Matemática financeira. Prof. Walter Sousa

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Pedro Lucas Silveira Schmidt
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1 Matemática financeira Prof. Walter Sousa

2 Com Juros ou sem juros? Um produto foi anunciado por R$ 1.000,00 e pode ser pago por uma das seguintes formas: À vista, com 10% de desconto. A prazo, em duas parcelas iguais de R$ 500,00, sendo uma no ato da compra e outra para 30 dias. Pergunta-se: A opção a prazo é com juros?

3 Juros(J) Termos principais O Juro é a remuneração do capital, paga pelo tomador de empréstimo. É o valor a ser pago ao credor, dono do capital, como compensação pelo uso do dinheiro.

4 Taxa de juros (percentual) Termos principais Valor percentual que indica a proporção entre os juros e o capital inicial. Indica os que se paga em cada 100 partes do capital. Exemplo: 18% ao ano (a.a)

5 Taxa unitária(ii): Termos principais É igual à percentual, dividida por 100. Indica o que se paga por unidade de capital. Obs: Nas fórmulas da matemática financeira, utilizaremos apenas taxas unitárias. Exemplo: 18% a.a corresponde a ii = 0,18 a. a

6 Capital (C) Termos principais É o valor em dinheiro disponibilizado na operação financeira. No início da operação é chamado de principal ou capital inicial.

7 Termos principais Prazo (tt) É o tempo decorrido durante o qual o principal ficará aplicado na operação financeira. Prazo comercial: Cada mês é de 30 dias e o ano comercial é de 360 dias. Prazo exato: Os dias são contados pelo calendário

8 Termos principais Montante (MM) É o valor futuro. Corresponde ao capital(c) acrescido dos juros(j) obtidos. MM = CC + JJ

9 Regime de Capitalização Regime de capitalização é o processo de formação de capital, indicando como os juros são gerados e incorporados ao capital no decorrer do tempo. Há dois regimes de capitalização: Capitalização Simples (juros simples) Capitalização composta (juros compostos)

10 Sistema de Juros Simples Regime de juros simples é o sistema de capitalização em que a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo), de modo que os juros e o montante variam ao longo do tempo conforme uma progressão aritmética. Os juros obtidos periodicamente não são remunerados, e o montante é calculado apenas no final da operação.

11 Cálculo do Juros Simples Os juros simples são diretamente proporcionais ao capital (C), à taxa de juros(i), e ao prazo(t) da aplicação. JJ = CC ii tt MM = CC (1 + ii tt) Obs: taxa(i) e prazo(t) na mesma unidade de tempo

12 (FCC/2017) João emprestou a quantia de R$ ,00 a seu filho Roberto. Trataram que Roberto pagaria juros simples de 4% ao ano. Roberto pagou esse empréstimo para seu pai após 3 anos. O valor total dos juros pagos por Roberto foi (A) R$ 3.410,00. (B) R$ 2.820,00. (C) R$ 2.640,00. (D) R$ 3.120,00. (E) R$ 1.880,00. Exercício exemplo 1 Gab.: B

13 Matemática financeira Prof. Walter Sousa

14 (FCC/2017) Uma geladeira está sendo vendida nas seguintes condições: Preço à vista = R$ 1.900,00; Condições a prazo = entrada de R$ 500,00 e pagamento de uma parcela de R$ 1.484,00 após 60 dias da data da compra. A taxa de juros simples mensal cobrada na venda a prazo é de (A) 1,06% a.m. (B) 2,96% a.m. (C) 0,53% a.m. (D) 3,00% a.m. (E) 6,00% a.m. Exercício exemplo 2 Gab.: D

15 Sistema de Juros Compostos Regime de juros compostos é o sistema de capitalização em que a taxa de juros incide sobre o capital principal e sobre os juros acumulados nos períodos anteriores. O montante é crescente segundo uma progressão geométrica. Os juros são acrescidos ao capital a cada período, chamado período de capitalização, formando o montante parcial que, por sua vez, passará a render juros para o período seguinte.

16 Montante simples x composto Tabela da evolução de um capital de R$ 1.000,00 por 3 anos a 10% ao ano. Período ano Juros simples Montante simples Juros compostos Montante composto 1 10% x 1000 = % x 1000 = % x 1000 = % x 1000 = % x 1100 = % x 1210 =

17 Montante Simples X Montante Composto

18 Cálculo dos Juros Compostos Montante MM = CC (1 + ii) tt O termo (1 + ii) tt é chamado fator de acumulação de capital, para pagamento único, podendo ser tabelado. Juros JJ = MM CC

19 (FCC) A Cia. Escocesa, não tendo recursos para pagar um empréstimo de R$ ,00 na data do vencimento, fez um acordo com a instituição financeira credora para pagá-la 90 dias após a data do vencimento. Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pela instituição financeira foi 3% ao mês, o valor pago pela empresa, desprezando-se os centavos, foi, em reais, (A) ,00. (B) ,00. (C) ,00. (D) ,00. (E) ,00. Gab.: A Exercício exemplo 3

20 Exercício exemplo 4 Determine o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado por 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês.

22 (FCC) A aplicação de um capital (C), sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10,5% ao ano, permitiu que fosse resgatado no final do período de aplicação de 16 meses um montante igual a R$ ,00. Caso este capital (C) fosse aplicado durante 1 ano, sob o regime de capitalização composta a uma taxa de 6% ao semestre, o valor dos juros no final de 1 ano, em R$, seria de (A) 1.545,00. (B) 1.483,20. (C) 1.606,80. (D) 1.500,00. (E) 1.575,90. Exercício exemplo 5

23 Convenção Linear X Convenção Exponencial Para períodos de tempo não inteiros, teremos dois casos: a) Convenção Exponencial O prazo não inteiro deve ser considerado para efeitos de cálculo e utilizado na fórmula, aplicando o conceito de produto de potências.

24 Convenção Linear X Convenção Exponencial Para períodos de tempo não inteiros, teremos dois casos: a) Convenção Exponencial O prazo não inteiro deve ser considerado para efeitos de cálculo e utilizado na fórmula, aplicando o conceito de produto de potências.

25 Exemplo: Convenção Linear X Convenção Exponencial Um capital de R$ ,00, aplicado no regime de juros compostos, por um período de 2 anos e 6 meses, a uma taxa de juros de 15% ao ano, adotando a convenção exponencial. MM = 10000(1 + 0,15) MM = 10000(1,15) 2 (1,15) 1 2 MM = ,3225 1,0724 M = ,49

26 b) Convenção Linear Convenção Linear X Convenção Exponencial A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária. O montante total é calculado em duas etapas: Calcula-se, primeiramente, o montante composto para a parte inteira do prazo. Remunera-se a juros simples o montante apurado anteriormente, utilizando-se como prazo a parte fracionária restante do período. O montante total será a soma do montante composto inicialmente calculado, com os juros simples obtidos na segunda etapa.

27 Exemplo: Convenção Linear X Convenção Exponencial Um capital de R$ ,00, aplicado no regime de juros compostos, por um período de 2 anos e 6 meses, a uma taxa de juros de 15% ao ano, adotando a convenção linear. MM = 10000(1,15) 2 MM = ,00 JJ ss = , JJ ss = 991,88 MM tt = MM + JJ ss MM = ,88 = MM = ,88

28 Taxas Proporcionais Duas taxa são proporcionais quando a razão entre as taxas é igual à razão entre os tempos das taxas, na mesma unidade. Exemplo: A taxa de 18% ao semestre é proporcional a 3% ao mês. Obs: No regime de juros simples, taxas equivalentes. proporcionais são

29 Taxas Equivalentes Duas taxas são equivalentes se produzirem os mesmos montantes (ou juros) quando aplicadas sobre um mesmo capital, no mesmo prazo. Exemplo: A taxa de 10% ao mês é equivalente a 21% ao bimestre. (juros compostos) Escala de equivalência das taxas: 1 + iiii = (1 + iiii) 2 = (1 + iiii) 3 = (1 + iiii) 4 = (1 + iiii) 6 = (1 + iiii) 12 = (1 + iiii) 360

30 Exercício exemplo 5 a) A taxa de 20% ao semestre equivale a que taxa anual? b) A taxa de 5 % ao mês, corresponde a qual taxa semestral? c) A taxa de 69% ao ano equivale a que taxa semestral?

31 Taxas Nominais Uma taxa é nominal se o período de tempo da taxa é diferente do período de capitalização. Exemplo: 18% ao semestre, capitalizados mensalmente. Obs: taxas nominais não podem ser utilizadas nas fórmulas da matemática financeira.

32 Taxas Efetivas Uma taxa é efetiva se o período de tempo da taxa é igual ao período de capitalização. Exemplo: 3% ao mês, capitalizados mensalmente. Obs: Nas fórmulas da matemática financeira, devemos utilizar somente as taxas efetivas.

33 Transformações entre taxas a) Taxas nominais em efetivas: Utiliza-se o conceito de taxas proporcionais (fazer regra de três). b) Taxas efetivas em efetivas: Utiliza-se o conceito de taxas equivalentes (escala de equivalência).

34 Exercício Exemplo 6 (ESAF/AFRF) A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal é equivalente a uma taxa trimestral de: a) 60% b) 66,6% c) 68,9% d) 72,8% e) 84,4%

35 Taxa Real de Juros É Taxa de juros que considera a taxa de inflação para aferir o ganho real. Fórmula: RIA (1 + IIII) 1 + IIII = (1 + IIII) IIII = taxa real IIII = taxa de inflação IIII = taxa aparente (efetiva)

36 Exercício exemplo 6 (FCC) Um investimento rendeu 68% em um período, no qual a inflação foi de 40%. O ganho real nesse período foi de: a) 20% b) 22% c) 24% d) 26% e) 28%

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