Porcentagem. Wagner Meira Beff

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1 Porcentagem 51 Wagner Meira Beff

2 e-tec Brasil Estatística Aplicada META Apresentar o conceito de porcentagem. OBJETIVOS PRÉ-REQUISITOS Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de: 1. fixar o conceito de porcentagem; 2. transformar a taxa percentual; 3. resolver problemas de porcentagem envolvendo lucros, prejuízos descontos e outros. Para melhor compreensão desta aula, você deverá rever o conceito de frações equivalentes e operações com números decimais. É importante também ter em mãos uma calculadora básica. 106

3 A PORCENTAGEM NO DIA-A-DIA Quem nunca precisou calcular um desconto oferecido por um vendedor? E aquela conta do mês passado esquecida na gaveta? Você sabe calcular o valor da multa? Como você pode ver, a porcentagem faz parte do nosso cotidiano. Ela está presente nos descontos concedidos em compras, nos juros das prestações, nos dados estatísticos veiculados nos meios de comunicação etc. Aula 5 Porcentagem Figura 5.1: A porcentagem faz parte do nosso dia-a-dia. É muito comum encontrarmos, em livros didáticos, definições sobre porcentagem capazes de gerar confusão na cabeça de qualquer pessoa. Esse não é nosso objetivo! Na tentativa de minimizar as possíveis dificuldades, procuramos desenvolver uma aula valorizando os conhecimentos que você já possui. Sendo assim, pense na figura anterior e tente desenvolver em sua mente uma explicação para ela. Não conseguiu? Calma! Ao final desta aula, você conseguirá. 107

4 e-tec Brasil Estatística Aplicada SAIBA MAIS... Um pouco de história Figura 5.2: Otávio Augusto, conhecido também como César Augusto, foi o primeiro imperador romano e viveu entre 63 a.c. e 14 d.c. A porcentagem passou a ser utilizada no final do século XV em questões comerciais, como o cálculo de juros, prejuízos e impostos. A idéia, porém, teve origem muito antes. Quando o imperador romano César Augusto estabeleceu um imposto sobre todas as mercadorias em hasta pública, chamado centésima, a taxa era de 1/100. Outras taxas romanas eram de 1/20 sobre cada escravo libertado e 1/25 sobre cada escravo vendido. Sem reconhecer porcentagens como tal, os romanos usavam frações facilmente redutíveis a centésimos (DAVIS, p ). 108

5 TRABALHANDO COM A PORCENTAGEM Atualmente, muitas empresas adotam a prática de premiar os melhores funcionários do mês. Imagine que o seu futuro emprego será em alguma dessas empresas que valorizam seus colaboradores e por isso distribui prêmios de 30% (lê-se trinta por cento) a mais no salário dos seus melhores funcionários. Esse é um bom motivo para iniciarmos o estudo de porcentagem, não acha? Como tenho certeza de que você não perderá a oportunidade de ser o melhor funcionário da empresa, vamos analisar o que significa um aumento de 30% no seu salário. Receber esse prêmio de 30% a mais significa dizer que para cada R$100,00 do seu salário você receberá R$30,00 a mais. Poderíamos, ainda, dizer que esse prêmio está numa razão de 30 por 100, ou simplesmente 30, que é igual a 0, Como você pôde observar no exemplo anterior, a taxa que representa o prêmio oferecido pela empresa foi expressa de três formas diferentes: 1) Na forma percentual, 30% (trinta por cento), como o próprio nome já diz. 2) Na forma fracionária, temos que 30% correspondem a ) Na forma decimal, temos que 30% equivalem a 0,30. Aula 5 Porcentagem Supondo que você foi contratado com um salário inicial de R$ 1.000,00, como pode calcular o prêmio que irá receber no próximo mês? Vejamos o seguinte: para cada R$ 100,00 do seu salário você receberá R$ 30,00 a mais, certo? Como R$ 1.000,00 é igual a R$ 100,00 multiplicados por 10, basta agora multiplicar os R$ 30,00 por 10. Assim, 30% de R$ 1.000,00 (lê-se trinta por cento de R$ 1.000,00) é igual a R$ 300,00. Portanto, você receberá um prêmio de R$ 300,00 por ter sido o melhor funcionário do mês. Está confuso? Calma! Observe com mais atenção a explicação a seguir: 109

6 e-tec Brasil Estatística Aplicada 10 vezes R$ = R12 4$ R12 4$ R12 4$ R12 4$ R$ 30 R$ R$ 30 O esquema representa uma adição com 10 parcelas de R$ 100,00 que totalizam R$ 1.000,00. Também está indicado que para cada R$ 100 do salário você receberá R$ 30,00 a mais. Multiplicando R$ 30,00 por 10, obtemos R$ 300,00, que é o valor do seu prêmio. Ou seja: R$ 30,00 10 = R$ 300 Muito bem, então como podemos definir porcentagem? DJ Alemao Fonte: Figura 5.3: A porcentagem entra nas nossas vidas sem pedir licença. 110

7 Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma fração de denominador 100 (fração centesimal) a um determinado valor, ou seja, multiplicamos a fração centesimal por esse valor. Agora que você já está envolvido com a porcentagem, pratique um pouco para fixar bem os conceitos. Aula 5 Porcentagem ATIVIDADE 1 Atende ao Objetivo 1 Há alguns anos, aproximadamente 18% da população brasileira era de analfabetos. Isso quer dizer que, em cada 100 habitantes do Brasil, 18 não sabiam ler nem escrever. A população analfabeta se distribui de forma desigual em nosso país. Em São Paulo, ela representava cerca de 10%; no Piauí, era em torno de 40% da população do estado. Usando essas informações, escreva no espaço indicado a quantidade de pessoas analfabetas que representam a taxa percentual indicada: a. Em São Paulo, de cada 100 pessoas,... são analfabetas. b. No Piauí, de cada 100 pessoas,... são analfabetas. Após a solução dos itens anteriores, pense um pouco mais e tente resolver o desafio a seguir: c. Para cada habitantes de São Paulo,... são analfabetos. 111

8 e-tec Brasil Estatística Aplicada ATIVIDADE 2 Atende ao Objetivo 2 Observe as figuras dos itens (a), (b) e (c) e responda: Qual a fração representada em cada figura? Como escrever essas frações na forma decimal? Como escrever na forma percentual? a. b. c. 112

9 Compare os números, usando sinais de maior (>), menor (<) e igual (=): a % 100 ATIVIDADE 3 Atende ao Objetivo 2 Aula 5 Porcentagem b. 25% c % d. 20% SAIBA MAIS... A porcentagem nos jornais e nas revistas Sanja Gjenero Fonte: Figura 5.4: O hábito de ler jornais e revistas nos mantém atualizados sobre os acontecimentos em nosso país e no mundo, e eles estão sempre recheados de dados estatísticos envolvendo porcentagem. 113

10 e-tec Brasil Estatística Aplicada VALOR ABSOLUTO O valor desse mesmo número independentemente do seu sinal. Por exemplo, o valor absoluto de -5 é o próprio 5. Em jornais e revistas é muito comum o uso de expressões que indicam acréscimo, quantidade ou desconto, em taxas percentuais. Por exemplo: O arroz teve um aumento de 7%, ou ainda, A inflação subiu um ponto percentual. A propósito, você sabe o que é ponto percentual? Vejamos: se a taxa de juros de uma determinada aplicação financeira subir de 8% ao ano para 16% ao ano, podemos dizer que houve um aumento de 8 pontos percentuais nessa taxa. Ponto percentual é o nome da unidade em que pode ser representada a diferença, em VALOR ABSOLUTO, entre quaisquer pares de porcentagens. Depois de mais algumas informações importantes para que você não se assuste com determinados nomes técnicos que surgem em jornais e revistas, pratique um pouco na próxima atividade. ATIVIDADE 4 Atende aos Objetivos 1 e 2 Observe as informações a seguir sobre a situação da educação em nosso país em 2006, retiradas da revista Nova Escola online, edição 196 out./2006: Os grandes problemas da educação I) Exclusão: 97% das crianças brasileiras de 7 a 14 anos estão na escola. Os 3% que estão fora da escola correspondem a 1,5 milhão de crianças. a. Represente na forma fracionária a taxa de 97% correspondente ao número de crianças brasileiras com idades de 7 a 14 anos que estão na escola. 114

11 b. Se 1,5 milhão de crianças corresponde a 3%, você consegue descobrir a quantidade de crianças correspondente a 97%? Aula 5 Porcentagem II) Poucos recursos: O Brasil investe 4,3% do PIB em Educação. O ideal seria 7%. c. Represente em forma de fração o percentual do PIB brasileiro investido na educação. PIB (PRODUTO INTERNO BRUTO) Representa o valor de toda a riqueza gerada no país. É um dos indicadores mais utilizados para medir a atividade econômica. (Fonte: Folha online.) DOMINANDO OS LUCROS E OS PREJUÍZOS Provavelmente você já se deparou com situações envolvendo lucros e prejuízos. Por exemplo, comprar uma casa por R$ ,00 e vendê-la por R$ ,00 caracteriza um lucro. Autor desconhecido Figura 5.5: Muitos brasileiros sonham com sua casa própria, mas, infelizmente, os financiamentos oferecidos acabam por dificultar tal realização, pois as financeiras não abrem mão dos altos lucros. Fonte: ww.scx.hu 115

12 e-tec Brasil Estatística Aplicada PREÇO DE CUSTO Preço que o lojista paga por uma mercadoria. No caso de um automóvel, provavelmente o proprietário terá um prejuízo ao vendê-lo. Isso quer dizer que, se você comprar um carro por R$ ,00 e algum tempo depois decidir vendê-lo, possivelmente o preço da revenda será menor que R$ ,00. Pense em uma loja que revenda equipamentos de segurança do trabalho. É fácil deduzir que o dono dessa loja revende seus produtos por um preço maior que o PREÇO DE CUSTO. Com isso, podemos dizer que a diferença entre o preço final da mercadoria por exemplo, um capacete e o preço de custo do mesmo é o lucro obtido pelo lojista. Esse lucro normalmente é expresso em porcentagem. Então, como calcular o preço de um capacete sabendo que o preço de custo foi R$ 20,00 e o comerciante deseja obter um lucro de 20% na revenda desse importante item de segurança? 116

13 Observe o seguinte. Um lucro de 20% significa um acréscimo de 20% no preço final do capacete. Para isso, podemos calcular 20% de R$ 20,00 e adicionar esse resultado ao preço de custo. Isso você já aprendeu, certo? Mas existe outra forma de calcular esse acréscimo. Observe: Se há um acréscimo de 20% a um determinado valor, podemos calcular esse novo valor apenas multiplicando o valor inicial por 1,20 (fator multiplicador), ou seja: Aula 5 Porcentagem Fator multiplicador = 1 + a taxa na forma decimal Vejamos o que acontece retomando o problema do capacete. O preço de custo do capacete representa 100% na forma percentual e 1 na forma decimal. Já o acréscimo de 20% é representado na forma decimal por 0,20. Como pretendemos calcular o preço de revenda e sabemos que o acréscimo é de 20%, determinamos o fator multiplicador fazendo 1 + 0,20, que é igual a 1,20. Depois disso multiplicamos o preço de custo do capacete, que foi R$ 20,00, pelo fator multiplicador, e pronto. Chegamos, assim, ao preço de revenda do capacete, que será de R$ 24,00. Ficou complicado? Então preste atenção! Preço de custo: R$ 20,00 Lucro: 20% ou 0,20 Como o lucro representa um acréscimo, temos: O fator multiplicador = 1 + 0,20. Assim, o fator multiplicador = 1,20. Preço de revenda: R$ 20,00 1,20 = R$ 24,00 E no caso de haver um decréscimo? O fator multiplicador será 1 a taxa de desconto na forma decimal; ou seja, o total menos a taxa percentual. Fator multiplicador = 1 a taxa de desconto na forma decimal 117

14 e-tec Brasil Estatística Aplicada Na compra de um microcomputador, dez meses atrás, você pagou R$ 1.000,00. Como a tecnologia na área de informática avança rapidamente, você percebeu que seu computador já está ultrapassado. Na intenção de vender sua máquina para adquirir outra mais atual, descobriu que seu computador desvalorizou 7%. Por quanto você deverá vendê-lo? Em primeiro lugar, devemos destacar o preço que você pagou quando comprou o computador, R$1.000,00. Agora, vamos determinar o fator multiplicador. Atenção! Para uma desvalorização, devemos usar a seguinte fórmula: Fator multiplicador = 1 a taxa na forma decimal Sabendo que a taxa de desvalorização é de 7%, ou 0,07 na forma decimal, é só substituir na fórmula e determinamos o fator multiplicador: O fator multiplicador = 1 0,07 = 0,93 E agora? Como determinar o preço de venda do seu computador? 118

15 Basta fazer a seguinte operação: R$ 1.000,00 0,93 = R$ 930,00, onde R$ 1.000,00 foi o valor que você pagou pela máquina e 0,93 é o fator multiplicador. Portanto, você deverá vender seu microcomputador por R$ 930,00. A seguir, veja mais alguns exemplos: Aula 5 Porcentagem Exemplo 1: Comprei um aparelho de som por R$ 200,00. Por quanto devo vendê-lo se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo? Mais uma vez apresentaremos duas soluções na tentativa de esclarecer possíveis dúvidas. Na primeira solução, podemos calcular 25% de R$ 200,00 e depois acrescentar esse resultado ao preço inicial do aparelho, ou seja: 25 Como 25% = 100 na forma fracionária, calculamos x 200, que, simplificando, chegamos a 2 = 50 ou 1 R$ 50,00. Com isso, já sabemos que 25% de R$ 200,00 é igual a R$ 50,00. Para determinar o preço com o qual devo vender meu aparelho, precisamos somar o preço inicial com os R$ 50,00. Logo, R$ 200,00 + R$ 50,00 = R$ 250,00. Para a segunda solução, vamos usar o fator multiplicador. Como já vimos que um lucro de 25% representa um acréscimo no preço inicial do aparelho, devemos, então, usar a fórmula: Fator multiplicador = 1 + a taxa na forma decimal Sabendo que 25% equivalem a 0,25 (na forma decimal) e substituindo na fórmula, temos: Fator multiplicado = 1 + 0,25. Assim, o fator multiplicador é igual a 1,25. Com isso: Preço de revenda = R$ 200,00 x 1,25, que é igual a R$ 250,

16 e-tec Brasil Estatística Aplicada Exemplo 2: Observe a seguinte situação: um comerciante comprou uma calça por R$ 30,00 e a vendeu por R$ 45,00. Seu lucro, portanto, foi de R$ 15,00. Para saber o lucro em porcentagem, precisamos expressá-lo com base no preço de compra. Assim: Preço de compra: R$ 30,00 Lucro: R$ 15,00 O percentual de lucro é igual a = 0, 5. Portanto, 50% foi o lucro obtido pelo comerciante. ATIVIDADE 5 Atende ao Objetivo 3 Um terreno foi vendido por R$ ,00, com um lucro de 16%; em seguida, foi revendido por R$ ,00. Qual o percentual de lucro total que as duas transações representam sobre o custo inicial do terreno? Até aqui trabalhamos com cálculos relativamente simples, mas sabemos que nem sempre é assim. Daqui por diante os números não serão mais tão amigáveis e, para facilitar um pouco sua vida, usaremos uma ferramenta muito conhecida e útil. A CALCULADORA COMO FERRAMENTA DE TRABALHO Provavelmente, em sua vida profissional você precisará lidar com cálculos complicados. Sendo assim, como ter precisão e velocidade em tarefas desse tipo? Usando uma calculadora! Você sabe calcular porcentagem na máquina de calcular? 120

17 As calculadoras permitem o cálculo de porcentagem através de uma tecla com o símbolo (%). Vamos descobrir, passo a passo, como calcular 18% de 764: 1º passo: Digite o número 764 na calculadora. Aula 5 Porcentagem Figura 5.6: Digite o número 764 usando o teclado numérico. 2º passo: Aperte a tecla que indica a operação de multiplicação. Figura 5.7: Aperte a tecla de multiplicação, que nesta calculadora é representada por *. 121

18 e-tec Brasil Estatística Aplicada 3º passo: Digite o número 18. Figura 5.8: Usando o teclado numérico, digite o número 18. 4º passo: Aperte a tecla %. Figura 5.9: Aperte a tecla % e o resultado aparecerá no visor. 122

19 Depois desses procedimentos, o valor 137,52, que aparece no visor, corresponde a 18% de 764. Agora é a sua vez! ATIVIDADE 6 Atende aos Objetivos 2 e 3 Aula 5 Porcentagem Calcule: a. 37% de =... b. 71% de =... Imagine a seguinte situação: Um comerciante comprou um determinado produto por R$ 135,00 com a pretensão de obter um lucro de 55% na revenda. Certo dia, um antigo freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pois assim ainda teria um lucro de 15%, certo? 123

20 e-tec Brasil Estatística Aplicada Errado! Vejamos o que acontece: o comerciante comprou o produto por R$ 135,00 e acrescentou 55%. Você já sabe, um acréscimo de 55% resulta em um fator multiplicador de 1,55, resultado esse obtido pela fórmula: Fator multiplicador = 1 + a taxa na forma decimal (0,55) Para determinar o preço de revenda, faz-se: 135 1,55 = 209,25 é o preço que o comerciante pretende vender tal produto. No entanto, ele resolveu fazer um desconto de 40% sobre o novo preço para um antigo freguês. Agora precisamos saber o novo fator multiplicador para determinar o desconto de 40% oferecido pelo comerciante. Desta vez, vamos aplicar a fórmula: Fator multiplicador = 1 a taxa na forma decimal, onde a taxa é igual a 0,40. Substituindo, temos: fator multiplicador = 0,60 Agora, só falta calcular o preço do produto com o desconto de 40%. Para isso, basta multiplicar 209,25 por 0,60, ou seja, 209,25 0,60 = 125,55. E agora? Bem, o comerciante comprou o produto por R$ 135,00, informação dada no problema. Depois foi calculado o preço de revenda com 55% de lucro; esse valor é de R$ 209,25. Na seqüência determinou-se o preço pago pelo antigo cliente, R$ 125,55, que obteve um desconto de 40% na compra do produto. Como o comerciante pagou pelo produto R$ 135,00 e o revendeu por R$ 125,55, amargou um prejuízo de R$ 9,45. Problema intrigante esse, não acha? Por isso é importante conhecer bem porcentagem! Armadilhas desse tipo podem aparecer em nosso caminho. 124

21 ATIVIDADE 7 Atende ao Objetivo 3 A média de reprovação dos candidatos que fazem um concurso público é de 77%. Quantas pessoas serão aprovadas em um concurso público com inscritos? Aula 5 Porcentagem ATIVIDADE 8 Atende ao Objetivo 3 Você vendeu um terreno por R$ ,50 com prejuízo de 15,5% sobre o preço de compra. Por quanto você deveria ter vendido para que tivesse um lucro de 25% sobre o custo do terreno? 125

22 e-tec Brasil Estatística Aplicada RESUMINDO... Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma fração de denominador 100 a um determinado valor. Uma taxa pode ser expressa de três formas diferentes: forma percentual (ex.: 10%), forma fracionária (ex.: 1/100) e forma decimal (ex.: 0,10). Para calcular porcentagem basta multiplicar a fração, que representa a taxa percentual, pelo valor inicial. Ponto percentual é a unidade que representa a diferença entre duas taxas percentuais quaisquer. O fator multiplicador para um acréscimo é igual a 1 + a taxa na forma decimal. Já para o caso de um desconto será igual a 1 a taxa também na forma decimal. O cálculo de porcentagem com o auxílio da calculadora deve seguir estes procedimentos: 1) digitar o número (valor inicial) na calculadora; 2) apertar a tecla de multiplicação; 3) digitar a taxa percentual (número); 4) apertar a tecla %. O valor que aparecer na tela é o resultado final. RESPOSTAS DAS ATIVIDADES ATIVIDADE 1 a. Em São Paulo, de cada 100 pessoas, 10 são analfabetas. b. No Piauí, de cada 100 pessoas, 40 são analfabetas. c. Desafio: para cada habitantes de São Paulo, 100 são analfabetos. ATIVIDADE 2 a. Área total = 100 quadrados do mesmo tamanho Área escura = 45 quadrados do mesmo tamanho A figura representa a fração 45 ou 45%. 100 b. Área total = 4 retângulos do mesmo tamanho Área escura = 2 retângulos do mesmo tamanho 126

23 A figura representa a fração 2 1 =, e, como você já sabe, a taxa percentual é uma fração com denominador 100. Portanto, é necessário usar frações equivalentes, ou seja, = = 100 que é igual a 50%. c. Área total = 5 retângulos do mesmo tamanho Área escura = 1 retângulo A fração representada é 1. Usando as equivalências, temos: %. = = 100, que é igual a Aula 5 Porcentagem ATIVIDADE 3 a é equivalente a 60%, e 60% é menor que 75% b. 25% é equivalente a = = c = = 40% e 40% é menor que 50% d. 20% é maior que 12 e = 12% ATIVIDADE 4 97 a. 97% = 100 b. Se 1,5 milhão de crianças equivale a 3%, então 0,5 milhão (ou ) é equivalente a 1%. Logo, a quantidade que representa 97% é aproximadamente de 49 milhões de crianças. c. 4,3% equivalem a = ATIVIDADE 5 Se o terreno foi vendido por R$ ,00 com 16% de lucro, então o preço inicial foi de: = , 14. 1, 16 O lucro total foi de ATIVIDADE 6 a. 457,69 b , , 14 = 0, 4553 ou 45,53% ,

24 e-tec Brasil Estatística Aplicada ATIVIDADE 7 Se a média de reprovação é de 77%, podemos concluir que a média de aprovação é de 23%. 23 Portanto, basta calcular 23% de = = aprovados. 100 ATIVIDADE 8 Preço vendido: R$ ,50 Preço de compra: x Fazendo 100% (total) 15,5% (prejuízo) = 84,5% Com isso, 84,5% x = ,50 x = , 50 0, 845 x = Para ter um lucro de 25%, teremos: x 1,25 = ,00. Logo, o terreno deveria ter sido vendido por R$ ,00. SITES CONSULTADOS NOVA escola. Online. Disponível em: <http//revistaescola.abril. com.br/edicoes/0196>. Acesso em: 4 jul SÓ matemática: portal matemático. Disponível em: <http//www. somatematica.com.br>. Acesso em: 4 jul REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DAVIS, Harold T. História da computação. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual,1992. (Tópicos de História da Matemática para o uso em sala de aula; v.2.) BARROS, Dimas Monteiro de. Raciocínio lógico, matemático e quantitativo. São Paulo: Novas Conquistas, IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. 5. ed. São Paulo: Atual, IMENES, Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione, (Coleção de Ensino Fundamental). 128