Referências. Matemática financeira.

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1 Matemática financeira Referências HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5. ed.. São Paulo: Saraiva, SANTOS, João Carlos dos. Matemática financeira. Londrina: Editora e Distribuidora S.A., (livro institucional) VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed.. São Paulo: Atlas,

2 Dica 1 Quem quiser e puder, recomenda-se a compra de uma boa calculadora. Duas boas sugestões para alunos de Administração, Contábeis e afins: Calculadora financeira HP-17BII+ Calculadora cientifica Casio FX-991ex Classwiz Observação: O curso é de Matemática Financeira e não de como aprender a mexer na calculadora A, B ou C. Para isso, cada aluno deverá verificar o manual da calculado que possui, procurar vídeos tutoriais no Youtube, ou cursos específicos. Dica 2 A chave do sucesso é dada pela equação: + + = Onde Querer: Vontade, persistência Saber: Adquirir conhecimento Acreditar: Confiar que com trabalho duro resultados irão aparecer Praticar: Treinar e exercitar tudo o que aprendeu Realizar: Colocar em prática o resultado adquirido Obs.: A disciplina / professor irão apresentar uma série de conteúdos, teorias, explicações básicas, além de compartilhar seus conhecimentos... O resultado de cada aluno e como ele irá aproveitar e aplicar o conteúdo depende inteiramente dele

3 Unidade 1 Seção 1.1 Juros e parcelamentos: Conceitos básicos Juros simples e taxa equivalente

4 Matemática financeira Ramo da matemática que busca entender e analisar Evolução e variação do dinheiro ao longo do tempo Alternativas de investimentos De financiamentos Aplicações Capital Valor aplicado em alguma operação financeira Conhecido também como Principal Valor atual Valor presente Valor aplicado

5 Juros Remuneração do capital Pode se dar segundo dois regimes Juros simples Juros compostos Taxa de juros Taxa que indica a remuneração pelo o qual o capital foi aplicado A taxa é expressa em períodos 50% a.a. (ao ano) 30% a.s. (ao semestre) 20% a.q. (ao quadrimestre) 15% a.t. (ao trimestre) 5% a.m. (ao mês) 0,05% a.d. (ao dia) Etc

6 Montante Resultado futuro de uma operação financeira Também conhecido como valor futuro Fatores Toda operação financeira depende de uma série de aspetos. Os principais são: Riscos: Probabilidade de operação não se concretizar Despesas operacionais: Custos contratuais e tributários para formalizar operação Inflação: perda do poder aquisitivo da moeda Ganho: Lucro que pessoa deseja auferir

7 Capitalização simples Revisão básica Fórmulas: = = + = + = 1 + Legendas = valor do juros = valor do capital ou principal = taxa de juros = prazo da operação Perceba através do exemplo que:

8 Exemplo 1 Qual o valor do juros correspondentes a um empréstimo de R$ ,00 pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? (VIEIRA SOBRINHO, p. 22, 2000). Exemplo 2 Um capital de R$ ,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$ 7.875,00. Determinar a taxa correspondente. (VIEIRA SOBRINHO, p. 22, 2000). Dados = = 5 meses = 3% a.m. ou 0,03 =? Resolução = = ,03 5 = $., Dados = = 7 meses = =? Resolução = = = = 0,045 ou 4,5% a. m

9 Exemplo 3 Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. (VIEIRA SOBRINHO, p. 23, 2000). Exemplo 4 Um empréstimo de R$ ,00 é liquidado por R$ ,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros. (VIEIRA SOBRINHO, p. 23, 2000). Dados Resolução = Dados Resolução = = = 0, = = = 8% a.t. ou 0,08 =? = , = ,08 = = = = 152 dias % a.m. =? M= = = Para taxa mensal, multiplicar por =, =, %

10 Taxa equivalente em juros simples Dado períodos em unidades distintas (mensal e anual por exemplo), duas taxas e são ditas equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital produzem exatamente o mesmo montante... Observação: Juros Comercial... (Juros Exato) Ano = 360 dias Mês = 30 dias... (365 dias e 366 em anos bissextos)... (número exato de dias do mês em questão) 19 Taxa equivalente em juros simples, período Taxa e taxa são equivalentes, dessa forma temos: = = = Legendas : taxa de juros (período maior) : taxa de juros (período menor) : período de

11 Tabela para conversão de tempo (juros comercial ano com 360 dias) Dia Mês Bimestre Tri mestre Quadri mestre Semestre Ano 1 1/30 1/60 1/90 1/120 1/180 1/ /60 30/90 30/120 30/180 30/ /90 60/120 60/180 60/ / /120 90/180 90/ / / / / / Exemplo 5 Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.? Dados = 15% a.a. =? % a.t. 1 ano = 4 trimestres Resolução = 15 = 4 = 15 4 = 3,75%

12 Exemplo 6 Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% a.t.? Dados Resolução Exemplo 7 Uma pessoa realiza uma compra de um bem, cujo valor à vista é de R$ 1.500,00. Ela dá uma entrada de R$ 400,00 e financia o restante em 2 meses. Sob uma taxa de juros simples de 24% a.a., pede-se para determinar o montante de juros pago na operação. =?% a.a. = 2% a.t. 1 ano = 4 trimestres = = 2 4 = 8%.. 23 Dados = = 1.100,00 = 2 = 24%.. 1 ano = 12 meses =? Resolução = = % 12 2 = $ 44,

13 Fórmulas de juros simples Juros = Período = 1 Exercícios (Vieira Sobrinho, 2000, p ) 1. Determinar quanto renderá um capital de $ ,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. (R: $ 8.400,00). 2. Um capital de $ ,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ ,00. Determinar a taxa anual. (R: 60% a.a.). Montante = + = 1 + Taxa = 1 3. Qual o valor dos juros contidos no montante de $ ,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? (R: $ ,48). 4. Em quanto tempo um capital de $ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de $ 1.000,00? (R: 250 dias ou 8,333 meses.). Capital = 1 + Taxa equivalente = 5. Em quantos dias um capital de $ ,00 produzirá juros de $ ,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? (R: 128 dias.) Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de $ ,00. (R: $ ,00)

14 Resolução exercício 1 Determinar quanto renderá um capital de $ ,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. (R: $ 8.400,00). = Resolução exercício 2 Um capital de $ ,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ ,00. Determinar a taxa anual. (R: 60% a.a.). = = , = J = R$ 8.400,00 = 0,6 ou 60% a. a

15 Resolução do exercício 3 Qual o valor dos juros contidos no montante de $ ,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? (R: $ ,48). = = 1 + = , Resolução exercício 4 Em quanto tempo um capital de $ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de $ 1.000,00? (R: 250 dias ou 8,333 meses.). = (1 + ) = ,001 = 250 $ ,

16 Resolução exercício 5 Em quantos dias um capital de $ ,00 produzirá juros de $ ,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? (R: 128 dias.). = = , , = 128 Resolução exercício 6 Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de $ ,00. (R: $ ,00) = = (1 + ) , = $ ,

17 Por que é importante... Compras com ou sem entrada Seção 1.2 Séries de juros simples Saldo restante liquidado em uma série de parcelas periódicas iguais Quanto será que pagaríamos em cada parcela? Esse questionamento será respondido na aula de hoje

18 Fórmula básica Exemplo 1 Um aluno deseja comprar uma calculadora para as aulas de matemática financeira, cujo preço à vista é R$ 360,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros simples de 2,5% a.m., durante 3 meses. Determine o valor das parcelas. = 1 + Dados = 360 = 0,025.. = 3 =? Resolução = = 1 + 0, , ,025 3 = 360 = 1 1, , , ,95,, 3 $ 125,

19 Exemplo 2 Um produto foi adquirido com entrada de R$ 100,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros simples de 60% a.a., qual o valor do produto à vista? Dados = + 0,6.. = = 0, = 2 = 250,00 = 100,00 =? Resolução = = , ,05 2 A = 250 1, , Exercícios 1. Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros simples de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,48). 2. Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros simples de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 529,72). $ 565,

20 Exercício 1 - Resolução Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros simples de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,48) Dados = + = 0,02.. = 2 = 250,00 = 150,00 =? Resolução = = , ,02 2 A = 250 1, , Exercício 2 - Resolução Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros simples de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 529,72). Dados = 1.500,00 = 0,03.. = 3 =? Resolução = = 1 + 0, , , = 1 1, , ,09 $ 635, ,72,, 3 $ 529,

21 Seção 1.3 Juros compostos e taxa equivalente Por que é importante Regime de capitalização composta ou exponencial é o mais usado nas operações financeiras... Neste regime os juros são incorporados ao principal em cada período considerado... Conhecido como juros sobre juros

22 Fórmulas básicas Exemplo 1 Fórmulas = = 1 + = Legendas = Capital = Valor à vista = Entrada = Montante = Taxa de juros = Período = Taxa que eu quero = Taxa que eu tenho = Período que eu quero = Período que eu tenho Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$ ,00, pelo prazo de 5 meses, à uma taxa de juros de 5% a.m.. Dados = ,00 = 0,05.. = 5 =? Resolução = 1 + = ,05 = $ ,

23 Exemplo 2 No final de 3 anos, um empréstimo gera um pagamento de R$ ,00. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi 2,5% a.m., pergunta-se: Qual foi o valor emprestado? Dados =? = 0,025.. = 3 = 36 = ,00 Resolução = = 1 + 0,025 = ,025 = $ ,06 45 Exemplo 3 Uma calculadora, cujo preço à vista é R$ 750,00, foi financiada sem entrada e seu pagamento foi realizado no final do 6 mês em uma única prestação de R$ 875,36. Qual foi a taxa cobrada pela loja? Dados = 750,00 =? %.. = 6 = 875,36 Resolução = ,36 = 750, ,36 = ,00 875,36 750,00 875,36 750,00 = 875,36 750,00 = 1 + = = 0,0261 2,61%

24 Exemplo 4 Um capital C é aplicado a uma taxa de juros composto de 4% a.m.. Qual o prazo necessário para que o investidor dobre o seu capital? Dados = = 4%.. =? = 2 2 = 1,04 2= 1,04 ln 2 = ln 1,04 Quando não sabemos o valor do período, resolvemos por logaritmo Porque: = log = E que mudança de base é dado por (maioria das calculadoras fazem logaritmo neperiano e/ou logaritmo de base 10)... Independente de qual base usar, desde que seja a mesma para os dois valores, o resultado é o mesmo... Resolução = = 1 + 0,04 = ln 2 ln 1,04 = 17,67 = ln ln

25 Exemplo 5 Determinar: a. Taxa anual equivalente a 3% a.m.. (3% a.m. = 0,03 a.m., a.a. =?) b. Taxa diária equivalente a 60% a.a.. (60% a.a. = 0,6 a.a., a.d. =?) Resolução (a) = Resolução (b) = Exemplo 6 Qual a taxa mensal de juros cobrada num empréstimo de R$ ,00 para ser quitada por R$ ,00 no prazo de 252 dias? Resolução Primeira, precisamos descobrir a taxa do período... = Depois, achar a taxa equivalente = = = 1 + 0,03 1 = 1 + 0,6 1 Observação no slide seguinte... = 0, ,572%.. = 0, ,58%.. = 0, ,1306%

26 Observação A taxa de juros é a razão entre os juros recebidos e o capital inicialmente aplicado. Matematicamente: Exemplo 7 Foi feita uma aplicação de R$ ,00 num título de renda fixa com vencimento em 82 dias, a uma taxa de juros de 68% a.a.. Qual o valor a ser resgatado? = Como o =, também podemos achar a taxa como segue: = = = 1 Dados = 68%.. = 0,68.. = ,00 = 82 =? Resolução = 1 + = ,68 = $ ,

27 Exercícios 1. Determinar o montante no final de 13 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ ,00 à taxa de 3,82% a.m.. (R: R$ ,60). 2. Uma aplicação de R$ ,00 aplicada a uma taxa de juros de 2,36% a.m. pode ser resgatada por R$ ,00 depois de quanto tempo? (R: 23,32 meses). 3. Qual o valor, que aplicado a uma taxa de 14% a.t. durante 186 dias produz um montante de R$ 5.400,00? (R: R$ 4.118,99). 4. Uma aplicação rende 0,125% a.d.. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro do que aplicou? (R: 554,86 dias). Exercício 1 - resolução Determinar o montante no final de 13 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ ,00 à taxa de 3,82% a.m.. (R: R$ ,60). = 1 + = ,0382 = $ ,

28 Exercício 2 - resolução Uma aplicação de 0R$ ,00 aplicada a uma taxa de juros de 2,36% a.m. pode ser resgatada por R$ ,00 depois de quanto tempo? (R: 23,32 meses). = = , = 1,0236 Exercício 3 - resolução Qual o valor, que aplicado a uma taxa de 14% a.t. durante 186 dias produz um montante de R$ 5.400,00? (R: R$ 4.118,99). = = 1 + 0, ,14 = = ln ln 1,0236 = 23,32 55 = $ 4.118,

29 Exercício 4 - resolução Uma aplicação rende 0,125% a.d.. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro do que aplicou? (R: 554,86 dias). Seção 1.4 = 1 + ln 2 = ln 1,00125 Séries de juros compostos 2 = 1 + 0, = 1,00125 = ln 2 ln 1,00125 = 554,

30 Por que é importante... Compras com ou sem entrada Fórmula básica Saldo restante liquidado em uma série de parcelas periódicas iguais Quanto será que pagaríamos em cada parcela? = 1 + Esse questionamento será respondido na aula de hoje. =

31 Exemplo 1 Um aluno deseja comprar uma calculadora para as aulas de matemática financeira, cujo preço à vista é R$ 360,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m., durante 3 meses. Determine o valor das parcelas. Dados = 360 = 0,025.. = 3 =? Resolução = 360 = , , ,025 Exemplo 2 Um produto foi adquirido com entrada de R$ 100,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros compostos de 60% a.a., qual o valor do produto à vista? Dados = + = 1 + 0,6 1 = 0,0399 3,99%.. Resolução = 100 = , , = 1 1, , , ,05,, 3 $ 126, = = = 250,00 1, , = 100,00 =? $ 571,

32 Exemplo 3 Pedro comprou uma impressora de R$ 1.300,00, pagou uma entrada de R$ 300,00 e financiou o restante em duas parcelas mensais nos valores de R$ 650,00 e R$ 450,00, respectivamente. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. Determinar a taxa de juros. Resolução = = = = = = 0 Δ = = = Exercícios 1. Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros composta de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,39). 2. Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 530,30). 3. Pedro comprou um PC de R$ 1.500,00, pagou uma entrada de R$ 500,00 e financiou o restante em duas parcelas mensais e iguais no valor de R$ 650,00. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. Determinar a taxa de juros. (R: 19,43% a.m.) = i = 0,0704 7,04%

33 Exercício 1 - resolução Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros composta de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,39). Resolução = 1 + Exercício 2 - resolução Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 530,30). Resolução = 1500 = , , , = , , = 1 1, , , = , , = R$ 635,39 65 = , = $ 530,30 1, ,

34 Exercício 3 - resolução Pedro comprou um PC de R$ 1.500,00, pagou uma entrada de R$ 500,00 e financiou o restante em duas parcelas mensais e iguais no valor de R$ 650,00. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. Determinar a taxa de juros. (R: 19,43% a.m.) Resolução = = = = = 0 Δ = = Unidade 2 Aplicações dos conceitos básicos = = = i = 0, ,43%

35 Seção 2.1 Capital de giro desconto bancário Contexto Em muitas situações, para conseguirem liquidez, pessoas e empresas podem antecipar recebimento de ativos financeiros. Capital de giro: recurso que garante condições para uma empresa dar continuidade às suas ações Desconto bancário: antecipação de recebimento de um título

36 São considerados títulos No caso de empresas (pessoas jurídicas) Promissórias Duplicatas Boletos Cheques Faturas de cartão de crédito No caso de pessoas físicas 13º salário Restituição do IR Desconto simples Também conhecido como desconto bancário ou comercial Matematicamente = = = = (1 ) Legenda: = Desconto bancário ou comercial = Valor nominal do título a ser descontado = Taxa de desconto = Prazo = Valor descontado (valor recebido) Pelo fato de ser taxa de juros simples, em caso de períodos diferentes usar a fórmula da taxa equivalente de juros simples: =

37 M 0 n Taxa do período = 1 Exemplo 1 1. Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de desconto comercial de 3% ao mês? 2. Qual o valor recebido na operação? C N 0 n N-D = 1 73 Dados: =3000 = 0,03 a.m. = 90 dias ou 3 meses =? Resolução: (1) = = ,03 3 = $ 270,00 (2) = = = $ 2.730,

38 Exemplo 2 Qual a taxa de desconto comercial utilizada numa operação de 120 dias, cujo o valor de resgate é de R$ 1.500,00 e o valor atual é de R$ 900,00? Exemplo 3 Um título de R$ ,00 foi descontado num banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m.. Pergunta-se: (a) Qual o valor do desconto? (b) Qual o valor líquido recebido, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de serviço de 0,5% do valor do título, pago no dia que a empresa a descontou? Dados: Resolução: Resolução (continuação): (a) (b) =1500 = 900 = 120 dias ou 4 meses =? = = = 1 4 0,6 1 = 4 0,4 = 4 1 0,4 = 4 = 0,4 = 0,1 10% = = ,02 30 = $ ç = 0, = 50 = = $ 9.670,

39 Exemplo 4 Uma empresa descontou dois títulos, um com valor de R$ 1.500,00 vencendo em 85 dias e outro com valor de R$ 2.700,00 vencendo em 10 dias. A taxa de desconto comercial é de 13,2% a.m.. Qual o valor resgatado pela empresa? Título vencendo em 85 dias = = , = $ 561,00 85 = = = $ 939,00 Título vencendo em 10 dias = = , = $ 118,80 10 = = ,80 = $ 2.581,20 Valor resgatado é ,20 = R$ 3.520, = = Relação entre taxa de desconto e taxa de juros simples 1 = = = Exemplo: Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for 3 meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação? (HAZZAN; POMPEO, 2005, p.22). Resolução: : = 4% e = 3. = 0,04 1 0,04 3 = 0, , %.. V F = V P ( 1 + i n ) i = d / ( 1 - d n ) V P R $ 1 0 0, 0 0 d 4, 0 0 % V F R $ 1 1 3, 6 4 n 3 i 4, 5 5 % V d = N ( 1 - d n ) N R $ 1 1 3, V d R $ 1 0 0,

40 Exemplo 5 Uma duplicata com prazo de vencimento de 2 meses foi descontado num banco, proporcionando-lhe uma taxa de juros efetiva de juros igual a 3% a.m.. Qual a taxa de desconto utilizada? (HAZZAN; POMPEO, 2005, p.20). = 1 0,03 = 1 2 0, = 0,03 0,06 = 0,06 = 0,03 1,06 = 0,03 = 0,03 = 0,283 2,83%.. 1,06 79 Exercícios (HAZZAN; POMPEO, 2005, p.23) 1. Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada num banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% a.m.. Obtenha: a. O desconto comercial (R: $ 360,00) b. O valor descontado (ou valor atual comercial) do título (R: $ 8.640,00) c. A taxa de juros no período (R: 4,17%) d. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 2,08% a.m.) 2. Um fundo de investimento adquiriu por $ ,00 um título governamental com valor de face de $ ,00. Sabendo-se que o prazo do vencimento do título era de 49 dias, calcule: a. A taxa de juros efetiva no período (R: 2,46%) b. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 1,51% a.m.)

41 Exercício 1 - resolução Exercício 2 - resolução Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada num banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% a.m.. Obtenha: a. O desconto comercial (R: $ 360,00) b. O valor descontado (ou valor atual comercial) do título (R: $ 8.640,00) c. A taxa efetiva de juros no período (R: 4,17%) d. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 2,08% a.m.) Um fundo de investimento adquiriu por $ ,00 um título governamental com valor de face de $ ,00. Sabendo-se que o prazo do vencimento do título era de 49 dias, calcule: a. A taxa de juros efetiva no período (R: 2,46%) b. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 1,51% a.m.) Resolução (a): (a) = = ,02 2 = $ 360,00 (b) = = = $ 8.640,00 (c) = 1 = = 0,0417 4,17% (d) = 4,17 = 2 = 4,17 2 = 2,08%.. 81 Dados: = = = 49 =? %.. =? %.. = 1 = = 0,0246 2,46% Resolução (b): = 2,46% = 49 = 1,51%

42 Seção 2.2 Desconto bancário com IOF Contexto Em muitas situações, para conseguirem liquidez, pessoas e empresas podem antecipar recebimento de ativos financeiros. Capital de giro: recurso que garante condições para uma empresa dar continuidade às suas ações Desconto bancário: antecipação de recebimento de um título Parecido com seção 2.1, porém agora com a inclusão do IOF

43 IOF Imposto sobre Operações Financeiras É usado pelas instituições financeiras em: Operações de câmbio Crédito Seguros Títulos Valores imobiliários Desconto simples com IOF Matematicamente = +NIOFn = + = = + = 1 + Legenda: = Desconto bancário ou comercial = Valor nominal do título a ser descontado = Taxa de desconto = Prazo = Valor descontado (valor recebido) IOF = Imposto sobre operações financeiras Pelo fato de ser taxa de juros simples, em caso de períodos diferentes usar a fórmula da taxa equivalente de juros simples: =

44 Exemplo 1 Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de desconto comercial de 3% ao mês e IOF de 0,017% a.d.? Dados: =3000 = 0,03 a.m. = 90 dias ou 3 meses =? = 0,017%.. ou 0, = 0,51% a. m. Resolução: = + = ,03 + 0, = $ 315,90 87 Exemplo 2 Qual a taxa de desconto comercial utilizada numa operação de 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.500,00, o IOF é 0,02% a.d. e cujo valor atual é de R$ 900,00? Dados: =1.500 = 900 = 120 dias ou 4 meses = 0,02%.. 0,02 * 30 = 0,6% a.m. =? Resolução: = = , = 1 + 0, ,6 1 = + 0, ,4 = 0, ,1 + 0,006 = 1 = 0,094 9,40%

45 Exercícios 1. (SANTOS, 2016, p. 82) Uma loja de joias raras irá pagar um de seus fornecedores com o valor obtido da antecipação de duas duplicatas nos valores de R$ ,00 e R$ ,00, com vencimentos em 6 e 19 dias respectivamente. O banco que fará a transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal de 22,32% a.a. e IOF de 7,2% a.a. Calcule o valor que o fornecedor receberá. (R: R$ ,55) Exercício 1 - resolução (SANTOS, 2016, p. 82) Uma loja de joias raras irá pagar um de seus fornecedores com o valor obtido da antecipação de duas duplicatas nos valores de R$ ,00 e R$ ,00, com vencimentos em 6 e 19 dias respectivamente. O banco que fará a transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal de 22,32% a.a. e IOF de 7,2% a.a. Calcule o valor que o fornecedor receberá. (R: R$ ,55) Resolução: = (SANTOS, 2016, p. 87) A antecipação de uma duplicada de R$ ,00 em 27 dias resultou num resgate de R$ ,96, é sabido que o IOF cobrado foi de 0,08% a.d. Determine a taxa nominal cobrada nessa antecipação. (0,44% a.d.) í 1: = , , í 2: = , , , ,97 = $ ,55 = $ ,58 = $ ,97 89 OBS: Dia dividido por 360 pelo fato da taxa ser em ano

46 Exercício 2 - resolução (SANTOS, 2016, p. 87) A antecipação de uma duplicada de R$ ,00 em 27 dias resultou num resgate de R$ ,96, é sabido que o IOF cobrado foi de 0,08% a.d. Determine a taxa nominal cobrada nessa antecipação. (0,44% a.d.) Resolução: = ,96 = , , = 0, ,44%.. Seção 2.3 Taxa efetiva e nominal

47 Observação Ao fazer leitura da seção 1.3, perceber que a mesma se encontra com erro... Para referência correta, sugere-se: HAZZAN; POMPEO (2005) p VIERA SOBRINHO (2000) p MOTTA; CALÔBA ( 2002) p Taxa nominal versus efetiva Taxa nominal e taxa efetiva costumam confundir muitas pessoas. Imagine que você emprestou ou aplicou determinado capital. Essa contrato, no final de um período, irá render uma quantia de juros a ser paga ou recebida. Agora imagine a seguinte situação. Você vai ao banco pegar um empréstimo, e taxa informada pelo banco é de 12% ao ano com capitalização mensal (12% a.a. / mês). O que será isso? Como entender essa situação?

48 Taxa nominal versus efetiva - exemplo Taxa nominal versus efetiva - exemplo TAXA NOMINAL 30% a.t. / mês ,10 10% a.m./m 10% a.m./m 10% a.m./m Temos que a taxa nominal é 30% a.t. / m Achando a taxa equivalente ( = ) achamos = % = 10% a.m./mês, o que corresponde a nossa taxa efetiva TAXA EFETIVA n 2n 3n 33,1% a.t./t 95 Sendo assim, você descobre que na realidade você esta pagando 33,10% a.t., o que é maior do que 30% a.t. Agora, e a taxa efetiva trimestral? Por taxa equivalente em juros compostos ( = 1 + 1) achamos = 1 + 0,1 1 = 0,331 ou 33,10% a.t./t 48

49 Aplicação Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 12% a.a., durante 1 ano, com capitalização mensal. Determinar o valor do montante. = = 12% 12 = 0,01 = ,01 = $ 1.126,83 97 Perceba: Capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 12% a.a., durante 1 ano: Com Capitalização Taxa efetiva Montante Anual 12%.. = ,12 = Semestral 12% 2 Trimestral 12% 4 Bimestral 12% 6. = , = , = ,12 6 Mensal 12% 12.. = ,12 12 Diária 12% = , = 1.123,60 = 1.125,51 = 1.126,16 = 1.127,47 = 1.127,

50 Exercício 1 Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado à uma taxa de 24% a.a., durante 2 anos, com capitalização trimestral. Determinar o montante da operação. Exercício 2 Um capital de R$ 2.500,00 é aplicado à uma taxa de 24% a.a., com capitalização trimestral. Determinar o tempo necessário para triplicar o capital investido. = 24% 4 = 6%.. = 24% 4 = 6%.. = ,06 = $ 3.187, = ,06 = 18,

51 Seção 2.4 Para simplificar Vamos supor duas situações e comparar os: capitais da situação A com a situação B, e o valor a vista da situação A com a situação B NEGOCIAÇÃO COM JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

52 Supondo Capital de R$ 1.000,00 foi emprestado a uma taxa de juros de 4% a.m., a ser devolvido (supor) Perceba Curto prazo período de até 30 dias Valor do juros simples é maior n Juros simples Juros compostos 0 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 5 dias R$ 1.006,67 R$ 1.006,56 15 dias R$ 1.020,00 R$ 1.019,80 1 mês R$ 1.040,00 R$ 1.040,00 5 meses R$ 1.200,00 R$ 1.216,65 12 meses R$ 1.480,00 R$ 1.601, Valor igual 1 mês cruzamento entre juros simples e juros compostos Longo prazo período acima de 30 dias Valor do juros compostos é maior Perceba que pagar em juros simples depois de 30 dias é sempre melhor

53 Negociação exemplo 1 Produto tem sua venda anunciada em duas parcelas mensais e iguais a R$ 600,00, sob o regime de juros compostos de 1,8% a.m.. Um comprador interessado no produto propõe pagá-lo nas seguintes condições: 3 parcelas iguais vencendo em 2, 3 e 5 meses, sob taxa e regime compostos de 2% a.m.. Determinar o valor das parcelas propostas. Resolução exemplo 1 = , ,018 = 1 + 0, , , , ,018 = 1 1, , ,02 = $ 415,

54 Negociação exemplo 2 Produto está com sua venda anunciada em uma parcela de R$ 540,00 com pagamento para 30 dias, sob regime de juros compostos, a uma taxa nominal de 18% a.a./m.. Um comprador propõe pagar em duas parcelas mensais e iguais, sob uma taxa de juros compostos de 2,2% a.m. e entrada de R$ 200,00. Determinar o valor da parcela. Resolução exemplo 2 = 18% 12.. = 1,5%.. = ,015 = , , = 1,015 1, ,022 = 171,