PORCENTAGEM, AUMENTOS E DESCONTOS PERCENTUAIS, JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

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1 PORCENTAGEM, AUMENTOS E DESCONTOS PERCENTUAIS, JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

2 PORCENTAGEM x 100 O quociente é representado por x% e lido x por cento. Dados dois números a e b, com, diz- se que a representa x% de b se : x a. b 100 x 100 a b

3 Aumentos e descontos percentuais Para um aumento Sendo Vi, o valor inicial e o Vf o valor final de um aumento de x% temos: x Vf Vi. Vi 100 x Vf 1. Vi 100

4 Atividades 1)(puc-mg)Um objeto que custava R$ 700 teve seu preço aumentado de R$ 105,00. O acréscimo percentual em relação ao custo anterior foi de : a) 12% b) 15% c) 18 % d) 20 %

5 Solução: x x x 15%

6 Para um desconto: Sendo Vi, o valor inicial e o Vf o valor final de um desconto de x% temos: x Vf Vi. Vi 100 x Vf 1. Vi 100

7 Para aumentos sucessivos e iguais Sendo Vi o valor inicial e Vn o valor ao final de n acréscimos sucessivos de x%, ao final do enésimo acréscimo: Vn x n. Vi

8 Para descontos sucessivos e iguais Sendo Vi o valor inicial e Vn o valor ao final de n descontos sucessivos de x%, ao final do enésimo acréscimo: Vn x 1. Vi. 100 n

9 Atividades: 3)(vunesp)Uma mercadoria teve um aumento de 25% e, logo depois,um aumento de 20 % sobre isso. Para encontrar o preço da mercadoria após os aumentos, basta multiplicar o preço inical por : a)1,45 b)0,45 c)1,50 d)0,50 e)3,75

10 Solução Vf 1. 1 Vi Vf 1,25.1,20. Vi Vf 1, 50Vi

11 Juros Definição: Juros é a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao fim do prazo o capital se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado, acrescido da remuneração obtida no período de aplicação.

12 Abreviaturas nas taxas Abreviatura a.d. a.d.u. a.m. a.m.o. a.b. a.t. a.q. a.s. a.a. a.a.o. Significado ao dia ao dia útil ao mês ao mês over ao bimestre ao trimestre ao quadrimestre ao semestre ao ano ao ano over

13 Resumindo: Sendo C, capital aplicado ou valor presente M, montante final ou valor futuro i, taxa de juros J, juros totais aferidos durante o intervalo de tempo t, tempo de aplicação

14 JUROS SIMPLES No regime de juros simples, estes incidem sempre sobre o capital inicial. Na prática, esse sistema é usado especialmente em certos pagamentos é de apenas alguns dias.

15 Juros simples: Considere um empréstimo de R$10.000,00 a uma taxa de juros simples de 10% ao mês durante um prazo de três meses: Ao final do primeiro mês, teremos: ,00+ 0,1x10.000,00 = ,00 Ao final do segundo mês, teremos: ,00+0,1x10.000,00 = ,00 Ao final do terceiro mês, teremos: ,00+0,1x10.000,00 = ,00

16 O juros total é de R$ 3.000,00 Ou seja, o juros poderia ter sido calculado da seguinte maneira: Fazendo, J C. i. t J x0,1 x3 R$3000,00

17 Sendo M o montante final temos: M C J No exemplo, apresentado temos: J C. i. t 10000x0,1 x3 3000,00 M C J , , ,00

18 Juros compostos Neste regime, após cada período, os juros são incorporados ao capital inicial, passando a render sobre o novo total. Dessa forma, os cálculos são efetuados como juros sobre juros.

19 Juros compostos Considere o mesmo empréstimo de R$ ,00 só que agora a juros compostos, durante os mesmos 3 meses com taxa de 10 % ao mês. Ao final do primeiro mês, teremos: ,00+ 0,1x10.000,00 = ,00 Ao final do segundo mês, teremos: ,00+0,1x11.000,00 = ,00 Ao final do terceiro mês, teremos: ,00+0,1x12.100,00 = ,00

20 O juros total é de R$3.310,00 O montante final é de R$ ,00 Vamos analisar a variação do montante ao longo do tempo. Após o primeiro mês temos : Fatorando temos, M C i. C 1 M C.(1 i) 1 Após o segundo mês temos: Fatorando temos, M 2 M i.m 1 1 M M.( 1i) C.(1 i).(1 i) C.(1 i) 2 2 1

21 Após o terceiro mês temos: Fatorando temos, M 3 M 2 i.m 2 M M 3 3 M 2.(1 C.(1 i) i) 3 C.(1 i) 2.(1 i)

22 De forma geral temos: Para juros simples: M C.( 1i. t) Para juros compostos: M C.( 1 i) t

23 Exemplo 6 complementares (UFMT) Uma financiadora oferece empréstimos, por um período de 4 meses, sob a seguintes condições: 1) taxa de 11,4% ao mês, a juro simples; 2)taxa de 10% ao mês, a juro composto. Uma pessoa fez um empréstimo de R$ ,00, optando pela condição 1. Em quantos reais os juros cobrados pela condição 1 serão menores que os cobrados pela condição 2?

24 0 1 condição Juros simples 11,4% M C.( 1i. t) M1= ,00x(1+0,114x4) M1=10.000,00x(1+0,456) M1=10,000,00x1,456 M114560,00

25 0 2 condição Juros compostos 10% M C.( 1 i) t M1=10.000,00x(1+0,1) 4 M1=10.000,00x(1,1) 4 M1=10.000,00x1,4641 M ,00

26 Portanto na condição 1 serão cobrados R$81,00 a menos que a condição 2.

27 Valor futuro e valor atual (séries uniformes) Exemplo 1: Uma dívida de R$ 5.000,00 deverá ser paga 3 meses antes do seu vencimento, em 1 de abril. Sabendo que a taxa de juro para essa dívida é de 6% ao mês, em regime de juro composto, qual deverá ser o valor do desconto?

28 valor presente valor futuro (hoje) x R$5.000, meses Transformando o valor futuro para o valor presente: M C.(1 i) t C M (1 i) t

29 Lembrando que M, é o valor futuro, e C é o valor presente, temos então: 5000 C 09 3 (1 0,06) C R$4.198, Portanto o valor do desconto será de 5.000, ,09= ` R$801,09

30 Para obter o valor futuro, deve- se multiplicar o valor atual por, ( 1 t i) Para obter o valor presente, deve-se dividir o valor futuro por, ( 1 t i)

31 Exemplo 2: Em 1 de março um comerciante tomou um empréstimo de R$2.000,00 a juros compostos mensal de 6%. Em 1 de junho, pagou R$ 800,00 e, em 1 de julho, liquidou seu débito. De quantos reais foi o último pagamento?

32 Observe: O empréstimo foi de R$ 2.000,00. Três meses depois ele pagou R$800,00 e em um mês após esse pagamento, pagou a dívida restante. valor presente valor futuro R$2.000,00 R$800,00 x reais

33 Logo: (1 0,06) 3 (1 x 0,06) , , 06 x x R$1.677,00

34 Exemplo 3 Um comerciante vende geladeira, cujo preço á vista é R$900,00 ou em 3 prestações mensais iguais e consecutivas. Sabendo que a primeira prestação é paga um mês após a compra e que o juro composto é de 3% ao mês, calcule o valor das prestações.

35 Valor presente (preço á vista) R$900 P1=x P2=x P3=x Igualando os valores na época 0 (zero), temos: 900 P1 1 i P2 (1 i) 2 P3 (1 i) 3

36 900 x (1 0,03) (1 x 0,03) 2 (1 x 0,03) 3 Tirando o m.m.c e efetuando as operações teremos: 900.1, ,03. x 1, 03x x 900.1,093 1,061x 1, 03x x 983,70 3,091x x 318,25 Logo o valor da parcela será de R$318,25

37 Exemplo 4 Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores pagando uma entrada de R$ 200 mais uma parcela de R$ 450,00 dois meses após a compra. Sabendo-se que o preço a vista do aparelho é de R$ 600,00, qual foi a taxa mensal de juros simples do financiamento?

38 Solução : valor presente ( preço à vista) R$ 600 valor futuro meses R$ 200 R$450

39 Teremos então: (1 i.2) (1 i.2) 1 i i i 1 i 0, ,25%