5 Séries de Pagamentos

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1 5 Séries de agamentos Agora vamos estudar as operações financeiras que envolvem pagamentos ou recebimentos parcelados. Consideremos os pagamentos, 2,, n nas datas, 2,, n, respectivamente de um Valor resente (V). Deste modo definimos uma série de pagamentos como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou prestações, de mesmo valor, divididos regularmente num período de tempo. 5. Diagrama de Fluxo de Caixa Fluxo de caixa é uma sucessão temporal de entradas e de saídas de dinheiro no caixa de uma entidade. As convenções utilizadas para a elaboração de gráficos de fluxos de caixa são as seguintes: Escala Horizontal expressa unidade temporal, podendo ser: dias, semanas, meses, anos etc.; Setas para baixo consistem em entrada ou recebimento de dinheiro; Setas para cima consistem em saídas ou pagamentos. Uma operação financeira envolve duas partes (o credor e o tomador) com fluxos de caixa absolutamente simétricos. A que é entrada de caixa para uma das partes, é saída de caixa para a outra e vice-versa. ) O preço à vista da geladeira é R$.500,00, mas o pagamento pode ser financiado em quatro parcelas iguais mensais de R$ 400,00. Se você faz a compra e opta pelo financiamento, você terá quatro desembolsos mensais sucessivos de R$ 400,00. A loja terá quatro entradas mensais de $ 400,00. Tanto para você como para a loja esse fluxo de caixa é equivalente a $.500,00 na data 0. Você paga 4 parcelas mensais A loja recebe 4 pagamentos mensais Exercícios ) Uma loja vende um eletrodoméstico nas seguintes condições: uma entrada de R$ 200,00 e mais dois pagamentos em 30 e em 60 dias no valor de R$ 250,00 cada. Construa o fluxo de caixa dessa operação para o comprador e para a loja. Compare os dois fluxos de caixa. 2) Um empréstimo no valor de R$ 5000,00 deve ser pago daqui a três meses, sendo o valor do juro R$ 500,00. Construa os fluxos de caixa para o emprestador e para o tomador do empréstimo. 5.2 Séries de agamentos (ostecipados) Caracterizam-se as operações postecipadas como sendo aquelas em que o vencimento da ª prestação é no final do período. Um termo de mercado, por exemplo, para esta operação é: a primeira só em 30 dias.

2 Dado um conjunto de valores monetários chamados de pagamentos R referente a data, R 2 referente a data 2, e assim por diante até o valor R n referente a data n, a serie de pagamentos é o somatório de todos R j pagamentos no tempo presente (antes de iniciar os pagamentos). V = R + R + + R n + R n Do regime de capitalização composto, a uma taxa i, sabemos que: R j = j ( + i) j sendo j =, 2,, n, n, onde é o pagamento na data, 2 é o pagamento na data 2, e assim por diante até o valor n é o pagamento na data n. Assim o Valor resente desse conjunto, ao valor indicado por V, que, aplicado à taxa i, é igual ao somatório de todos pagamentos (acrescido de juro), 2,, n, isto é: V = + i + 2 ( + i) n ( + i) n + n ( + i) n A ilustração acima mostra a compra de um bem no instante zero e suas prestações vencendo ao final do º período. s 2) Uma pessoa tem dívidas de R$ 2000,00, R$ 3500,00 e R$ 5000,00 que vencem dentro de 2, 5 e 6 meses, respectivamente. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos e à taxa de % ao mês para poder pagar os compromissos? : O valor que deve ser aplicado hoje, para fazer frente aos compromissos, corresponde ao valor presente dos compromissos à taxa de % ao mês e vale: V = 2000 (,0) (,0) (,0) 6 = 2000, , , = 960, , , ,95 ortanto o valor a ser aplicado é R$ 0000,95. 3) Geraldo tomou um empréstimo de R$ 300,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, Geraldo pagou R$ 50,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento? : Os esquemas de pagamento a seguir são equivalentes. Logo, R$ 300,00 na data 0 (zero) têm o mesmo valor de R$ 50,00 dois meses depois, mais um pagamento igual a, na data 3. Isso é representado assim: ara resolver o problema, devemos igualar os valores pagos e recebidos, em uma mesma época. O valor 300 já está referido à época 0. O valor 50 deve retroceder dois meses; para isso devemos dividi-lo por ( + i) 2. O valor, que devemos retroceder três meses, deverá ser dividido por ( + i) 3. Como i = 0,5, obtemos: 300 = 50 (,5) 2 + (,5) 3 Daí, multiplicando todos os termos por (,5) 3 =,520875, obtemos: 300 (,5) 3 = 50, , = 50, ,2625 = 72,5 + = 456, ,5 = 283,7625 O último pagamento foi de R$ 283,76.

3 5.2. Seqüência uniforme de pagamentos Consideremos um valor financiado V que deve ser pago em prestações iguais de valor nas datas, 2, 3,..., n e (ou seja, = 2 = = n ) suponhamos que a taxa de juros compostos cobrada no financiamento seja i por período de tempo. Chamamos esse conjunto de seqüencia uniforme de pagamentos. 4) Um conjunto de sofás é vendido a prazo em 5 prestações mensais de R$ 400,00 cada uma, sendo a primeira um mês após a compra. Se o pagamento for à vista, o preço cobrado é R$ 750,00. Qual a melhor alternativa de pagamento de um comprador que consegue aplicar seu dinheiro a juros compostos, à taxa de juros compostos igual a 2% ao mês? ara podermos comparar as duas alternativas, temos de obter o valor presente das duas alternativas e escolher a de menor valor presente. O valor atual do pagamento a prazo é dado por: V = 400 (,02) (,02) (,02) (,02) (,02) 5 = = 400, , , , , = 392, , , , ,29 885,39 o valor atual do pagamento à vista é R$ 750,00. Como o valor atual do pagamento à vista é menor do que o valor atual do pagamento a prazo, a melhor alternativa é o pagamento à vista. Teorema : O Valor resente (V) de uma serie de capitais uniformes postecipados de n, valores iguais (), onde i é a taxa de juros composto, é igual a: V = ( ( + i) n) i Demonstração: ode-se verificar que o valor presente equivalente a uma série de pagamentos na: V = + i + ( + i) ( + i) n + ( + i) n Multiplicando os dois lados da igualdade por ( + i), temos: V( + i) = + + i + ( + i) ( + i) n 2 + ( + i) n Assim V( + i) V = ( + i) n Vi = ( ( + i) n) V = ( ( + i) n) i ara demostrar esse teorema podemos usar a fórmula da soma dos primeiros n termos de uma rogressão Geométrica. 5) Como poderíamos calcular o somatório do exemplo (4) Segundo o Teorema, temos: 400 V = ( (,02) 5) 0,02 = ( ) ( 0,90573)20000, , , Como calcular o valor da parcela em uma seqüência uniforme de pagamentos

4 Corolário : O valor da parcela de uma serie de capitais uniformes postecipados de n com o Valor resente V, onde i é a taxa de juros composto, é: = Vi ( + ( + i) n ) Demonstração: elo Teorema temos V = ( (+i) n) logo i = Vi ( ) = Vi ( (+i)n ) = Vi + (+i) n (+i) n ((+i)n ). ortanto = Vi ( + (+i) n (+i) n ) 5) Um televisor, cujo preço à vista é R$.200,00, é vendido em 8 prestações mensais iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra. Se os juros são de 9% ao mês, determine o valor das prestações. Os dois esquemas de pagamento aqui representados são equivalentes: Igualando os valores na época 0 (zero), obtemos: 200 =,09 +,09 2 +,09 3 +,09 4 +,09 5 +,09 6 +,09 7 +,09 8 elo corolário do teorema temos: = 200 0,09 ( +,09 8 ) = 08 ( +,09 8) 08 ( +, ) = 08 ( + ) 08( +, ) 08 2, , Logo 26, ortanto que cada prestação na compra a prazo será de R$ 26,8. Exercícios ) Jussara deveria efetuar seis pagamentos mensais sucessivos, de R$ 50,00 cada. Renegociou a dívida, para efetuar apenas dois pagamentos iguais, nas épocas do segundo e do quinto pagamentos. Se a taxa de juros é de 0% ao mês, qual o valor desses novos pagamentos? Sugestão: Transfira tudo para a época do º pagamento. Na primeira opção esse valor seria de: Faça o mesmo com a segunda opção e iguale os dois resultados. 2) Uma loja, no Rio de Janeiro, oferecia, no Natal, as alternativas de pagamento: a) pagamento de uma só vez, um mês após a compra; b) três pagamentos mensais iguais sem juros, o primeiro no ato da compra. Se você fosse cliente dessa loja e o dinheiro valesse para você 0% ao mês, qual seria sua opção? 3) Qual o valor das prestações que serão pagas mensalmente, se uma TV que custa R$ 690,00 à vista, fosse vendida em 0 vezes, a taxa de juros de 5% a.m.? 4) Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, a juros compostos c à taxa de,4% a.m., para poder pagar uma dívida de R$ 3600,00 daqui a 3 meses e outra de R$ 8700,00 daqui a 5 meses?

5 5) Quanto custou à vista uma mercadoria que foi comprada em oito vezes, a taxa de 3,7%a.m e prestações mensais, consecutivas e postecipadas de R$733,47? 6) O preço à vista de um automóvel é R$ 8000,00, mas pode ser vendido a prazo com 20% de entrada mais 5 prestações mensais de R$ 3000,00 cada uma. Qual a melhor alternativa de pagamento para um comprador que aplica seu dinheiro a juros compostos à taxa de,6% a.m.? 7) Um microcomputador é encontrado à venda em duas condições de pagamento; a) em 3 prestações mensais de R$ 024,00 cada uma, sem entrada; b) em 4 prestações mensais de R$ 778,00 cada uma. sem entrada. c) Qual a melhor alternativa de pagamento para um comprador que aplica seu dinheiro a juros compostos e à taxa de % a.m.?