MBA em Administração e Finanças Matemática Financeira e Análise de Investimentos Capitalização

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1 Tema 1 Capitalização Projeto Curso Disciplina Tema Professor Pós-graduação MBA em Administração e Finanças Matemática Financeira e Análise de Investimentos Capitalização Nelson Castanheira Introdução Apresentaremos os conceitos fundamentais para a compreensão da disciplina de Matemática Financeira e Análise de Investimentos, que são a capitalização simples, a capitalização composta, as taxas equivalentes e o período fracionário. Assista no seu material digital ao vídeo do professor Nelson para saber mais acerca dos temas que serão trabalhados e dos objetivos de estudo. Regimes de capitalização Você sabe o que é capitalizar? Capitalizar é incorporar o juro ao capital que o produziu. Mas o que é capital e o que é juro? Capital É qualquer valor expresso na moeda corrente de um país e disponível para uma operação financeira, podendo ser chamado também de valor atual, valor presente e principal, que será representado pela letra C. Juro É a remuneração do capital, representado pela letra J, e segundo Castanheira e Serenato (2010) pode ser introduzido por meio das expressões: 1

2 Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado a nossa disposição; Remuneração do capital empregado em atividades produtivas; Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado; Remuneração do capital emprestado, sendo entendido, de forma simplificada, como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. O regime de capitalização é que determina a forma de se acumular os juros. Por exemplo, caso o regime de capitalização seja simples, teremos o chamado juro simples, que é quando o juro incide somente sobre o capital inicial; caso o regime de capitalização seja composto, teremos o juro composto, que é quando o juro incide sobre o capital e sobre os juros acumulados anteriormente. Acompanhe no material digital o vídeo do professor Nelson para mais detalhes sobre esse assunto. Taxa de juro É um percentual que se aplica sobre o capital para calcular o valor do juro, referindo-se sempre a uma unidade de tempo como ano, semestre, trimestre, bimestre, mês, dia representada pela letra i. Ex.: i = 36% ao ano = 36% a.a. Montante Para mantermos o poder de compra de um capital, temos que investi-lo para recebermos juro, assim, a soma do capital com o juro é o que chamamos de montante, o qual será representado pela letra M. Portanto, a fórmula do montante será: M = C + J 2

3 Período ou prazo É o tempo sobre o qual um capital (C) recebe ou paga juro (J), sendo representado pela letra n, a qual vai indicar o número de vezes que o capital será acrescido de juros. Capitalização simples Como já vimos, se utilizarmos uma taxa de juros simples, o regime de capitalização será simples, sendo o juro simples calculado sempre se aplicando a taxa sobre o capital inicial. A fórmula do juro simples é: J = C. i. n E a do montante é: M = C + J Juntando as duas fórmulas teremos: M = C + C. i. n Então, a fórmula geral da capitalização simples será: M = C. (1 + i. n) Para você entender melhor o que estamos falando, confira o vídeo do professor Nelson no seu material digital. Capitalização composta Se utilizarmos uma taxa de juros compostos, teremos o regime de capitalização composto. Assim, para o cálculo do juro composto, o juro produzido em um período será acrescido ao valor do capital que o produziu, passando capital e juro a render juro no período seguinte. Por isso, é também chamado popularmente de juro sobre juro. O período de capitalização é, portanto, cada intervalo em que o juro incorpora-se ao valor que o produziu. Montante em capitalização composta Tal qual na capitalização simples, o capital envolvido em uma operação 3

4 financeira, acrescido do juro, compõe o montante, representando sempre o valor total de uma dívida ou o valor futuro. Obtemos o montante composto calculando o juro simples, período de capitalização a período de capitalização, e incorporando-o ao capital inicial para o próximo período. Dessa forma, ao final de cada período de capitalização, teremos um montante parcial. Portanto, para a determinação do montante total de uma operação financeira, utilizamos a fórmula geral da capitalização composta que é: M = C. (1 + i) n Agora, para chegarmos à fórmula geral do juro composto, seguimos os seguintes passos: M = C + J C + J = C. (1 + i) n J = C. (1 + i) n C J = C.(1 + i) n 1 No livro digital, assista ao vídeo do professor Nelson para esclarecer alguma dúvida que possa ter ficado sobre o assunto. Equivalência de taxas em capitalização composta Duas ou mais taxas são equivalentes se, ao mantermos constantes o capital e o prazo de aplicação do capital, o montante resultante da aplicação for o mesmo, quaisquer que sejam os períodos de capitalização. Para a determinação da taxa equivalente em capitalização composta utiliza-se a fórmula: i q = (1 + i t ) q/t 1 Mas o que significa cada uma das letras que estão na fórmula? Observe os tópicos para obter a resposta. i q = taxa que eu quero; i t = taxa que eu tenho; q = tempo (período) da taxa que eu quero; 4

5 t = tempo (período) da taxa que eu tenho. Lembre-se de que q e t deverão estar na mesma base de tempo. Para mais explicações, ver o vídeo do professor Nelson no material digital. Período fracionário Ao estudarmos taxa de juros, verificamos que ela é um percentual relativo a determinado tempo (prazo ou período), podendo os períodos de capitalização serem inteiros ou fracionários (não inteiros). Por exemplo, podemos ter uma dívida atrasada de 2 meses e 17 dias e, devido ao atraso, pagaremos juro. Imagine que esse juro será calculado a partir de uma taxa de 2% ao mês, nesse caso, temos 2 meses inteiros mais 17 dias que é uma fração do mês, estamos falando, portanto, de capitalização descontínua. Como podemos calcular esse juro? Devemos separar a parte inteira da parte fracionária, sendo aplicado na parte inteira o juro composto e na parte fracionária podemos optar entre o juro simples (a chamada convenção linear) e o juro composto (a chamada convenção exponencial). Convenção linear ou convenção mista Quando você quiser obter o juro em um período fracionário, adotando a convenção linear, fará o cálculo em duas etapas: Para a parte inteira do tempo (n), calcula-se o montante a juro composto; Para a fração não inteira do tempo (n 1 ), admite-se a formação linear de juros, ou seja, calcula-se o montante a juro simples. Então a fórmula será: M = C. (1 + i) n. (1 + i. n 1 ) No caso da convenção linear, as operações na HP-12C deverão ter o indicador de estado c desligado. 5

6 Convenção exponencial O cálculo do juro em um período fracionário, adotando a convenção exponencial, tem em conta o juro composto o tempo todo, isso quer dizer que tem o juro composto tanto na parte inteira do tempo (n) quanto na parte não inteira (n 1 ). Assim: M = C. (1 + i) n. (1 + i) n1 A fórmula final, portanto, é: M = C. (1 + i) n+n1 Agora, abra o seu material digital para assistir ao vídeo do professor Nelson. Síntese Nesta aula, estudamos os regimes de capitalização e você pôde conhecer as fórmulas necessárias para descobrir o montante, a capitalização simples, a capitalização composta (montante e equivalência das taxas) e o período fracionário (convenção linear e exponencial). 6

7 Referências ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, BAUER, U. R. Matemática financeira fundamental. São Paulo: Atlas, BRANCO, A. C. C. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, CAIXA ECONÔMICA FEDERAL. Guia para financiamentos imobiliários. Brasília: Caixa, CARNEIRO, T. J. Debêntures: captação racional de recursos CASTANHEIRA, N. P.; SERENATO, V. S. Matemática financeira e análise financeira aplicada a todos os níveis. Curitiba: Juruá, CASTELO BRANCO, A. C. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, DE FRANCISCO, W. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, FARO, C. Princípios e aplicações do cálculo financeiro. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, FORTUNA, E. Mercado financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira aplicada e análise de investimentos. São Paulo: Atlas, MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, PUCCINI, A. de L. Matemática financeira objetiva e aplicada. 5. ed. Rio de Janeiro: Editora S.A, SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Makron Books, VERAS, L. L. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 7

8 Manual de aplicações financeiras: HP-12C. 2. ed. São Paulo: Atlas, Sites < < Formulário 8

9 9

10 Atividades 1. Um pequeno cafeicultor possui um estoque de sacas de café e, na expectativa da elevação dos preços do café, recusa uma oferta de compra de R$ 3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, devido à necessidade de liquidez, vende o estoque por R$ 2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do cafeicultor na data da venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples, e marque a resposta correta. a. R$ ,00 b. R$ ,00 c. R$ ,00 d. R$ ,00 2. Ao se dirigir ao trabalho, Patrícia costuma ler seu jornal preferido para aproveitar bem o tempo dentro do metrô. Dessa vez, enquanto lia a seção de classificados, um anúncio chamou sua atenção: Aparelho de MP3, 2gb, à vista por R$ 100,00 ou a prazo, com um único pagamento em 120 dias de R$ 108,70. Patrícia, então, resolveu testar os seus recentes conhecimentos de Matemática Financeira e calcular qual seria a taxa de juros utilizada para o pagamento a prazo, caso o regime de capitalização fosse simples. Qual foi a resposta que ela chegou? Marque a alternativa correta. a. 3,75% a.m. b. 2,2% a.m. c. 3,2% a.m. 10

11 d. 22,8% a.a. 3. O capital de R$ 9.200,00 foi colocado em regime de capitalização composta durante 21 meses. Qual é o montante se a taxa foi de 12% ao ano com capitalização trimestral? Marque a alternativa correta. a. R$ ,84 b. R$ ,48 c. R$ d. R$ ,84 4. Um título no valor de R$ 4.350,00 foi pago com 3 meses e 21 dias de atraso. Supondo que esse título prevê 2% de juro de mora, qual é o valor do juro pago sabendo que foi aplicada a convenção linear? Assinale a reposta correta. a. R$ 4.680,88 b. R$ 330,88 c. R$ 4.680,69 d. R$ 330,69 5. Um título no valor de R$ ,00 foi pago com 4 meses e 15 dias de atraso. Supondo que esse título prevê 1% de juro de mora, qual é o valor pago para o resgate do título sabendo que foi aplicada a convenção exponencial? Assinale a alternativa correta. a. R$ ,76 b. R$ 570,76 c. R$ 570,59 11

12 d. R$ ,59 Gabarito comentado Questão sacas x R$ 3.000,00 = R$ ,00 Após 3 meses, vendeu por R$ ,00 M = C (1 + i) n M = (1 + 0,05. 3) M = ,00 Prejuízo foi de , ,00 = ,00 Questão 2 M = C (1 + i. n) 108,70 = 100,00 (1 + i. 4) 1,087 = 1 + i i = 0,02175 a.m. ou i = 2,2% a.m. Questão 3 n = 21 m = 7 t i = 12% a.a. = 3% a.t. M = C (1 + i) n M = 9.200,00 (1 + 0,03) 7 M = ,84 Questão 4 f REG f CHS PV 111 ENTER 30 : n 2 i 12

13 FV 4350 Obs.: o indicador c não aparece no visor da máquina Questão 5 f REG f 2 STO EEX (visor c ligado) CHS PV 1 i 4.5 n FV 13

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