Matemática Financeira Aula 1. 1 Profa. Msc. Érica Siqueira

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1 Matemática Financeira Aula 1 1 Profa. Msc. Érica Siqueira

2 Matemática Financeira Objetivos de aprendizagem: Depois de ler e discutir este tópico você será capaz entender Fazer contas utilizando a regra de três e porcentagens Entender os princípios de Matemática Financeira Calcular valores futuros e presente em juros simples Entender operação de desconto de duplicata Profaª Msc. Érica Siqueira

3 Agenda do Curso Data Horário Grande Tema Detalhado Apresentação da Disciplina 8:30 até 10:15 Revisão de Porcentagens 02/09/2017 Exercícios Juros Simples Juros Simples 10:30 até 12:30 HP12C Desconto de Duplicata 12:45 Até 14:15 Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples Exercícios 8:30 até 10:15 Juros Compostos 16/09/ :30 até 12:30 Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Compostos Juros Compostos e Taxas Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente HP12C 12:45 Até 14:15 Taxa Acumulada, Taxa Nominal e Taxa Efetiva Exercícios Pagamentos e Depósitos Constantes 8:30 até 10:15 Fluxo de Caixa 23/09/ :30 até 12:30 Fluxo de Caixa e Investimentos. HP12C e Excel Fórmulas Matemática Financeira Excel Payback Simples e Descontado, VPL, TIR 12:45 Até 14:15 Sistema de Amortização: SAC e PRICE 3 Profa. Msc. Érica Siqueira

4 Usar HP12C Para estudar: Observações Slides como grandes tópicos Livros indicados na bibliografia Lista de Exercícios 4 Profa. Msc. Érica Siqueira

5 Aplicações Gestão Financeira Planejamento Financeiro Investimentos Finanças Pessoais 5 Profa. Msc. Érica Siqueira

6 Revisão: Início 6 Profa. Msc. Érica Siqueira

7 Regra de Três Simples Resolução de problemas, usando igualdade de frações, sobre as quais conhece-se 3 valores dos 4 valores possíveis. A partir desses 3 valores é possível montar uma equação, de primeiro grau, com uma incógnita. Os valores conhecidos podem ser diretamente proporcionais, ou seja, a medida que um valor aumenta, espera-se que o outro também aumente, mantendo a proporção Ou, podem ser inversamente proporcionais: a medida que um aumenta o outro diminui. 7 Profa. Msc. Érica Siqueira

8 Porcentagens com Regra de Três Se um produto custa R$ 400,00 e teve um desconto de R$ 30,00 representa que percentual de desconto? Reais(R$) Porcentagem 400,00 100% 30,00 X ,5% 8 Profa. Msc. Érica Siqueira

9 Diretamente Proporcional (SóMatemática) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Área Energia 1, ,5 X 1,2 1, , , Profa. Msc. Érica Siqueira

10 Inversamente Proporcionais (Globo) Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão? Velocidade (km/h) Tempo (minutos) X Profa. Msc. Érica Siqueira

11 Regra de Três Composta Enquanto a regra de três simples envolve até 2 grandezas, velocidade e tempo, por exemplo, a regra de três composta envolve 3 ou mais grandezas direta ou indiretamente. A forma de resolução é montar uma série de regra de três simples 11 Profa. Msc. Érica Siqueira

12 Exemplo Regra de Três Composta (Globo) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias. = = Profa. Msc. Érica Siqueira

13 Revisão de Porcentagem A porcentagem é uma maneira de expressar um número como parte de um todo. Para calculá-la, damos ao todo o valor de 100%. Por exemplo, digamos que você tenha 10 reais (=100%). Se você gastar 2, então você gastou 2/10 100% = 20% dos seus 10 reais, e ficou com apenas 80% 13 Profa. Msc. Érica Siqueira

14 Taxas Unitárias e Percentuais Taxa Unitária Corresponde à Taxa Percentual 0,05 = 5% 0,5 = 50% 0,8 = 80% 1 = 100% 14 Profa. Msc. Érica Siqueira

15 O percentual de um valor Dessa forma, 20% = 0,20 ou 30% = 0,3 e 5%=0,05 Para achar o valor correspondente, basta multiplicar pela porcentagem, sem necessidade de usar a regra de 3 Por exemplo: 10% de R$ ,10 * 1000 = R$ 100,00 15 Profa. Msc. Érica Siqueira

16 Para calcular o percentual Por outro lado, para achar o percentual, basta dividir a parte pelo todo, também sem necessidade de usar regra de três. Exemplo: Se há um grupo de 1000 pessoas, das quais 485 são universitárias, qual o percentual de universitários? Parte = 485 Todo = 1000 O primeiro passo é dividir a parte pelo todo 485 / 1000 = 0,485 Depois multiplicar por 100 para achar o valor em percentual 0,485 x 100 = 48,5% 48,5% das pessoas desse grupo são universitárias 16 Profa. Msc. Érica Siqueira

17 Acrescentar um Percentual Para somar uma porcentagem ao número original, por exemplo %, basta utilizar a fórmula 200 x ( ) = 280 Exemplos: acrescentar ao preço original um valor de lucro, comissão ou taxas 17 Profa. Msc. Érica Siqueira

18 Subtrair um Percentual Ex: Achar valor final após conceder descontos Para retirar um porcentagem basta multiplicar pela porcentagem restante, por exemplo: Se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão cheias de areia, dizemos que 40% estão cheias, e que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60% nesse caso). Fórmula = 100 * 0,6 = 60 caixas vazias 18 Profa. Msc. Érica Siqueira

19 Exercícios de Porcentagem Calcule as porcentagens correspondentes: 2% de R$ % de 48 m 38% de 200 Kg 6% de R$ 50 37,6% de R$200 22,5% de R$60 19 Profa. Msc. Érica Siqueira

20 Exercício de Porcentagem a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? 20 Profa. Msc. Érica Siqueira

21 Matemática Financeira 21 Profa. Msc. Érica Siqueira

22 Observações Estudar o valor do dinheiro no tempo Conceitos de juro, capital e tempo Habilidades matemáticas prévias: Porcentagem Frações, Potências, Raiz, Log 22 Profa. Msc. Érica Siqueira

23 Dinheiro no Tempo Receber uma quantia hoje, equivale a receber uma quantia maior amanhã (Valor Futuro); Receber uma quantia amanhã, equivale a receber uma quantia menor hoje (Valor Presente). E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo", cuja "taxa de juros" representa o fator de correção no tempo. 23 Profa. Msc. Érica Siqueira

24 Capital O Capital é o valor, na data ZERO, aplicado ou emprestado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Excel: Valor Presente 24 Profa. Msc. Érica Siqueira

25 Juro Remuneração do Capital O juroexiste porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Representação nas calculadoras financeiras: i 25 Profa. Msc. Érica Siqueira

26 Tempo Tempo decorrido entre a aplicação inicial e o resgate, também chamado de prazo ou período de capitalização Utiliza-se calendário comercial, na marioria das vezes, sendo os meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias). Notação nas calculadoras financeiras: n a. a. = ao ano a. b. = ao bimestre a. q. = ao quadrimestre a. p. = ao período a. m. = ao mês a. t. = ao trimestre a. s. = ao semestre Conversão? Pode? 26 Profa. Msc. Érica Siqueira

27 Montante É a soma do Capital inicial com juro produzido em determinado tempo O montante é calculado apenas no fim da capitalização. Outras representações: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value) VF = VP + J 27 Profa. Msc. Érica Siqueira

28 Juro Simples e Composto Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 28 Profa. Msc. Érica Siqueira

29 Calculando Juros Simples J = C * i * n Quanto rende um capital inicial (principal) de $100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos? Qual o montante ao final de 2 anos? 29 Profa. Msc. Érica Siqueira

30 Cálculo do Montante em Juros Simples Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples. Solução: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. n = 5 meses S = P(1 + in) S = (1 + 0,04 5) S = R$ 7.200,00 30 Profa. Msc. Érica Siqueira

31 Cálculo do Valor Atual Juros Simples Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros simples basta inverter a relação anterior, isto é: P = S/(1+ in) 31 Profa. Msc. Érica Siqueira

32 Cálculo da Taxa em Juros Simples Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que Na qual i é a Taxa a ser descoberta, J o valor de juros, C o capital e n a quantidade de períodos. 32 Profa. Msc. Érica Siqueira

33 Cálculo do Tempo em Juro Simples Partindo da Fórmula inicial utilizada para calcular o valor do Juros (J = C * i * n) podemos deduzir que Na qual i é a Taxa, J o valor de juros, C o capital e n a quantidade de períodos a ser descoberta. 33 Profa. Msc. Érica Siqueira

34 Taxas Proporcionais e Equivalente em JS Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade No regime de juros simples, Taxas Proporcionai s e Taxas Equivalentes são consideradas a m esma coisa, sendo indiferente a classificação de duastaxas de juroscomo proporcionais ou equivalentes. Este conceito diz mais a resp eito ao regime de juros compostos. 34 Profa. Msc. Érica Siqueira

35 Exemplo 1 35 Profa. Msc. Érica Siqueira

36 Exemplo 2 36 Profa. Msc. Érica Siqueira

37 Desconto de Duplicata Operação conhecida no Brasil como Desconto comercial ou bancário (por fora). Diferentemente do cálculo de juros, que incide sobre um Capital ou Valor Presente, a taxa de desconto incide sobre o valor futuro. O valor futuro, nesse caso, é conhecido como valor de face ou valor nominal Abate-se o desconto para conhecer o valor presente, ou, o quanto será pago pelo desconto da duplicata (antecipação de recebíveis) 37 Profa. Msc. Érica Siqueira

38 Desconto de Duplicata Juros Simples Fórmulas para cálculo: Valor do Desconto (D): D = VF.d.n Valor presente, abatendo o desconto VP = VF * (1 d *n) onde d é a taxa de desconto Exemplo: Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 1.600,00, com vencimento para 120 dias, á taxa de 3% ao mês? 38 Profa. Msc. Érica Siqueira

39 Resolução Dados retirados do problema VF = 1.600,00 n = 120 dias = 4 meses (pois a taxa está em mês) d = 2,5% ao mês Valor do Desconto (D) =? Solução: Fórmula D = VF.d. n D = 1.600,00. 0,03. 4 = 192,00 39 Profa. Msc. Érica Siqueira