Matemática Financeira Material Teórico , , , modo: %. 900

Transcrição

1 1 Matemática financeira é o ramo da matemática que estuda a mudança de valor do dinheiro em função do tempo. Devido às diferentes moedas existentes em vários países e as várias mudanças ocorridas na moeda oficial brasileira, utilizarei apenas a notação de cifrão $, como símbolo para indicar unidades monetárias. O cifrão ( $ ) é um símbolo utilizado para indicar unidades monetárias (é o símbolo universal do dinheiro), representado por uma figura aproximada de um esse "S" cortado, seja por um traço contínuo, ou por um traço interrompido (tracejado), ou por dois traços. Enfim, não existe norma com relação à barra vertical. Para a realização de cálculos, devemos transformar as taxas percentuais em unitárias, tal transformação é feita simplesmente pela divisão da notação em percentual por 100. De uma forma mais simples, a forma percentual de representar a taxa de juros é aquela em que aparece o sinal de % (porcentagem ou percentagem, tanto faz). E a forma unitária é a que deverá ser utilizada nas fórmulas matemáticas, de modo a tornar mais fácil o cálculo das operações de multiplicação e divisão sem a presença do sinal de %. Exemplo: Forma Percentual: 5%; 1,25%; 0,04% Forma Unitária: 0,05; 0,0125; 0,0004 Fator ou Índice de Atualização (FA): O índice de atualização ou fator de atualização é um número que, multiplicado pelo valor antigo, dá como produto o novo valor. Para lhe obter, basta transformar a taxa percentual em unitária e adicionar uma unidade. Dessa forma, para aumentarmos determinado valor em 12%, basta multiplicar o valor por 1,12. Exemplo 1: Uma TV, custava $ 900,00 e teve um aumento de 12%, quanto passou a custar? 2 modo: %. 900 Será que passou a custar $ 912,00? Quanto é 12% de 900? = ,12 = 108 (aumento de preço) Então, passou a custar = 1008 Colocando em evidência: 900. (1 + 12%) 900. (1 + 0,12) , Ou seja, para aumentar 12% em 900, basta multiplicar o 900 por 1,12 Exemplo 2: Carlos ganhava $ 950,00 e teve um aumento de 25%, quanto passou a ganhar? 2 modo: Quanto é 25% de 950? %. 950 Colocando em evidência = ,25 = 237,50 (aumento salarial) 950. (1 + 25%) (1 + 0,25) Então, passou a ganhar ,50 = 1.187, , ,50 Ou seja, para aumentar 25% em 950, basta multiplicar o 950 por 1,25 Exemplo 3: Se um vendedor ganha 20% de comissão sobre o valor vendido e vendeu $ 100, quanto ele receberá? Ou seja, quanto é 20% de $ 100? 100 0,20 = 20 Se você compra um produto por $ 100 e resolve vende-lo com 20% de lucro, por quanto você o venderá? Ou seja, como se adiciona 20% a $ 100? 100 1,20 = 120 Note que para acharmos quanto é 20% de um valor, fizemos vezes 0,20 e para acrescentarmos 20% a um valor, fizemos vezes 1,20. O 1,20 é o índice ou fator de atualização. Exemplos Gerais Módulo 1 Parte 1 1) Transforme as taxas percentuais, em taxas unitárias: a) 13% b)14,5% 2) Transforme as taxas unitárias, em taxas percentuais: a) 0,23 b) 0,025 3) Determine os índices ou fatores de atualização (acumulação / aumento), referentes as taxas de: a) 17% b) 11%

2 2 4) Determine qual a porcentagem referente aos índices de atualização (acumulação / aumento): a) 1,14 b) 1,32 5) Um objeto foi vendido com 25% de lucro. Qual foi o fator de aumento? 6) Um vendedor, ganha 4% de comissão, por quanto ele deve multiplicar o valor de suas vendas, para saber quanto ganhará? 7) Um investidor comprou uma casa por $ ,00, multiplicou esse valor por 1,8 e vendeu a casa. De quanto por cento foi o seu lucro? 8) Se um comerciante quer aumentar o preço de um produto em 15%, deve multiplicar o preço do produto por quanto? 9) A produção de uma indústria de roupas aumentou, em um ano, de acordo com o fator 1,28. Qual foi o aumento percentual de produção? 10) Um comerciante comprou uma mercadoria por $200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Qual foi o fator de aumento que o comerciante empregou? Respostas dos Exemplos Gerais do Módulo 1: 1)a)0,13 b)0,145 2)a)23% b)2,5% 3)a)1,17 b)1,11 4)a)14% b)32% 5)1,25 6)0,04 7)80% 8)1,15 9)28% 10)1,5 Exercícios Módulo 1 Parte 1: 1) Transforme as taxas percentuais abaixo, em unitárias (basta dividir por 100): a) 15% b) 12% c) 10% d) 5% e) 1% f) 0,5% g) 0,675% h) 2,54% i) 10,5% j) 0,08% 2) Transforme as taxas unitárias abaixo, em percentuais (basta multiplicar por 100): a) 0,35 b) 0,245 c) 0,11 d) 1,52 e) 0,09 f) 0,5 g) 0,675 h) 0,02 i) 0,1 j) 0,085 3) Determine os índices de atualização (acumulação / aumento), referentes as taxas abaixo (basta dividir por 100 e adicionar 1): a) 12% b) 20% c) 60% d) 25% e) 9% f) 0,5% g) 30% h) 11% i) 12,5% j) 14,35% 4) Determine qual a porcentagem referente aos índices de atualização (acumulação / aumento) abaixo (basta subtrair 1 e multiplicar por 100): a) 1,45 b) 1,2 c) 1,11 d) 1,05 e) 1,3 f) 1,12 g) 1,15 h) 1,02 i) 1,1 j) 1,85 5) Um funcionário recebeu um reajuste salarial de 15%, de quanto foi o seu índice de atualização salarial? 6) O índice de atualização do aluguel de uma residência, foi de 1,12, qual foi a porcentagem de aumento do aluguel? 7) Um vendedor, ganha 25% de comissão, por quanto ele deve multiplicar o valor de suas vendas, para saber quanto receberá de comissão? 8) Um comerciante, ganha 25% de lucro no preço de compra de suas mercadorias, por quanto ele deve multiplicar o valor de compra, para saber qual será o valor de venda? 9) Para acharmos 17% de um valor, devemos multiplicar o valor por: 10) Para aumentarmos um valor em 17%, devemos multiplica-lo por: 11) Ao multiplicar um valor por 0,37, estamos obtendo qual porcentagem do valor? 12) Quando multiplicamos um valor por 1,18 estamos aumentando o valor em qual porcentagem? 13) Para aumentarmos um valor em 0,5%, devemos multiplica-lo por: 14) Complete a tabela, transformando as taxas a seguir para a forma solicitada: Item Forma Percentual Forma Unitária Fator a) 12%

3 3 b) 0,25 c) 1% d) 1,005 e) 0,08 f) 2,0 g) 130% h) 4 i) 0,7% j) 1,50 k) 1,02 l) 400% m) 3,40 15) As mensalidades escolares tiveram um aumento de 8%, qual foi o fator de atualização? 16) Um comerciante, orienta sua funcionária, a multiplicar o preço de custo de suas mercadorias recém adquiridas, por 1,4 para obter o preço de venda, dessa forma, o comerciante está tendo um lucro percentual de quanto? 17) Por quanto devemos multiplicar um valor, para aumenta-lo em 100%? 18) Por quanto devemos multiplicar um valor, para aumenta-lo em 200%? 19) Ao multiplicar um valor por 4, estamos aumentando-o em qual porcentagem? 20) Multiplicando um valor por 5, aumentamos esse valor em quanto por cento? Respostas dos Exercícios do Módulo 1 Parte 1: 1)a)0,15 b)0,12 c)0,1 d)0,05 e)0,01 f)0,005 g) 0,00675 h)0,0254 i)0,105 j)0,0008 2)a)35% b)24,5% c)11% d)152% e)9% f)50% g)67,5% h)2% i)10% j)8,5% 3)a)1,12 b)1,2 c)1,6 d)1,25 e)1,09 f)1,005 g)1,3 h)1,11 i)1,125 j)1,1435 4)a)45% b)20% c)11% d)5% e)30% f)12% g)15% h)2% i)10% j)85% 5) 1,15 6) 12% 7) 0,25 8)1,25 9)0,17 10)1,17 11)37% 12)18% 13)1,005 14)a) 0,12 e 1,12 b) 25% e 1,25 c) 0,01 e 1,01 d)0,5% e

4 4 0,005 e) 8% e 1,08 f) 200% e 3 g) 1,3 e 2,3 h) 300% e 3 i) 0,007 e 1,007 j) 50% e 0,5 k) 2% e 0,02 l) 4 e 5 m) 240 e 2,4 15)1,08 16)40% 17)2 18)3 19)300% 20)400% Módulo 1 PORCENTAGEM Parte 2 Wall Street é o único lugar para onde as pessoas vão de Rolls-Royce pedir conselhos a quem pega metrô. Warren Buffett. Porcentagem (%) é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor. Como o nome já diz, é por 100 (sobre 100). A porcentagem é de grande utilidade no mercado financeiro, pois é utilizada para capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. A porcentagem é proporcional ao valor. Exemplo 1: Numa calculadora simples, efetue: %. Qual foi o resultado? Seguindo a mesma linha de raciocínio, como você retorna ao valor de 100? Segundo seu raciocínio você obteve o valor de 96? Por que? Como a porcentagem é proporcional ao valor, quanto maior o valor, maior a sua variação percentual, por isso que 20% de 100 corresponde a 20 e 20% de 120 corresponde a 24. Logo, se para aumentarmos $100 em 20%, multiplicamos o 100 por 1,2, então para retornarmos ao valor inicial de $100, dividimos 120 por 1,2. Exemplos Gerais Módulo 1 Parte 2 1) Qual o valor percentual que corresponde a 20% de 150? Para calcular 20% de 150, basta fazer ,20 ou = 30 Note que para achar 20% de um valor, basta multiplicá-lo por 0,2 que é a taxa de 20% na sua forma unitária. 2) Quanto é $ 200,00 mais 30%? Podemos achar 30% de 200 (200. 0,3 = 60) e somarmos com o $ 200 ( = 260) ou podemos fazer ,3 = 260. Note que para aumentar um valor em 30%, basta multiplicá-lo por 1,3 que é a taxa de 30% na sua forma unitária mais um (ou seja, o índice de atualização). 3) Uma compra foi efetuada no valor de $ 500,00. Foi obtido um desconto de 10%. Qual foi o valor pago? O desconto será: = 50, Portanto, pagou-se: = Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar da seguinte forma: O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 10%, isso quer dizer que pagaremos somente 90% do valor (100% - 10% = 90%). Logo, = ) Um vendedor ambulante, acrescenta 35% de lucro sobre o preço de compra de seus produtos, está vendendo ioiôs por $ 5,00. Quanto o vendedor pagou pelos ioiôs? Se você utilizou uma calculadora e fez 5 35% = 3,25, você errou, pois as porcentagens são proporcionais aos valores. O ambulante multiplicou o preço de compra por 1,35 e obteve o preço de venda 5,00, logo, para obtermos o preço de compra, basta dividir 5 por 1, ,35 = 3,7 ou seja, pagou aproximadamente $ 3,70 por cada ioiô. 5) Qual a taxa de desconto dada pela loja que reduz o preço de um computador de $ 2.000,00 para $ 1.700,00 se o pagamento for feito à vista? O valor de 2.000, foi multiplicado por uma taxa de desconto (i) e obteve-se Ou seja, i = 1.700

5 5 i = = 0,85 Dessa forma, o computador passou a custar 85% do seu valor, logo teve um desconto de 15%. Exercícios Módulo 1 Parte 2 Atenção: Ao utilizar à calculadora, não confunda o ponto separador de milhar, com o ponto de vírgula da calculadora. E, não se esqueça de transformar taxas percentuais em unitárias. 1) Calcule: a) 13% de 500 b) 25% de 200 2) Aumente: a) 15% em 400 b) 5% em 300 3) Um vendedor, ganha 20% de comissão sobre suas vendas, quanto receberá de comissão, se vender $3.760,00? 4) Uma pessoa compra um computador portátil, por $3.760,00 e resolve vendê-lo com um lucro de 20%, qual será o preço de venda? 5) Um comerciante, compra calças por $ 30,00 e resolve vendê-las com um lucro de 20%, por quanto as venderá? 6) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa $120,00, quanto passará a custar? 7) Uma compra é efetuada no valor de $1.500,00. O cliente obtém um desconto de 20%. Qual será o valor pago? 8) Um carro, que custava $ ,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar? 9) Um computador que custava $2.000,00, foi vendido com um lucro de $100,00. Qual a porcentagem de lucro obtida? 10) Um comerciante vende determinada mercadoria, por $ 621,00. Sabendo-se que esse comerciante sempre acrescenta um lucro de 15% sobre o valor de compra de seus produtos. Por quanto ele comprou a referida mercadoria? 11) Quanto é 30% de $ 200,00? 12) Um carro, que custava $ ,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar? 13) Calcule o novo preço do Etanol, após um aumento de 12%. Considere que o litro do Etanol era $ 2,60. 14) Um vendedor ganha um salário mensal fixo de $ 500,00, mais uma comissão de 5% sobre o valor total de suas vendas, sabendo-se que ele vendeu $ ,00 no mês, quanto receberá de salário? 15) Uma TV custa $ 700,00, mas a loja está fazendo uma promoção e dá um desconto de 15% para pagamento à vista. Qual o preço à vista da TV? 16) Um cidadão pagou $ 132,00 pela conta de telefone já vencida. Este valor inclui as despesas do telefone mais uma multa de 10%. Qual era o valor da conta sem a multa? Respostas dos Exercícios do Módulo 1 Parte 2: 1)a)65 b)50 2)a)460 b)315 3)752 4)4512 5)36 6)108 7) ) )5% 10)540 11)60 12) )2,912 14)1.500,00 15)595 16)120 Note que o valor inicial foi acrescido em 10%, obtendo-se um valor final de $ 132,00, como já vimos, fazendo $ 132,00 menos 10% na calculadora, não

6 6 obteremos o valor inicial, pois as porcentagens são proporcionais aos valores. Como a multa é de 10%, o valor inicial foi multiplicado por 1,1, resultando em $ 132,00, logo, para obter o valor inicial, basta dividir $ 132 por 1,1. Módulo 1 PORCENTAGEM Parte 3 A pobreza não surge da diminuição dos bens, mas da multiplicação dos desejos Platão Aumentos e diminuições percentuais: como vimos anteriormente, se as vendas de uma empresa aumentaram 20%, então elas passaram de v para v + 0,20v = 1,20 v. Se as vendas de uma empresa diminuíram 20%, então elas passaram de v para v - 0,20v = 0,80v. Ou seja, como vimos na aula anterior, quando queremos achar a porcentagem de um valor, basta multiplicá-lo pela taxa unitária (zero antes da vírgula). Quando queremos aumentar uma porcentagem sobre um valor, basta multiplicar esse valor pelo índice ou fator de atualização (FA). Aprendemos ainda alguns raciocínios muito úteis, como por exemplo, quando você ganha um desconto de 15%, para saber quanto irá pagar, basta multiplicar o valor da mercadoria, por 0,85. Vamos nessa aula aprofundar um pouco os conhecimentos referentes a porcentagem, utilizando os exemplos abaixo: Exemplo 1: Maria pagava em 2015, $ 635,00 de mensalidade para uma Faculdade. Em 2016, passou a pagar $ 700,00. Qual foi o índice ou fator de atualização da mensalidade? O valor de 635, foi multiplicado por uma fator de aumento (FA), resultando em 700. Ou seja, 635. FA = 700 FA = FA 1,10 RESPOSTA: O índice de atualização da mensalidade foi de 1,1. Exemplo 2: Em quanto por cento subiu o preço da mensalidade escolar da nossa Maria do exemplo anterior? Como já sabemos, 1,1 corresponde a um aumento de 10%. Exemplo 3: José teve um aumento de 13% e passou a ganhar $ 1.120,00. Quanto José ganhava antes do aumento? Como ele teve um aumento de 13%, seu salário foi multiplicado por 1,13, logo, para obter o salário anterior ao aumento, basta dividir o salário atual por 1, ,13 991,15 RESPOSTA: Antes do aumento, José ganhava $ 991,15. Exemplo 4: Um comerciante aumenta o preço de um produto em 15% e esse produto passa a custar $ 115, em seguida, a título de promoção o comerciante resolve voltar ao preço anterior, de quanto por cento deve ser o desconto sobre o preço de 115? Já vimos que efetuando numa calculadora simples % = 97,75, não obtemos o valor anterior de 100, logo a resposta será um valor menor que 15%. O preço de compra do produto foi $ 100 (115 : 1,15), dessa forma o desconto deverá ser de $ 15, ou seja, 115 multiplicado por qual valor resultará em 15? 115. x = 15 x = ,1304 RESPOSTA: O desconto deverá ser de aproximadamente 13,04% Exercícios Módulo 1 Parte 3 1) O aluguel de uma casa passou de $ 450,00 para $ 504,00. Qual foi o índice de atualização do aluguel? Qual foi a porcentagem de aumento?

7 7 2) O aumento das mensalidades escolares foi de 12%. Se em determinada escola essa mensalidade passou a ser de $ 425,60, qual foi o índice ou fator de atualização das mensalidades? Qual era o valor anterior? 3) Se um comerciante aumenta o preço de um produto em 35% e esse produto passa a custar $ 215 e depois a título de promoção o comerciante resolve voltar ao preço anterior de custo, de quanto por cento deve ser esse desconto? (Dica: veja o exemplo 4 acima) 4) A cotação do euro em um dia era de $ 3,55 e no dia seguinte, de $ 3,61. Qual foi o aumento percentual? 5) A produção de uma indústria de roupas passou, em um ano, de para peças. Qual foi o aumento percentual de produção? Se esse percentual de aumento se repetir para o ano seguinte, qual será a previsão da produção nesse ano? 6) Júlia recebeu um reajuste salarial de 9,5%. Quanto passou a ganhar se o seu salário era de $ 650,00? 7) Marcelo passou a ganhar $ 850,00 porque teve um reajuste salarial de 10%. Quanto era seu salário antes do reajuste? 8) Hoje o valor da cota de um fundo de investimentos é $ 17,24 e há um mês foi de $ 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado? 9) Qual a taxa de juros cobrada num empréstimo de $ 2.000,00 a ser resgatado por $ 2.400,00? 10) Um comerciante que não possui conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por $200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor? 11) Maria e José ficaram janeiro e fevereiro na praia. Maria engordou 10% em janeiro e 20% em fevereiro, já José engordou 20% em janeiro e 10% em fevereiro. Quem engordou mais? 12) Se Maria tivesse engordado 10% em janeiro, mas emagrecido 10% em fevereiro, qual o efeito total? 13) Um comerciante vende um artigo por $175,00, com um lucro de 25% do custo. Se este comerciante resolver vender o artigo a preço de custo, deverá conceder no preço de venda um desconto percentual de quanto? 14) Numa promoção geral, o gerente de uma cadeia de lojas decidiu reduzir os preços de todos os artigos em 17%. Assim, ele deve multiplicar todos estes preços por quanto? 15) Uma sala de aula retangular, terá seu comprimento aumentado em 20%, e sua largura diminuida em 20%. O que acontecerá com a sua área? (Dica: Área = Comprimento. Largura) 16) Nestes últimos dias, o preço de um combustível sofreu exatamente dois aumentos, o primeiro de 20% e o segundo de 15%. Dado que, antes desses aumentos, o preço por litro era P, calcule o preço do litro, após esses aumentos. Respostas dos Exercícios do Módulo 1 parte 3: 1)1,12 e 12% 2)1,12 e 380 3)25,93% 4)1,69% 5)30% e )711,75 7)772,73 8)2,99% 9)20% 10)Prejuízo de $ )Sabendo que podemos fazer o produto de dois números em qualquer ordem, sem alterar o resultado, é desnecessário fazer qualquer conta para ver que os dois engordaram o mesmo percentual (Maria = 1,1. 1,2 e José 1,2. 1,1). 12)Pelo que já vimos, você sabe que o efeito total não é zero, pois 1,10. 0,90 não é 1, mas 0,99, ou seja, Maria está com 99% do seu peso, dessa forma emagreceu 0,01, ou seja 1%. 13)175,00 : 1,25 = 140 e 35 : 175 = 0,2 = 20%.

8 8 Logo, o lucro é 20% do preço de venda. 14)0,83 15)Antes das alterações, a área inicial é dada por Ai = C L, com as alterações, a área final é dada por Af = (C 1,20)(L 0,80), então Af = C L 1,2 0,8 logo Af = Ai 0,96 portanto, a área inicial, diminuirá em 0,04, ou seja, 4% 16)Sendo Pf o preço por litro com os dois aumentos, temos: Pf = P 1,2 1,15 então Pf = P 1,38. Note que o preço aumentou de 38% e não de 35%.