Taxa de juros efetiva mensal com encargos = ((45.000/ ) ^ (30/42)) - 1 = 5,32%

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1 1 Universidade de São Paulo Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade LISTA 3a - Disciplina de Matemática Financeira Professora Ana Carolina Maia Monitora Pg: Paola Londero / Monitor: Álvaro Lima Aluno: Matrícula: 1. Uma empresa concede um desconto por fora de 4% ao mês para os clientes que antecipam o pagamento de suas duplicatas. Certo cliente deseja antecipar o pagamento de um título de valor nominal $ ,00, com vencimento previsto para 45 dias. Determine o valor do desconto a ser concedido e o valor líquido a ser recebido pela empresa na operação. R.: $ 1.200,00; $ ,00. a) Desconto = Valor da Duplicata x ((Taxa de desconto comercial/30) x ndias) Desconto = x ((0,04/30) x 45) = Assim, o valor recebido foi ( ) = Uma nota promissória com vencimento no prazo de três meses é descontada a juros simples com uma taxa de desconto por fora de 24% ao ano, gerando um desconto comercial de $ 8.430,00. Caso fosse utilizada a mesma taxa, porém, com desconto racional, qual seria o valor do desconto correspondente? R: $ 7.952,83. a) Desconto Comercial $ 8.430; n = 90 dias; i = 24%a.a ou i = 6%a.t Valor da Nota Promissória = Desconto Comercial / ((n/360) x ia.a) Valor da Nota Promissória = / ((90/360) x 0,24) Valor da Nota Promissória = $ ,00 Desconto Racional ( por dentro ) = (Valor da Nota Promissória Desconto Racional) x (n/360) x ia.a Desconto Racional = ( Desconto Racional) x (90/360) x 0,24 Desconto Racional = ( Desconto Racional) x 0,06 Desconto Racional = (Desconto Racional x 0,06) 1,06 x Desconto Racional = Desconto Racional = 8.430/1,06 = $ 7.952,83 3. Uma pessoa deve para um banco a quantia de $ ,00. Não tendo os recursos para saldar o compromisso, pretende assinar duas notas promissórias de valores iguais, vencíveis em 45 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que o banco trabalha com uma taxa de desconto por fora de 5% ao mês, qual o valor das notas promissórias? R: $ ,03. a) Valor Futuro = $ ; n = 45 dias(1,5 meses) e 90 dias(3meses); i = 5%a.m Valor Futuro = Valor da Nota Promissória (Valor da Nota Promissória x i x n) + Valor da Nota Promissória (Valor da Nota Promissória x i x n) = VNP (VNPx0,05x1,5) + VNP (VNPx0,05x3) = VNP 0,075xVNP + VNP VNPx0, = 2VNP 0,225xVNP = 1,775xVNP VNP = /1,775 = $ ,03.

2 4. Calcule a taxa de desconto mensal, sabendo que a taxa de juros é 2,5% ao mês. A seguir, calcule a taxa de desconto mensal para uma operação de empréstimo de três meses com a mesma taxa de juros. R: 2,439% a.m.; 2,38% a.m. a) Taxa de desconto mensal = (1 (1/ (1+Taxa de Juros))) Taxa de desconto mensal = (1 (1/ (1+0,025))) = 2,439% a.m. b) Taxa de desconto mensal (3 meses)= (1 (1/ ((1+Taxa de Juros)^n)))/n Taxa de desconto mensal (3 meses)= (1 (1/ ((1+0,025)^3)))/3 = 2,38% a.m. 5. Uma duplicata para vencimento em 35 dias foi aceita pelo banco a uma taxa de desconto de 5,0% ao mês. Quanto foi depositado na conta do cliente, sabendo que o valor da duplicata é de R$ ,00? Qual a taxa de juros mensal cobrada pelo banco? R: R$ ,83; 5,29% a.m. a) Valor depositado = Valor da Duplicata x (1-((Taxa de desconto/30) x ndias) Valor depositado = x (1-((0,05/30) x 35) = R$ ,83 b) Taxa de juros mensal = ((Valor da Duplicata/ Valor depositado) ^ (30/ndias)) -1 Taxa de juros mensal = (( / ,83) ^ (30/37)) 1 = 5,29% a.m. 6. Uma duplicata de valor nominal $10.000, com vencimento daqui a 45 dias, foi descontada em um banco à taxa de desconto comercial de 2%a.m. O banco cobra adicionalmente, na data da liberação do recurso, despesas de cobrança de 1% do valor nominal. Pede-se: a) Qual o valor líquido recebido pelo cliente? b) Qual o custo efetivo da operação (em %a.m.)? R.: Va= $9.600,00; i= 2,759%a.m. a) Desconto = Valor da Duplicata x ((Taxa de desconto comercial/30) x ndias) + Valor da Duplicata x Taxa adicional Desconto = x ((0,02/30) x 45) + ( x 0,01) = 400 Assim, o valor recebido foi ( ) = b) Custo efetivo = FV = PV x (1+i)^n Custo efetivo = = 9,400 x (1+i)^(45/30) i= 2,759%a.m Custo efetivo, na HP 12C: N = 45/30 (ENTER); PV= (ENTER); FV = (ENTER); I =???? 7. Calcule quanto se recebeu pelo desconto de uma duplicata no valor de R$ ,00 para vencimento daqui a 42 dias, sabendo que o banco cobra uma taxa de desconto de 4,5% ao mês e taxa de administração de 0,5% ao mês. Calcule também a taxa de juros efetiva mensal cobrada pelo banco e a taxa de juros efetiva mensal considerando os encargos. R: R$ ; 4,76%a.m.;5,32% a.m. a) Valor depositado = Valor da Duplicata x (1 - ((Taxa de desconto/30) + (Taxa administrativa/30)) x ndias) Valor depositado = x (1 - ((0,045/30) + (0,005/30)) x 42) = $ b) Taxa de juros efetiva mensal = (1 / (1- ((Taxa de desconto/30) x ndias))) ^ (30/ndias)) 1 Taxa de juros efetiva mensal = (1 / (1- ((0,045/30) x 42))) ^ (30/42)) -1 = 4,76%a.m. c) Taxa de juros efetiva mensal com encargos = ((Valor da Duplicata/ Valor depositado) ^ (30/42)) - 1 2

3 Taxa de juros efetiva mensal com encargos = ((45.000/ ) ^ (30/42)) - 1 = 5,32% 3 8. Uma empresa tem três opções para captação de recursos: Desconto de duplicatas no Banco X com vencimentos em 90 dias à taxa de desconto comercial simples de 3,5%a.m.. O banco cobra também, na data da operação, despesas administrativas de 2,5% sobre o valor nominal dos títulos; Desconto de duplicatas no Banco Y com vencimento em 3 meses, à taxa de desconto comercial simples de 4%a.m.; Efetuar um empréstimo de capital de giro junto ao Banco Z, pelo prazo de 3 meses, à taxa de juros de 2%a.m.. O Banco cobra adicionalmente, na data do empréstimo, uma despesa de contrato de 10% sobre o valor do empréstimo. Quais são os custos efetivos mensais da operação com cada Banco? R.: ix= 4,751%a.m.; iy= 4,353%a.m.; iz= 5,646%a.m. Banco X = Custo Total (em 3 meses): 3,5% x 3 + 2,5% = 13% Sendo valor de face de 1 e o valor recebido de 0,87 (1,0 0,13 ) Custo Efetivo Mensal: Na HP 12C: N=3 (ENTER), PV = -0,87 (ENTER); FV = 1 (ENTER); i =??? n VF VP( 1 i) ,87(1 i) i 3 0,0475(4,75%) 0,87 Banco Y = Custo Total (em 3 meses): 4% x 3 = 12% Sendo valor de face de 1 e o valor recebido de 0,88 (1,0 0,12) Custo Efetivo Mensal: Na HP 12C: N=3(ENTER), PV = -0,88 (ENTER); FV = 1 (ENTER); i =??? n VF VP( 1 i) 1 i 1 0,88 3 0,88(1 ) i 3 0,04353(4,353 %) Banco Z = Custo Total (em 3 meses juros + taxa) Juros (em 3 meses): 1,02^3 1 = 0,06121 (6,121%) Sendo o valor futuro de 1 x 1,06121 e o presente de (1 (0,1x1) = 0,9 Custo Efetivo Mensal: Na HP 12C: N=3(ENTER), PV = 0,9(ENTER); FV = - 1,06121(ENTER); i =??? VF VP( 1 i) 1,06121 i n 1, ,9 3 0,9(1 ) i 3 0,05646(5,646 %) 9. Uma duplicata no valor de R$ ,00 vencível em 36 dias foi descontada em um banco por uma taxa de desconto de 4,5% ao mês e taxa de administração de 0,5% ao mês. Calcule quanto foi recebido pelo desconto das duplicatas e a taxa de juros efetiva mensal cobrada pelo banco, considerando todos os encargos inclusive impostos (1,5% a.a considerando n=365). R: R$ ,66; 5,43%a.m.

4 a) Valor depositado = Valor da Duplicata x (1 - ((Taxa de desconto/30) + (Taxa administrativa/30) + (Imposto/365) x ndias) Valor depositado = x (1 - ((0,045/30) + (0,005/30) + (0,015/365) x 36) Valor depositado = x (1 - ((0,0015) + (0, ) + (0, ) x 36) Valor depositado = x (1 0,061479) = R$ ,66 b) Taxa de juros mensal = ((Valor da Duplicata/ Valor depositado) ^ (30/ndias)) -1 Taxa de juros mensal = (( / ,66) ^ (30/36)) 1 = 5,43%a.m. 10. Uma empresa apresenta para desconto em um banco, três duplicatas no valor nominal de $ ,00, $ ,00 e $ ,00, cada uma. As duplicatas foram descontadas 37 dias, 66 dias e 98 dias, respectivamente, antes do seu vencimento. Sendo de 21,2% ao ano a taxa de desconto, calcular o valor do desconto bancário, o valor líquido liberado a empresa e a taxa efetiva mensal de juros desta operação, utilizando o prazo médio ponderado. R: D = $ 5.682,19; V = $ ,81 e i = 1,82% a.m. i = 21,2%a.a = 0,212/12 = 0, Desconto = Valor da Duplicata x ((Taxa de desconto comercial/30) x ndias) Desconto = x ((0, /30) x 37) Desconto = $ 413, Desconto = Valor da Duplicata x ((Taxa de desconto comercial/30) x ndias) Desconto = x ((0, /30) x 66) Desconto = $ 1.632,40 3. Desconto = Valor da Duplicata x ((Taxa de desconto comercial/30) x ndias) Desconto = x ((0, /30) x 98) Desconto = $ 3.635,80 Valor do desconto bancário = 413, , ,80 = 5.682,19 Prazo médio ponderado = ( / ) x 37 + ( / ) x 66 + ( / ) x 98 Prazo médio ponderado = 5, , , = 77, = aproximadamente 78 dias Taxa efetiva mensal de juros Valor da Duplicata = Valor Recebido x (1+i)^(n/30) = ,81 x (1+i)^(78/30) Custo Efetivo Mensal: Na HP 12C: N=78/30 (ENTER), PV = ,81 (ENTER); FV = (ENTER); i =??? i = 1,82% a.m. 11. Um banco desconta um título de valor nominal de $16.000,00, 80 dias antes de seu vencimento. Nesta operação, o banco cobra 39% ao ano de taxa de desconto por fora e 2% de despesa administrativa sobre o valor nominal. Calcular o valor líquido liberado ao cliente e a taxa efetiva mensal composta desta operação. R: V = $ ,33; i = 4,32% a.m i = 39%a.a = 0,39/12 = 0,0325 a) Valor depositado = Valor da Duplicata x (1 - ((Taxa de desconto/30) x ndias) - (Taxa administrativa x Valor da Duplicata) Valor depositado = x (1 - ((0,0325/30) x 80) - (0,02 x ) Valor depositado = x (1 - ((0,0325/30) x 80) - (0,02 x ) Valor depositado = , ,00 Valor depositado = , ,00 = $ ,33 b) Taxa de juros mensal = ((16.000/ ,33) ^ (30/80)) -1 Taxa de juros mensal = ((1, ) ^ (0,375)) 1 = 4,32% a.m 4

5 12. A taxa de desconto por fora do banco A é de 3,1% ao mês para operações com prazo de 90 dias. O banco B oferece uma taxa de desconto de 2,9% ao mês com prazo de 120 dias. Determinar qual banco está cobrando a maior taxa efetiva mensal de juros. R: Banco A: 3,31% a.m; Banco B: 3,13% a.m. 5 a) Banco A Valor depositado = Valor da Duplicata x (1 - ((Taxa de desconto/30) x ndias) Valor depositado = x (1 - ((0,031/30) x 90) Valor depositado = 907,00 Valor da Duplicata = Valor Recebido x (1+i)^(n/30) = 907 x (1+i)^(90/30) Custo Efetivo Mensal: Na HP 12C: N=90/30 (ENTER), PV = -907 (ENTER); FV = (ENTER); i =??? i = 3,31% a.m b) Banco B Valor depositado = Valor da Duplicata x (1 - ((Taxa de desconto/30) x ndias) Valor depositado = x (1 - ((0,029/30) x 120) Valor depositado = 884,00 Valor da Duplicata = Valor Recebido x (1+i)^(n/30) = 884 x (1+i)^(120/30) Custo Efetivo Mensal: Na HP 12C: N=120/30 (ENTER), PV = -884 (ENTER); FV = (ENTER); i =??? i = 3,13% a.m. 13. O desconto de uma duplicata de valor nominal de $ ,00 e com prazo de vencimento de 141 dias, produz um valor atual de $ ,00. Determinar a taxa de desconto por dentro e por fora desta operação. R: i = 3,93% a.m; d = 3,32% a.m. a) Taxa de desconto por dentro Valor da Duplicata = Valor Recebido x (1+i x n/30) = x (1 + i x 141/30) = x (1 + 4,7i) = i = i i = 3,93% a.m b) Taxa de desconto por fora Desconto = Valor da Duplicata x (i x n/30) = x (i x 141/30) = i i = 3,32% a.m. 14. O valor atual de um título é de $ ,30, sendo o valor de seu desconto racional, apurado a uma taxa de juros de 5,5% ao mês, igual a $ ,70. Determinar o número de dias que falta para o vencimento do título. R: 70 dias Desconto Racional ( por dentro ) = (Valor da Nota Promissória Desconto Racional) x (n/30) x ia.m ,70 = ,30 x (n/30) x 0, ,70 = 8.774,1115 x (n/30) 2,33308 = (n/30) N = 69, = Aproximadamente 70 dias

6 15. Um terreno é vendido nas seguintes condições: entrada de $80.000,00 mais 12 prestações mensais e iguais de $10.438,61. Se a taxa de juros cobrada no financiamento é 8% ao ano com capitalização mensal, qual o preço máximo para pagamento a vista? R: $ ,00 Cálculo do Valor Presente das parcelas mensais: i = 8% ao ano com capitalização mensal i = 8/12 = 0, % ao mês Na HP 12C: n = 12(ENTER); i = 0, % a.m. (ENTER); PMT = ,61(ENTER); FV = 0(ENTER); PV=?????? PV = Valor à vista = = Cristina tomou um empréstimo de $ com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: R: $ Na HP 12C: n = 2(ENTER); i = 9% a.t. (ENTER); PV = (ENTER); FV=(ENTER); PMT=???? PMT = $ Caio deseja comprar um carro novo, aproveitando o seu carro usado como entrada. Sabendo que o saldo a financiar é de $ ,68, que a taxa mensal de juros é de 2% pelo sistema de juros compostos e que o pagamento deve ser efetuado em 12 prestações iguais a primeira das quais 1 mês após a compra, qual a prestação? R: $2.000 Na HP 12C: n = 12(ENTER); i = 2% a.m (ENTER); PV = ,68(ENTER); FV=(ENTER); PMT=???? PMT = $ Uma operação financeira foi contratada com as seguintes condições: Prazo total da operação = 8 anos. Valor do Contrato = $ ,00; Taxa Efetiva de juros = 10% a.a.; Pagamentos em parcelas iguais. Pede-se: a) Qual o valor das parcelas se os pagamentos forem feitos mensalmente? R.:P= $74.735,25 b) Qual o valor das parcelas se os pagamentos forem feitos trimestralmente? R.:P= $ ,34 c) Se a instituição financeira conceder um período de carência de 2 anos e neste período cobrar no final de cada semestre apenas os juros correspondentes, pede-se: O valor das parcelas devidas durante o período de carência. A quantidade e o valor das parcelas iguais devidas após o período de carência, se os pagamentos forem mensais. R.: $ ,24; 72 meses (parcelas); $ , ( a) Taxa ao mês: 1 0,1) 1 0,007974(0,7974%) Período: 8 anos x 12 meses = 96 meses Na HP 12C, temos: n = 96(ENTER); i = 0,7974 (ENTER); PV = (ENTER); FV = 0 (ENTER); PMT =????? R.:P= $74.735,25 6

7 3 12 ( b) Taxa ao trimestre: 1 0,1) 1 0, (2,41137 %) Período: 8 anos x 4 trimestres = 32 trimestres Na HP 12C, temos: n = 32(ENTER); i = 2,41137(ENTER); PV = (ENTER); FV = 0(ENTER); PMT =????? R.:P= $ , c) Taxa ao semestre: ( 1 0,1) 1 0, Período: 0, x = ,24 (parcela semestral) R.: $ ,24 Quantidade = 6 anos x 12 meses = 72 meses (parcelas) R.: 72 meses (parcelas) Na HP 12C, temos: n = 72 (ENTER); i = 0,7974(ENTER); PV = (ENTER); FV = 0 (ENTER), PMT=????? R.: , O preço de um automóvel novo é $ Um comprador deu o seu automóvel usado como entrada e financiou a diferença em 12 prestações mensais de $1.353,90. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 5%a.m., qual foi o valor pago pelo automóvel usado? R: $ PV = (preço do automóvel novo - preço do automóvel usado) PV = ( x) onde x é o valor do carro usado. Na HP 12C, temos: n = 12(ENTER); i = 5(ENTER); PMT = 1.353,90(ENTER); VF = 0(ENTER); PV =???????? PV = ,96 (aproximando ) Logo, PV = ( x) = x x = valor do carro usado = Quanto deve aplicar hoje um investidor à taxa de juros de 8%a.m. para que possa efetuar as seguintes retiradas: a) Dez (10) prestações mensais de $7.000 cada, vencendo a primeira de hoje a um mês b) Seis (6) parcelas trimestrais de $ cada, vencendo a primeira 3 meses após o término da seqüência de retiradas mensais. R.: PV= $71.039,68 Como temos duas sequências de retiradas, devemos achar o valor a ser depositado hoje, para que as retiradas sejam possíveis, assim temos: Sequência de pagamentos mensais: Na HP 12C: n=10(enter); i =8(ENTER); PMT=7.000(ENTER); VF=0(ENTER); PV=???????? PV=46.970,57 (VP na data 0) Sequência de pagamentos trimestrais: (devemos calcular a taxa equivalente trimestral: 1, = 0,2597). Assim: Na HP 12C: n = 6(ENTER); i =25,9712 (ENTER); PMT=18.000(ENTER); VF= 0(ENTER); PV =???????? PV = ,39 (PV na data 10) Repare que o PV encontrado refere-se ao valor no mês 10. Para encontrar o valor na data zero fazemos: ,39 / (1,08)^10 Com isso, PV na data zero é ,10 O valor total a ser depositado é , = , Uma pessoa deve 24 prestações mensais de $300,00 cada uma, vencendo-se a primeira no final do 3º mês. Esta pessoa deseja trocar estes pagamentos por 6 7

8 pagamentos quadrimestrais, iguais e sucessivos, vencendo-se o primeiro no final do 4º mês. Se a taxa de juros é de 4% ao mês, o valor das novas parcelas será qual? R: $ 1.177,83 Cálculo do Valor Presente das parcelas restantes: Na HP 12C: n = 24(ENTER); i = 4% a.m(enter); PMT = 300,00(ENTER); FV = 0; PV =???? PV = 4.574,09 (ao final do segundo mês) Na HP 12C: n = 2(ENTER); i = 4% a.m. (ENTER); PMT = 0,00(ENTER); FV = 4.574,09(ENTER); PV=???? PV = 4.229,00 (na data 0) Cálculo das novas parcelas: Como as parcelas serão quadrimestrais, será necessário calcular a taxa ao trimestre: i = 4% a.m. i = {[(1 + 0,04)^4]-1} x 100 i = 16,9858% ao quadrimestre Na HP 12C: n = 6(ENTER); i = 16,9858%(ENTER); PV = 4.229,00(ENTER); FV = 0(ENTER); PMT =???? PMT = 1.177, A Magazine Isalbella recebeu um financiamento, para pagar por meio de uma anuidade postecipado, constituída por 20 prestações semestrais iguais no valor de $ , cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue como financiador uma redução da taxa de juros, de 15% para 12% ao semestre, e um aumento no prazo restante da anuidade de 10 para 15 semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento R: $ Original Na HP 12C: n = 20(ENTER); i = 15% a.s. (ENTER); PMT = (ENTER); PV=???? PV = ,29 Na HP 12C: n = 10(ENTER); i = 15% a.s. (ENTER); PMT = (ENTER); PV=???? PV = ,73 Novo Na HP 12C: n = 15(ENTER); i = 12% a.s. (ENTER); PV = ,73(ENTER); PMT=???? PMT = $ Exercícios retirados: Bueno, R. de L. da S., Rangel, A. de S., Santos, J. C. de S. (2011). Matemática Financeira Moderna. São Paulo: Cengage. Broverman, S. A. (2010) Mathematics of Investiment and Credit. 5th Edition. Actex Academic Series.