exemplo, determinar qual será o valor da parcela (P) de um financiamento, dado o valor a ser financiado (S 0 ), a quantidade de parcelas (n) e a taxa de juros (i). Outra situação que podemos resolver, é encontrar qual será o montante (a soma das parcelas no tempo n), que chamaremos de S n, após n períodos, investindo-se a cada período uma prestação P, com uma taxa de juros i. Essa situação é uma variação da fórmula vista anteriormente, pois ela fornece a soma das parcelas no tempo zero, porém, queremos a soma das parcelas no tempo n. Bem, se o valor S n está no tempo n, basta trazê-lo ao tempo zero, e igualar a S 0 já conhecido: S n 1 (1 + i) n = P (1 + i) n i Isolando a soma das parcelas no tempo n (S n ), tem-se: S n = P (1 + i)n 1 i 1) Uma loja financia a compra de um eletrodoméstico no valor à vista de R$ 1.300,00, em três prestações mensais iguais, sem entrada, isto é, a primeira das prestações com vencimento um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 4% ao mês e que 1,04 3 0,89, determine o valor da prestação. 2 - (TCE AC - Cespe) Uma pessoa comprou um veículo pagando uma entrada, no ato da compra, de R$ 3.500,00, e mais 24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 750,00. A primeira prestação foi paga um mês após a compra e o vendedor cobrou 2,5% de juros compostos ao mês. Considerando 0,55 como valor aproximado para 1,025-24, é correto afirmar que o preço à vista, em reais, do veículo foi a) inferior a b) superior a e inferior a c) superior a e inferior a d) superior a e inferior a e) superior a Matemática Financeira 15

16 3 - Aproximadamente, quantos reais devo depositar mensalmente, para obter um montante de R$ ,00 ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês? Considere 1, , Antônio possui um investimento que dá uma renda líquida de 0,6% ao mês (no sistema de juros compostos) e deseja dar à sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. A quantia que Antônio deve investir para que sua filha tenha essa renda é de: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Utilizando os dados da tabela acima, tem-se, então, que a) < M b) < M <= c) 9900 < M <= d) 9700 < M <= 9900 e) 9500 < M <= (SEFAZ RJ - FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o valor de cada prestação mensal será: a) R$ 525,68 b) R$ 545,34 c) R$ 568,24 d) R$ 576,19 e) R$ 605, (Banco do Brasil FCC) Um investidor realiza depósitos no início de cada mês, durante 8 meses, em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Os valores dos 4 primeiros depósitos foram de R$ 1.000,00 cada um e dos 4 últimos R$ 1.250,00 cada um. No momento em que ele efetua o oitavo depósito, verifica que o montante que possui no banco é M, em reais. 3 - (BNDES - Cesgranrio) Uma aplicação consiste em 6 depósitos consecutivos, mensais e iguais no valor de R$ 300,00 (trezentos reais) cada um. Se a taxa de juros compostos utilizada é de 5% ao mês, o montante, em reais, um mês após o último dos 6 depósitos, é a) 2.040,00 b) 2.142,00 c) 2.240,00 d) 2.304,00 e) 2.442,00 4 (MDIC/ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente em uma conta durante 12 meses com o objetivo de atingir o montante de R$ ,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês. a) R$ 7.455,96 b) R$ 7.600,00 c) R$ 7.982,12 d) R$ 8.270,45 e) R$ 9.000,00 Matemática Financeira 16

17 5 - (SEFAZ SP - FCC) Uma programação de investimento consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos montantes no ato do resgate foi igual a R$ ,00, conclui-se que o valor de cada depósito é igual a a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 GABARITO 1-d) 2-e) 3-b) 4-a) 5-e) ANOTAÇÕES Matemática Financeira 17

18 AULA 6 Sistema francês de amortização (Tabela Price) Amortizações Amortizar é diminuir uma dívida. Quando se paga parceladamente um débito, existem dois componentes em cada pagamento ou parcela. Uma parte é destinada a pagar os juros e outra parte amortiza, ou seja, abate a dívida. Os sistemas usuais de amortização são o sistema de amortização constante (SAC) e o sistema francês de amortização, também chamado de Tabela Price (Richard Price foi um economista inglês). Sistema de amortização constante (SAC) Caracteriza-se por apresetar a amortização constante em cada parcela, consequentemente o valor dos juros e da parcela são decrescentes. Exemplo 1: Uma dívida de R$ 100,00 é paga, com juros de 15% ao mês, em 5 meses, pelo SAC. Faça a planilha de amortização. Nas questões sobre amortizações vamos construir tabelas, aqui no SAC não precisamos de nenhuma fórmula para isso. Como as amortizações são iguais, em cada período a amortização é 1/5 da dívida, logo, 20. Com esse valor, também determinamos a dívida em cada período, começa em 100 (período zero) e vai diminuindo de 20 em 20 até ser zero no último período. O juro é encontrado a cada período calculando-se 15% sobre o valor da dívida no período anterior, e a parcela é a soma do juro com a amortização em cada período. A planilha é, portanto: T D J A P Totais Caracteriza-se por apresentar o valor das parcelas constante em todos os períodos. Precisamos inicialmente encontrar qual será o valor de cada parcela, para isso usaremos a seguinte fórmula: P = D 0 (1 + i) n i (1 + i) n 1 Que pode ser escrita também como: i P = D 0 1 (1 + i) n Onde P é o valor da parcela, D 0 é a dívida inicial (no tempo zero), n é o número de pagamentos e i é a taxa de juros. Exemplo: Uma dívida de R$ 100,00 é paga utilizandose o sistema de amortização francês. Sabendo que a taxa de juros foi de 10% ao mês e a dívida paga em 3 meses, faça a planilha de amortização. P = D 0 (1 + i) n i (1 + i) n 1 P = 100 (1 + 0,1)3 0,1 (1 + 0,1) 3 1 1,331 0,1 P = 100 1,331 1 P = 100 0,1331 0,331 P = 40,21 Com o valor das parcelas, basta calcular o juro de cada período e a diferença entre a parcela e o juro dará a amortização desse período. A tabela fica: T D J A P , ,21 40, ,56 6,98 33,23 40, ,65 36,56 40,21 Totais - 20, ,63 Em cada período de tempo T (que no caso é 1 mês) a partir de zero, temos o juro J pago, consequentemente o valor total pago que é a parcela P, e somando os valores encontramos o total pago pela dívida (soma das parcelas) e o total pago de juros. Podemos responder qualquer pergunta que a questão faça. Matemática Financeira 18

19 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 (Caixa - Cespe) Se uma dívida no valor de R$ ,00 for paga, com juros de 5% ao mês, em 4 prestações mensais e consecutivas, pelo sistema de amortização constante (SAC), a soma das prestações pagas será igual a a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (Caixa - Cespe) Uma dívida no valor de R$ ,00, contraída pelo sistema francês de amortização(tabela Price), com juros de 1,29% ao mês será paga em 4 prestações mensais. Nesse caso, considerando-se 0,95 como valor aproximado de 1,0129 4, cada prestação será igual a a) R$ 2.620,00 b) R$ 2.610,00 c) R$ 2.600,00 d) R$ 2.590,00 e) R$ 2.580,00 Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes, desconsiderando, entre outras, despesas como seguros e taxas de administração. ( ) A taxa efetiva de juros a ser paga pelo referido cliente é inferior a 1% ao mês. ( ) O valor da amortização mensal é inferior a R$ 900, (Caixa) Um empréstimo de R$ ,00 foi pago pelo sistema de amortização constante (SAC) em 6 meses, com juros de 12% ao mês. Na tabela a seguir, em que apenas alguns valores estão explícitos e que corresponde à planilha de amortização do referido empréstimo, K representa o mês a partir do mês 0 correspondente à tomada do empréstimo; P k é a prestação paga no mês k; A k é o valor da amortização no mês k; J K é o valor dos juros pagos no mês k; e D K é a situação da dívida no mês k. EXERCÍCIOS 1 - No sistema de amortização constante, a) o valor das prestações é uniforme durante toda a amortização e os juros são crescentes. b) o valor do empréstimo é pago de uma só vez no final do prazo de amortização. c) a amortização é feita em parcelas crescentes com juros constantes lineares. d) as prestações são fixas e os juros são crescentes durante a amortização. e) a amortização é feita em parcelas iguais e, portanto, os valores dos juros e das prestações são decrescentes 2 (Caixa Cespe) Um cliente contratou um financiamento habitacional no valor de R$ ,00, para ser amortizado de acordo com o sistema de amortização constante, em 35 anos, à taxa nominal de juros compostos de 9% ao ano, com capitalização mensal. Com relação a essa situação, é correto afirmar que o total das prestações pagas e o total dos juros pagos foram iguais, respectivamente, a a) R$ ,00 e R$ ,00 b) R$ ,00 e R$ ,00 c) R$ ,00 e R$ ,00 d) R$ ,00 e R$ ,00 e) R$ ,00 e R$ , (TRE RN - FCC) Uma dívida correspondente à aquisição de um imóvel deverá ser liquidada por meio de 80 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da contração da dívida. O sistema de amortização utilizado foi o Sistema de Amortização Constante (SAC) a uma taxa de 2% ao mês. Matemática Financeira 19

20 Se o valor da última prestação apresentou o valor de R$ 1.479,00, então o valor da primeira prestação foi igual a, em R$, a) 3.640,00 b) 3.705,00 c) 3.723,00 d) 3.770,00 e) 3.835, (CVM - ESAF) Um financiamento no valor de R$ ,00 deve ser pago pelo Sistema Price em 18 prestações semestrais iguais, a uma taxa nominal de 30% ao ano, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro semestre, a segunda ao fim do segundo semestre, e assim sucessivamente. Obtenha o valor mais próximo da amortização do saldo devedor embutido na segunda prestação. a) R$ ,00 b) R$ 8.081,00 c) R$ ,00 d) R$ 9.740,00 e) R$ 9.293,00 GABARITO 1-e) 2) V F 3-c) 4-d) 5-e) REFERÊNCIAS LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio - volume ed. Rio de Janeiro: SBM, ANOTAÇÕES Matemática Financeira 20