MATEMÁTICA FINANCEIRA

Transcrição

1 Unidade I MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Luiz Felix

2 Matemática financeira A Matemática Financeira estuda o comportamento do dinheiro ao longo do tempo. Capital é o valor principal de uma operação, ou seja, do dinheiro em um momento inicial.

3 Juros Juros são a correção monetária em espécie ou o valor acrescido pela taxa de juros. A soma do capital com os juros é chamada de montante.

4 Abreviaturas

5 Taxa de juros A taxa de juros, simbolizada pela letra i, pode se apresentar na forma percentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária (exemplo: 0,11). Taxa Percentual 40% a.m. 4% a.a. 24,5% a.d. Transformação ,5 100 Taxa unitária 0,40 a.m. 0,04 a.a. 0,245 a.d.

6 Taxas de juros: exercícios Passe para a forma unitária os seguintes valores: 0,5% a.a. 0,005 a.a. 2% a.s. 0,02 a.s. 17,5% a.d. 0,175 a.d. Passe para a forma percentual os seguintes valores: 0,003 a.b. 0,3% a.b. 0,04 a.m. 4% a.m. 0,18 a.d. 18% a.d.

7 Taxas de juros: exercícios Um gerente de um banco emprestou R$ 5.000,00 pelo prazo de 50 dias. Ao assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver R$ 5.250, a) Qual o juro? Montante = Capital + Juro ou M = C + J 5250 = J = J J = 250 b) Qual a taxa unitária de juro? i = J i = 250 i = 0,05 em 50 dias C 5000 c) Qual a taxa percentual de juro? i = 0,0505 x 100 = 5% em 50 dias

8 Taxas de juros: exercícios Um bolo é vendido por R$ 35,00. Se seu preço fosse acrescido de 15%, quanto o bolo passaria a custar? Calculando 15% de R$ 35,00; temos: = 0, = 5, Somando R$ 5,25 ao preço original do bolo, temos: Novo preço: R$ 35,00 + R$ 5,25 = R$ 40,25

9 Juros simples Os juros de cada período incidem sobre o capital inicial aplicado: juros não rendem juros. Crescimento linear ou em progressão aritmética. Poucas são as operações financeiras e comerciais.

10 Juros simples Para um entendimento do sistema de capitalização simples, vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano.

11 Juros simples: taxas equivalentes Resumidamente, é a forma de igualarmos taxas em períodos diferentes. Exemplos: Transformar 2% a.m. em taxa semestral 2 x 6 = 12% a.s. Transformar 10% a.s. em taxa trimestral 10 / 2 = 5% a.t. Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo.

12 Juros simples: exercícios de taxas equivalentes Qual a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre? Resposta: 8/2 = 4% ao mês Qual a taxa anual equivalente a 3% ao semestre? Resposta: 3 * 2 = 6% ao ano Qual a taxa bimestral equivalente a 12% ao ano? Qual a taxa bimestral equivalente a 12% ao ano? Resposta: 12/6 = 2% ao bimestre

13 Interatividade Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? a) 0,16% ao ano. b) 0,5% ao ano. c) 6% ao ano. d) 12% ao ano. e) 24% ao ano.

14 Juros simples: fórmulas J = C. i. n Em que: J = juros C = capital i = taxa de juros n = período M = C + J ou M = C.(1 + i.n) Em que: M = montante

15 Juros simples: exemplo Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao fim dessa aplicação? Resolução incorreta C = 3000 i = 2% am a.m. n = 5 meses J =? M =? J = C.i.n M = C + J J = M = J = M = J = R$ , M = R$ ,00

16 Juros simples: exemplo Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 5 meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao fim dessa aplicação? Resolução correta C = 3000 i = 2% am a.m. n = 5 meses J =? M =? J = C.i.n M = C + J J = , M = J = 300 M = 3300 J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00300

17 Juros simples: exemplo Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros para o período? Resolução incorreta C = 1500 n = 2 meses i = 10% ab a.b. J=? J = C.i.n J = ,1. 2 J = 300 J = R$ 300,00

18 Juros simples: exemplo Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros para o período? Resolução correta C = 1500 n = 2 meses i = 10% a.b. 10 / 2 = 5% a.m. J=? J = C.i.n J = , J = 150 J = R$ 150,0000

19 Juros simples: exemplo Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a juros simples, para obter R$ 6.000,00 de juros em 4 meses. C =? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses J = C.i.n 6000 = C. 0, = C. 0, = C 0,24 C = C = R$ ,00

20 Juros simples: exemplo Uma empresa tomou R$ 3.500,00 emprestado para pagar dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5,5% 5%a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. C = 3500 n = 7 meses i = 5,5% a.m. M =? M=C(1+in) i.n) M = 3500 (1 + 0,055. 7) M = 3500 (1 + 0,385) M = 3500 (1,385) M = 4847,50 M = R$ 4.847,50

21 Juro exato e juro comercial Juro exato: utiliza o calendário do ano civil com 365 dias. Juro comercial: admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelo critério de juros simples, a taxa diária de: a) Juro exato: 30% = 0,082191% ao dia 365 dias b) Juro comercial: 30% = 0,083333% ao dia 360 dias

22 Fluxo de caixa Linha horizontal é a escala do tempo. Demais pontos representam outros períodos de tempo (datas). Entradas de Caixa ( + ) R$ 700,00 R$ 300,00 tempo R$ 500,00 R$ 600,00 Saídas de Caixa ( - )

23 Interatividade Calcular os juros simples de uma aplicação de R$ 1.200,00 a uma taxa de 13% a.t. por quatro meses e quinze dias. a) R$ 150,00 b) R$ ,00 c) R$ 702,00 d) R$ ,00 e) R$ 234,00

24 Desconto simples racional ou por dentro Assume os conceitos e as relações básicas de juros simples. D r é o valor do desconto racional. V r é o valor descontado racional (ou valor atual). N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante). D r = N V r N = V r.(1 + i.n)

25 Desconto simples racional ou por dentro Seja um título de valor de R$ 3.500,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 48% a.a. a a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado. D r (valor do desconto) V r (valor descontado) i = 48% a.a = 4% a.m N valor nominal = 3500 N = V r.(1 + i.n) D r = N V r 3500 = V r.(1 + 0,04.2) D r = , = V r.(1 + 0,08) D r = 259, = V r.(1,08) V r = 3500 / 1,08 = 3240,74

26 Desconto bancário ou comercial ou por fora A modalidade de desconto por fora é amplamente adotada pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo. D F é o valor do desconto V F é o valor descontado por fora N é o valor nominal d é a taxa de desconto por fora n é o prazo definido D F =N. d. n V F = N.(1 d.n)

27 Desconto bancário ou comercial ou por fora Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de R$ 100,00 descontada 60 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 0,2% ad? a.d.? d = 0,2% a.d. n = 60 dias N = 100 D F =? D F =N. d. n D F = , D F =12 D F = R$ 12,00

28 Juros compostos Juros de cada período incidem sobre o capital do início do período (saldo): juros rendem juros. Crescimento exponencial ou em progressão geométrica. É o mais comum no sistema financeiro.

29 Juros compostos Para um entendimento do sistema de capitalização composto, vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano.

30 Juros compostos: fórmula M = C.(1 + i) n Em que: M = montante C = capital i = taxa de juros n = número de períodos

31 Juros compostos: exemplo Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o total de juros efetuados? C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses M=C(1+i) C.(1 n M = 6000.(1+0,02) 3 M = 6000.(1,02) 02) 3 = , = 6367,20 M = C + J 6367,20 = J J = 6367, = 367,20 O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20

32 Juros compostos: exemplo Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano? M = i = 2,5% a.m. n = 12 meses M = C.(1 + i) n 3500 = C.(1+0,025) = C.(1,025) = C.1,3449 C = 3500 = 2.602,42 1,3449 O capital foi de R$ 2.602,42

33 Interatividade Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? a) R$ 4.140,00 b) R$ 5.065,90 c) R$ ,00 d) R$ 4.245,45 e) R$ 5.040,65

34 Juros compostos: taxas equivalentes Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de tempo. i q = (1 + i) q 1 i =(1+i) q 1/q 1 q = número de períodos de capitalização Lembrete: q 1+ i 1 = (1 + i) 1/q 1

35 Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2,3% a.m.? Mês Anual i q = (1 + i) q 1 1 mês 12 meses i q = (1 + 0,023) 12 1 i q = (1,023) 12 1 i q = 1, i q = 0,3137 Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual i q = 0, i q = 31,37% a.a.

36 Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa para 23 dias equivalente a 0,14% a.d.? Dia Dias i q = (1 + i) q 1 1 dia 23 dias i q = (1 + 0,0014) 23 1 i q = (1,0014) 23 1 i q = 1, i q = 0,0327 Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual i q = 0, i q = 3,27% para 23 dias

37 Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 7,45% a.t.? Trimestre Anual i q = (1 + i) q 1 1 trimestre 4 trimestres i q = (1 + 0,0745) 4 1 i q = (1,0745) 4 1 i q = 1, i q = 0,3329 Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual i q = 0, i q = 33,29% a.a.

38 Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 34% a.a.? Mês Anual i q = (1 + i) 1/q 1 12 meses 1 ano i q = (1 + 0,34) 1/12 1 i q = (1,34) 1/12 1 i q = 1, i q = 0,0247 Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual i q = 0, i q = 2,47% a.m.

39 Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Cálculo de (1,34) 1/12 = 1,0247 Na HP: Vamos trabalhar com 4 casas decimais: f 4 1,34 ENTER 12 1/x y x 1,0247 Na calculadora do computador: Chamar a calculadora Clicar em exibir e selecionar científica Dividir 1 por 12, resultado: 0, ,34 x y 0,08333 = 1,0247 Em calculadoras científicas com símbolo ^ Utilizar o símbolo ^ 1,34 ^ 0,08333 = 1,0247

40 Juros compostos: exercícios Taxas equivalentes Em juros compostos, qual a taxa diária equivalente a 9,5% a.a.? Dia Ano i q = (1 + i) 1/q dias 1 ano i q = (1 + 0,095) 1/360 1 i q = (1,095) 1/360 1 i q = 1, i q = 0, Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual i q = 0, i q = 0,0252% a.d.

41 Interatividade Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s.? a) 10,39% a.m. b) 5,50% a.m. c) 7% a.m. d) 4,43% a.m e) 15% a.m.

42 ATÉ A PRÓXIMA!