ENGENHARIA ECONÔMICA. Capítulo 6 Séries Uniformes. Prof. Msc. Roberto Otuzi de Oliveira. Três objetivos do capítulo

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1 ENGENHARIA ECONÔMICA Prof. Msc. Roberto Otuzi de Oliveira Capítulo 6 Séries Uniformes Três objetivos do capítulo Entender o DFC em séries Saber diferenciar séries postecipadas e antecipadas Compreender os cálculos envolvendo séries uniformes 1

2 Conceito de Séries Sequência de pagamentos ou recebimentos em datas futuras, como contrapartida de recebimento ou aplicação a valor presente. Tipos de séries Uniformes Valores nominais iguais Não uniformes Valores nominais diferentes Classificação das séries Antecipadas Com entrada s 1 + 2, 1 + 5, 1 + Postecipadas Sem entrada s 2x, 5x, 6x 2

3 Séries Uniformes Postecipadas n (1 i) 1 VP PMT n i(1 i) Uma pessoa obteve empréstimo de R$ ,00, para ser pago em 8 prestações iguais, com juro composto de 8% ao mês. Qual o valor de cada prestação? 8 (1,08) PMT 8 0,08(1,08) Resolvendo: PMT = R$ 1.740,15 Séries Uniformes Capitalização Por dedução semelhante a anterior: VFPMT (1i) n 1 i Usando a HP [n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal g Beg ou g End 3

4 Usando a HP 7 BEG Begin = Começo Antecipado Com entrada Flag no visor 8 END End = Final Postecipado Sem entrada Sem Flag na HP +$1.000, Sem entrada ou POSTECIPADA em inglês END i= 4% a.m. -PMT [f] [Reg] 1000 [PV] 4 [n] 4 [i] [g] [END] [PMT] $ 275,49 E se os pagamentos fossem Com entrada 4

5 Séries Uniformes Antecipadas VP n (1 i) 1 PMT n- i(1 i) 1 Uma pessoa obteve empréstimo de R$ ,00, para ser pago em 8 prestações iguais, com entrada e juro composto de 8% ao mês. Qual o valor de cada prestação? 8 (1,08) PMT 7 0,08(1,08) Resolvendo: PMT = R$ 1.611,25 Usando a HP [f] Reg [CHS] [PV] 8 [i] 8 [n] g [BEG] (com entrada) [PMT] 1.611,25 Um equipamento é anunciado por $ 600,00 à vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo: 4 x sem entrada 5

6 Solução do +600, PMT Taxa igual a 2% a.m. Sem entrada Na HP 12C: g END [f] [Reg] 600 [PV] 4 [n] g [END] 2 [i] [PMT] -157,57 Um equipamento é anunciado por $ 600,00 à vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo: x Solução do +600, PMT Taxa igual a 2% a.m. Com entrada Na HP 12C: g BEG [f] [Reg] 600 [PV] 4 [n] g [BEG] 2 [i] [PMT] -154,48 6

7 Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5.000,00, pelo regime de juros compostos. Solução do [f] Reg 5000 [FV] 4 [i] 7 [n] g [END] (sem entrada) [PMT] 633,05 Uma empresa necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ ,00, e acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitos mensais de R$ 500,00, ela terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: a empresa vai conseguir acumular o valor que precisa? 7

8 [f] Reg 500 [CHS] [PMT] 0,8 [i] 60 [n] g [BEG] (com entrada) [FV] 38618,43 Ainda sobrará dinheiro Um produto é comercializado à vista por R$ 1.750,00. Uma outra alternativa seria financiar este produto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações deste financiamento. Usando a álgebra Postecipadas Para calcular o prazo: n= - {ln[1 (VP/PMT).i)]/ln(1+i)} Onde: ln = logaritmo neperiano 8

9 Usando HP 12C [f] Reg 1750 [PV] 175,81 [CHS] [PMT] 3 [i] g [END] (sem entrada) [n] 12 Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinado tempo observou-se que o saldo da conta era de R$ ,62. Considerando uma taxa média de poupança de 0,08% ao mês, determine quantos meses de depósito este poupador efetuou. Usando a álgebra Postecipadas Para calcular o prazo: n= - ln[(vf.i/pmt)+1]/ln(1+i) Onde: ln = logaritmo neperiano 9

10 Usando HP 12C [f] Reg 30032,62 [FV] 150 [CHS] [PMT] 0,08 [i] g [END] (sem entrada) [n] 186 Um produto custa à vista R$ 1.500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$ 170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? Usando a álgebra Antecipadas Para calcular o prazo: n= - {ln[1 (VP.i/PMT(1+i)]/ln(1+ i)} Onde: ln = logaritmo neperiano 10

11 Usando HP 12C [f] Reg 1500 [PV] 170,72 [CHS] [PMT] 3 [i] g [BEG] (com entrada) [n] 10 Perpetuidades Esta série ou anuidade se chama assim porque os fluxos de caixa são perpétuos. Por esta razão, obviamente, não podemos avaliá-las descontando todos os fluxos de caixa e nem tão pouco aplicando a fórmula diretamente. Felizmente, a avaliação é extremamente simples, e isto pode ser visto com um pouquinho de matemática. Perpetuidades 1) Séries de pagamentos uniformes e infinitas VP PGTO 0 1 n VP = PGTO i VP g PGTO 0 1 n VP = PGTO i- g 11

12 Uma loja comercial tem apresentado receita média anual de R$ ,00. Sabendo-se que possui potencial de crescer em média 5% ao ano o faturamento no futuro, qual o valor do negócio para uma taxa de juros de 10%? VP = ,00 0,10 0,05 VP = R$ ,00 O pedágio de uma rodovia estadual arrecada em média $ /mês. Calcular o valor presente dessas rendas, considerando um custo de capital de 2% a.m. VP = ,00 0,02 VP = R$ ,00 Exercícios 1. Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês? R: R$ 115,49 2. Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5.000,00, pelo regime de juros compostos. R: R$ 633,05 3. Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança, considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado após este período? R: R$ ,32 12

13 Exercícios 4. Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine o preço à vista desta mercadoria. R: R$ 688,80 5. Um automóvel que custava à vista R$ ,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais; sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensal deste financiamento. R: R$ 697,22 6. Uma pessoa quer efetuar oito depósitos mensais numa conta que paga juros de 1% a.m., para retirar 18 parcelas mensais de $ 1.500,00, fazendo a primeira retirada um mês após o último depósito. Quanto deverá depositar mensalmente? R: R$ 2.968,67 Exercícios 7. Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ ,00, e acredita que, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitos mensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, em média, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular o valor que precisa? R: R$ ,43 8. Uma pessoa efetuou 18 depósitos mensais de R$ 1.500,00, numa conta que paga juros de 1% a.m., para retirar 18 parcelas mensais, fazendo a primeira retirada um mês após o último depósito. Quanto poderá retirar mensalmente? R: R$ 1.794,22. Exercícios 9. Uma pessoa chega à loja, vê a mercadoria de R$ 422,52 e faz uma proposta ao vendedor, dizendo que pode pagar R$ 40,00 por mês, com a primeira um mês depois. Se a loja cobra uma taxa de juros de 4% a.m., quantas prestações a pessoa deverá pagar? R: Deverá pagar 14 prestações. 10. Uma mercadoria deve ser paga em 6 prestações bimestrais de R$ 180,00, com a primeira de entrada. Sabendo que a taxa de juros é de 9% a.b., qual seria o valor de cada prestação se fosse paga em 11 prestações mensais, sem entrada? R: Cada prestação seria de R$ 102,66. 13

14 Exercícios 11.Uma pessoa efetuou 10 depósitos mensais de R$ 120,00, numa conta que estava sem saldo há 3 meses, recebendo juros de 0,7% a.m. Qual foi seu saldo no momento do último depósito? R: O saldo será R$ 1.238, Uma pessoa entrou numa loja, viu a mercadoria que gostaria de ter em casa, ao preço de R$ 446,74, e disse à vendedora poder pagar R$ 35,00 por mês, sendo a primeira no ato. Sabendo que a loja cobra juros de 6% a.m., quantas prestações deverá pagar? R: Deverá pagar 22 prestações mensais. 13. Quantos depósitos mensais de R$ 130,00 uma pessoa deve realizar a partir de hoje para ter, um mês após o último depósito, o saldo de R$ 962,41, se receber juros de 1,4% a.m.? R: Deverá realizar 7 depósitos mensais. Exercícios 14. Pelo processo de previsão de demanda de nossa empresa, teremos que montar uma nova planta industrial, cujo valor estimado ao final de 5 anos é de $ ,00. Sabendo-se que anualmente poderemos reter de nossos lucros a importância de $ ,00 que serão aplicados a uma taxa de 30% a.a., quanto deveremos tomar emprestado na época da compra? Determinar, para a taxa de 35% a.a., quanto deverá ser pago anualmente pelo empréstimo em 5 parcelas, vencendo cada uma delas ao final dos 5 anos subsequentes. R: $ ,00 e $ ,90. Exercícios 15. Para evitar dificuldades na produção, foi proposta uma modificação em um produto que iria requerer gastos imediatos de $ ,00 para a modificação de certas ferramentas. Considerando-se uma taxa de 25% a.a., responda: a) Que economias anuais deverão ser feitas para recuperar essa despesa em 5 anos? b) Se recuperarmos $ ,00 por ano, serão suficientes para repor o dinheiro? Justifique. c) Se os valores não se alterarem e se fosse possível aguardar para fazer o investimento daqui a 3 anos, considerando-se a mesma taxa, quanto teríamos que economizar em cada um dos 3 próximos anos, anualmente, para quitá-lo à vista? R: $ ,35 e $ ,01. 14

15 Exercícios 16. Para fazer uma doação, que paga $ por ano, para sempre, quanto dinheiro deve ser reservado hoje se a taxa de juros é 10%? R: R$ , A Companhia de Seguro Bob s Life Co. está tentando lhe vender uma apólice que renderia a você e a seus herdeiros $ por ano, para sempre. Se a taxa de retorno exigida nesse investimento igual a 8% a.a., quanto você pagaria pela apólice? R: R$ ,00 15