Matemática. Elementar II Caderno de Atividades

Transcrição

1 Matemática Elementar II Caderno de Atividades Autor Leonardo Brodbeck Chaves 2009

2 2008 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. C512 Chaves, Leonardo Brodbeck. Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. Curitiba: IESDE Brasil S.A., p. ISBN: Matemática. 2. Matemática Estudo e ensino. I. Título. CDD 510 Todos os direitos reservados IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, Batel Curitiba PR

3 Leonardo Brodbeck Chaves Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.

4

5 Sumário Contagem A noção básica da Matemática: a contagem O sistema de numeração decimal 13 Adição e subtração A adição A subtração 18 Multiplicação e divisão A multiplicação A divisão 23 Frações (I) As frações Resolução de problemas com frações Frações próprias e impróprias Simplificação de frações 31 Frações (II) Mínimo múltiplo comum (m.m.c) Adição e subtração de fração com o mesmo denominador Adição e subtração de frações com denominadores diferentes Multiplicação com frações Divisão com frações 41 Potenciação Potenciação 43

6 Expressões numéricas Introdução Regras para a resolução de expressões numéricas 47 Geometria (I) Polígono Ângulos Triângulo Quadrilátero Perímetro de um polígono Medida do comprimento da circunferência 62 Geometria (II) Unidade de área Áreas de figuras planas Volumes 70 Razão e proporção Razão Proporção Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica 80 Grandezas proporcionais (I): regra de três simples Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais 88 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta Proporcionalidade composta Regra de três composta 97

7 Porcentagem e juro Porcentagem Juro 111 Equações do 1. o grau Introdução 117 Equações do 2. o grau Noção de equação do 2. o grau Forma geral Solução de uma equação do 2. o grau Resolução de problemas do 2. o grau Problemas que envolvem equações do 2. o grau 138 Sistemas lineares 2 x Introdução Sistema de equações lineares 2 x Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição 153 Radiciação Introdução Quadrados perfeitos Raiz quadrada 161 Gráfico e função Plano cartesiano Função afim Função quadrática 168

8

9 Apresentação O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma. Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas: a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia; c) um cristal de gelo com angulação precisa; d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade; e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros. Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos). Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais

10 (conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade. A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória. Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.

11 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 1. Proporcionalidade composta Observe as figuras: A 4 x2 B 5 A C 8 B 10 C Triângulo Base Altura Área 5 4 x2 x2 A = = A = = 40 x 2 x 2

12 96 Matemática Elementar I Caderno de Atividades B 2 A 4 C B x3 6 8 A 12 C Triângulo Base Altura Área 4 2 x3 x3 A = = A = = 36 x 3 x 3 Pelas figuras anteriores observamos que: Se uma grandeza é proporcional a outras, então os valores de suas medidas são proporcionais ao produto dos valores das medidas das outras. Vamos ver como funciona: a) Triângulo Base Altura Área x2 x2 x2 x

13 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 97 b) Triângulo Base Altura Área x2 x½ x 2 x½ c) Triângulo Base Altura Área x2 x½ x 2 x½ 8 1,5 6 Agora, vamos seguir a resolução de um problema passo a passo, estudando a regra de três composta. 2. Regra de três composta Problemas que envolvem várias grandezas, direta ou inversamente proporcionais, são resolvidos com o auxílio de uma regra chamada regra de três composta. Vejamos alguns exemplos: a) Dois operários, depois de 8 dias de serviço, receberam R$400,00. Quanto receberão 5 operários por 12 dias de trabalho? Operários Tempo Valor 2 8 dias R$400, dias x

14 98 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Analise, isoladamente e com cada uma das outras, a grandeza que contém o valor desconhecido. Assim: aumenta Operários Valor 2 R$400,00 5 x também aumenta Se 2 operários recebem R$400,00, 5 operários deverão receber mais. Então, as grandezas operário e valor são diretamente proporcionais. Portanto, a ordem das razões é: 2 5 e 400 x aumenta Tempo Valor 8 dias R$400,00 12 dias x também aumenta Se em 8 dias os operários recebem R$400,00, em 12 dias deverão receber mais. Então, as grandezas tempo e valor são diretamente proporcionais. Portanto, a ordem das razões é: 8 12 e 400 x Para as três grandezas, a ordem das razões é: 2 5, 400 x e Podemos concluir então que: 400 x = = x = = x 15 4 Resposta: 5 operários receberão por 12 dias de trabalho R$1.500,00.

15 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 99 b) Um carro com a velocidade média de 80km/h percorre, em 2 dias de viagem, 1 800km. Se a velocidade for alterada para 60km/h, quanto tempo ele levará para percorrer 3 375km? Velocidade Tempo Percurso 80km/h 2 dias 1 800km 60km/h x 3 375km Velocidade Tempo diminui 80km/h 60km/h 2 dias x aumenta Se a velocidade do carro for de 80km/h o tempo necessário é de 2 dias. Quando a velocidade for de 60km/h o carro precisará de mais tempo. Então, velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Logo, a ordem das razões é: 60 e 2 80 x Tempo Percurso aumenta 2 dias 1 800km x 3 375km aumenta Se para percorrer 1 800km o carro leva 2 dias, para percorrer 3 375km o carro vai precisar de mais tempo. Então, máquinas e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Logo, a ordem das razões é: 2 e x Para as três grandezas, a ordem das razões é: 60 80, 2 x e Então podemos concluir que: 2 = = 2 x = 5 x x 5 Resposta: Serão necessários 5 dias.

16 100 Matemática Elementar I Caderno de Atividades c) 6 máquinas trabalhando 4 horas produzem 200m de um tecido. Quantas máquinas serão necessárias para, em 3 horas, produzir 800m desse tecido? Máquinas Tempo Comprimento 6 4h 200m x 3h 800m inversa 6 x = direta 5 1 x = 3 x=15 Resposta: Serão necessárias 15 máquinas. d) Uma turma de 20 pessoas foi acampar, levando alimentos suficientes para 21 dias, com 3 refeições diárias. Chegando ao local, encontraram mais 15 pessoas. Por quantos dias terão alimento, se fizerem apenas 2 refeições diárias? Pessoas Tempo Refeições/dia dias 3 35 x 2 inversa 21 x = inversa 21 x = 14 x =18 dias 12 Resposta: Terão alimento por apenas 18 dias.

17 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 101 Exercícios Tente resolver os seguintes problemas: 1. Cinco operários demoram 9 horas para retirar tijolos da carroceria de um caminhão. Quantos tijolos 6 operários, com a mesma capacidade dos anteriores, conseguirão retirar em 5 horas? 2. Cinco grupos de estudo com 4 alunos em cada grupo resolvem, em 2 horas, 36 problemas. Em quanto tempo 10 grupos de 8 alunos resolverão 72 problemas? 3. Uma perfuradora de cartões, trabalhando 12 horas por dia, perfura cartões em 8 dias. Quantas horas por dia deverá trabalhar para perfurar cartões em 15 dias?

18 102 Matemática Elementar I Caderno de Atividades 4. Dezesseis operários fazem 720 peças em 6 dias. Quantos operários são necessários para fazer peças em 24 dias? 5. Um aluno efetua 200 operações em 2 dias, estudando 8 horas por dia. Em quantos dias esse aluno, estudando 2 horas por dia, efetuará 100 operações? 6. Quantos homens são necessários para construir um muro de 150m de comprimento por 10m de altura em 30 dias, sabendo que, nas mesmas condições, 25 homens constroem um muro de 50m de comprimento por 8m de altura, em 8 dias?

19 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta Andando 14 horas por dia, com uma velocidade média de 30km/h, um carro leva 6 dias para percorrer 2 520km. Qual deve ser a velocidade média desse carro para ele percorrer essa mesma distância em 7 dias, andando 10 horas por dia? 8. Numa indústria, 4 máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. Quantos dias serão necessários para que apenas 2 máquinas produzam 900 peças? 9. Cinco operários trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias produzem 200 objetos. Quantos objetos serão produzidos por 8 operários trabalhando 4 horas por dia durante 15 dias?

20 104 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações

21 Gabarito Gabarito Grandezas proporcionais (II): regra de três composta tijolos 2. 1h 3. 10h/dia operários 5. 4 dias homens 7. 36km/h dias objetos

22 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações