INTRODUÇÃO JUROS SIMPLES

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1 INTRODUÇÃO... 1 JUROS SIMPLES... 1 MONTANTE E VALOR ATUAL... 3 CONVERSÃO DE TAXAS... 4 CONVERSÃO DE PERÍODOS... 4 TAXA PROPORCIONAL... 7 TAXAS EQUIVALENTES... 7 JURO EXATO COMERCIAL... 7 DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL (ou POR DENTRO) DESCONTO COMERCIAL (ou POR FORA) DESCONTO BANCÁRIO TAXA EFETIVA DE UM DESCONTO SIMPLES RESPOSTAS INTRODUÇÃO Fundamentalmente, a Matemática Financeira estuda os procedimentos utilizados em pagamentos de empréstimos, bem como os métidos de análise de investimentos em geral. Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante um certo tempo, essa quantia é chamada capital (ou principal) é indicaremos, neste material didático, por C. O valor que o credor (aquele que empresta) cobra pelo uso do dinheiro, ou seja, o valor pago pelo tomador do empréstimo, é chamado de juros e indicaremos por J. A taxa de juros, que indicaremos por i (do inglês: interest, que significa juros) é expressa como uma porcentagem do capital. Ela representa os juros numa certa unidade de tempo, normalmente indicada por a.d. (ao dia), a.m. (ao mês), a.b. (ao bimestre), a.t. (ao trimestre), a.a. (ao ano), etc. JUROS SIMPLES Consideremos um capital C aplicado a juros simples, a uma taxa i por período e durante n períodos de tempo. Os juros do 1º período são iguais a C i e, de acordo com a definição de capitalização simples, em cada um dos períodos os juros são iguais a C i, conforme ilustrado abaixo: MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM

2 Assim, os juros simples da aplicação serão iguais à sona de n parcelas iguais a C i, ou seja: J = C i + C i + C i + + C i e, portanto: Juros Simples n parcelas J = C i n Os juros simples são resultados do produto do capital pela taxa e pela quantidade de períodos (prazo) da aplicação. Observamos que nessa fórmula, o prazo n deve estar expresso na mesma unidade de tempo da taxa i, isto é, se a taxa for definida em meses, o prazo também deve vir em meses, se a taxa estiver em anos, o prazo também deve ser anual. Ex.1: Um capital de $8.000 é aplicado a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 5 meses. Quanto, de juros, é auferido da aplicação? Do enunciado, temos C = 8.000, i = 0,02 e n = 5. Como a taxa e o tempo estão na mesma unidade (meses) podemos aplicar diretamente a fórmula J = C i n J = ,02 5 J = ,1 J = 800 Resp.: $ 800. Ex.2: Obter os juros de uma aplicação de R$5.000,00 a juros simples e à taxa de 3% a.m., durante 2 anos. do enunciado, temos C = 5.000, i = 0,03 e n = 24 meses. Para calcular os juros, fazemos: J = C i n J = ,03 24 = Resp.: O juros da aplicação é R$3.600,00 Ex.3: Uma geladeira é vendida à vista por R$1.200,00 ou a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de R$1.100,00 após 3 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Para calcular a taxa de juros, precisamos determinar: A entrada: = O capital financiado: = 960 O montante do capital financiado: O juro do financiamento: = 140 Assim, chamando de i a taxa mensal de juros, podemos escrever: J = C i n 140 = 960 i 3 i = i = 0,0486 = 4,86% Resp.: a taxa do financiamento é 4,86%a.m. Ex.4: Um capital de R$12.000,00 é aplicado a juros simples durante 72 dias. Qual o valor dos juros simples para: a) taxa de 3% a.m.? e b) taxa de 45% a.a.? em situações como esta, quando o prazo é dado em dias, para efeito de cálculo, utilizamos o calendário comercial de 360 dias. Por convenção, todos os meses são considerados com 30 dias e o ano com 360. Dessa forma, temos: a) n = = 2,4 meses J = C i n J = ,03 2,4 = 864 Resp.: R$864,00 b) n = 72 = 0,2 ano 360 J = C i n J = ,45 0,2 = Resp.: R$1.080,00 01) Calcule os juros simples recebidos em cada uma das aplicações: Capital Taxa Prazo a) $ ,5% a.m. 8 meses b) $ % a.t. 1 ano e meio c) $ ,7% a.m. 1 ano e meio CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 02) Um capital de $ é aplicado a juros simples, durante 2 anos, à uma taxa de 2% a.m. qual o juro obtido? 03) Qual o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 8 meses, gera um juro de R$6.000,00? 04) Determine o capital que, aplicado a juros simples de 2,5% a.m., durante 2 anos, resulta em um juro de R$ 6.000,00? 05) Calcule o capital que, aplicado a juros simples durante 11 meses e à taxa de 1,5% a.m., proporciona juros de R$700,00. 06) O banco Canguru empresta R$ ,00 a uma firma pelo prazo de 120 dias cobrando juros simples de 3% a.m. Simultaneamente ele paga aos aplicadores dessa quantia, juros simples com prazo de 120 dias, à taxa de 2% a.m. a) Qual a diferença entre os juros recebidos e os pagos após os 120 dias? b) qual o valor dos juros pagos aos aplicadores? Ex.1: Qual o montante obtido a partir da aplicação de um capital de R$5.000,00 durante 10 meses a uma taxa de 4% a.m.? M = C(1 + in) M = (1 + 0,04 10) M = ,4 M = R: R$7.000,00. 08)O Sr. Marcelo quer dividir seu capital de R$30.000,00 em duas partes, uma pra er aplicada no Banco Canguru, que paga juros simples à taxa de de 1,8% a.m., e a outra n Banco Marsupial, que paga também juros simples à taxa de 2,2% a.m.. A aplicação no banco Canguru é por 2 anos e no Banco Marsupial é por 1 ano e meio. Calcule o valor aplicado em cada banco sabendo que os juros auferidos em cada aplicação foram iguais. 07) Roberto pretende comprar um carro usado cujo preço é R$12.000,00 para pagamento daqui a 4 meses. Se ele conseguir aplicar seu dinheiro a juros simples e à taxa de 2% a.m.: a) quanto deverá aplicar no ato da compra para fazer frente ao pagamento? b) Se o preço do pagamento a vista for de R$11.200,00, é melhor ele pagar a vista ou a prazo? MONTANTE E VALOR ATUAL Chama-se montante de um principal (ou valor atual) à soma desse principal com os juros auferidos durante o período em que o principal esteve investido. Assim, Montante M = C + j M = C(1 + i n) 09) Uma TV é vendida à vista por R$1.800,00 ou então co R$400,00 de entrada mais uma parcela de R$1.500,00 após dois meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 10) Uma maquina de lavar roupa é vendida à vista por R$1.500,00 ou então com 30% de entrada mais uma parcela de R$1.200,00 após 3 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 11) Um televisor é vendido a vista por R$1.000,00 ou a prazo com 10% de entrada e mais uma parcela de R$1.080,00 após 4 meses. Neste caso, a taxa mensal de juros simples do financiamento é de 4,5%. Classifique a assertiva acima como Verdadeira ou Falsa. 12) Carlos adquiriu uma televisão usada pagando uma entrada de R$200 e mais uma parcela de R$450,00 dois meses após a MATEMÁTICA FINANCEIRA 3 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM

4 compra. Se tivesse pago a vista o aparelho sairia por R$600,00. a) Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? b) Após quantos meses da compra deveria vencer a parcela de R$450,00 para que a taxa de juros simples do financiamento fosse de 2,5% ao mês? 13) O preço à vista de uma mercadoria é R$130,00. O comprador pode pagar 20% no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$128,96 vencível em 3 meses. Admitindose o regime de juros simples, qual a taxa anual cobrada na venda a prazo? 14) Um aparelho de som é vendido por $1.200 para pagamento em 3 meses após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 9% sobre o preço de $ Qual a taxa mensal de juros simples cobrada na compra a prazo? 15) Resolva o mesmo exercício anterior considerando um desconto de 5% sobre o preço de $ ) Um banco condedeu a uma empresa, um empréstimo a juros simples por 15 meses. Qual a taxa mensal sabendo que o montante é igual a 160% do capital emprestado? 17) Durante quanto tempo um capital de R$25.000,00 deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 2% a.m. para se obter um montante de R$30.000,00? 18) Um capital aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. triplica em qual prazo? Se em um ano tem 2 semestres, então devemos dividir 15 por 2. Assim 15% a.a = 7,5%a.s. Ex.2: Converter 15% ao ano em taxa mensal. Como em um ano tem 12 meses, temos que dividir 15 por 12. Assim, 15%a.a = 1,25%a.m. Para converter taxas de períodos menores para períodos maiores ( por exemplo de mês para ano), deve-se multiplicar a taxa pela quantidade de períodos menores equivalentes ao maior. Ex.1: Converter 2% ao trimestre em taxa semestral. Como em um semestre existem 2 trimestres, então devemos multiplicar 2% por 2. Assim 2%a.t = 4%a.s. Ex.2: Converter 2% ao trimestre em taxa anual. Como em um ano existem 4 trimestres, então devemos multiplicar 2% por 4. Assim 2% a.t. = 8%a.a. CONVERSÃO DE PERÍODOS Para converter períodos (anos, semestres, meses, dias...) devemos utilizar regras de três simples e direta tendo como base a seguinte tabela de conversão: 1 ano = 2 semestres 1 semestre = 2 trimestres 1 trimestre = 3 meses 1 bimestre = 2 meses 1 mês = 30 dias CONVERSÃO DE TAXAS Para Converter taxas de períodos maiores para períodos menores ( por exemplo, de ano para mês), deve-se dividir a taxa pela quantidade de períodos menores equivalentes ao do maior Ex.1: Converter 2 anos em dias. Resolução 2 1 = x x = Assim, 2 anos equivale a 720 dias. Ex.1: Converter 15% ao ano em taxa semestral. Resolução Ex.2: Converter 3 anos e meio em semestres. Resolução CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 1 2 = 3,5 x x = 7 Assim, 3,5 anos equivale a 7 semestres Nos exemplos a seguir, veremos situações envolvendo cálculo de juros e montante envolvendo casos de conversões de taxas e/ou de períodos. Ex.1: Um capital de $ foi aplicado durante 3 meses à taxa de 5% a.t.. Qual o montante recebido após o final do período? 5 J = = 600 M = = Resp.: Ao final do trimestre será recebido, pelo credor, $ Ex.2: Uma empresa recebeu um empréstimo bancário de $ por 1 ano, pagando um montante de $ qual foi a taxa anual de juros desta operação? M = C + J = J J = J = J = C i = i i = i = 0,4 = 40% Resp.: A taxa de juros foi de 40% a.a.. Ex.3: Um investidor aplicou $ numa caderneta de poupança e $ num fundo de investimento, pelo prazo de 1 ano. A caderneta de poupança rendeu 9% e o fundo, 12%. Qual a taxa global de juros recebido pelo investidor? 9 CP: J CP = = FI: J FI = = Juros total: J = = i = J C = = 0,1020 = 10,2% Resp.: A taxa de juros global fi de 10,2%a.a. Ex.4: Um investidor aplicou 80% de seu capital no fundo A e o restante num fundo B, pelo prazo de 1 ano. Neste período, o fundo A rendeu 16% equanto o fundo B rendeu 10%. Qual a taxa global recebida pelo investidor? Chamaremos de C o capital total,c A é o capital aplicado no fundo A e C B é o capital aplicado no fundo B. Então: C A = 0,8C e C B = 0,2C Juros oriundos do fundo A: 16 J A = C A = 0,8C 0,16 = 0,128C 100 Juros oriundos do fundo B: 10 J B = C B = 0,2C 0,1 = 0,02C 100 Juros total obtido: J = J A + J B = 0,128C + 0,2C = 0,148C Agora, para determinar a taxa global de juros, fazemos i = J C i = J C = 0,148C = 0,148 = 14,8% C Resp.: A taxa global recebida pelo investidor foi de 14,8% a.a.. 18) Um capital de $4.000 foi aplicado durante 2 meses à taxa de 3% a.b.. Calcule os juros e o montante recebido. 19) Manoel aplicou $ durante 6 meses num fundo que rendeu 10% a.s.. Qual o montante recebido? 20) Luiz aplicou $ numa caderneta de poupaça pelo prazo de 1 ano. Sabendo-se que a taxa era de 9% a.a., qual o valor do montante? 21) Sueli aplicou $4.800 num fundo de investimento e recebeu, 3 meses depois, $500 de juros. Qual foi a taxa trimestral de juros da aplicação? MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM

6 22) Uma empresa tomou um empréstimo de $ por 1 dia à taxa de 0,2% a.d.. Qual o valor do montante pago? 23) Robert aplicou $ num fundo e recebeu, 1 ano depois, um montante de $ Qual foi a taxa anual de juros recebida? 24) Em um empréstimo de $50.000, feito por 1 mês, uma empresa pagou um montante de $ qual a taxa mensal do empréstimo? 25) Um investidor dobrou seu capital numa aplicação por 2 anos. Qual a taxa de juros bienal no período da aplicação? 26) O preço de tabela de um determinado produto é $ O produto tem um desconto de 10% para pagamento a vista e um desconto d 7,2% para pagamento em 30 dias. Admitindose que o valor desembolsado no pagamento a vista possa ser aplicado pelo comprador em uma aplicação de 30 dias, com rendimento de 3% a.m., determine: a) Quanto o comprador teria ao final da aplicação? b) Qual a operação mais vantajosa para o comprador: pagar a vista ou aplicar o recurso e pagar 30 dias depois? Por quê? 27) Um investidor estrangeiro, traz para o Brasil X$ (50 mil unidades da moeda do seu pais), faz a conversão dessa moeda para reais, aplica os reais por um ano à uma taxa de 18% ao ano. No resgate, converte os reais recebidos para a moeda de seu pais e reenvia o dinheiro para sua família. No dia da aplicação, X$1,00 valia R$1,10 e um ano depois, no dia do resgate, X$1,00 valia R$1,20. a) Qual a taxa de rendimento dessa aplicação considerando os valores expressos na moeda X? b) Quanto deveria valer X$1,00 na data do resgate (um ano após a aplicação) para que a taxa de rendimento na moeda X tivesse sido de 12% ao ano? 28) Pedro aplicou $ num fundo A e $ num fundo B pelo prazo de três meses. Nesse período, o fundo A rendeu 15% e o B rendeu 12%. Qual a taxa global de rendimento no trimestre? 29) Jair aplicou 60% de seu capital na caderneta de poupança e o restante num fundo de investimento, pelo prazo de 6 meses. Nesse período, a caderneta de poupança rendeu 5% e o fundo, 8%. Qual a taxa global de rendimento auferido por Jair nesse período? 30) Leandro aplicou 30% de seu capital num fundo A, 30% num fundo B e o restante num fundo C, pelo prazo de 8 meses. Nesse período, o fundo A rendeu 8%, o fundo B, 12% e o C, 6%. Qual a taxa global de rendimento obtida por Leandro? 31) Vitor tem $ para investir pelo prazo de um ano. Ele pretende investir parte na aplicação A que tem rendimento esperado de 15% ao ano sobre o valor investido, e parte numa outra aplicação B que dá um rendimento esperado de 20% sobre o valor investido. a) Qual o rendimento anual esperado, se ele aplicar $7.000 em A e $5.000 em B? b) Qual o máximo que ele deve investir em A para auferir um ganho esperado de, no mínimo, $2.200 daqui a um ano? 32) Uma pessoa investiu certo capital, por um período de 5 anos, da seguinte maneira: com 2 5 do capital, comprou ações da Bolsa de Valores; do restante, aplicou metade em imóveis e metade em caderneta de poupança. Ao final de 5 anos, ela contabilizou um prejuízo de 2% na aplicação de ações, um ganho de 20% na aplicação imobiliária e um ganho de 26% na aplicação em poupança. Calcule, em relação ao capital inicial, o percentual ganho pelo investidor. 33) (Cespe/UnB 2002) Uma pessoa recebeu R$ 6.000,00 de herança, sob a condição de investir todo o dinheiro em dois tipos particulares de ações, X e Y. As ações do tipo X pagam 7% a.a e as ações do tipo Y pagam 9% a.a. A quantia que a pessoa pode investir nas ações x, de modo a obter R$ 500,00 de juros em um ano, é CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 R$ 1.200,00 R$ 1.600,00 R$ 2.000,00 R$ 2.300,00 R$ 2.500,00 34) (ENEM-2011) Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro: Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56. o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38. o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87. TAXA PROPORCIONAL Uma taxa i 1 aplicada num período n 1 é proporcional à uma taxa i 2 por um período n 2 se: i 1 n 1 = i 2 n 2 e isto é equivalente a dizer que: i 1 n 2 = i 2 n 1 Ex.1: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. i 1 = 5% a. t = 0,05 a. t. i 2 = 20% a. a = 0,2 a. a. n 1 = 1 trimestre = 3 meses n 2 = 1 ano = 12 meses i 1 = i 2 0,05 n 1 n 2 3 = Como o produto dos meios (3 0,20) é igual ao produto dos extremos (0,05 12), então a proporção é válida e assim concluímos que as taxas, nos períodos referentes, são proporcionais. Ex.2: Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de 12% ao trimestre? i 1 = 12% a. t. = 0,12 a. t. i 2 = x n 1 = 1 trimestre = 3 meses n 2 = 1 bimestre = 2 meses i 1 = i 2 0,12 n 1 n 2 3 = x x = 0,08 = 8% 2 Resp.: 8% TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas de juros são chamadas de equivalentes se aplicadas ao mesmo capital, pelo mesmo intervalo de tempo, produzem os mesmos juros. No regime de juros simples, as taxa de juros proporcionais são, também, equivalentes. JURO EXATO COMERCIAL O Juro comercial é obtido considerando o mês e o ano comercial, ou seja, um mês com 30 dias e um ano com 360 dias. O juro exato, por sua vez, é obtido considerando o mês com 28, 29, 30 ou 31 dias, conforme o caso e o ano com 365 ou 366 dias. É pouco comum utilizar o Juro Exato. Esta situação fica restrita a contratos com datas de início e término explícitas. Para contar a quantidade de dias entre duas datas específicas, utilizamos a tabela abaixo MATEMÁTICA FINANCEIRA 7 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM

8 Dias Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Para encontrar a quantidade de dias exatos entre duas datas utilizando a tabela da página anterior, seguimos três passos: I) procuramos o número relativo à data inicial do período; II) procuramos o número relativo à data final do período; III) Fazemos a diferença entre os números encontrados; Vamos ver agora três exemplos de utilização da tabela. Ex.1: Quantos dias exatos existem entre 29 de junho e 16 de novembro de um mesmo ano? i) Número relativo à 29 de junho: 180 CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 ii) Número relativo à 16 de novembro: 320 iii) = 140 Resp.: Entre 29 de junho e 16 de novembro existem 140 dias. Ex.2: Quantos dias exatos existem entre 05 de janeiro e 28 de maio de um mesmo ano? i) Número relativo à 05 de janeiro: 5 ii) Número relativo à 28 de maio: 148 iii) = 143 Obs.: Como o final do mês de fevereiro está entre as datas indicadas e cientes de que fevereiro pode ter 28 ou 29 dias, temos que avaliar esta situação. Se o ano em questão for bissexto 1, devemos somar um dia ao resultado encontrado. Neste problema, como não foi especificado o ano, podemos dar como resposta: Resp.: 143 ou 144 dias conforme o caso. Ex.3: Quantos foram os dias entre 21 de novembro de 2010 e 15 de Março de 2012? Para resolver a questão vamos ter que encontrar quantos dias faltam pra terminar o ano de 2010 (de 21/nov a 31/dez), a quantidade de dias em 2011 e a quantidade de dias de 01/jan a 15/mar em Em 2010: i) Número relativo à 21 de novembro: 325 ii) Número relativo à 31 de dezembro: 365 iii) = 40 Em 2011 Como é um ano completo (e não bissexto), são 365 dias. Em 2012 i) Número relativo a 01 de Janeiro: 1 ii) Número relativo a 15 de Março: 74 iii) 74 1 = 73 Agora somamos os valores encontrados em cada ano: = 478 Resp,: 478 dias. 35) Qual o juro simples devido ao capital de $ 5.000,00 calculado sobre a taxa de 6% ao semestre, durante 5 anos e 9 meses? 36) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$10.000,00 pelo prazo de 5 meses sabendo-se que a taxa cobrada é de 2% ao mês? 37) um capital de R$25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$7.875,00. Determinar a taxa mensal de juros. 38) Uma aplicação de R$30.000,00 pelo prazo de 210 dias obteve um rendimento de R$6.300,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 40) Qual capital que, à taxa de 2% ao mês, rende juros de R$2400,00 em um ano? 41) Um empréstimo de R $ ,00 é liquidado por R $29.200,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa MENSAL DE juros. 42) Determine o valor dos juros de uma aplicação de R $10.000,00 feita a taxa de 4% a.m. Pelo prazo de 96 dias. 43) Qual quantia de juros simples é obtida de um capital de R$1.250,00 durante 48 meses a uma taxa de 14% ao ano? 44) Qual quantia de juros simples é obtida de um capital de R$1.250,00 durante 4 anos a uma taxa de 2% a.m.? 1 Pesquise ou discuta com seus colegas sobre quais anos são bissextos. Converse com seu professor de Geografia ou pesquise sobre porque há anos com um dia a mais. MATEMÁTICA FINANCEIRA 9 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM

10 45 ) Qual quantia de juros simples é obtida de um capital de R$1.250,00 durante 6 meses a uma taxa de 0,02% ao dia? 46) Qual quantia de juros simples exatos é obtida de um capital de R$1.250,00 durante os 6 primeiros meses de 2016 a uma taxa de 0,02% ao dia? 47) Uma aplicação de R$50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$8.250,00. Determine a taxa anual correspondente a esta aplicação. 48) Calcular o montante da aplicação de R$4.000,00 pelo prazo de 12 meses à taxa de 3% a.m. 49) Qual capital deve ser investido à uma taxa de 5% a.m. para que se obtenha um montante de R$20.000,00 em 8 meses? 50) Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$60.000,00 sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e que faltam 4 meses para seu vencimento. 51) Sabendo-se que um certo capital, aplicado durante 10 meses, à taxa de 36% ao ano, rende R$6.000,00 de juros, determinar o montante. 52) Um empréstimo de R$80.000,00 deverá ser quitado com R$ ,00 no final de 12 meses. Determinar a taxa mensal e anual da operação. 53) Um empréstimo de R$30.000,00 deverá ser quitado com R$60.000,00 no final de 12 meses. Determinar a taxa mensal e anual da operação. 54) Em que prazo, uma aplicação de R$35.000,00 pode gerar um montante de R$53.375,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano? 55) Determine o montante de uma aplicação de um capital de R$10.000,00 pelo prazo de 360 dias, às taxa de 3% a.m. 56) Determine o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$ ,00 sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. e que faltam 210 dias para o seu vencimento. 57) Calcular o valor de resgate de uma aplicação de R$50.000,00 pelo prazo de 2 anos e 6 meses à taxa simples de 24% a.a. 58) Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1,5% a.m.? 59) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.? 60) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de 7 meses. 61) Um investidor que aplicou um capital durante 25 meses, à taxa de juros simples de 2,0% ao mês, resgatou, no final da operação, R$ ,00 de juros. Qual o valor, em reais, aplicado por esse investidor? , , , , ,00 DESCONTO SIMPLES A ideia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade é comum o vendedor conceder algum desconto no preço por unidade. No comércio é bastante CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 comum também o vendedor conceder um prazo para pagamento; caso o comprador queira pagar à vista, geralmente é proporcionado um desconto sobre o preço oferecido. Quando se faz uma aplicação com vencimento pré-determinado, aquele que aplica recebe um compromisso de aplicação a qual denomina-se nota promissória ou letra de câmbio. Quando uma empresa vende um produto ou serviço a prazo e emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador ou contratante do serviço, numa data futura, o valor combinado. A partir deste momento em que o investidor aplicou seu dinheiro ou a empresa que vendeu o produto ou serviço poderá ir ao banco e efetuar um desconto de duplicata. Em outras palavras, a empresa cede ao bando o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente. A operação desconto pode ser descrita como o custo financeiro do dinheiro pago em função da antecipação de recurso, ou seja, podemos dizer que desconto é o abatimento feito no valor da dívida, quando ela é negociada antes do seu vencimento. O desconto simples é aquele obtido em função de cálculos lineares. Neste tipo de capitalização existem três tipos de desconto: o desconto comercial ou por dentro, o desconto racional ou por fora e o desconto bancário. Nas próximas sessões desta apostila veremos estes três tipos de descontos. DESCONTO RACIONAL (ou POR DENTRO) O desconto simples racional (também chamado de desconto por dentro ou desconto real) é equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa dada e durante n períodos. Para obtêlo, fazemos a diferença entre o valor nominal e o valor atual do compromisso que será saldado n períodos antes de seu vencimento. De : Pela definição acima temos: V n = V P (); e D R = V n V P. V P = V n Substituindo V p em, temos: V n D R = V n Assim: D R = V n() V n D R = V n + V n d n V n D R = V n d n Desta forma, as três fórmulas que utilizaremos quando tratarmos de Desconto Racional são: Desconto Racional (Desconto por dentro) Valor Presente D R = V n d n V p = V n D R V P = V n Onde: D R é o Desconto Racional; V n é o valor nominal (ou valor futuro); n é o prazo até o vencimento do título; d é o desconto; e V p é o valor presente (valor atual comercial) MATEMÁTICA FINANCEIRA 11 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM

12 Ex.1: Uma pessoa pretende saldar um título de R$12.000,00, 4 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 2,7% a.m., a) quanto será o desconto e b) quanto pagará? a) desconto: D R = V n d n ,027 4 D R = 1 + 0,027 4 D R = 1169,68 Resp. O desconto será de R$1.169,68 b) Valor descontado: V p = V n D R V p = ,68 V p = ,32 Resp.: Pagará R$10.830,32 Ex.2: Determinar o valor do desconto por dentro de um título de $18.500,00 com vencimento para 5 meses à taxa de 3,1% a.m. D R = V n d n D R = , ,031 5 D R = 2.482,68 Resp.: O desconto será de $2.482,68 Ex.3: Numa operação de antecipação de saldo de um título de R$2.000,00 em 4 meses, foi resgatado $1.760,00. Qual a taxa mensal de desconto por dentro? V p = V n D R d = 1 + d 4 240(1 + d 4) = 8000d d = 8000d 7040d = 240 d = d = 0, Resp.: A taxa é de 3,409% a.m. DESCONTO COMERCIAL (ou POR FORA) É aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o valor nominal do compromisso, o qual será saldado em n períodos antes de seu vencimento. É obtido multiplicando-se o valor do resgate (valor nominal - V n ) do título pela taxa de desconto (d), e esse produto pelo prazo a decorrer do vencimento do título, ou seja: Desconto Comercial (Desconto por fora) Valor Presente D c = V n d n V p = V n D c V P = V n (1 d n) Onde: D c é o desconto comercial; V n é o valor nominal (ou valor futuro); n é o prazo até o vencimento do título; d é o desconto; e V p é o valor presente (valor atual comercial) = D R D R = 240 D R = V n d n Ex.1: Um título de R$12.000,00 é descontado 5 meses antes de seu vencimento a uma taxa de 2,42% a.m. Qual o valor do desconto comercial? CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG CAMPUS OURO PRETO

13 D c = V n d n D c = , D c = 1542 Resp.: R$1.542,00 Ex.2: Determinar o valor do desconto por fora de um título de $18.500,00 com vencimento para 5 meses à taxa de 3,1% a.m. Resolução D c = V n d n D c = ,031 5 D c = 2867,5 Resp: R$2.867,5 OBS.: Compare este resultado com aquele do exemplo 2 na página anterior. Note que os dados são os mesmos (valor nominal, prazo e taxa). Tente explicar porque no desconto por fora o desconto foi maior. Ainda sobre os exemplos citados no parágrafo anterior, perceba que o desconto comercial é maior que o desconto racional. Quando fazemos o desconto racional, a taxa de desconto deve ser capaz de reproduzir o montante quando aplicada, no mesmo prazo, ao valor descontado. É evidente que isto não acontece com o desconto comercial então a taxa de desconto comercial não é a taxa de juros da operação. Assim, temos eu calcular esta taxa. Antes vamos encontrar o valor descontado (valor presente): V p = V n D c V p = ,5 V p = 15632,5 i 5 = 2867, ,5 0,1834 (Chamamos de i 5 porque a taxa está em 5 meses) i = i 5 5 = 0,1834 0, Assim, a taxa de juros mensal da operação é de 3,67%. Então, devemos ficar atentos pois no desconto comercial, é preciso distinguir entre a taxa de desconto utilizada na operação e a taxa implícita que é cobrada efetivamente. 62) Qual o valor do desconto comercial de um título de R$2.500,00 com vencimento para três meses, à taxa de 3% a m.? 63) Qual a taxa de desconto comercial utilizada numa operação de 120 dias, cujo valor de resgate é de R$1.000,00 e cujo valor atual é de R$500,00? 64) Uma duplicata no valor de R$16.800,00 é descontada por um banco gerando um crédito de R$16.000,00 na conta do cliente. Sabendo que taxa cobrada pelo banco é de 2,2% a.m., determinar o prazo de vencimento da duplicata. 65) Calcule o valor líquido depositado na conta de um cliente que antecipou um título de R$34.000,00 com prazo de 41 dias sabendo que o banco cobra uma taxa de 4,7% a.m. 66) Um título de R$2.540,00 vai ser descontado à taxa de 2% a.m. em 45 dias antes de seu vencimento. Qual será o desconto? 67) Uma duplicata de R$4.800,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$4.008,00. Calcule o tempo de antecipação sabendo que a taxa foi de 2,75% a.m. 68) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$2.337,00, com vencimento para 120 dias, à taxa de 3,1% a.m.? 69) Qual o valor do desconto comercial de um título de R$ 2.500,00, com vencimento para 3 meses, à taxa de 3% ao mês? MATEMÁTICA FINANCEIRA 13 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM

14 70) Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 9.000,00 foi descontada num banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% a.m.. Obtenha: a) o desconto comercial. b) o valor descontado (ou valor atual comercial) do título. DESCONTO BANCÁRIO O desconto bancário corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa de administração. Esta taxa é pré-fixada e cobrada sobre o valor nominal. Denominaremos aqui por Taxa Bancária ou Taxa Administrativa. Desconto Bancário Valor Presente D B = D c + T B V n D B = V n (d n + T B ) V p = V n D B V P = V n (1 (d n + T B )) Onde: D B é o desconto bancário; D c é o desconto comercial; T B é a Taxa Bancária; V n é o valor nominal do título; d é a taxa de desconto V p é o valor presente; e n é o prazo até o vencimento do título; Ex.1: Determinar o desconto bancário e o valor presente de um título de R$16.823,00 que será antecipado em 4 meses num banco que cobra taxa comercial de 28,8% a.a. além de uma taxa de administração de 1,7%. Resolução 28,8% a. a. = 2,4% a. m. D B = V n (d n + T B ) D B = (0, ,017) D B = ,113 D B = 1901,00 V p = V n D B V p = V p = Resp.: O desconto é de R$1901,00 e o Valor presente do título é R$14.922,00. Assim como vimos na página 23, a taxa de desconto praticada não é a taxa implícita da operação e neste caso, ainda consta a taxa de administração. Mas, da mesma forma que fizemos lá, podemos calcular a taxa de juros implícita. Para tal, lançaremos mão do desconto e do valor presente i 4 = ,1274 i = i 4 4 = 0,1274 = 0, Assim, a taxa de juros efetiva da operação é de 3,18% a.m. 71) Um título de R$ 8.400,00 foi descontado 3 meses antes de seu vencimento. Sob uma taxa de desconto comercial é de 22% ao ano, mais uma taxa administrativa de 1,77%. Qual quantia foi descontada e quanto recebeu o proprietário do título? 72) A tabela abaixo mostra três títulos e seus prazos de vencimento TÍTULO VALOR NOMINAL VENCIMENTO T1 R$ ,00 2 meses T2 R$ ,00 5 meses T3 R$ 9.497,00 6 meses O proprietário destes títulos pretende descontá-los em um banco que cobra 3,9% a.m. de taxa de desconto além de uma taxa administrativa de 2%. Quanto o proprietário conseguirá apurar na antecipação? CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 TAXA EFETIVA DE UM DESCONTO SIMPLES Res.p: O valor com desconto é de $ c) Como já vimos em alguns exemplos, a taxa efetiva de um desconto pode ser diferente da taxa nominal (aquela que aparece no contrato ou em peças publicitárias). No caso de desconto racional, a taxa efetiva é igual à taxa nominal mas isso não acontece no desconto comercial e no desconto bancário. Nestes casos, calculamos a taxa efetiva dividindo-se o desconto pelo valor presente e, em seguida, pelo prazo da operação. Assim: Taxa Efetiva i = D V p n Veja os exemplos a seguir: Ex. 1: Uma duplicata de R$ ,00 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. a) Obtenha o desconto; b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa; c) Obtenha o fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco. Calcule também a taxa efetiva de juros da operação. a) D c = V n d n D c = ,025 2 D c = 900 Resp.: O valor do desconto é de $900 b) V p = V n D c V p = = Para calcular a taxa efetiva, fazemos i = D V p n = = 0,0263 Assim, a taxa efetiva é de 2,63% a.m. Ex.2: Uma nota promissória de $12.000,00 foi descontada num banco 42 dias antes do vencimento a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m. a) Qual o desconto? b) Qual a taxa efetiva de desconto? c) Qual o valor líquido recebido pela empresa sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de 0,5% do valor da promissória pago no dia em que a empresa descontou? d) Qual a taxa efetiva de juros da operação no período? a) D c = V n d n D c = , D c = 336 R: O desconto foi de $336 b) Taxa efetiva de desconto: 42 dias são 42 de mês 30 i = D V p n = = = 0, Resp.: 2,06% b) Para encontrar o valor recebido temos que tirar do valor nominal o desconto e o valor da taxa de serviço. Taxa de serviço é 0, = 60 MATEMÁTICA FINANCEIRA 15 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM

16 Valor recebido pela empresa: = R: O valor recebido foi $ c) Para encontrar a taxa efetiva, fazemos: i e = D V p = = 0,0341 Resp.: 3,41% Observação: No caso de desconto comercial, é possível determinar a taxa efetiva da operação a partir da taxa de desconto e do período, por meio da fórmula: d Taxa Efetiva 2 i = 1 d n Veja o exemplo a seguir: Ex.1: Um banco cobra em suas operações de desconto de duplicatas uma taxa de desconto comercial de 3% a.m. Qual a taxa efetiva de juros simples, se os prazos de vencimento forem: a) 1 mês b) 2 meses. a) d i = 1 d n i = 0,03 1 0,03 1 i = 0,03 i = 0,0309 0,97 Resp.: 3,09%a.m. b) i = Resp.: 3,19%a.m. d 1 d n i = 0,03 1 0,03 2 i = 0,03 i = 0,0319 0,94 73) Uma promissória de R$ ,00 foi descontada num banco dez meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,4% a.m.. a) Qual o desconto comercial? b) Qual o valor atual comercial do título? c) Qual a taxa efetiva de juros do período? d) Qual a taxa efetiva mensal de juros simples da operação? 74) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal R$ ,00, 43 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 30% a.a.. a) Qual o desconto bancário? b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 0,5% do valor nominal do título? 75) Um fundo de investimento adquiriu por R$ ,00 um título governamental com valor de face de R$ ,00. Sabendo-se que o prazo de vencimento do título era de 72 dias, calcule: a) a taxa efetiva de juros do período. b) a taxa efetiva mensal de juros simples da operação. 76) Uma pessoa pretende saldar um título de R$ ,00, 3 meses antes do vencimento.sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 30% a.a., qual o desconto racional que ela irá obter? RESPOSTAS 01) a) R$1.000,00 b) R$960,00 c) R$2.142,00 02) R$ 29,600,00 03) J = C i n = C 0,02 8 C = ,16 C = Resp: R$37.500,00 2 A demonstração desta fórmula encontra-se após a seção de respostas. CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 04) R$10.000,00 05) R$4.242,42 06) a) R$80.000,00 b) R$ ,00 07) a) R$11.111,11 b) a prazo 08) Canguru: R$14.347,83 Marsupial: R$15.625,17 09) 3,57% a.m. 10) 4,76% a.m. 11) Falsa 12) a) 6,25% a.m. b) 5 meses 13) 96% a.a. 14) 3,3% a.m. 15) 1,75% a.m. 16) 4% a.m. 17) 10 meses 18) 25 anos 18) $120 e $ ) $ ) $ ) 10,42% 22) $ ) 41,67% 24) 2,4% 25) 100% 26) a) $927 b) Pagar a vista pois aplicando o dinheiro ainda faltará $1 27) a) 8,17% b) $1, ) 6,2% 12) 8,4% 30) ) a) 17,08% b) $ ) Aproximadamente 13% de ganho 33) 34) 35) R$ 3.450,00 36) R$1.000,00 37) R$ 1.000,00 38) 36% 39) 10 semestres 40) R$10.000,00 41) 5,32% 42) R$1280,00 43) R$700,00 44) R$1.200,00 45) R$45,00 46) R$ 455,00 47) 33% 48) R$5.440,00 49) M = C(1 + in) = C(1 + 0,05 8) = C(1,4) C = ,4 C = 14,285,71 R: R$14.285,71 50) Resolução M = C(1 + in) = C(1 + 0,05 4) = C(1,2) C = ,2 C = R: R$50.000,00 51) J = C i n = C 0, C = ,36 C = M = C + J M = M = R: R$26.000,00 52) 8,33% e 100% 53) 8,33% e 100% 54) 21 meses 55) R$13.600,00 55) M = C(1 + in) C = M 1 + in C = ,03 12 C = ,15 R: R$ ,15 57) R$80.000,00 58) 18% 59) 6,6% 60) R$816,67 61) D 62) R$225,00 63) 12,5% a.m. 64) 2m e 5d 65) R$31.816,07 66) R$76,20 MATEMÁTICA FINANCEIRA 17 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM

18 67) 6 meses 68) R$ 289,79 69) R$225 70) a) 360 b) R$8.640,00 71) 22%a. a = 1,83%a. m. D B = V n (d n + T B ) D B = 8400(0, ,0177) D B = ,0726 D B = 609,84 V p = V n D B V p = ,84 V p = 7.790,16 R: Desconto: R$609,84 e valor presente: R$7.790,16 72) Resolução V P1 = (1 (0, ,02)) V P1 = (1 0,098) V P1 = ,902 V P1 = ,46 V P2 = (1 (0, ,02)) V P2 = (1 0,215) V P2 = ,785 V P2 = ,00 V 3P = 9.497,00(1 (0, ,02)) V 3P = 9.497,00(1 0,254) V 3P = 9.497,00 0,746 V 3P = 7084,76 Valor apurado V p1 + V p2 + V p3 = 81359,22 R: R$ ,22 73) a) 1750 b) c) 16,28% d) 1,63% Associando ideia de taxa efetiva ao conceito de juros simples (J = C i n), temos que: Os juros são o Desconto J = D O capital é o valor presente (Valor descontado) C = V p = V n D A taxa é o que estamos procurando; O Prazo é o mesmo do prazo de desconto n = n Substituindo na fórmula dos juros simples: J = C i n D = (V n D) i n D i = (V n D) n Substituindo D = V n d n V n d n i = (V n V n d n) n Dividindo numerador e denominador por n V n d i = V n V n d n Colocando V n em evidência no denominador V n d i = V n (1 d n) Dividindo numerador e denominador por V n d i = 1 d n 74) a) 1 863,33 b) ,67 75) a) 7,53% b) 3,136% 76) R$1.395,35 Demonstração da fórmula citada na página 27 desta apostila CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG CAMPUS OURO PRETO