MATEMÁTICA Juros. Professor Marcelo Gonzalez Badin

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Martín Gil Fontes
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1 MATEMÁTICA Juros Professor Marcelo Gonzalez Badin

2 Quem nunca ouviu falar do tal dos Juros? Ou das taxas de juros fixadas pelo Copom (Banco Central do Brasil), taxas selic e etc? Juros é um atributo de uma aplicação financeira, ou seja, referimos a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor (o que pede emprestado), pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta). Existem dois tipos de juros: Juros Simples São acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação Juros Compostos São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um novo capital. Capital é o valor que é financiado, seja na compra de produtos ou empréstimos em dinheiro. A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples obtém um montante (valor total a pagar) inferior ao que financia por juros compostos.

3 Juros simples: 2 aumentos de 10% = 1 aumento de 20% 7 aumentos de 20% = 1 aumento de 7.20% = 140% n aumentos de 30% = 1 aumento de n.30% = 30n% Juros compostos: 2 aumentos de 10% > 1 aumento de 20%

4 Complete o quadro: Variação Aumento de 20% Aumento de 7% Aumento de 130% Redução de 20% Redução de 35% Aumento de 43% Aumento de 3% Redução de 13% Aumento de 228% Fator 1,2 (1 + 0,2) 1,07 (1 + 0,07) 2,3 (1 + 1,3) 0,8 (1 0,2) 0,65 (1 0,35) 1,43 F > 1 aumento = 1,43 1 = 0,43 = 43% 1,03 F > 1 aumento = 1,03 1 = 0,03 = 3% 0,87 F < 1 redução = 1 0,87 = 0,13 = 13% 3,28 F > 1 aumento = 3,28 1= 2,28 = 228% Exercícios página 349

5 1. Qual o montante final de um capital inicial de R$ 4000,00 aplicado durante 10 meses a uma taxa mensal de juros simples de 1,5%? J = 10.1,5% J = 15% Aumento de 15% F = 1,15 M = 1, M = 4600 O montante é de R$ 4600,00

6 2. Uma certa quantia, aplicada a juros simples, quadruplicou em 2 anos. Qual a taxa mensal de juros? x = taxa mensal de juros 2 anos = 24 meses Quadruplicar F = 4 F > 1 aumento = 4 1 = 3 = 300% J = 300% 24x = 300% x = 12,5% A taxa mensal de juros simples é 12,5%

7 Juros compostos x + 20% 1,2x + 10% 1,1.1,2x = 1,32x 1,2x +10%.1,2x = 1,2x + 0,1.1,2x = (1 + 0,1 )1,2x = 1,1.1,2x 100% 10% 1,1.1,2 = 1,32 é o fator de correção correspondente a um aumento de 10% acumulado a outro aumento de 20% F > 1 aumento = 1,32 1 = 0,32 = 32%

8 3. Os preços de uma mercadoria sofreram as seguintes variações: aumento de 20%, redução de 30% e novo aumento de 10% a) Para obter o preço atual, basta multiplicar o preço inicial por...? fator de correção F =1,2.0,7.1,1 Basta multiplicar por 0,924 F = 0,924 b) Qual a porcentagem de variação em relação ao preço inicial? F = 0,924 F < 1 redução = 1 0,924 = 0,076 = 7,6% Redução de 7,6%

9 4. O salário de um trabalhador teve dois aumentos consecutivos: 30% em janeiro e 20% em março. Qual o percentual de aumento acumulado? F = 1,3.1,2 F = 1,56 F > 1 aumento = 1,56 1 = 0,56 = 56% O aumento acumulado é igual a 56%

10 5. Dois aumentos consecutivos de 20% correspondem a um único aumento de: F = 1,2.1,2 = (1,2) 2 F > 1 aumento = 1,44 1 = 0,44 = 44% F = (1,2) 2 = 1,44 Um único aumento de 44% 3 3 aumentos de 20% F = (1,2) (1+0,2) aumentos de 9% F = (1,09) (1+0,09) 5 5 aumentos de 100% F = 2 (1+1) n n aumentos de 10% F = (1,1) (1+0,1) Inflação anual Deflação 12 aumentos de 1% F = (1,01) 12 F =1,1268 (1+0,01) F > 1 aumento = 1, = 0,1268 = 12,68% Governo José Sarney ( ) Plano Cruzado 12 F =23, aumentos de 30% F = (1,3) (1+0,3) F > 1 aumento = 23, = 22,2981 = 2229,81%

Março de 1990 inflação = 80% 12 aumentos de 80% F = (1,8) 12 F =1156,8314 (1+0,8) F > 1 aumento = 1156,8314 1 = 1155,8314 = 115583,14% Hiperinflação Ocorre quando a taxa mensal ultrapassa 50%.

11 Março de 1990 inflação = 80% 12 aumentos de 80% F = (1,8) 12 F =1156,8314 (1+0,8) F > 1 aumento = 1156, = 1155,8314 = ,14% Hiperinflação Ocorre quando a taxa mensal ultrapassa 50%. Foi comum em vários países da América Latina Alemanha após a 1ª guerra. Plano Collor Nota de 100 milhões de marcos na Alemanha em 1923 A obrigação de pagar fortes indenizações às nações vencedoras e a caótica situação interna forçou o país a imprimir papel moeda sem lastro. Entre janeiro de 1922 e dezembro de 1923 a taxa acumulada de inflação foi de um bilhão por cento. Ainda mais grave foi a hiperinflação sofrida pela Hungria imediatamente depois da 2ª guerra mundial. Em 1 ano o fator foi maior que 10 27

12 6. Dois descontos sucessivos de 20% correspondem a um único desconto de: F = 0,8.0,8 = (0,8) 2 F < 1 desconto = 1 0,64 = 0,36 = 36% F = (0,8) 2 = 0,64 Um único desconto de 36% 3 3 descontos de 20% F = (0,8) (1 0,2) 8 8 descontos de 30% F = (0,7) (1 0,3) n n descontos de 5% F = (0,95) (1 0,05)

13 7. Um aumento de 20% seguido de um desconto de 20% é equivalente a: F = 1,2.0,8 F = 0,96 F < 1 desconto = 1 0,96 = 0,04 = 4% Um desconto de 4% Um aumento de 150% seguido de um desconto de 60% F = 2,5.0,4 F = 1 F = 1 O valor volta ao inicial O desconto anula o aumento (1+ 1,5) (1 0,6)

14 8.(Fuvest) O preço de uma mercadoria subiu 25%. Calcular a porcentagem de que se deve reduzir o seu preço atual para que volte a custar o que custava antes do aumento. Para que voltemos ao valor inicial, o fator acumulado deve ser igual a 1. Assim, temos: 1,25 x = 1 x = 1 1,25 x = 0,8 F < 1 desconto = 1 0,8 = 0,2 = 20% Redução de 20% Obs.: O fator que anula um aumento de 25% é obtido dividindo 1 por 1,25 Qual o fator que anula um aumento de 60%? 1 1,6 = 0,625 Isto é: um desconto de 37,5% anula um aumento de 60%

15 9.(Fuvest) No dia 1º de setembro foi aberta uma caderneta de poupança e depositada uma quantia x. No dia 1º de dezembro do mesmo ano o saldo era de R$ ,00. Sabendo-se que entre juros e correção monetária, a caderneta rendeu 10% ao mês, qual era a quantia em x em milhares de reais? 01/09 01/12 a) aumentos de 10% b) 600 x c) 550 (1,1) d) x = e) 400 1,331x = x =

16 10.(Vunesp-2005) Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros de 5% ao mês. Dois meses depois, Mário pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pagamento, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagamento foi de: a) R$ 3.015,00. b) R$ 3.820,00. c) R$ 4.011,00. d) R$ 5.011,00. e) R$ 5.250,00. 2 aumentos de 5% 8000 (1,05) = 1, = 3820 Amortizou a dívida 1 aumento de 5% 3820 (1,05).3820 = 4011 Série O Pensador Página 351 Exercício 16

17 16.(Vunesp-2005) Um capital de R$1.000,00 é aplicado durante 4 meses. a) Encontre o rendimento da aplicação, no período, considerando a taxa de juros simples de10% ao mês. J = 4.10% = 40% O rendimento é 40% de 1000 = 400 O rendimento é R$ 400,00 b) Determine o rendimento da aplicação, no período, considerando a taxa de juros compostos de10% ao mês. F = (1,1) 4 O montante é (1,1) = 1, = 1464,10 Assim, o rendimento é 1464, = 464,10 Obs.: F = (1,1) 4 = 1,4641 O rendimento é R$ 464,10 F > 1 aumento = 1, = 0,4641= 46,41%

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