MATEMÁTICA FINANCEIRA CONTEÚDOS. Juros simples Juros compostos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA CONTEÚDOS Juros simples Juros compostos AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Bom, vamos discutir um dos assuntos que mais envolve o nosso dia a dia. Afinal, constantemente estamos comprando e a nossa procura é sempre pelo melhor preço, mas é claro que a qualidade também é importante. Além disso, na hora das compras é fundamental que você saiba quais são as taxas de juros envolvidas, no caso de compras a prazo. E, na compra à vista, também é importante pesquisar e conhecer os descontos. Você já deve ter se deparado com diversos anúncios de promoção não é mesmo? E nesses casos, soube como fazer as contas e saber de fato quanto você estava pagando por adquirir um determinado produto? Se não soube, vamos agora discutir um pouco essa matemática financeira. Figura 1 Dinheiro Fonte: Microsoft Office Começaremos abordando a seguinte situação: Suponha que você está à procura de uma geladeira e em certa loja viu que o eletrodoméstico está sendo vendido pelo valor de R$ 1.850,00. Segundo o anunciante, na compra à vista há um desconto de 5%. Você saberia calcular o desconto e o valor final que irá pagar pela geladeira na compra à vista? 1

2 Acompanhe: O preço é de R$ 1.850,00, sobre esse valor haverá um desconto de 5%, então basta você calcular quanto é 5% de R$ 1.850,00 e subtrair do valor que a geladeira está sendo anunciada, o resultado obtido. Para calcular esse desconto, podemos aplicar aquela famosa regra de três. Onde o valor do desconto identificaremos como x % x 5% 100.x = x = x = 100 x = 92,50 Portanto, neste caso, o desconto será de R$ 92,50 e a geladeira sairá pelo valor de R$ 1.757,50. No desconto, a matemática foi simples não é mesmo? Mas e no financiamento, em uma aplicação, na própria poupança, por exemplo, como descobrir qual cálculo fazer para saber o tamanho da sua dívida ou o valor do seu rendimento? Para conhecer esses cálculos vamos falar sobre uma aplicação na poupança. Irene é comerciante e decidiu abrir uma poupança. Sua intenção é mensalmente guardar uma certa quantia. Para abrir a conta a comerciante resolveu investir R$ 500,00, sendo a taxa de juros de 0,5% ao mês. Neste caso, qual será o montante após um mês? Montante, taxa de juros, tempo... esses termos fazem parte da matemática financeira, e antes de calcular o rendimento da aplicação, saiba o que refere-se cada um deles. Capital (c) : refere-se ao dinheiro que será emprestado pela instituição financeira. Em outras transações o capital também pode ser representado pelo dinheiro investido. Juro (j): trata-se do valor que é pago ou recebido pelo dinheiro emprestado ou aplicado. 2

3 Taxa de juro (i): é uma taxa percentual cobrada pelo dinheiro que foi emprestado. No caso do investimento, é uma taxa que será recebida sobre o valor investido. Tempo (t) : o tempo da operação, seja ela empréstimo ou investimento. Montante (M): o valor que será pago ou recebido, ao final da operação financeira, após considerar a taxa de juros e o prazo. Dica Em alguns livros didáticos você encontrará o tempo de operação identificado por n, o capital como C o (capital inicial) e o montante como C n. No caso da comerciante Irene, temos: o capital investido é o valor de R$ 500,00, a taxa de juros é de 0,5% e o tempo será de 1 mês. O montante é o dinheiro que terá na poupança após o tempo de investimento. Para saber qual é o montante podemos fazer uso da seguinte expressão: M = c + j (capital mais juros) E os juros serão obtidos com o seguinte cálculo: j = c.i.t Agora, finalmente vamos calcular qual será o rendimento da aplicação da comerciante. M = ,005.1 M = ,5 M = 502,50 Após um mês, com uma taxa de juros de 0,5%, o dinheiro da comerciante terá rendido R$ 2,50 e o montante na aplicação será de R$ 502,50. Na aplicação da dona Irene, foi dada a taxa de juros, o tempo de investimento e o capital, e desejava-se saber qual foi o montante. E se as informações dadas, fossem diferentes, por exemplo, se fosse informado o montante, o capital e o tempo do investimento, você acha que seria possível descobrir a taxa de juros? Neste caso a resposta é sim, veja que o valor dos juros pode ser obtido ao subtrair o capital do montante. 3

4 Se M = c + j Podemos dizer que: j = M c Então temos: j = 502, j = 2,50 Os juros foram de R$ 2,50, ou mais especificamente, neste caso, o rendimento. Para saber qual é a taxa de juros, que proporcionou esse valor, é possível pensar da seguinte maneira: Os R$ 500 representam a parte inteira, ou seja, 100%. Os R$ 2,50 representam uma fração 2,50 do inteiro. Logo, temos: 0, Se a taxa de juros é dada em porcentagem, para saber o seu valor, basta multiplicar o quociente obtido por , = 0,5% Dica: Você observou como a porcentagem está presente na matemática financeira? Pois é, assim é importante que você relembre a porcentagem: A porcentagem pode ser identificada como um registro utilizado para expressar uma fração de denominador 100, ou qualquer outra representação equivalente a ela. Assim temos: 1 1% é o mesmo que ou 0, % é o mesmo que ou 0, % é o mesmo que ou ou 0, Voltando a situação discutida sobre o investimento da Dona Irene, e se essa aplicação fosse pelo prazo de 3 meses, qual seria o montante após esse tempo, considerando a mesma taxa? 4

5 Nesse caso, para calcular o montante, devemos considerar os juros compostos. Isto é, quando um capital é aplicado ou emprestado, o montante pode aumentar considerando diferentes critérios, são eles: os juros simples ou os juros compostos. Conheça cada um deles: Juros compostos: Em geral, as instituições financeiras utilizam esse tipo de taxa para empréstimos bancários/ financiamentos, e também para calcular os juros das contas que apresentam atrasos por mais de 30 dias. Nesse tipo de transação podemos dizer que há uma cobrança de juros sobre juros. Isto é, a cada período os juros são incorporados sobre o capital, para assim realizar o cálculo dos juros do período seguinte. Juros simples: Em geral, esse juro é cobrado quando atrasamos uma conta por dias, respeitando o limite de 30 dias. No caso dos juros simples, o valor referente a ele é cobrado sobre o capital. No regime de juros simples, o montante é calculado por meio da expressão que utilizamos para calcular o rendimento da aplicação da comerciante após 1mês. Ou seja: M = c + j No caso do juros compostos, aplicando um capital, considerando uma taxa de juros i e um tempo t, o montante pode ser calculado aplicando-se a seguinte fórmula: M = c. (1 + i) t Vamos então calcular o montante após um tempo de aplicação de 3 meses, uma taxa de 0,5% ao mês e um capital de R$ 500,00. M = 500.( 1 + 0,005) 3 M = 500. ( 1,005)³ M = 500.1,0150 M = 507,50 Portanto, após três meses de aplicação, dona Irene terá em sua poupança o valor de R$ 507,50. 5

6 Saiba mais A taxa de juros é expressa em porcentagem e normalmente está acompanhada de uma especificação que refere-se ao período, por exemplo: 15% a.m ( significa que a taxa é de 15% ao mês) 15% a.o ( significa que a taxa é de 15% ao ano) ATIVIDADES 1. O cartão de crédito da minha mãe veio no valor de R$ 1.500,00, ela realizou apenas o pagamento do valor mínimo de R$ 200,00, e sabe que no próximo mês, o saldo que ficou em débito virá com um aumento de 12% referente aos juros. Considerando que não há outras dívidas nesse cartão, quanto minha mãe pagará no próximo mês? 2. Desejo comprar um smartphone que custa R$ 350,00, se eu realizar o pagamento à vista terei um desconto de 2%. Considerando o desconto concedido no pagamento à vista, conseguirei fazer essa compra, se disponho de apenas R$ 340,00? 3. Minha irmã estava devendo na faculdade R$ ,00, ela negociou a dívida com o setor financeiro e realizará o pagamento em 5 vezes com um acréscimo de 25% no saldo devedor. Após o acréscimo, qual será o valor de cada parcela? 4. Na compra de seu automóvel, João decidiu pagar R$ ,00 à vista e os R$ ,00 restantes serão pagos em 36 meses, com os juros de 1,5% a.m. Desconsiderando as demais taxas que envolvem o financiamento, qual será, aproximadamente, o valor de cada prestação, sabendo que elas terão o mesmo valor, e qual será o valor final pago pelo veículo? Considere (1,015) 36 = 1,70 6

7 5. (ENEM 2012) Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento: Opção 1: Pagar à vista, por R$ ,00; Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ ,00, e mais uma prestação de R$ ,00 para dali a 6 meses. Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ ,00, mais uma prestação de R$ ,00, para dali a 6 meses e outra de R$ ,00 para dali a 12 meses da data da compra. Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ ,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ ,00. Opção 5: Pagar a prazo, dali 1 um ano, o valor de R$ ,00. Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fosse vencendo. Após avaliar a situação do ponto de vista financeiro e das condições apresentadas, Arthur, concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 7

8 6. (ENEM 2011) Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas: Investimento A: 3% ao mês Investimento B: 36% ao ano Investimento C: 18% ao semestre As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para análise das rentabilidades: Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. b) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais 39%. c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C. d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C. e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B. LEITURA COMPLEMENTAR O uso da calculadora no cálculo percentual Conforme visto no início desse capítulo, algumas situações de descontos, ou até mesmo de acréscimos, são resolvidas por meio de simples cálculos que envolvem a porcentagem. E, no dia a dia, você pode fazê-los de maneira rápida utilizando a calculadora. Porém, para tanto, é importante que você saiba como utilizar esse recurso no caso do cálculo percentual. Acompanhe: 8

9 A calculadora, exige que você demonstre habilidades para utilizá-la e interpretar os resultados obtidos, seu uso, não impede o desenvolvimento da compreensão sobre a porcentagem, mas sim, se apresenta como mais uma ferramenta que auxilia no desenvolvimento de suas habilidades. Antes de iniciarmos a exploração do uso da calculadora, vamos compreender qual a função de algumas de suas das teclas. Para ligar ou limpar o visor, utilize a tecla 0N/CE. Para desligar a calculadora utilize a tecla OFF. Utilizamos essa tecla para calcular a porcentagem. Tecla utilizada para realizar multiplicações. Tecla utilizada para realizar subtrações. Tecla utilizada para realizar adições. Figura 2 Calculadora Fonte: Fundação Bradesco Vamos ao nosso primeiro cálculo. A dívida era de R$ 1.200, como foi paga com atraso, haverá um acréscimo de 20%. Qual será o valor do acréscimo? Já sabemos que esse cálculo pode ser realizado da seguinte forma: 20 20% = % de = x x = 240 9

10 Para chegar ao número 240, dividimos os por 100 e multiplicamos o resultado por :100 = x 20 = 240 Logo, a multa foi de R$ 240,00. Será que com o auxílio da calculadora o processo é o mesmo? O processo pode ser o mesmo, e o resultado obtido será exatamente igual, no entanto, esse cálculo pode ser realizado de forma mais rápida com a utilização da tecla de porcentagem %. Para tanto, realize os seguintes passos: 1º: Insira o valor de 1.200, o qual desejamos saber quanto representa 20% No momento de digitar na calculadora o valor de 1.200, não utiliza-se o ponto de separação entre a ordem das centenas e do milhar. Figura 3 Calculadora 2 Fonte: Fundação Bradesco 10

11 2º: Após inserir o valor de 1.200, aperte o sinal de multiplicação e em seguida insira a taxa percentual que deseja calcular. 20 Figura 4 Calculadora 3 Fonte: Fundação Bradesco 3º: Com a taxa percentual já digitada no visor, aperte a tecla da porcentagem (%), imediatamente aparecerá no visor quanto representa 20% de Figura 5 Calculadora 4 Fonte: Fundação Bradesco Agora ficou simples não é mesmo! E, podemos explorar um pouco mais, pois essa ferramenta nos traz também a possibilidade de trabalhar com os descontos e com os acréscimos, vamos a um exemplo: Qual será o valor do meu salário após receber um aumento de 8%, sabendo que meu salário atual é de R$ 2.500,00. 11

12 Novamente, vamos realizar o cálculo passo a passo. 1º: Aperte a tecla ON/CE para limpar o visor. 2º: Digite o valor atual do salário Figura 6 Calculadora 5 Fonte: Fundação Bradesco 3º: Após digitar o valor do salário, aperte a tecla que indica uma adição Figura 7 Calculadora 6 Fonte: Fundação Bradesco 4º: Digite a taxa percentual e na sequência aperte a tecla da porcentagem. Após esses procedimentos aparecerá no visor o valor do salário com o acréscimo de 8%. 12

13 Figura 8 Calculadora 7 Fonte: Fundação Bradesco INDICAÇÕES Para você explorar um pouco mais sobre a Matemática Financeira, consulte os links indicados a seguir. Matemática financeira Porcentagem, juros simples, juros compostos Disponível em: REFERÊNCIAS SMOLE, Kátia Stocco. DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. v.3. 7 ed. São Paulo: Saraiva, p INEP. ENEM 2013 Caderno Amarelo. Disponível em:< >. Acesso em: 15 jun h. 13

14 INEP. ENEM 2012 Caderno Amarelo. Disponível em:< m_amarelo.pdf>. Acesso em: 15 jun h45min. GABARITO 1. Se foram pagos R$ 1.500,00, significa que restou R$ 1.300,00. Devemos então calcular quanto é 12% de R$ 1.300,00. 12% % de1.300 x x O valor a ser pago no próximo mês será os R$ 1.300,00 somados aos 12%. Temos então: = 1.456,00. No próximo mês, o valor da fatura será de R$ 1.456, Com o desconto de 2%, o aparelho sairá pelo valor de R$ 343,00, logo, não haverá a possibilidade de efetuar a compra. Para saber o valor do desconto, podemos desenvolver os seguintes cálculos: 350.0,02 = = 343 Veja, que descontando os R$ 7,00 ( 2%) o aparelho custará R$ 343, Se a dívida era de R$ ,00, para saber qual o valor de cada parcela, devemos calcular qual será o valor final da dívida após o acréscimo de 25% ,25 = R$ = R$ ,00 R$ ,00: 5 = R$ Com o acréscimo de 25%, o saldo devedor passou a ser de R$ ,00, dividindo esse valor em 5 parcelas, cada parcela terá o valor de R$ Neste caso, o juro envolvido é o juro composto, assim temos: M = c.( 1 + i) t M = ( 1 + 0,015) 36 M = (1,015) 36 14

15 M = ,70 M = ,00. Se o valor final do financiamento é de ,00, esse valor dividido por 36 resultará em uma prestação aproximada de R$ 708,33. E o valor final pago pelo veículo será de R$ , A alternativa correta é a letra D. Para saber qual é a melhor opção, verificaremos qual será a rentabilidade do dinheiro que Arthur pode aplicar dependendo da escolha feita. Opção 1: Arthur não aplicará nenhum valor, pois realizará o pagamento à vista, nesse caso não há rentabilidade. Opção 2: Arthur pagaria a entrada de R$ ,00 e aplicaria os R$ ,00 restantes. Neste caso, o rendimento, ou o juro, será: j = c.i.t j = ,1.1 j = Na opção 2 ele terá um rendimento de R$ 2.500,00 e totalizará em sua conta o valor de R$ ,00 para pagar uma prestação de R$ ,00, portanto sobrará R$ 1.500,00. Opção 3: Arthur pagaria uma entrada de R$ ,00 e investiria R$ ,00. Neste caso, o rendimento será: j = ,1.1 j = Na opção 3, ele terá um rendimento inicial de R$ 3.500,00 no prazo de 6 meses, totalizando em sua conta R$ ,00. Desse valor serão retirados R$ ,00, restando R$ ,00 que serão investidos por mais 12 meses. Neste caso, o rendimento será: j = ,1.1 j = Sendo o rendimento de R$ 1.850,00, totalizará R$ ,00, desse valor serão retirados R$ ,00, e Arthur terá um rendimento final de R$ 2.350,00. 15

16 Opção 4: Na opção 4, a entrada será de R$ ,00 e poderá investir R$ ,00 por 1 ano. Nesta opção o rendimento será: j = ,1.1 j = 4000 Nos 6 primeiros meses, o rendimento será de R$ 4.000,00. Totalizando R$ ,00. j = ,1.1 j = Ao final de 1 ano ele terá na conta R$ ,00, desse valor, serão pagos R$ ,00, logo seu rendimento final será de R$ 9.400,00. Opção 5: Arthur investira todo o dinheiro que tem e pagará à Cleber após 1 ano o valor de R$ ,00. Nesta opção o rendimento dos 6 primeiros meses será: j = ,1.1 j = Portanto, ao final do primeiro semestre ele terá na conta R$ ,00. Nos últimos 6 meses o rendimento será: j = ,1.1 j = Logo, ao final de 1 ano ele terá R$ ,00 e deverá pagar R$ ,00, neste caso ele ficará com R$ 6.550,00. Veja que a opção 4 é a melhor porque permitirá após 1 ano a maior quantia em dinheiro. 6.A alternativa correta é a letra C. Para saber qual o investimento trará a maior rentabilidade, verificaremos quanto cada um renderá no período de 1 ano. Para o investimento A, temos: ( 1 + 0,03)¹² - 1 (1,03)¹² - 1 = 1, , = 42,6% Então, em 1 ano o investimento A irá render 42,6% ao ano. 16

17 Para o investimento B, temos informado no próprio exercício que o rendimento será de 36% ao ano. Para o investimento C, temos: ( 1 + 0,18)² - 1 (1,18)² - 1 1, , = 39,24% Então, em 1 ano o investimento C terá um rendimento de 39,24% 17