MMC, MDC, Regra de Três Simples e Composta & Porcentagem

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1 Cursinho: Universidade para Todos Professor: Cirlei Xavier Lista: 3 a Lista de Matemática Aluno a): Disciplina: Matemática Conteúdo: Matemática Básica Turma: A e B Data: Agosto de 06 MMC, MDC, Regra de Três Simples e Composta & Porcentagem Mínimo Múltiplo Comum MMC): O mínimo múltiplo comum MMC) de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo de todos os números dados. Ex. : Os múltiplos positivos de 6 são: Os múltiplos positivos de 8 são: {6,,8,4,30,36,4,48,54,...} {8,6,4,3,40,48,56,64,...} Podemos escrever, agora, os múltiplos positivos comuns: {4,48,7,...} Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, ou seja: MMC6,8) = 4. Máximo Divisor Comum MDC): O máximo divisor comum MDC) de dois ou mais números é o maior número, que é divisor comum de todos os números dados. Ex. : Os divisores naturais de 8 são: {,,3,6,9,8} Agora, os divisores naturais de 4 são: {,,3,4,5,6,8,,4}

2 Matemática Enem e Uesb Escrevendo os divisores comuns a 8 e 4, temos: {,,3,6} Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 8 e 4, ou seja: MDC8,4) = 6. Regra de Três Simples e Composta: Regra de três é uma proporção na qual um dos elementos é desconhecido. A regra de três simples envolve apenas dois tipos de grandezas, enquanto a composta envolve mais de dois tipos. Duas grandezas serão diretamente proporcionais se, quando uma aumentar, a outra também aumentar na mesma proporção e vice-versa; elas serão inversamente proporcionais se, quando uma aumentar, a outra diminuir também na mesma proporção e vice-versa. Ex. : Uma casa de 3 quartos é construída em dias. Em quantos dias será construída uma outra de 5 quartos, se o número de operários for mantido? Observe que as grandezas são diretamente proporcionais: se o número de quartos aumentar, o número de dias de trabalho também deve aumentar. Como as grandezas são diretamente proporcionais, não devemos inverter os valores, ou seja, permanece do jeito que você montou a tabela. Observe abaixo: Quartos Tempo dias) 3 5 x Temos: 3 5 = 5 3 x = 5 x = = 35 dias x 3 Portanto, serão necessários 35 dias para que os cinco operários construa uma outra casa de 5 quartos. Porcentagem: A porcentagem ou percentagem) é uma forma de apresentar frações em que o denominador é igual a.

3 Ex. : 30% = 30 = 0,3 O cálculo de x% de P é efetuado da seguinte maneira: x% de P = x P Ex. : Calcule o valor de 30% de R$0,00: 30 0,00 = 0,3 0,00 = 6,00 Aumento percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e V A o valor após o aumento. Então: V A = A = p V V A = V + A + p ) V Desconto percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e V D o valor após o desconto. Então: V D = D = p V V D = V D p ) V Aumentos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, que irá sofrer dois aumentos sucessivos de p % e p %. Sendo V o valor após o primeiro aumento, temos: V = V + p ) Sendo V o valor após o segundo aumento, temos: V = V + p ) 3

4 Matemática Enem e Uesb V = V + p ) + p Descontos Sucessivos: Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p % e p %. Sendo V o valor após o primeiro desconto, temos: V = V p ) Sendo V o valor após o segundo desconto, temos: V = V p ) V = V p ) p ) Aumento e desconto sucessivo: Seja V um valor inicial, vamos considerar que irá sofrer um aumento de p % e, sucessivamente, um desconto de p %. Sendo V o valor após o aumento, temos: V = V + p ) Sendo V o valor após o desconto, temos: V = V p ) V = V + p ) p ) ) 0. Fatore os números abaixo: Exercícios Propostos a) 90 b) 7 c) Dado o número inteiro 60: a) decomponha-o em fatores primos; b) determine todos os seus divisores naturais; c) determine todos os seus divisores inteiros. d) determine o seu número de divisores naturais e) determine o seu número de divisores inteiros; 03. Resolva as expressões: 4

5 a) b) x y + y x ESPM-SP) O valor da expressão a) b) 05. PUC-MG) Se x = a) b) c) 0 d) 4 c) 3a 4 + 4b 3 d) é igual a: + e) e y = 56 4, então x + y é igual a: c) 8 d) + e) Uma casa de 3 quartos é construída em dias por 0 operários. Em quantos dias será construída uma outra de 5 quartos, se o número de operários aumentar para 35? 07. Uma pessoa recebe R$300, 00 por 8 dias de trabalho. Quanto receberá por 30 dias de trabalho? 08. Um carro faz um percurso a uma velocidade constante de 60 km/h durante 7 horas. Se viajar pelo mesmo percurso durante 4 horas, qual a velocidade média) desenvolvida por este carro? 09. Oitenta operários constroem um muro de m de comprimento e 3 m de altura em 5 dias, trabalhando 6 h por dia. Em quantos dias, 60 operários deverão trabalhar para construir um muro semelhante ao primeiro com 50 m de comprimento, 4 m de altura, trabalhando 8 h por dia? 0. Uesc-BA) Com suas próprias despesas e da sua loja, um comerciante gasta, a cada 30 dias, uma quantia igual à que ele arrecada com a loja a cada 40 dias. Se, num dado instante, o capital que o comerciante possui é igual ao dobro dessa quantia, calcule o tempo para que o seu capital seja reduzido a zero.. Se um objeto foi comprado por R$0,00 e depois foi revendido por R$6,00, qual foi a taxa percentual de lucro obtida? 5

6 Matemática Enem e Uesb. Um aluno acertou 4 das 5 questões de uma prova. Qual o seu percentual de acerto? 3. Unicap-PE) Determine, em reais, 0% do valor de um bem, sabendo que 5% do preço do citado bem é R$8, Calcule o valor de: a) 30% de 84 b),5% de Fuvest-SP) 0%) é igual a: a) % b) 0% c) 5% d) % e) 0,% 6. Fuvest-SP) Uma certa mercadoria, que custava R$, 50, teve um aumento, passando a custar R$3, 50. O aumento percentual sobre o preço antigo é de? 7. Dado o valor de R$00,00, determine: a) o valor de um aumento de 5%; b) o valor após um aumento de 5%; c) o valor de um desconto de 45%; d) o valor após um desconto de 45%. 8. Fuvest-SP) Um vendedor ambulante vende os seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, o seu lucro sobre o preço de custo é de: a) 0% b) 5% c) 30% d) % e) 0% 9. Enem) Para se obter,5 kg do dióxido de urânio puro, matéria-prima para a produção de combustível nuclear, é necessário extrair-se e tratar-se,0 tonelada de minério. Assim, o rendimento dado em % em massa) do tratamento do minério até chegar ao dióxido de urânio puro é de: a) 0,0% b) 0,5% c) 0,0% d),5% e),0% 0. Uespi-PI) Joana e Marta vendem um perfume a domicílio. Joana dá desconto de R$0,00 sobre o preço de perfume e recebe de comissão 5% do preço de venda. Marta vende o mesmo perfume com desconto de R$0,00 e 6

7 recebe 30% de comissão sobre o preço de venda. Se as duas recebem o mesmo valor de comissão, qual o preço do perfume? a) R$6,00 b) R$7,00 c) R$8,00 d) R$9,00 e) R$30,00. Uneb-BA) O fabricante de determinada marca de papel higiênico fez uma maquiagem no seu produto, substituindo as embalagens com quarto rolos, cada um com 40 metros, que custavam R$,80, por embalagens com quatro rolos, cada um com 30 metros, com custo de R$,6. Nessas condições, pode-se concluir que o preço de papel higiênico foi: a) aumentado em 0% b) aumentado em 0% c) aumentado em 5% d) reduzido em 0% e) mantido o mesmo.. Uespi-PI) Um artigo é vendido à vista com 5% de desconto ou em duas parcelas iguais, sem desconto, uma paga no ato da compra e a outra após um mês. Quais os juros mensais embutidos na compra a prazo? Indique o inteiro mais próximo. a) aumento de 4% b) aumento de 4% c) aumento de 43% d) aumento de 44% e) aumento de 45% 3. Uneb-BA) O preço da laranja teve dois aumentos consecutivos: 0% e 0%. Se hoje o cento da laranja custa R$5,8, antes dos aumentos custava, em reais: a) 5,00 b) 4,30 c) 4,00 d) 3,50 e) 3,0 4. PUC-SP) Descontos sucessivos de 0% e 30% são equivalentes a um único desconto de: a) 5% b) 6% c) 44% d) 45% e) 50% 5. Fuvest-SP) O preço de uma mercadoria subiu 5%. Calcule a porcentagem que se deve reduzir do seu preço atual para que volte a custar o que custava antes do aumento. 7

8 Matemática Enem e Uesb 6. Uneb-BA) Um objeto que custa R$40,00 à vista poderá ser comprado com uma entrada R$60,00 e o restante, a prazo, com um acréscimo de 0%. Nessas condições, preço final do objeto será é:. a) R$300,00 b) R$64,00 c) R$58,00 d) R$98,00 e) R$80,00 7. Uneb-BA) Determine o preço normal de uma mercadoria que, com desconto de 30%, está sendo oferecida por R$0, Uesc-BA) Um terreno foi comprado por R$0.000,00. Pretendendose ganhar 5% de lucro sobre o preço de venda, calcule o valor que o terreno deve ser vendido. 9. Uesc-BA) Determine o preço de tabela de um eletrodoméstico que está sendo oferecido com desconto de 5% a preço de R$, Respostas a) 3 5 b) 3 3 c) a) 3 5 b) D + 60) = {,,3,4,5,6,0,,5,0,30,60} c) D60) = {±,±,±3,±4,±5,±6,±0,±,±5,±0,±30,±60} d) e) a) b) x + y xy ,96 c) d) 9a + 6b =, e 05. a dias 07. R$500, 00 8

9 km/h dias dias. O lucro foi de 30%.. 80% 3. R$, a) 5,0 b),0 5. d 6. O aumento foi de 8%. 7. a) R$50,00 b) R$50,00 c) R$90,00 d) R$0,00 8. d 9. b 0. e. b. Aumento aproximado de 4%, resposta letra b. 3. c 4. c 5. O desconto será de 0% 6. c 7. R$300, R$60.000, R$60, 00 9

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