Matemática Financeira

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1 9 Matemática Financeira Sumário 9.1 Introdução Juros Compostos A Fórmula das Taxas Equivalentes Exercícios Recomendados

2 Unidade 9 Introdução 9.1 Introdução Nesta unidade e na próxima, serão apresentados rudimentos de Matemática Financeira, cuja inspiração vem da vida real. Esse conhecimento é fundamental em sociedades de consumo, como a nossa, e deve fazer parte da bagagem cultural de todo cidadão que nelas vive para que saiba defender minimamente os seus interesses. Quotidianamente, estamos frente a problemas práticos, tais como se devemos ou não parcelar uma compra e, se for o caso, em quantas parcelas? Se devemos ou não antecipar o pagamento de uma dívida, usando o décimo terceiro salário? Esses são desaos que, se resolvidos corretamente, nos auxiliam a tomar decisões que podem proporcionar uma boa economia. A ferramenta matemática básica que é utilizada nesse tipo de questões são as progressões geométricas, bastando, para resolvê-las, modelar corretamente cada problema. O assunto principal de que tratamos é o cálculo de juros em diversas situações decorrentes da operação de empréstimo, seja em aplicações (quando emprestamos), seja em compras a crédito (quando tomamos emprestado). Esta unidade repousa sobre um resultado (teorema) fundamental que nos diz como se transforma um capital inicial quando aplicado por um período de tempo, sendo submetido a um regime de juros compostos. 9.2 Juros Compostos Uma das importantes aplicações de progressões geométricas é a Matemática Financeira. A operação básica da matemática nanceira é a operação de empréstimo. Alguém que dispõe de um capital C (chamado de principal ), empresta-o a outrem por um certo período de tempo, e após esse período, recebe o seu capital C e volta, acrescido de uma remuneração J pelo empréstimo. Essa remuneração é chamada de juro. A soma C + J é chamada de montante e será representada por M. A razão i = J que é a taxa de crescimento do capital, C será sempre referida ao período da operação e chamada de taxa de juros. 2

3 Matemática Financeira Unidade 9 Lúcia tomou um empréstimo de R$ 100,00. Dois meses após, pagou R$ 140,00. Os juros pagos por Lúcia são de R$ 40,00 e a taxa de juros é de 40 = 0, 40 = 40% ao bimestre. O principal, que é a dívida inicial de Lúcia, 100 é igual a R$ 100,00; o montante, que é a dívida na época do pagamento, é de R$ 140,00. Exemplo 1 Manuel tomou um empréstimo de 100 reais, a juros de taxa 10% ao mês. Após um mês, a dívida de Manuel será acrescida de 0, reais de juros (pois J = ic), passando a 110 reais. Se Manuel e seu credor concordarem em adiar a liquidação da dívida por mais um mês, mantida a mesma taxa de juros, o empréstimo será quitado, dois meses depois de contraído, por 121 reais, pois os juros relativos ao segundo mês serão de 0, reais = 11 reais. Esses juros assim calculados são chamados de juros compostos. Mais precisamente, no regime de juros compostos, os juros em cada período são calculados, conforme é natural, sobre a dívida do início desse período. As pessoas menos educadas matematicamente têm tendência a achar que juros de 10% ao mês dão em dois meses juros de 20%. Note que juros de 10% ao mês dão em dois meses de juros de 21%. Exemplo 2 No regime de juros compostos de taxa i, um principal C 0 transforma-se, depois de n períodos de tempo, em um montante C n = C 0 (1 + i) n. Teorema 1 Basta observar que os valores do capital crescem a uma taxa constante i e, portanto, formam uma progressão geométrica de razão 1 + i. Demonstração Pedro investe 150 reais a juros de 12% ao mês. Qual será o montante de Pedro três meses depois? Solução. C 3 = C 0 (1 + i) 3 = 150(1 + 0, 12) 3 = 210, 74 reais. Exemplo 3 É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual ela está referida. Se eu consigo fazer com que meu dinheiro renda 10% ao mês, 3

4 Unidade 9 Juros Compostos é-me indiferente pagar agora R$ 100,00 ou pagar R$ 110,00 daqui a um mês. é mais vantajoso pagar R$ 105,00 daqui a um mês do que pagar R$ 100,00 agora. é mais vantajoso pagar R$ 100,00 agora do que pagar R$ 120,00 daqui a um mês. No fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar quantias no tempo. Outro modo de ler o Teorema 1, C n = C 0 (1 + i) n, é que uma quantia, hoje igual a C 0, transformar-se-á, depois de n períodos de tempo, em uma quantia igual a C 0 (1 + i) n. Isto é, uma quantia, cujo valor atual é A, equivalerá no futuro, depois de n períodos de tempo, a F = A(1 + i) n. Essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais: Para obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i) n. Para obter o valor atual, basta dividir o futuro por (1 + i) n. O exemplo a seguir é, pode-se dizer, um resumo de todos os problemas de Matemática Financeira. Exemplo 4 Pedro tomou um emprétimo de 300 reais, a juros de 15% ao mês. Dois meses após, Pedro pagou 150 reais e, um mês após esse pagamento, Pedro liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento? Solução. Os esquemas de pagamento abaixo são equivalentes. Logo, 300 reais, na data 0, têm o mesmo valor de 150 reais dois meses após, mais um pagamento igual a P, na data 3. Figura 9.1: Esquemas de pagamento Igualando os valores, na mesma época (0, por exemplo), dos pagamentos nos dois esquemas, obtemos 300 = 150 (1 + 0, 15) = p 2 (1 + 0, 15). 3 4

5 Matemática Financeira Unidade 9 daí, P = 283, 76. O último pagamento foi de R$ 283,76. Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor: i) três prestações mensais de R$ 160,00 cada; ii) sete prestações mensais de R$ 70,00 cada. Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção que Pedro possui? Exemplo 5 Solução. Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de pagamentos na mesma época, por exemplo na época 2. Os esquemas de pagamentos são: Figura 9.2: Esquemas de pagamento Para comparar, determinaremos o valor dos dois conjuntos de pagamentos na mesma época. Por exemplo, na época 2, temos, a = 60(1 + 0, 02) (1 + 0, 02) = 489, 66 b = 70(1 + 0, 02) (1 + 0, 02) , (1 + 0, 02) (1 + 0, 02) + 70 = 480, (1 + 0, 02) 4 Pedro deve preferir o pagamento em seis prestações. é um absurdo que muitas pessoas razoavelmente instruídas achem que o primeiro esquema é melhor pois o total pago é de R$ 480,00 ao passo que no segundo esquema o total pago é de R$ 490,00. Para xar, faremos mais alguns exemplos. 5

6 Unidade 9 Juros Compostos Exemplo 6 Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário. i) à vista, com 30% de desconto. ii) em duas pretações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra. iii) em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra. Qual a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês? Solução. Fixando o preço do bem em 30, temos os três esquemas abaixo Figura 9.3: Esquemas de pagamento Comparando os valores, por exemplo, na época 0, obtemos: a = 21 b = , (1 + 0, 25) = c = , = 24, 4. (1 + 0, 25) 2 A melhor alternativa é a primeira e a pior é a em três prestações. Exemplo 7 Uma loja oferece duas opções de pagamento: i) à vista, com 30% de desconto. ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, a primeira prestação sendo paga no ato da compra. Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo? 6

7 Matemática Financeira Unidade 9 Solução. Fixando o valor do bem em 100, temos os esquemas de pagamentos abaixo: Figura 9.4: Esquemas de pagamento Igualando os valores, por exemplo, na época 0 (a data usada nessas comparações é chamada de data focal), obtemos 70 = Daí, i = 1, 5 = 150%. A 1 + i loja cobra 150% ao mês nas vendas a prazo. Investindo seu capital a juros mensais de 8%, em quanto tempo você dobrará o seu capital inicial? Solução. Temos C 0 (1 + 0, 08) n = 2C 0. Daí, 1, 08 n = 2 e n = log 2 log 1, 08 = 9 Em aproximadamente nove meses você dobrará o seu capital inicial. Exemplo A Fórmula das Taxas Equivalentes Um importante resultado que já foi obtido na Unidade 6 e será repetido é a Fórmula das taxas equivalentes. Se a taxa de juros relativamente a um determinado período de tempo é igual a i, a taxa de juros relativamente a n períodos de tempo é I tal que 1 + I = (1 + i) n. A taxa anual de juros equivalente a 12% ao mês é I tal que 1 + I = (1 + 0, 12) 12. Daí, I = 2, 90 = 290% ao ano. Exemplo 9 7

8 Unidade 9 A Fórmula das Taxas Equivalentes Um erro muito comum é achar que juros de 12% ao mês equivalem a juros anuais de 12 12% = 144% ao ano. Taxas como 12% ao mês e 144% ao ano são chamadas de taxas proporcionais, pois a razão entre elas é igual à razão dos períodos aos quais elas se referem. Taxas proporcionais não são equivalentes. Um (péssimo) hábito em Matemática Financeira é o de anunciar taxas proporcionais como se fossem equivalentes. Uma frase como 144% ao ano, com capitalização mensal signica que a taxa usada na operação não é a taxa de 144% anunciada e sim a taxa mensal que lhe é proporcional. Portanto, a tradução da expressão 144% ao ano, com capitalização mensal é 12% ao mês. As pessoas menos educadas matematicamente podem pensar que os juros sejam realmente de 144% ao ano, mas isso não é verdade. Como vimos no Exemplo 9, os juros são de 290% ao ano. A taxa de 144% ao ano é chamada de taxa nominal e a taxa de 290% ao ano é chamada de taxa efetiva. Exemplo 10 24% ao ano com capitalização semestral signica 12% ao semestre; 1% ao mês com capitalização trimestral signica 3% ao trimestre e 6% ao ano com capitalização mensal signica 0,5% ao mês. Exemplo 11 Verônica investe seu dinheiro a juros de 6% ao ano com capitalização mensal. Qual a taxa anual de juros à qual está investido o capital de Verônica? Solução. O dinheiro de Verônica está investido a juros de taxa i = 0, 5% ao mês. A taxa anual equivalente a I tal que 1+I = (1+i) 12. Daí, I = 0, 0617 = 6, 17% ao ano. A taxa de 6% ao ano é nominal e a taxa de 6,17% ao ano é efetiva. Exemplo 12 A taxa efetiva semestral correspondente a 24% ao semestre com capitalização mensal é I tal que 1 + I = (1 + 0, 04) 6. Daí, I = 26, 53% ao semestre. 8

9 Matemática Financeira Unidade Exercícios Recomendados 1. Investindo R$ 450,00 você retira, após 3 meses, R$ 600,00. A que taxa mensal de juros rendeu seu investimento? 2. Determine as taxas mensais equivalentes a 100% ao ano e a 39% ao trimestre. 3. Determine as taxas anuais equivalentes a 6% ao mês e a 12% ao trimestre. 4. Determine as taxas efetivas anuais equivalente a: a) 30% ao ano, com capitalização mensal. b) 30% ao ano, com capitalização trimestral. c) i ao ano, capitalizados k vezes ao ano. 5. Qual o limite, quando k tende para innito, da resposta ao item c) do problema anterior? Neste caso diz-se que os juros estão sendo capitalizados continuamente e i é chamado de taxa instantânea de juros. 6. Use a resposta do problema anterior para dar uma denição nanceira do número e. 7. Determine a) a taxa efetiva trimestral equivalente a 12% ao trimestre com capitalização contínua. b) a taxa instantânea anual equivalente à taxa efetiva anual de 60%. c) a taxa instantânea semestral equivalente à taxa efetiva anual de 60%. 8. A Mesbla, em vários natais, ofereceu a seus clientes duas alternativas de pagamento: a) pagamento de uma só vez, um mês após a compra. b) pagamento em três prestações mensais iguais, vencendo a primeira no ato da compra. Se você fosse cliente da Mesbla, qual seria a sua opção? 9. O Foto Studio Sonora convidou, em dezembro de 1992, os seus clientes a liquidarem suas prestações mensais vincendas, oferecendo-lhes em troca um desconto. O desconto seria dado aos que pagassem, de uma só vez, todas as prestações a vencer em mais de 30 dias, e seria de 30%, 40% ou 50%, conforme 9

10 Unidade 9 Exercícios Recomendados fossem pagas uma, duas ou três prestações. Supondo que o dinheiro valia 27% ao mês, a oferta era vantajosa? 10. Lúcia comprou um exaustor, pagando R$ 180,00, um mês após a compra e R$ 200,00, dois meses após a compra. Se os juros são de 25% sobre o saldo devedor, qual é o preço à vista? 11. Uma geladeira custa R$ 1 000,00 à vista e pode ser paga em três prestações mensais iguais. Se são cobrados juros de 6% ao mês sobre o saldo devedor, determine o valor da prestação, supondo que a primeira prestação é paga: a) no ato da compra; b) um mês após a compra; c) dois meses após a compra. 12. Ângela tomou um empréstimo de R$ 400,00, por dez meses. Os juros foram de 3% ao mês durante os quatro primeiros meses, de 5% ao mês durante os cinco meses seguintes e de 9% ao mês no último mês. Calcule: a) a taxa média de juros. b) o montante pago. 10

11 Referências Bibliográcas [1] Carmo, Manfredo P.; Morgado, Augusto C., Wagner, Eduardo & Pitombeira, João Bosco. Trigonometria e Números Complexos. Rio de Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática. [2] Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics. New York: Holt, Rinehart and Winston, [3] Figueiredo, Djairo G. Análise I Rio de Janeiro: LTC, [4] Figueiredo, Djairo G. Números Irracionais e Transcedentes Rio de Janeiro: SBM, Coleção Iniciação Cientíca. [5] Halmos, Paul. Naive Set Theory. New York: Springer, [6] Hefez, Abramo e Fernandez, Cecília de Souza. Introdução à Álgebra Linear. Rio de Janeiro: SBM, Coleção PROFMAT, [7] Fernandes, C. S. Hefez, A. Introdução à Álgebra Linear. SBM, Coleção PROFMAT. 2 [8] Lima, Elon Lages. Coordenadas no Espaço. Rio de Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática. [9] Lima, Elon Lages. Curso de Análise, Vol. 1. Rio de Janeiro: SBM, Projeto Euclides, [10] Lima, Elon Lages. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática. [11] Lima, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e Outras Histórias. Rio de Janeiro: SBM, Coleção Professor de Matemática. bibitemelon-analisereal Lima, Elon Lages. Análise Real, Vol. 1. Rio de Janeiro: IMPA, Coleção Matemática Universitária. 11