Tabela I - Fator de Acumulação de Capital: a n = (1 + i) n. Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1

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1 Aula 15 - Questões Comentadas e Resolvidas Juros Compostos. Montante e juros. Desconto Composto. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua. Equivalência Composta de Capitais. Descontos: Desconto racional composto e desconto comercial composto. Nas questões de juros compostos, normalmente, as bancas fornecem tabelas para facilitar. Seguem, portanto, abaixo, as tabelas que utilizaremos nesta aula. Tabela I - Fator de Acumulação de Capital: a n = (1 + i) n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

2 8% 9% 10% 12% 15% 18% 11, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela II Fator Valor Atual de uma Série de Pagamentos: (1 ) n + i 1 a(n;i) = n i.(1 + i) 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

3 9% 10% 12% 15% 18% 10, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela III Fator de Acumulação de Capital de uma Série de Pagamentos: (1 + i ) n 1 s(n;i) = i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

4 9% 10% 12% 15% 18% 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (Técnico Administrativo-BNDES-2010-Cesgranrio) Um jovem tinha um capital e fez com ele um investimento diversificado. Aplicou 40% do capital em um fundo de Renda Fixa e o restante na Bolsa de Valores. A aplicação em Renda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o investimento na Bolsa, no mesmo período, representou prejuízo de 10%. Com relação ao total investido nesse período, o jovem (A) teve lucro de 2%. (B) teve lucro de 20%. (C) não teve lucro e nem prejuízo. (D) teve prejuízo de 2%. (E) teve prejuízo de 20%. Não é uma questão de juros compostos, mas vamos começar por ela para aquecer. Vamos interpretar a questão. I - Um jovem tinha um capital e fez com ele um investimento diversificado. Vamos considerar, então, que o capital aplicado pelo jovem foi C. Capital Investido = C 4

5 II - Aplicou 40% do capital em um fundo de Renda Fixa e o restante na Bolsa de Valores. Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa = 40% x Capital Investido Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa = 40% x C Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa = 0,40 x C Capital Aplicado na Bolsa de Valores = Capital Investido Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa Capital Aplicado na Bolsa de Valores = C 0,40 x C Capital Aplicado na Bolsa de Valores = 0,60 x C III - A aplicação em Renda Fixa gerou lucro de 20%, enquanto o investimento na Bolsa, no mesmo período, representou prejuízo de 10%. Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa = 0,40 x C Lucro da Aplicação em Renda Fixa = 20% x Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa Lucro da Aplicação em Renda Fixa = 20% x 0,40 x C Lucro da Aplicação em Renda Fixa = 0,08 x C Montante de Renda Fixa = Capital Aplicado no Fundo de Renda Fixa + Lucro da Aplicação em Renda Fixa Montante de Renda Fixa = 0,40 x C + 0,08 x C = 0,48 x C Capital Aplicado em Bolsa de Valores = 0,60 x C Prejuízo da Aplicação em Bolsa de Valores = 10% x Capital Aplicado em Bolsa de Valores Prejuízo da Aplicação em Bolsa de Valores = 10% x 0,60 x C Prejuízo da Aplicação em Bolsa de Valores = 0,06 x C Montante em Bolsa de Valores = Capital Aplicado em Bolsa de Valores Prejuízo da Aplicação em Bolsa de Valores Montante em Bolsa de Valores = 0,60 x C 0,06 x C = 0,54 x C Montante de Renda Fixa 0,48 x C (+) Montante em Bolsa de Valores 0,54 x C Montante Total 1,02 x C IV Rendimento total do período. Rendimento Total = (Montante Total Capital Investido)/Capital Investido Rendimento Total = GABARITO: A 1, 02. C C 0,02. C C C = =0,02 = 2% (lucro) 5

6 2.(Técnico Administrativo-BNDES-2010-Cesgranrio) Uma aplicação consiste em 6 depósitos consecutivos, mensais e iguais no valor de R$ 300,00 (trezentos reais) cada um. Se a taxa de juros compostos utilizada é de 5% ao mês, o montante, em reais, um mês após o último dos 6 depósitos, é (A) 2.040,00 (B) 2.142,00 (C) 2.240,00 (D) 2.304,00 (E) 2.442,00 A questão definiu: Juros Compostos Vamos estudar os conceitos: Juros Compostos: Na capitalização por juros compostos, os juros são calculados sobre o montante do capital (C) no período anterior (juros sobre juros), ou seja, o capital inicial de cada período é o capital do período anterior acrescido dos juros do período anterior. M = C. (1 + i) t J = M - C Onde, M = montante C = capital J = juros i = taxa de juros t = período (1 + i) t = fator de capitalização Exemplo: Qual o montante produzido por R$ ,00, à taxa de juros compostos de 2% ao mês, durante dez meses? Montante (M) = R$ ,00 Período (t) = 10 meses Taxa de Juros (i) = 2% ao mês = 2/100 = 0,02 ao mês M = C. (1 + i) t = x (1 + 0,02) 10 = x (1,02)

7 E agora? Como calcular (1,02) 10 sem tabela. Bom, vamos te ensinar um procedimento que pode ser útil na hora da prova: 1) Calcule: 1,02 x 1,02 = 1,0404. Com isso, você já possui (1,02) 2. 2) Calcule: (1,02) 2 x (1,02) 2 (para facilitar, vamos utilizar os valores até a segunda casa decimal) = 1,04 x 1,04 = 1,0816. Com isso, você já possui (1,02) 4. 3) Calcule: (1,02) 4 x (1,02) 4 (para facilitar, vamos utilizar os valores até a segunda casa decimal) = 1,08 x 1,08 = 1,1664. Com isso, você já possui (1,02) 8. 4) Agora, basta calcular: (1,02) 8 x (1,02) 2 (para facilitar, vamos utilizar os valores até a segunda casa decimal) = 1,17 x 1,04 = 1,2168. Ufa, chegamos a (1,02) 10. M = x 1,2168 M = ,00 Nota: Quando for fazer uma aproximação dos números para a segunda casa decimal, se o número da terceira casa decimal for menor que 5, deve ser mantido o número da segunda casa decimal. Caso contrário, se o número da terceira casa decimal for igual ou maior que 5, deve ser somada uma unidade ao número da segunda casa decimal. Exemplos: 1,1664 = 1,17 (6 > 5 número da segunda casa decimal = = 7) 1,1643 = 1,16 (4 < 5 número da segunda casa decimal = 6) Caso utilizássemos o valor tabelado ou calculássemos com todas as casas decimais, teríamos: (1,02) 10 = 1, (Tabela I: coluna 2%; linha 10) M = x 1, M = ,94 (ou seja, o procedimento nos forneceu uma boa aproximação). Vamos à resolução da questão: I - Uma aplicação consiste em 6 depósitos consecutivos, mensais e iguais no valor de R$ 300,00 (trezentos reais) cada um. D D D D D D Montante Depósito (D) = R$ 300,

8 II - Se a taxa de juros compostos utilizada é de 5% ao mês, o montante, em reais, um mês após o último dos 6 depósitos, é... 5 Taxa de Juros Compostos (i) = 5% ao mês = = 0,05 ao ano 100 Agora, precisamos calcular o montante um mês após o último depósito: Repare que o depósito (D) efetuado no primeiro mês (mês 1 ) renderá por 6 meses (período do primeiro para o segundo mês; período do segundo para o terceiro mês; período do terceiro para o quarto mês; período para o quarto do quinto mês; período do quinto para o sexto mês; período do sexto para o sétimo mês um mês após). O depósito (D) efetuado no segundo mês (mês 2 ) renderá por 5 meses (período do segundo para o terceiro mês; período do terceiro para o quarto mês; período para o quarto do quinto mês; período do quinto para o sexto mês; período do sexto para o sétimo mês um mês após). E assim por diante. Portanto, teríamos a seguinte equação: Montante (M) = D x (1 + i) 6 + D x (1 + i) 5 + D x (1 + i) 4 + D x (1 + i) 3 + D x (1 + i) 2 + D x (1 + i) M = 300 x (1 + 0,05) x (1 + 0,05) x (1 + 0,05) x (1 + 0,05) x (1 + 0,05) x (1 + 0,05) M = 300 x (1,05) x (1,05) x (1,05) x (1,05) x (1,05) x (1,05) Colocando os 300 em evidência: M = 300 x [(1,05) 6 + (1,05) 5 + (1,05) 4 + (1,05) 3 + (1,05) 2 + (1,05)] Vamos calcular as potências de 1,05: 1,05 2 = 1,05 x 1,05 = 1,1025 1,05 3 = 1,05 2 x 1,05 = 1,1576 1,05 4 = 1,05 2 x 1,05 2 = 1,2155 1,05 5 = 1,05 4 x 1,05 = 1,2763 1,05 6 = 1,05 3 x 1,05 3 = 1,3401 Você também pode retirar os valores da tabela I: 1,05 2 (Coluna 5%; Linha 2) = 1,1025 1,05 3 (Coluna 5%; Linha 3) = 1, ,05 4 (Coluna 5%; Linha 4) = 1, ,05 5 (Coluna 5%; Linha 5) = 1, ,05 6 (Coluna 5%; Linha 6) = 1,

9 Substituindo os valores na equação: M = 300 x [1, , , , , ,05] M = 300 x 7, M = R$ 2.142,60 Caramba, professor, é muita conta! Tudo bem, eu sei! Só queria te mostrar todos os passos para que entenda os conceitos, pois também é possível calcular, de maneira mais simples, utilizando os valores fornecidos na tabela III (do início da aula). Essa tabela também foi fornecida na prova. Vejamos os conceitos: Renda Antecipada A renda antecipada corresponde a uma série uniforme de pagamentos ou investimentos periódicos em que o primeiro pagamento ou investimento ocorre no ato da realização do negócio. A n-1 R R A = valor da renda R = valor da prestação n = número de prestações i = taxa de juros A= R+ R + R R (1 + i) (1 + i) (1 + i) n R 2 1 R A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado: n 1 (1 + i) 1 A= R. + 1 i n 1.(1 i + ) n 1 (1 + i) 1 n 1 i.(1 + i) O termo a(n-1;i) = valor tabelado e somar 1. = R. [a(n-1;i) + 1] é tabelado (tabela II). Portanto basta achar o Caso quiséssemos calcular o total pago ou investido imediatamente após o último pagamento ou investimento ou um período após o último pagamento ou investimento (montante de valor futuro), teríamos: 9

10 A F n-1 F n n-1 (1 + i ) n 1 Valor futuro após o último pagamento: F n-1 = R. i Valor futuro um período após o último pagamento: F n = R. ( (1 + i ) n 1 Onde s(n;i) = i acumulação de capital ou fator de valor futuro. n+ 1 (1 i) 1 + 1) i é tabelado (tabela III) e denominado fator de Valor futuro um período após o último pagamento: F n = R. ( F n = R. [s(n+1;i) 1] Voltando à questão, temos: Depósito (D) = 300 Número de Prestações (n) = 6 Taxa de juros (i) = 5% ao mês n+ 1 (1 i) 1 + 1) i Repare que a questão pede o valor um mês após o último depósito. Portanto, temos que multiplicar o montante obtido por mais um mês de juros. Valor futuro um período após o último pagamento: F n = R. ( F n = R. [s(n+1;i) 1] n + 1 = = 7 R n+ 1 (1 i) 1 + 1) i Da tabela III, temos: s(7; 5%) = 8, (Linha 7, Coluna 5% da tabela III) M = D. [s(7;5%) 1] = 300 x [8, ] = 300 x 7, = 2.142,60 E aí? Muito mais tranqüilo, não acha? GABARITO: B R R R 10

11 3.(Técnico Administrativo-BNDES-2010-Cesgranrio) Uma pessoa fez, com o capital de que dispunha, uma aplicação diversificada: na Financeira Alfa, aplicou R$ 3.000,00 a 24% ao ano, com capitalização bimestral; na Financeira Beta, aplicou, no mesmo dia, o restante desse capital a 42% ao semestre, com capitalização mensal. Ao final de 1 semestre, os montantes das duas aplicações somavam R$ 6.000,00. A taxa efetiva de juros da aplicação diversificada no período foi de (A) 60% (B) 54% (C) 46% (D) 34% (E) 26% Vamos estudar os conceitos: Taxa Nominal A taxa de juros nominal é a taxa definida para um período de tempo diferente do período de capitalização. Taxa Efetiva A taxa efetiva corresponde à taxa correspondente ao período de capitalização. Exemplo: i = 48% ao ano com capitalização mensal. i = 48% ao ano taxa nominal i = 48%/12 = 4% ao mês taxa efetiva, tendo em vista que a capitalização é mensal. Taxa Proporcional A taxa proporcional é a taxa cuja razão entre elas e entre os períodos de tempo a que se referem são iguais. Exemplo: i = 60% ao ano é proporcional a i = 5% ao mês. 60% 12 = 60% = 5% x 12 5% 1 60% estão para 5%, assim como 12 meses (1 ano) estão para 1 mês. Exemplo: i = 60% ao ano é proporcional a i = 30% ao semestre. 60% 2 30% 1 = 60% = 30% x 2 60% estão para 30%, assim como 12 meses (1 ano) estão para 6 meses (1 semestre). 11

12 Taxa Equivalente A taxa equivalente é aquela que se refere a períodos de tempo diferentes e que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, originam o mesmo montante. 1 + i eq = (1 + i) t juros compostos 1 + i eq = 1 + i.t i eq = i.t juros simples Onde, i eq = taxa equivalente à taxa de juros i. t = período. Nota: Nos juros simples, as taxas equivalentes são iguais às taxas proporcionais (em valor). Nos juros compostos, que é assunto do próximo capítulo, esta situação não ocorre. Exemplo: Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal composta de 5%. i = 5% ao mês (juros compostos) t = 3 (trimestre = 3 meses) 1 + i eq = (1 + 5%) 3 = (1,05) 3 = 1, i eq = 1, = 0, = 15,76% ao trimestre Exemplo: Calcular a taxa trimestral equivalente à taxa mensal simples de 5%. i = 5% ao mês (juros simples) i eq = 5% x 3 = 15% ao trimestre (*) Repare que i = 15% ao trimestre é proporcional a i = 5% ao mês. 15% 3 = 15% = 5% x 3 5% 1 15% estão para 5%, assim como 3 meses (trimestre) estão para 1 mês. 12

13 Vamos interpretar a questão. I - Uma pessoa fez, com o capital de que dispunha, uma aplicação diversificada: na Financeira Alfa, aplicou R$ 3.000,00 a 24% ao ano, com capitalização bimestral; na Financeira Beta, aplicou, no mesmo dia, o restante desse capital a 42% ao semestre, com capitalização mensal. Capital Total Investido = C Capital Aplicado 1 (Financeira Alfa) = R$ 3.000,00 Taxa de Juros 1 (nominal) = 24% ao ano, com capitalização bimestral Cálculo da taxa de juros efetiva (corresponde à taxa do período de capitalização): 24% == 1 ano = 6 bimestres Taxa de Juros Efetiva == 1 bimestre Taxa de Juros Efetiva x 6 = 24% Taxa de Juros Efetiva = 24% 6 Taxa de Juros Efetiva = 4% ao bimestre Repare que, na Financeira Beta, é aplicado o restante do capital, que será igual ao capital total investido (C) menos o capital aplicado na Financeira Alfa (R$ 3.000,00). Capital Aplicado 2 (Financeira Beta) = C R$ 3.000,00 Taxa de Juros 2 (nominal) = 42% ao semestre, com capitalização mensal Cálculo da taxa de juros efetiva (corresponde à taxa do período de capitalização): 42% == 1 semestre = 6 meses Taxa de Juros Efetiva == 1 mês Taxa de Juros Efetiva x 6 = 42% Taxa de Juros Efetiva = 42% 6 Taxa de Juros Efetiva = 7% ao mês 13

14 II - Ao final de 1 semestre, os montantes das duas aplicações somavam R$ 6.000,00. A taxa efetiva de juros da aplicação diversificada no período foi de... Repare que a questão não definiu se a capitalização é a juros compostos ou a juros simples. Portanto, como nada foi dito, utilizaremos os juros compostos. II.1 Cálculo do montante da aplicação 1 após 1 semestre Capital Aplicado 1 = Taxa de Juros Efetiva 1 = 4% ao bimestre = Período = 1 semestre = 3 bimestres 100 = 0,04 ao bimestre M 1 = C 1. (1 + i 1 ) n M 1 = x (1 + 0,04) 3 M 1 = x (1,04) 3 (1,04) 3 (Tabela I, linha 3, coluna 4%) = 1, M 1 = x 1, M 1 = 3.374,59 II.2 Cálculo do montante da aplicação 2 após 1 semestre Capital Aplicado 2 = C Taxa de Juros Efetiva 2 = 7% ao mês = 7 Período = 1 semestre = 6 meses 100 = 0,07 ao mês M 2 = C 2. (1 + i 2 ) n M 2 = (C 3.000) x (1 + 0,07) 6 M 2 = (C 3.000) x (1,07) 6 (1,07) 6 (Tabela I, linha 6, coluna 7%) = 1, M 2 = (C 3.000) x 1, M 2 = 1, C 4.502,19 De acordo com a questão, os montantes das duas aplicações, após 6 meses, somaram R$ 6.000,00. M 1 + M 2 = ,59 + 1, C 4.502,19 = , C = , ,59 1, C = 7.127,

15 C = 7.127,60 1, C = 4.749,42 Portanto, para calcular a taxa efetiva de juros das duas aplicações, temos: Capital Total Investido (C) = 4.749,42 Montante (M) = Taxa Efetiva de Juros = (Montante Capital Total Investido)/Capital Total Investido Taxa Efetiva de Juros = , , 42 Taxa Efetiva de Juros = 1.250, ,42 Taxa Efetiva de Juros = 0,2633 = 26,33% GABARITO: E (Contador-AGU-2010-Cespe) Considerando que determinado capital tenha sido aplicado à taxa efetiva de juros de 1,4% ao mês, no regime de juros compostos, e que 0,002, 0,006, 0,176 e 0,301 são valores aproximados para log 1,005, log 1,014, log 1,5 e log 2, respectivamente, julgue os itens seguintes. 4. A taxa de juros efetiva quadrimestral, equivalente à taxa de juros efetiva utilizada na aplicação, é inferior a 6% ao quadrimestre. Vamos interpretar a questão. I - Considerando que determinado capital tenha sido aplicado à taxa efetiva de juros de 1,4% ao mês, no regime de juros compostos,... A questão definiu: Juros Compostos Na capitalização por juros compostos, os juros são calculados sobre o montante do capital (C) no período anterior (juros sobre juros), ou seja, o capital inicial de cada período é o capital do período anterior acrescido dos juros do período anterior. M = C. (1 + i) t J = M - C 15

16 Onde, M = montante C = capital J = juros i = taxa de juros t = período (1 + i) t = fator de capitalização Taxa Efetiva de Juros (i) = 1,4% ao mês II -...e que 0,002, 0,006, 0,176 e 0,301 são valores aproximados para log 1,005, log 1,014, log 1,5 e log 2, respectivamente,... Essas informações sobre logaritmos foram dadas porque não havia tabelas na prova. Portanto, temos: Log 1,005 = 0,002 Log 1,014 = 0,006 Log 1,5 = 0,176 Log 2 = 0,301 III Cálculo da taxa efetiva quadrimestral equivalente à taxa de 1,4% ao mês Taxa Equivalente A taxa equivalente é aquela que se refere a períodos de tempo diferentes e que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, originam o mesmo montante. 1 + i eq = (1 + i) t juros compostos Taxa Efetiva Semestral = i eq Período (t) = 4 meses 1, 4 Taxa Efetiva Mensal = 1,4% ao mês = i eq = (1 + 0,014) i eq = (1,014) 4 = 0,014 ao mês (1,014) 2 = 1,014 x 1,014 = 1,0282 (1,014) 4 = (1,014) 2 x (1,014) 2 = 1,0282 x 1,0282 = 1, i eq = 1,0572 i eq = 1, i eq = 0,0572 = 5,72% ao quadrimestre (que é inferior a 6% ao quadrimestre) GABARITO: Certo 16

17 5. O capital levará mais de 4 anos para dobrar de valor. Capital Investido = C Montante (para dobrar de valor) = 2 x Capital Investido = 2.C Taxa de Juros (i) = 1,4% ao mês = 0,014 ao mês M = C. (1 + i) n 2.C = C x (1 + 0,014) n (1 + 0,014) n = 2.C C (1,014) n = 2 Se aplicarmos o logaritmo nos dois lados da equação, a igualdade não se altera (lembra das primeiras aulas? Espero que sim! Risos). Log (1,014) n = Log 2 Além disso, vamos lembrar uma propriedade dos logaritmos: Log A B = B x Log A (logaritmo de um número elevado à potência é igual à potência multiplicada pelo logaritmo do número). No caso concreto da questão, teríamos: Log (1,014) n = Log 2 n. Log (1,014) = Log 2 Dados da questão: Log 1,014 = 0,006 Log 2 = 0,301 Substituindo os valores: n. Log (1,014) = Log 2 n x 0,006 = 0,301 n = 0,301 0,006 n = 50,17 meses (que é maior que 4 anos = 48 meses) Portanto, o capital levará mais de 4 anos para dobrar de valor. GABARITO: Certo 17

18 6.(Especialista em Regulação de Serviços Públicos de Energia-Área 3- Aneel-2010-Cespe) Considerando que um capital seja investido à taxa de 10% ao ano, julgue o item que segue, tomando 1,04 e 0,3 como valores aproximados de log e log 10 2, respectivamente. No regime de capitalização composta, esse capital dobrará de valor em menos de 8 anos. Vamos interpretar a questão. I - Considerando que um capital seja investido à taxa de 10% ao ano... Capital Investido = C Taxa de Juros (i) = 10% ao ano = = 0,10 ao ano II -...tomando 1,04 e 0,3 como valores aproximados de log 1011 e log 102, respectivamente. Dados da questão: Log = 1,04 Log 10 2 = 0,3 III - No regime de capitalização composta, esse capital dobrará de valor em menos de 8 anos. A questão definiu: Juros Compostos M = C. (1 + i) t J = M - C Onde, M = montante C = capital J = juros i = taxa de juros t = período (1 + i) t = fator de capitalização Vamos, então, verificar o tempo necessário para o capital dobrar. Motante (M) = 2 x Capital Investido = 2.C 18

19 M = C. (1 + i) t 2.C = C x (1 + 0,10) t 2.C = (1,10)t C 2 = (1,10) t Aplicando logaritmo nos dois lados da equação, a igualdade não se altera. Além disso, precisamos lembrar a seguinte propriedade dos logaritmos. Log A B = B x Log A Portanto, teríamos: Log 10 2 = Log 10 (1,10) t Log 10 2 = t x Log 10 1,10 Aqui, temos que fazer uma transformação, pois o dado da questão é um logaritmo, na base 10, de 11. Sabemos que: 11 1,10 =. Substituindo na equação: Log 10 2 = t x Log Outra propriedade dos logaritmos: Log A B = Log A Log B Lembrando também que Log A A = 1, pois A 1 = A Portanto, Log = 1 Portanto, na equação teríamos: Log 10 2 = t x Log Log 10 2 = t x (Log Log 10 10) Log 10 2 = t x (Log ) Substituindo o valor dos logaritmos dados: 0,3 = t x (1,04 1) 0,3 = t x (0,04) 0,3 30 t = 0,04 4 anos e meio). GABARITO: Certo = = 7,5 anos (o capital investido dobrará de valor em

20 (Contador-FUB-2010-Cespe) Julgue os próximos itens, relativos ao regime de juros compostos. 7. Os juros em regime de juros compostos geram, ao longo do tempo, uma curva exponencial. A fórmula de cálculo do montante para capitalização a juros compostos é: M = C. (1 + i) t Os juros seriam calculados da seguinte forma: Juros (J) = Montante (M) Capital Investido (C) J = C. (1 + t) t C J = C. [(1 + i) t 1] Portanto, os juros (J) são função do tempo (t), que é um expoente da equação, representando uma curva exponencial. GABARITO: Certo 8. Uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 12% ao ano, com capitalização trimestral, ultrapassa o montante de R$ 4.240,00 após seis meses. A questão não definiu. Portanto, utilizaremos juros compostos. Aplicação = Capital Investido (C) = R$ 4.000,00 Taxa de Juros Nominal = 12% ao ano Capitalização Trimestral: portanto, a taxa de juros efetiva será: 12% == 1 ano = 4 trimestres Taxa de Juros Efetiva == 1 trimestre Taxa de Juros Efetiva x 4 = 12% x 1 12% Taxa de Juros Efetiva (i) = 4 3 Taxa de Juros Efetiva (i) = 3% ao trimestre = 100 = 0,03 ao trimestre 20

21 Portanto, temos os seguintes dados: Montante = M Capital Investido (C) = Taxa de Juros Efetiva (i) = 0,03 ao trimestre Período (t) = 6 meses = 2 trimestres Importante: O período deve estar sempre na mesma grandeza da taxa de juros. Se você for utilizar uma taxa de juros mensal na fórmula, por exemplo, o período deve estar em meses. Se você for utilizar uma taxa de juros semestral na fórmula, por exemplo, o período deve estar em semestres. E assim por diante. M = C. (1 + i) t M = x (1 + 0,03) 2 M = x (1,03) 3 M = x 1,0609 M = 4.243,60 Portanto, uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 12% ao ano, com capitalização trimestral, ultrapassa o montante de R$ 4.240,00 após seis meses. GABARITO: Certo 9. Para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de juros composto é sempre superior ao montante em regime de juros simples. Atenção, pois esta regra não vale sempre! Foi uma pegadinha da examinadora. Vamos verificar por meio de exemplos. Exemplo 1: Capital Investido (C) = R$ 1.000,00 Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 0,10 ao mês Período (t) = 15 dias = 0,5 mês Juros Simples: M S = C. (1 + i.t) M S = x (1 + 0,10 x 0,50) M S = x (1 + 0,05) M S = x 1,05 M S =

22 Juros Compostos: M C = C. (1 + i) t M C = x (1 + 0,10) 0,50 M C = x (1,10) 0,50 1 Lembre que: (1,10) 0,50 2 = (1,10) = 1,10 = 1,04881 M C = x 1,04881 M C = 1.048,1 Portanto, se o período é menor que o período de capitalização da taxa de juros, para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de juros composto é inferior ao montante em regime de juros simples. Exemplo 2: Capital Investido (C) = R$ 1.000,00 Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 0,10 ao mês Período (t) = 1 mês Juros Simples: M S = C. (1 + i.t) M S = x (1 + 0,10 x 1) M S = x (1 + 0,10) M S = x 1,10 M S = Juros Compostos: M C = C. (1 + i) t M C = x (1 + 0,10) 1 M C = x (1,10) 1 M C = x 1,10 M C = Portanto, se o período é igual ao período de capitalização da taxa de juros, para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de juros composto é igual ao montante em regime de juros simples. Exemplo 3: Capital Investido (C) = R$ 1.000,00 Taxa de Juros (i) = 10% ao mês = 0,10 ao mês Período (t) = 2 meses Juros Simples: M S = C. (1 + i.t) M S = x (1 + 0,10 x 2) M S = x (1 + 0,20) M S = x 1,20 M S =

23 Juros Compostos: M C = C. (1 + i) t M C = x (1 + 0,10) 2 M C = x (1,10) 2 M C = x 1,21 M C = Portanto, se o período é maior que o período de capitalização da taxa de juros, para um mesmo capital aplicado a uma mesma taxa, o montante em regime de juros composto é superior ao montante em regime de juros simples. GABARITO: Errado 10.(Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) Em determinado dia, um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rende juros mensais de 10%. Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversário da aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmo valor. Nessa situação, considerando-se que o regime de juros é o composto e 3,14 como valor aproximado para 1,1 12, é correto afirmar que, sem ter feito, nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor, no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$ ,00. Vamos aproveitar o item para estudar os conceitos de descontos compostos e equivalência de capitais a juros compostos. Vamos estudar os conceitos: Desconto Composto Relembrando, desconto (D) é a diferença entre o valor nominal (valor do título) e o valor atual (valor de resgate do título), ou seja, são os juros pagos em virtude de não ter respeitado o prazo de resgate de determinado título. Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor Futuro ou Valor do Título (N) é o valor do título na data do vencimento. Valor Atual ou Valor Descontado ou Valor do Resgate ou Valor Presente ou Valor Resgatado (A D ) é o valor do título na data do resgate. Desconto Composto Comercial ou Por Fora O desconto composto comercial ou por fora é um desconto que incide sobre o valor nominal (N), período a período. A = N. (1 i D ) t D c = N A = N N. (1 i D ) t = N. [1 - (1 i D ) t ] 23

24 Onde, D c = desconto comercial i D = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal A = valor atual Nota: - Quanto maior o prazo entre a data do vencimento do título e a data do resgate, menor será o valor atual do referido título (maior o desconto). - Quanto menor o prazo entre a data do vencimento do título e a data do resgate, maior será o valor atual do referido título (menor o desconto). Atenção! Lembre que o desconto por fora é, normalmente, utilizado no desconto de duplicatas e notas promissórias. Desconto Racional, Financeiro, Matemático ou Por Dentro O desconto racional, financeiro, matemático ou por dentro é o desconto que determina um valor atual (A d ) que, corrigido nas condições de mercado, resulta em um montante igual ao valor nominal. N = A. (1 + i r ) t A = N/(1 + i r ) t D r = N A = N - N/(1 + i r ) t = N. [1 1/(1 + i r ) t ] D r = N. [(1 + i r ) t 1]/(1 + i r ) t Onde, D r = desconto comercial i r = taxa de desconto comercial (juros simples) t = período restante até o vencimento do título N = valor nominal A = valor atual Importante: Nas mesmas condições: Desconto Comercial > Desconto Racional Desconto Bancário (D B ) O desconto bancário corresponde ao desconto comercial acrescido de taxas bancárias sobre o valor nominal. D B = D c + e. N Onde, e = encargos bancários 24

25 Equivalência de Capitais e Séries de Pagamento (Rendas Certas ou Anuidades) Equivalência de Capitais Desconto Racional Data de Equivalência no Futuro A N N = A. (1 + i) t T T + t N = valor nominal A = valor atual i = taxa de juros t = período Data de Equivalência no Passado A N A = N/(1 + i) t T T + t Equivalência de Capitais Desconto Comercial Data de Equivalência no Futuro A N N = A/(1 i) t T T + t N = valor nominal A = valor atual i = taxa de juros t = período Data de Equivalência no Passado A N A = N. (1 i) t T T + t 25

26 Renda Postecipada Uma renda postecipada corresponde à série uniforme de pagamentos ou investimentos periódicos em que o primeiro pagamento ou investimento ocorre um período após o negócio. A n-1 n R A = valor da renda R = valor da prestação n = número de prestações i = taxa de juros R R R R R R R A= i + i + i + i 2 n 1 n (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado: n (1 + i) 1 A= R. i n.(1 + i ) n (1 + i) 1 n i.(1 + i) Fator de Valor Atual (FVA) ou Fator de Valor Presente (FVP) A = R x FVA (1 ) n + i 1 O termo a(n;i) = n i.(1 + i) 1 (1 ) + i n apresentado como. i Logo, A = R. a(n;i). é tabelado (tabela II) e também pode ser a(18;2%) = Fator de Valor Atual = 14, = P x 14,9920 P = 1.000,53 Caso quiséssemos calcular o total pago ou investido imediatamente após o último pagamento ou investimento (montante de valor futuro), teríamos: A F n-1 n A = valor da renda R R R R 26

27 R = valor da prestação n = número de prestações i = taxa de juros F = montante de valor futuro F = A.(1 + i) n n n (1 + i) 1 n (1 + i) 1 F = R..(1 + i) = R. n i.(1 + i) i (1 + i) n 1 i Fator de Acumulação de Capital (FAC) ou Fator de Valor Futuro F = R x FAC (1 ) n + i 1 O termo s(n;i) = é tabelado (tabela III). Logo, F = R. s(n;i). i Renda Antecipada A renda antecipada corresponde a uma série uniforme de pagamentos ou investimentos periódicos em que o primeiro pagamento ou investimento ocorre no ato da realização do negócio. A n-1 R R A = valor da renda R = valor da prestação n = número de prestações i = taxa de juros R R A= R+ R + R R (1 + i) (1 + i) (1 + i) n 2 1 A partir da fórmula acima, chegaremos ao seguinte resultado: n 1 (1 + i) 1 A= R. + 1 i n 1.(1 i + ) n 1 (1 + i) 1 n 1 i.(1 + i) O termo a(n-1;i) = valor tabelado e somar 1. = R. [a(n-1;i) + 1] é tabelado (tabela II). Portanto basta achar o 27

28 Caso quiséssemos calcular o total pago ou investido imediatamente após o último pagamento ou investimento, ou um período após o último pagamento ou investimento (montante de valor futuro), teríamos: A F n-1 F n n-1 R R R R (1 + i ) n 1 Valor futuro após o último pagamento ou investimento: F n-1 = R. i Valor futuro um período após o último pagamento ou investimento: n+ 1 (1 + i) 1 F n = R. ( 1) i (1 + i ) n 1 Onde s(n;i) = i acumulação de capital ou fator de valor futuro. é tabelado (tabela III) e denominado fator de Valor futuro um período após o último pagamento: F n = R. ( F n = R. [s(n+1;i) 1] n+ 1 (1 i) 1 + 1) i Renda Diferida A renda diferida corresponde à série uniforme de pagamentos ou investimentos periódicos em que o primeiro pagamento ou investimento ocorre m+1 períodos após o início do negócio, ou seja, há m períodos sem pagamento ou investimento. A m+1 m+2... m+n m A = valor da renda R R = valor da prestação m = número de períodos sem pagamento n = número de prestações i = taxa de juros R R R 28

29 R R R R A= i + i + i + i m+ 1 m+ 2 m+ n 1 m+ n (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) Repare que, no caso da renda diferida, A vai ser igual a: R R R R R R R A= (1 ) (1 ) (1 ) m (1 ) m + (1 ) m + + i + i + i + i + i n (1 + i) (1 + i) m m+ n m (1 + i) 1 (1 + i) 1 A= R. m+ n m i.(1 + i) i.(1 + i) A = R. [a(m+n;i) a(m;i)] Ou seja, consideramos a renda postecipada até o período m+n e subtraímos o período de diferimento (até m). Vamos interpretar a questão. I - Em determinado dia, um indivíduo fez uma aplicação de R$ 500,00 em um investimento que rende juros mensais de 10%. Capital Inicial Investido (C) = R$ 500,00 Taxa de Juros (i) = 10% ao mês II - Nos 11 meses seguintes, sempre no dia do aniversário da aplicação, esse mesmo indivíduo fazia uma nova aplicação, de mesmo valor. Nos 11 meses seguintes, sempre no mesmo dia, foi feita uma nova aplicação do mesmo valor. C C C C C C C C C C C C Capital Aplicado Todo Mês (C) = R$ 500, III - Nessa situação, considerando-se que o regime de juros é o composto e 3,14 como valor aproximado para 1,1 12, é correto afirmar que, sem ter feito, nesse período, nenhuma retirada, o montante acumulado por esse investidor, no dia em que fez a sua última aplicação, corresponde a mais de R$ ,00. A questão informa que (1,10) 12 = 3,

30 Além disso, a questão deseja saber o montante acumulado no dia do último pagamento. Portanto, utilizaremos a seguinte fórmula (correspondente à fórmula do valor pago após o último depósito na renda antecipada, tendo em vista que o primeiro depósito ocorreu no mês 0 ): M n (1 + i) 1 C. i =, que é a fórmula do fator de acumulação de capital (FAC) ou fator de valor futuro (tabela III). A prova não forneceu tabelas, mas informou o valor que precisamos utilizar. Vejamos: Montante = M Capital Aplicado Todo Mês (C) = R$ 500,00 Taxa de Juros (i) = 10% ao mês Período (n) = 12 meses (correspondem a 12 aplicações, do mês 0 ao mês 11 ) n (1 + i) 1 M = C. i 12 (1+ 0,10) 1 M = ,10 12 (1,10) 1 M = ,10 3,14 1 M = ,10 2,14 M = ,10 M = 500 x 21,4 M = (que é menor do que R$ ,00) GABARITO: Errado 11.(Assistente Executivo em Metrologia e Qualidade Área: Administração-Inmetro-Cespe-2010) Caso se aplique R$ 5.000,00 por ano, durante 3 anos consecutivos, em um título de rendimento de 10% de juros compostos ao ano, o montante auferido ao final desse período será de A R$ ,00. B R$ ,00. C R$ ,00. D R$ ,00. E R$ ,

31 A questão definiu: Juros Compostos. Vamos interpretar a questão. I - Caso se aplique R$ 5.000,00 por ano, durante 3 anos consecutivos, em um título de rendimento de 10% de juros compostos ao ano, o montante auferido ao final desse período será de... C C C Capital Aplicado Todo Mês (C) = R$ 5.000,00 Taxa de Juros Compostos (i) = 10% ao ano = 0,10 ao ano Período (n) = 3 anos M n (1 + i) 1 C. i =, que é a fórmula do fator de acumulação de capital (FAC) ou fator de valor futuro (tabela III). n (1 + i) 1 M = C. i 3 (1+ 0,10) 1 M = ,10 3 (1,10) 1 M = ,10 Cálculo de (1,10) 3 : (1,10) 2 = 1,10 x 1,10 = 1,21 (1,10) 3 = 1,21 x 1,10 = 1,331 M = M = , ,10 0, ,10 M = x 3,31 M = GABARITO: E 31

32 (Analista Ambiental-Área de Concentração III-2010-MMA-Cespe) Um produtor rural foi multado em R$ ,00, por ser o responsável pela poluição de um rio que atravessa sua propriedade. A dívida foi negociada e foram apresentadas a esse produtor as seguintes propostas de pagamento da referida multa: I pagamento à vista com desconto; II pagamento em 2 prestações anuais, iguais e consecutivas, sem desconto e com vencimento da primeira prestação um ano após a negociação; III pagamento em 3 prestações anuais, iguais e consecutivas, sem desconto e com vencimento da primeira prestação no ato da negociação. O produtor rejeitou a proposta I, pois ela era menos vantajosa que as outras duas, dado que seu dinheiro poderia ter rendimento de juros compostos anuais de 25%. A respeito dessa situação hipotética, julgue os itens subsecutivos. 12. A proposta III é a mais vantajosa para o produtor. Vamos interpretar a questão. A - Um produtor rural foi multado em R$ ,00, por ser o responsável pela poluição de um rio que atravessa sua propriedade. Portanto, um produtor rural sofreu uma multa de R$ ,00 por dano ambiental (poluição de um rio que atravessa sua propriedade). B - A dívida foi negociada e foram apresentadas a esse produtor as seguintes propostas de pagamento da referida multa: I pagamento à vista com desconto; II pagamento em 2 prestações anuais, iguais e consecutivas, sem desconto e com vencimento da primeira prestação um ano após a negociação; III pagamento em 3 prestações anuais, iguais e consecutivas, sem desconto e com vencimento da primeira prestação no ato da negociação. O produtor rejeitou a proposta I, pois ela era menos vantajosa que as outras duas, dado que seu dinheiro poderia ter rendimento de juros compostos anuais de 25%. Taxa de Juros Anuais (i) = 25% ao ano = = 0,25 ao ano 32

33 A questão não informou qual seria o desconto para pagamento à vista. Contudo, a própria questão já definiu que o produtor rural rejeitou a proposta I, pois era menos vantajosa que as demais. Portanto, vamos analisar as propostas II e III. Na proposta II, foi definido que o pagamento será em 2 prestações anuais, iguais e consecutivas, sem desconto. Entende-se, nesse caso, que, se não há desconto a considerar, seriam pagas duas prestações anuais de R$ ,00 (2 x R$ ,00 = R$ ,00). Suponha que o produtor tenha os R$ ,00 para pagamento à vista. Se ele aplicar o dinheiro, a uma taxa de juros de 25% ao ano (dado da questão), ao final do primeiro ano, ele teria o seguinte montante: C 1 = M 1 = C 1 x (1 + i) M 1 = x (1 + 0,25) M 1 = x 1,25 M 1 = Ao final do primeiro ano, ele paga a primeira prestação de R$ ,00. Portanto, o valor restante na sua aplicação será de: C 2 = = Esse valor será reaplicado por mais um ano para o pagamento da segunda prestação. M 2 = C 2 x (1 + i) M 2 = x (1 + 0,25) M 2 = x 1,25 M 2 = Ao final do segundo ano, ele paga a segunda prestação de R$ ,00. Portanto, o valor restante na sua aplicação será de: C 3 = = Na proposta III, foi definido que o pagamento será em 3 prestações anuais, iguais e consecutivas, sem desconto, sendo a primeira no ato da negociação. Entende-se, nesse caso, que, se não há desconto a considerar, seriam pagas três prestações anuais de R$ ,00 (2 x R$ ,00 = R$ ,00). 33

34 Suponha que o produtor tenha os R$ ,00 para pagamento à vista. No ato da negociação, já pagaria R$ ,00. Portanto, restaria R$ ,00 para aplicar (R$ ,00 R$ ,00). Se ele aplicar o dinheiro restante, a uma taxa de juros de 25% ao ano (dado da questão), ao final do primeiro ano, ele teria o seguinte montante: C 1 = M 1 = C 1 x (1 + i) M 1 = x (1 + 0,25) M 1 = x 1,25 M 1 = Ao final do primeiro ano, ele paga a segunda prestação de R$ ,00. Portanto, o valor restante na sua aplicação será de: C 2 = = Esse valor será reaplicado por mais um ano para o pagamento da terceira prestação. M 2 = C 2 x (1 + i) M 2 = x (1 + 0,25) M 2 = x 1,25 M 2 = Ao final do segundo ano, ele paga a terceira prestação de R$ ,00. Portanto, o valor restante na sua aplicação será de: C 3 = = (é menor que o valor restante pela proposta II = ) Portanto, o valor restante do dinheiro do produtor, pela proposta II, é maior que o valor restante pela proposta III, a proposta II é mais vantajosa. Na verdade, só fiz as contas, para você ter certeza, mas nem precisava, pois, nas mesmas condições, se eu tenho um dinheiro para pagar à vista e não preciso dar nenhuma entrada (pagamento no ato), essa proposta sempre será mais vantajosa em relação à proposta em que tenho que dar alguma entrada. Mas lembre que a regra só vale com toda a certeza se forem nas mesmas condições (no caso, prestações iguais e sucessivas, sem desconto). GABARITO: Errado 34

35 13. O desconto previsto na proposta I é inferior a R$ ,00. Repare que, pela proposta II, o montante que sobrou após o pagamento da dívida foi de R$ ,00 (após dois anos) e pela proposta III, o montante que sobrou após o pagamento da dívida foi de R$ ,00 (após dois anos). Como o produtor considerou que a proposta I era desvantajosa (pagamento à vista com desconto), o desconto para pagamento à vista deve ser menor que o valor atual do montante que sobrou após o pagamento da dívida na proposta III (R$ ,00). A questão definiu que são juros compostos. Como a questão não definiu o tipo de desconto para trazer a valor atual, utiliza-se o desconto racional composto. Vamos relembrar: A N A = N/(1 + i) t T T + t Temos os seguintes dados: Valor Atual = A Valor do Montante Após os Pagamentos (Proposta III) = Taxa de Juros (i) = 25% ao ano = = 0,25 ao ano Período (t) = 2 anos N A = (1 ) t + i A = 2 (1+ 0, 25) A = 2 (1, 25) A = 1, 5625 A = Portanto, se o desconto dado para pagamento à vista, na proposta I, for inferior a R$ ,00, ela já não será mais vantajosa que a proposta III. GABARITO: Certo 35

36 (Consultor Executivo-Ciências Contábeis-Sefaz/ES-2010-Cespe) A secretaria de fazenda de determinado estado faculta ao contribuinte o pagamento do valor do IPVA em parcela única ou em três prestações mensais com valores iguais, sem cobrança de juros, sendo que a primeira prestação vence no dia do vencimento da parcela única e as outras duas, nos dois meses consecutivos. Em 2009, um contribuinte que devia pagar o valor de R$ 1.200,00 de IPVA, com vencimento no dia 14/3/2009, pagou a primeira parcela do imposto em dia, mas deixou de pagar os valores correspondentes às outras duas prestações. No início de julho de 2009, esse contribuinte negociou a dívida com a secretaria de fazenda, a qual reajustou o valor de cada prestação, a partir de seus vencimentos, a uma taxa de juros simples, de modo que os novos valores da segunda e da terceira prestações atrasadas, cujo vencimento passou a ser no dia 14/10/2009, foram iguais, respectivamente, a R$ 520,00 e R$ 500,00. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens abaixo. 14. A taxa de juros simples usada pela secretaria de fazenda no reajuste das prestações atrasadas foi superior a 4%. Vamos interpretar a questão: I - A secretaria de fazenda de determinado estado faculta ao contribuinte o pagamento do valor do IPVA em parcela única ou em três prestações mensais com valores iguais, sem cobrança de juros, sendo que a primeira prestação vence no dia do vencimento da parcela única e as outras duas, nos dois meses consecutivos. Portanto, temos duas opções de pagamento do IPVA: Opção 1: Pagamento em parcela única Opção 2: Pagamento em três prestações mensais, com valores iguais, sem cobrança de juros, com a primeira parcela a ser paga no dia do vencimento da parcela única e as outras duas, nos dois meses consecutivos II - Em 2009, um contribuinte que devia pagar o valor de R$ 1.200,00 de IPVA, com vencimento no dia 14/3/2009, pagou a primeira parcela do imposto em dia, mas deixou de pagar os valores correspondentes às outras duas prestações. O contribuinte devia um IPVA no valor de R$ 1.200,00 e escolheu a opção 2, pois pagou a primeira em 14/03/2009. Porém, acabou não pagando as parcelas seguintes. 36