08/08/2017 MATEMÁTICA FINANCEIRA. Capítulo 1 Conceitos iniciais e diagrama de fluxo de caixa. Prof. Msc. Roberto Otuzi de Oliveira

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Msc. Roberto Otuzi de Oliveira Capítulo 1 Conceitos iniciais e diagrama de fluxo de caixa Três objetivos do capítulo Entender os propósitos da Matemática Financeira; Saber construir diagramas de fluxo de caixa; Compreender a evolução do dinheiro no tempo. 1

2 Uma pergunta inicial O que é Matemática Financeira? Introdução Definição de matemática financeira A matemática financeira compreende um conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, com o objetivo de resolver problemas relacionados às Finanças de modo geral, e que, basicamente, consistem no estudo do valor do dinheiro no tempo. Introdução O valor do dinheiro no tempo A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de caixa, verificados em diferentes momentos. Sabemos, intuitivamente, que é melhor termos uma determinada quantia ou crédito hoje do que em, digamos, 3 anos. Receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa. 2

3 Introdução Conceitos Básicos Dinheiro tem um custo associado ao tempo. Só se pode comparar valores se estes estiverem referenciados na mesma data. Só se pode efetuar operações algébricas com valores referenciados na mesma data. Nunca some valores com datas diferentes. Constatação importante Dinheiro tem custo no tempo!!! Primeiro passo Entendendo o dinheiro no tempo!!! 3

4 Juros (J) A mudança de valor do dinheiro ao longo de determinado período é chamada de valor do dinheiro ao longo do tempo. Receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa. Uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária amanhã. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definido pelos juros. Juros representa a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Pode ser definido, ainda, como o custo pelo uso do dinheiro. São os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia. Juros pagos: quando alguém utiliza recursos de terceiros paga juros pelo seu uso. Juros ganhos: quando alguém que poupou, realiza um investimento e, recebe uma remuneração na forma de juros. Juros (J) Outras denominações para juros são rendimento do capital, ganho sobre o capital ou remuneração do capital. Os juros devem ser eficientes de maneira a remunerar: o risco envolvido na operação; a perda do poder de compra (inflação); o custo de oportunidade. 4

5 Capital Inicial (C 0) Capital pode ser definido como sendo a quantia inicial que se tem ou que se recebe. Outras denominações para capital inicial são capital (C), principal (P), valor presente (VP), valor inicial, valor aplicado ou depósito inicial. Montante (M) Montante é o resultado total que se obtém da aplicação do capital, ou seja, é quanto se recebe ou se paga pelo empréstimo do capital. O montante também é chamado de capital final (C t), valor futuro (VF), valor de resgate, capital + juros, valor final ou valor capitalizado. Período (n) Período é definido como sendo o espaço de tempo pelo qual o capital ficou aplicado. Este dado vem representado por um número de períodos que podem ser, por exemplo, dias, meses, trimestres ou anos. Representamos o número de períodos pela letra n, mas ele também pode ser identificado pela letra t, de tempo. 5

6 Taxa de Juros (i) A taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, isto é, a remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo. As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária. A notação i vem do inglês interest (taxa). Taxa de Juros (i) Taxa de juros é a relação entre os juros recebido ou pago ao final de certo período de tempo de tempo (prazo) e o capital inicialmente aplicado, sendo definido como segue. i = J/C Onde i é a taxa de juros, J o valor dos juros pago e C o capital inicial. Observe que a taxa de juros deve ser, sempre, expressa numa unidade de tempo, por exemplo 20% a.a., 15% a.t., etc. Taxa de Juros (i) Fatores que influenciam, do ponto de vista microeconômico, as taxas de juros Custo de captação (taxa paga aos investidores + rateio de despesas administrativas); Margem de lucro, taxa para remunerar o capital investido; Taxa de risco (inadimplência), que é calculada pela relação entre volume de empréstimos não honrados e volume total de empréstimos concedidos; Inflação, taxa embutida para compensar a perda de poder aquisitivo da moeda; Impostos. 6

7 Taxa Percentual A taxa percentual se refere aos centos do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. Por exemplo, um capital de R$ 1.000,00 aplicado a 20% ao ano rende de juros ao final deste período: O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00. Taxa Unitária A taxa unitária centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo. No exemplo anterior, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20% = 20/100) por unidade de capital aplicada, ou seja: Forma PERCENTUAL EXEMPLOS DE TAXA DE JUROS Para transformar na forma unitária Forma UNITÁRIA 20% ao ano 20/100 0,2 ao ano 6% ao semestre 6/100 0,06 ao semestre 2% ao mês 2/100 0,02 ao mês 0,3% ao dia 0,3/100 0,003 ao dia Inversamente, para transformar uma taxa unitária em sua forma percentual deve-se multiplicá-la por

8 Nomenclatura Capital Inicial (C 0 ) ou Principal (P) ou Valor Presente (VP) Capital Final (C t ) ou Montante (M ou S) ou Valor Futuro (VF) Períodos: t ou n Juros ou rentabilidade: i ou r Diagrama de Fluxo de Caixa DFC Para facilitar a representação das operações financeiras, costuma-se empregar o Diagrama de Fluxo de Caixa, que consiste na representação gráfica da movimentação de recursos aolongo do tempo (entradas e saídas de caixa). Aspectos de um DFC A escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso em dias, semanas, meses, anos, etc. Os pontos 0 e n indicam as posições relativas entre as datas. O 0 (zero) representa a data inicial. 8

9 Aspectos de um DFC O ponto n representa o número de períodos passados. As entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos e tem sempre sinal positivo. São representadas por setas apontadas para cima. Aspectos de um DFC As saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Tem sinal negativo. São representadas por setas para baixo. Diagrama de Fluxo de Caixa Exemplos de entradas de caixa: Receita de vendas, recebimento de empréstimos, Recebimento pela venda de títulos, etc. Exemplos de saídas de caixa: Custo de aquisição de ativos, custos operacionais, Imposto de renda, etc. Fluxo de Caixa Líquido = Recebimento ( Desembolsos) 9

10 Diagrama de Fluxo de Caixa Representação gráfica da evolução do dinheiro no tempo Símbolos Movimentações de $ (+) Entradas (-) Saídas Taxa de juros = Tempo Juros (J) Valor Inicial (C) Diagrama de Fluxo de Caixa Pontos de Vista Ilustrando o Diagrama de Fluxo de Caixa Um investidor aplicou hoje $100,00 por um mês, planejando resgatar $108,00. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação. juros = $8,00 taxa = 8/100 = 8% ao período +108,00 0 meses 1-100,00 10

11 Capital inicial (C) ou Valor presente (VP) Montante (M) ou Valor futuro (VF) Tempo (n) Taxa de juros (i) taxa = 80/400 = 20% i ao período +480,00 VF VF - VP juros = $80, ,00 VP 4 n Regras Básicas Nas fórmulas de matemática financeira, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo. Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem ser efetuados através das regras de juros simples (média aritmética) e de juros compostos (média geométrica), dependendo do regime de capitalização definido para a operação. Critérios de capitalização dos juros Os critérios (regras) de capitalização demonstram como os juros são transformados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Nesta conceituação podem ser identificados dois regimes de capitalização dos juros: simples (ou linear) e composto (ou exponencial). 11

12 Exercícios 1. Classifique as definições em Valor presente (P) ou Valor futuro (F): a) Montante b) Capital inicial c) Valor por dentro d) Valor por fora e) Valor nominal f) Valor líquido g) Valor atual h) Principal i) Valor de face Exercícios 2. Elabore um DFC de um empréstimo contraído por alguém no valor de R$ 300,00, que será quitado mediante o pagamento de R$ 340,00 daqui a seis meses. Exercícios 3. Um aparelho de TV custa a vista R$ 900,00, podendo ser pago em duas parcelas mensais iguais no valor de R$ 500,00, uma delas na entrada. Para a operação de aquisição financiada, pede-se representar o diagrama de fluxo de caixa líquido da operação sob a ótica do lojista e determinar qual a taxa de juros da operação. 12

13 Exercícios 4. Hoje, um cliente do Banco da Praça gostaria de antecipar ou descontar o recebimento de uma nota promissória, no valor de R$ 6.000,00, com vencimento para 30 dias. A instituição, além de cobrar-lhe juros antecipadamente de R$ 1.000,00, obriga-o a manter uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 e remuneração a 10% durante o prazo da operação. Sob a ótica do cliente, qual o diagrama de fluxo de caixa correspondente? Qual a taxa de juros da operação? 13

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