Exercícios de apoio Módulo 3

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1 Exercícios de apoio Módulo 3 Questão 1 Você vendeu um equipamento e precisa aplicar o dinheiro que recebeu nesta transação. Qual é a taxa anual equivalente a uma taxa mensal de 10% no regime de capitalização simples? a) A taxa de juros anual equivalente é de 12%. b) A taxa de juros anual equivalente é de 240%. c) A taxa de juros anual equivalente é de 120%. d) A taxa de juros anual equivalente é de 30%. e) A taxa de juros anual equivalente é 36%. Gabarito: A taxa de juros anual equivalente é de 120%. Aplicando a fórmula... ia = im x 12 Substituindo os valores... ia = 0,10 x 12 Calculando... ia = 1,20 ia = 120% ao ano A calculadora não tem funções para cálculo de taxas em regime de capitalização simples. Você deve usar sua calculadora simplesmente para fazer as contas aritméticas da fórmula. Questão 2 Você precisa comprar uma cafeteira nova para seu bistrô. Junto ao preço do aparelho, a loja anunciava uma taxa de juros de 2% ao mês para os pagamentos a prazo. Já que você pretende comprar a cafeteira a perder de vista, qual é a taxa anual de juros, equivalente a 2% ao mês, cobrada pela loja? a) A taxa de juros anual equivalente é 12%. b) A taxa de juros anual equivalente é 24%. c) A taxa de juros anual equivalente é 26.82%. d) A taxa de juros anual equivalente é 13.42%. e) A taxa de juros anual equivalente é 10%. Gabarito: A taxa de juros anual equivalente é 26,82%. Aplicando a fórmula... (1 + im) 12 = (1 + ia) Substituindo os valores... (1 + 0,02 ) 12 = (1 + ia) Calculando... (1 + ia) = (1 + 0,02 ) 12 Teclando montante Digitando 2... Digitando (1 + ia) = 1, ia = 1, ia = 0, ia = 26,824% ao ano PV... utilizando 100 é mais fácil interpretar o i... a taxa mensal de juros expressa no enunciado n meses em um ano 1

2 Digitando 0... t=12 PMT... não há nenhum depósito/retirada antes de FV =? = 126,82417 Questão 3 Você está interessado em usufruir do crédito automático oferecido pelo Banco Porto. A taxa de juros compostos mensal cobrada por esse banco é 3,5% ao mês. Já o Banco Puerta cobra 60% ao ano. Qual das duas instituições cobra menos juros? a) O Banco Porto oferece a menor taxa, pois cobra 42% ao ano. b) O Banco Puerta oferece a menor taxa, pois cobra 60% ao ano. c) O Banco Porto oferece a menor taxa, pois cobra aproximadamente 42,88% ao ano. d) O Banco Porto oferece a menor taxa, pois cobra 3,5% ao ano. e) O Banco Porto oferece a menor taxa, pois cobra aproximadamente 51,11% ao ano. Gabarito: O Banco Porto oferece a menor taxa, pois cobra aproximadamente 51,11% ao ano. Temos duas taxas, uma de cada instituição. O problema é que uma taxa está expressa em meses e a outra taxa em anos, e, por isso, não podemos compará-las diretamente. Devemos colocar as duas taxas na mesma base de tempo. Uma opção é calcular a taxa equivalente anual que sua instituição está cobrando, para, então, fazermos a comparação. Aplicando a fórmula... (1 + im) 12 = (1 + ia) Substituindo os valores... (1 + 0,035 ) 12 = (1 + ia) Calculando... (1 + ia) = (1 + 0,035 ) 12 (1 + ia) = 1, ia = 1, ia = 0, ia = 51,1068% ao ano Teclando PV... utilizando 100 fica mais de fácil interpretar o montante Digitando 3,5... i... taxa de juros mensal expressa no enunciado Digitando n meses em um ano Digitando 0... PMT... não há depósito / retirada antes de t=12 FV =? = 151,1068 Questão 4 Você deseja conhecer a Rússia, aproveitando os preços promocionais e pagamentos facilitados das passagens aéreas. Em uma dessas promoções a taxa é de 18% ao ano. Você pretende efetuar os pagamentos em um período de tempo inferior a um ano e, para isso, deseja saber o equivalente em meses a essa taxa de juros anual. Qual é a taxa mensal cobrada, equivalente a 18% ao ano, no regime de capitalização composto? 2

3 a) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,3888% ao mês. b) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,50% ao mês. c) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,80% ao mês. d) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,888% ao mês. e) A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,111% ao mês. Gabarito: A taxa mensal equivalente a 18% ao ano é 1,3888% ao mês. Aplicando a fórmula... (1 + im) 12 = (1 + ia) Substituindo os valores... (1 + im) 12 = (1 + 0,18) Calculando... (1 + im) = (1 + 0,18) 1/12 im = (1 + 0,18) 1/12-1 im = 1, im = 0, im = 1,3888% ao mês Teclando PV... utilizando 100 é mais fácil interpretar o montante Digitando VF... taxa de juros de 18 % ao ano Digitando n meses em um ano Digitando 0... PMT... não há depósito / retirada antes de t=12 i =? = 1,3888% Questão 5 Você se aborreceu com a empresa na qual mantinha um seguro de vida. Ao invés de renovar o seguro, resolveu aplicar os R$ 2.500,00 que pagava anualmente à seguradora. Quanto você irá receber de juros, se aplicar os R$ 2.500,00 que gastaria por ano com a manutenção do seguro, a uma taxa nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente durante um ano? a) Você irá receber R$ 3.170,60 de juros ao final de um ano. b) Você irá receber R$ 2.500,00 de juros ao final de um ano. c) Você irá receber R$ 670,60 de juros ao final de um ano. d) Você irá receber R$ 2.670,60 de juros ao final de um ano. e) Nenhuma das respostas acima. Gabarito: Você irá receber R$ 670,60 de juros ao final de um ano. O termo taxa capitalizada mensalmente significa que, a cada mês, os juros são capitalizados, isto é, incorporados ao valor da aplicação para o cálculo dos juros do próximo período, neste caso, o próximo mês. Obviamente, trata-se de juros compostos. Sendo a taxa nominal, devemos, primeiramente, transformá-la em uma taxa efetiva... A taxa efetiva mensal é de 24% / 12 = 2% (sempre a juros simples). A taxa efetiva é de 2% ao mês. Essa é, pois, a taxa que devemos utilizar em nossos cálculos... Juros = VF - VP VF = VP (1 + i) n VF = (1 + 0,02) 12 VF = 3.170,6045 Juros = 3.170, Juros = 670,6045 3

4 Questão 6 Você precisa comprar um carro novo. Para isso, terá de aplicar seu dinheiro. Suponha que você possa aplicar recursos a uma taxa nominal anual de 36%, com capitalização mensal. Se você aplicá-los por 3 meses, qual será a taxa mensal, trimestral e semestral equivalente a essa taxa anual? a) As taxas equivalentes seriam: 3% a. m.; 9,273% a. t. e 19,405% a. s. b) As taxas equivalentes seriam: 3% a. m.; 19,405% a. t. e 9,272% a. s. c) As taxas equivalentes seriam: 3% a. m.; 9% a. t. e 19% a. s. d) As taxas equivalentes seriam: 3,124% a.m.; 9,273% a. t. e 19,405% a. s. e) Nenhuma das respostas acima. Gabarito: As taxas equivalentes seriam: 3% a.m.; 9,273% a. t. e 19,405% a. s. Sendo a taxa nominal, devemos convertê-la, primeiramente, para sua taxa efetiva. Como a capitalização é mensal, a taxa efetiva é... 36% / 12 = 3% ao mês Aplicando por três meses ou um trimestre, teremos... (1+im) 3 = (1+it) (1 + 0,03) 3 = (1 + i trimestral) Taxa trimestral = 1, Taxa trimestral = 0,09273 Taxa trimestral = 9,273% ao trimestre Aplicando por seis meses ou um semestre, teremos... (1+im) 6 = (1+is) (1 + 0,03) 6 = (1 + i semestral) Taxa semestral = 1,036-1 Taxa semestral = 0,19405 Taxa semestral = 19,405% ao semestre Questão 7 Você recebeu R$ ,00 após 4 anos de uma aplicação financeira, para poder reformar seu bistrô. Suponha que a taxa de juros nominal tenha sido de 30% ao ano com capitalização mensal. Qual foi o valor da aplicação que você realizou quatro anos atrás? a) O valor original da aplicação foi R$ 6.113,42. b) O valor original da aplicação foi R$ 7.002,55. c) O valor original da aplicação foi R$ ,00. d) O valor original da aplicação foi R$ ,00. e) Nenhuma das respostas acima. Gabarito: O valor original da aplicação foi R$ 6.113,42. Primeiramente, devemos calcular a taxa efetiva mensal... A taxa nominal anual é de 30% com capitalização mensal. Em segundo lugar, tendo a taxa efetiva mensal, podemos proceder aos cálculos... 4

5 A taxa efetiva mensal é 0,30 / 12 = 0,025 = 2,5% ao mês. n = 4 x 1 ano (12 meses) = 48 meses VF = VP (1 + i) n Substituindo os valores = VP (1 + 0,025) 48 Calculando = VP 3, VP = / 3, VP = 6.113,42 Questão 8 Um produto custava R$ 1,00 em 01/04/xx e foi vendido em 01/05/xx por R$ 1,56. Considerando que a inflação verificada para o mês de abril foi de 20%, calcule: a) o ganho efetivo na venda do produto; b) a taxa real da venda. a) cálculo do ganho efetivo VP = 1 VF =? n =1 i = 20% VF = 1( 1 + 0,2) 1 VF = 1,2 Ganho = 1,56 1,20 = 0,36 b) para calcular a taxa real temos que calcular primeiro a taxa aparente com os dados do problema. Assim... VP = 1 VF = 1,56 n =1 taxa aparente =? 1,56 = 1( x i) 1,56 = 1 + i taxa aparente = 0,56 = 56% Aplicando a fórmula inflação = (1 + taxa aparente ) / ( 1 + taxa real ) temos... ( % ) ( 1 + taxa real) = % 1 + taxa real = (1 + 56%) / ( % ) taxa real = 0,30 = 30% Questão 9 Márcio emprestou certa quantia para André à taxa de juros efetiva de 15% ao ano por um prazo indefinido, mas limitado a 12 meses, sob o regime de juros simples. Avalia a decisão sobre o regime de capitalização. R.: A decisão foi correta, uma vez que o prazo é inferior a 1 ano, ou seja, 12 meses, e a taxa de juros é efetiva anual. Para prazos inferiores a uma unidade, os juros sob o regime de capitalização simples superam os juros sob o regime de capitalização composta. 5

6 Questão 10 Um comerciante anuncia que a compra de um produto, cujo valor à vista é de R$2.000,00, pode ser financiada à taxa de juros nominal de 3% ao mês com capitalização diária. Segundo ele, anunciar uma taxa de juros nominal mensal com capitalização diária é uma forma de disfarçar o aumento da taxa de juros efetivamente cobrada. Comente a estratégia do comerciante. R.: Ele está correto. Taxas nominais, cuja capitalização acontece em períodos inferiores à unidade da taxa, oneram a taxa efetiva como é o caso: taxa com periodicidade mensal e capitalização diária. Questão 11 Carla deixou de comprar uma bolsa de grife paa investir o valor economizado em uma aplicação de risco moderado. Como no semestre seguinte, ao início da aplicação, Carla obteve rentabilidade aparente de 15% e a inflação acumulada do período foi de 5%, podemos dizer que a rentabilidade real de Carla foi de 10% nesse período? R.: A afirmação NÃO está correta. A taxa real não é a subtração da taxa aparente pela inflação. Para obtermos a taxa real, é preciso encontrar o quociente entre 1 + taxa aparente e o 1 + inflação, em seguida, subtrair uma unidade. Questão 12 Daniel tomou R$800,00 emprestados de Flávio há dois meses, à taxa de juros de 4% ao mês. Sabemos que ele dispunha de um empréstimo bancário a uma taxa real de 6% ao bimestre durante esse período. Qual é a taxa mínima de inflação em meses para que o empréstimo tomado de Flávio tenha sido a melhor opção? R.: Comparando as taxas mensais aparentes... A taxa do empréstimo tomado de Flávio já é aparente e vale 4% ao mês. A taxa do empréstimo bancário é bimestral. Para convertê-la em taxa mensal, fazemos = 100 x (1 + i)² 1,06 = (1 + i)² 1 + i = 1,02956 i = 2,956% ao mês Mas essa taxa de 2,956% é uma taxa real. Para que as taxas aparentes sejam iguais, a taxa de inflação deve ser: (1 + inflação) = (1 + taxa aparente) / (1 + taxa real) (1 + inflação) = (1 + 4%) / (1 + 2,956%) (1 + inflação) = 1,01014 inflação = 1, = 0,01014 = 1,014% 6

7 Questão 13 Um capital, captado à taxa de 4% ao mês, foi aplicado com spread de 2% ao mês em um contexto no qual a taxa de captação tenha aumentado em 10%. Qual terá sido a diminuição percentual do spread caso a taxa de aplicação permaneça inalterada? R.: Como a taxa de captação é de 4% ao mês, a taxa de aplicação será de ia = (1 + 4%) x (1 + 2%) ia = 6,08% Se a taxa de captação subir 10%, teremos ic = 4% x (1,1) = 4,4%. Supondo que a taxa de aplicação se mantenha em 6,08%, o novo spread será de... (1 + spread) = (1 + 6,08%) / (1 + 4,4%) Spread = 1,609% A diminuição percentual do spread correponderá a... (2% - 1,609%) / 2% = 0,1955 = 19,55%. 7