Matemática Financeira

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1 Capítulo Matemática Financeira Juros Simples Adriano Leal Bruni

2 Conceito de juros simples Juros sempre incidem sobre o VALOR PRESENTE

3 Preste atenção!!! Empréstimo Valor atual na data zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p. Considere juros simples

4 Juros simples n Juros VF Juros simples Fórmula sempre incidem sobre valor presente 0-100,00 VF=VP 10% x $ ,00 110,00 10% x $ ,00 120,00 VF=VP + i.vp VF=VP + i.vp + i.vp n i.vp VF VF=VP (1+ i.n)

5 Fórmula dos juros simples VF=VP (1+ i.n) Devem estar em uma mesma base!!! Como a taxa é sagrada, ajusta-se o valor de n

6 Abreviaturas nas taxas Abreviatura a.d. a.d.u. a.m. a.b. a.t. a.q. a.s. a.a. Significado ao dia ao dia útil ao mês ao bimestre ao trimestre ao quadrimestre ao semestre ao ano

7 Cuidado com os anos ano civil ou exato formado por 365 dias; ano comercial formado por 360 dias.

8 Exemplo A Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate? i = 5% a.m. VF meses VF = VP (1+in) VF = 500 (1+0,05 x 8) VF = 700

9 Características dos juros simples Valor uniforme dos juros períodicos Valor futuro cresce linearmente Capitalização Linear Valor Futuro VP Tempo

10 Exercícios de Sala!

11 Exemplo B Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am i = 5% a.m ,00 0 -VP 10 meses VF = VP (1+in) 1200 = VP (1+0,05 x 10) VP = 800

12 Exemplo C Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação? i =? , meses VF = VP (1+in) = 8000 (1+i x 6) i = 5%

13 Exemplo D A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? i = 6% a.m , n=? VF = VP (1+in) = 9000 (1+0,06 x n) n = 5

14 Importante!!! Taxas são sagradas!!!

15 Exemplo E Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24 meses a 8% a.a. Taxa anual!!! 24 meses = 2 anos 0 VF X24 2 anos n em anos -$500,00

16 Alterando o prazo VF=VP (1+ i.n) VF=500 (1+ 0,08.2) VF=$580,00

17 Descontando em Juros simples por dentro

18 Desconto Racional Simples Aplicar a fórmula dos juros simples para calcular o valor presente Descontar significa extrair os juros do valor futuro para obter o valor presente Cuidado!!! Depois veremos o desconto COMERCIAL

19 Da fórmula dos juros simples VF = VP (1 + i.n) (1+in) Como se deseja obter VP VP 1 VF i n

20 Exemplo F VP 0 2 -$4.400,00 Valor Futuro Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto? Juros Valor Presente VP = VF/ (1+i.n) VP = 4400/(1+0,05.2) VP = 4000 D = D = 400

21 Taxa efetiva É aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização.

22 Exemplo G Ao antecipar em 30 dias o recebimento de uma conta a receber no valor de $15.000,00, a Cia Cava Cava S. A. sofreu um desconto igual a 1/3 (33,3333%) do valor nominal. Calcule a taxa efetiva mensal da operação. Taxa por fora = 33,3333%

23 Taxa efetiva no DFC! $10.000,00 Por dentro =50% 0 1 -$15.000,00 Por fora =33,3333% Desconto = 1/3 de $15.000,00 Desconto = $5.000,00 VF = VP (1+i.n) = (1+i.1) i = 50% a.m.

24 Equivalência de Capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais.

25 Constatação importante Dinheiro tem custo Deve ser somado apenas em mesma data! no tempo!!!

26 -4.000, ,00 X? 1.000, ,00 A operação de equivalência

27 Exemplo H Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00. Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 dias Taxa simples igual a 3% a.m. Calcule o valor de X $30.000,00 Use a data focal 60 dias dias -$8.000,00 -$14.000,00 -X

28 Taxa simples igual a 3% a.m. $30.000,00 $22.000,00 $23.320, meses -$8.000,00 -$14.000,00 -X $14.420,00 $8.900,00 Capitalizando $22.000,00 VF = VP (1+in) VF = (1+0,03.2) VF = $23.320,00 Capitalizando $14.000,00 VF = VP (1+in) VF = (1+0,03.1) VF = $14.420,00

29 Exemplo I Uma loja anuncia um microondas a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros simples, iguais a 4%, calcule o valor de X. Use a data focal zero

30 Resolução $500,00 i = 4% a.m. (JS) X $264,91 -X $264,91 Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.1) VP = 0,9615.X Descapitalizando X 2 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.2) VP = 0,9259.X Como a soma a valor presente é igual a $500,00, 500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X X = 500/1,8874 = $264,91

31 Exemplo J Um refrigerador é vendido à vista por $ 1.800,00 ou então a prazo mediante $800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 1.150,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?

32 Solução do Exemplo J $1.800, $800,00 -$1.150,00 $1.000, $1.150,00 VF = VP (1+in) 1150 = 1000 (1+i.3) i = [(1150/1000) 1] / 3) i = 5%

33 Exemplo K Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juro simples, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? Use a data focal zero

34 DFC e cálculos do Exemplo K +$15.000,00 +$20.000, X Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = / (1+0,04.3) VP = ,86 Descapitalizando X 2 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = / (1+0,04.8) VP = ,52 Soma = , ,52 = $28.544,38

35 Proporcionalidade de taxas Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal.

36 Fórmula da equivalência ia = ib.(nb/na) Em juros simples, vale usar regra de três!!! Em juros simples!!!

37 Exemplo L I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês. II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.

38 Solução do Exemplo L I. 3% a.m. = [ ] % a.s. 1 semestre = 6 meses 3% x 6 = 18% a.s. 3% a.m. = [ ] % a.a. 1 ano = 12 meses 3% x 12 = 36% a.a.

39 Solução do Exemplo L II. Cálculo de taxas mensais a) 1 semestre = 6 meses 90% a.s. 6 = 15% a.m. b) 1 ano = 12 meses 220,8% a.a. 12 = 18,4% a.m. c) 1 biênio = 24 meses 96% 24 = 4% a.m.

40 REFERENCIAS... Aulas do Prof. Adriano L. Bruni. Disponível em: < Acessado em abr , A. L.; FAMÁ, R. A matemática das finanças com aplicações na HP12C e EXCEL. 3 Ed. São Paulo: ATLAS, 2008.