Prof. Luiz Felix. Unidade I MATEMÁTICA APLICADA
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- Benedito Ana Luísa de Almeida Carreira
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1 Prof. Luiz Felix Unidade I MATEMÁTICA APLICADA
2 Sistemas de numeração A vida do homem, há milhares de anos, era muito diferente da atual. Ele não tinha necessidade de contar, uma vez que não comprava, não vendia, não usava dinheiro. Com o passar dos anos, os costumes foram mudando, e o homem passou a cultivar a terra, a criar animais, a construir casas e a comercializar. Foi então que surgiu a necessidade de contar. Com o progresso das civilizações, apareceu a necessidade de aprimorar os processos de contagem e de registrá-los.
3 Sistemas de numeração Foram criados, então, símbolos e regras que resultaram nos diferentes sistemas de numeração. O sistema de numeração decimal é o que normalmente utilizamos. Conhecido como indo-arábico porque foi criado pelos hindus e divulgado pelos árabes, esse sistema utiliza dez símbolos diferentes 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 para expressar os algarismos com os quais contamos unidades, dezenas, centenas, milhares e demais quantidades e, obviamente, com os quais realizamos todo tipo de cálculo.
4 Expressões numéricas Uma expressão numérica é uma sequência de números associados por operações. Essas operações devem ser efetuadas respeitando-se a seguinte ordem: 1. potenciações e radiciações; 2. multiplicações e divisões; 3. adições e subtrações. Exemplo: = = = 44 1 = 43
5 Expressões numéricas Em expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves), inicialmente devem ser efetuadas as operações dentro dos parênteses, depois as que estão dentro dos colchetes e, por último, as que estão dentro das chaves, respeitando-se, ainda, a prioridade das operações: {25 + [ 18 (5 2).3]} = { 25 + [18 3.3]} = {25 + [18 9]} = {25 + 9} = = = 105
6 Expressões algébricas Chamamos de expressões algébricas aquelas que envolvem números, letras e operações indicadas entre eles. As letras, em uma expressão algébrica, representam qualquer número real. Elas são chamadas de incógnitas. Exemplos: X + 7 em que X é a incógnita, um número qualquer (valor desconhecido). 3. K em que K é a incógnita, um número qualquer (valor desconhecido).
7 Expressões algébricas - simplificação x + x = 2x 3k 5k = 2k Nos exemplos acima, os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes também). 3 (x + 2) 7. x 3x + 6 7x 4x + 6
8 Razão Chama-se razão qualquer relação numérica entre grandezas feita através de uma divisão. Dá-se o nome de razão entre os dois números racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por: a ou a : b b Termos de uma razão: 7 = antecedente. 8 consequente.
9 Razão - exemplo Em um salão de festas, há 20 mesas e 80 cadeiras. Encontre a razão entre o número de mesas e o número de cadeiras (lembrando que razão é divisão): 20 = 1 Indica que para cada mesa 80 4 existem 4 cadeiras. Lê-se 1 está para 4 ou 1 para 4 Qual a razão entre o número de cadeiras e o número de mesas? 80 = 4 = 4 Indica que para 4 cadeiras 20 1 existe uma mesa.
10 Razões inversas 4 e O produto das duas razões é igual a 1, isto é, 4 x 8 = Dizemos, então, que as razões são inversas quando o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.
11 Interatividade Calcule o valor da seguinte expressão: ( ) a) 8 b) 18 c) 34 d) 55 e) 162
12 Proporção É a igualdade entre razões. Exemplo: meu carro faz 13 km por litro de combustível. Então, para 26 km, preciso de 2L; para 39 km, preciso de 3L e assim por diante. R1 = 26 = 13 R2 = 39 = Logo, R1 = R2
13 Proporção - propriedades Grandezas diretamente proporcionais: O aumento de uma implica o aumento da outra. A redução de uma implica a redução da outra. Ex.: número de biscoitos e quantidade de trigo.
14 Proporção - Propriedades Grandezas inversamente proporcionais: O aumento de uma implica a redução da outra. A redução de uma implica o aumento da outra. Ex.: velocidade média de um automóvel e tempo de viagem.
15 Porcentagem 5% = _5_ = 0, % = 30 = 0,3 100 Calcule: 30% de = 0,3. 80 = % de 140 _5_. 140 = 0, = 7 100
16 Porcentagem - exemplo Uma televisão custa R$ 1.500,00, mas a loja está oferecendo um desconto de 15%. Quanto o cliente deverá pagar por esta televisão? 15% de = 0, = = 1275 R$ 1.275,00
17 Porcentagem - exemplo Um automóvel foi comprado por R$18.000,00. Após uma reforma e a inclusão de vários acessórios, teve uma valorização (acréscimo no valor) de 10% em seu preço. Quanto ficou o novo valor do automóvel? 10% de = 0, = = R$ ,00
18 Regra de três simples Seu gerente precisa cortar 20% dos gastos do departamento. Quanto representa isso? O valor é alto ou baixo? Supondo que as despesas do departamento são de R$ 2.000,00, para determinar quanto é 20% de 2.000, vamos fazer uma regra de três. R$ 2.000,00 é o total, ou seja, é 100% Queremos saber quanto vale 20% (x) Na regra de três simples, duas grandezas estão envolvidas.
19 Regra de três simples % x 20% 100. x = x = = = O departamento deverá reduzir suas despesas em R$ 400,00; 00; portanto, as despesas totais passarão dos atuais R$ 2.000,00 para R$ 1.600,00.
20 Regra de três simples Numa receita de macarrão caseiro, lê-se: misturar 110g de farinha de trigo para cada ovo. Quantos ovos devemos adicionar à massa para 550g de farinha de trigo? 110g 1 550g x 110. x = x = = 550 = Deverão ser usados 5 ovos para 550g de farinha de trigo.
21 Grandezas proporcionais Você deve usar esse raciocínio para grandezas diretamente proporcionais (quanto mais farinha, mais ovos; assim, quanto menos água, menos suco).
22 Interatividade Em um supermercado, um produto custa R$ 150,00. Ele foi vendido com um lucro de R$ 36,00. De quantos por cento foi o lucro sobre o preço de venda? a) 15% b) 19% c) 24% d) 28% e) 33%
23 Grandezas inversamente proporcionais Observe que algumas proporções (relação entre grandezas) se apresentam de forma diferente, isto é, as proporções são grandezas inversamente proporcionais, de forma que, para resolver a questão, não basta aplicar a regra de três simples. Inversamente proporcional significa que enquanto uma grandeza cresce, a outra diminui. Para a proporção de grandezas inversamente proporcionais, o modo de calcular é diferente.
24 Grandezas inversamente proporcionais Em uma obra de construção, se 6 operários levantam um muro em 10 dias, quantos operários serão necessários para levantar o mesmo muro em 4 dias? Note que as grandezas são inversamente proporcionais, pois quanto mais operários forem contratados, menor será o tempo necessário para a conclusão do trabalho.
25 Grandezas inversamente proporcionais Inicialmente, organizamos as grandezas em colunas; são os dias e os operários: dias operários x Atenção: como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das colunas e, então, multiplicar em cruz: dias operários 10 x 4. x = x = 60 = 15 4
26 Regra de três composta Uma regra de três é composta quando há mais de duas grandezas envolvidas no problema.
27 Regra de três composta 12 tecelões, em 90 dias de trabalho, com uma jornada de 8 horas diárias, produzem 36m de tecido. Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 12m de tecido com o dobro da largura, trabalhando 6 horas por dia? operários dias horas/dia metros x 6 24 Note que o problema pede 12 metros de tecido, e não 24. Para facilitar o cálculo, foi dobrado o comprimento. Assim, não se acrescentou uma nova grandeza a largura.
28 Regra de três composta operários dias horas/dia metros x 6 24 Determinação da proporcionalidade direta e inversa: a primeira providência é estabelecer a direção de proporcionalidade entre cada grandeza e a grandeza a ser determinada.
29 Regra de três composta operários dias horas/dia metros x 6 24 Com o aumento do número de operários, a quantidade de dias deve diminuir. Logo, trata-se de uma relação inversamente proporcional. Portanto, você deve inverter a coluna dos operários. Temos, assim, provisoriamente: operários dias horas/dia metros x 6 24
30 Regra de três composta operários dias horas/dia metros x 6 24 Agora, a coluna das horas/dia - quanto mais horas trabalhadas por dia, menos dias serão necessários. Logo, você deve inverter a coluna das horas/dia. Temos, assim, provisoriamente: Operários dias horas/dia metros x 8 24
31 Regra de três composta operários dias horas/dia metros x 8 24 Agora, a coluna metros - quanto mais dias trabalhados, mais metros serão produzidos. Ou seja, as duas grandezas são diretamente proporcionais. Portanto, não mexemos na última coluna. operários dias horas/dia metros x 8 24
32 Regra de três composta operários dias horas/dia metros x 8 24 operários dias x = x 15 dias horas/dia 90 6 x = x 8 6 dias metros x = x 24 36
33 Regra de três composta x = x = x = Nas equações acima, podemos identificar que 90, 12, 8 e 24 pertencem ao numerador. Também verificamos os números que fazem parte do denominador, que são 15, 6 e 36. Dessa forma, montamos a expressão: x = = = Os trabalhadores precisarão de 64 dias de trabalho para fazer a quantidade de tecido solicitada.
34 Interatividade Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. 20 galinhas botarão quantos ovos em 10 dias? a) 100 b) 150 c) 200 d) 250 e) 300
35 Conjuntos Designa-se conjunto uma representação de objetos, podendo ser representado de três modos: Representação ordinária - A = 0, 1, 2, 3, 4 Representação abstrata - A = x Z 0 x 4 Representação por diagramas de Venn A 3 4
36 Operações entre conjuntos Interseção: elementos comuns. Dados os conjuntos A= 0,4,9 e B= 4,8, A B = 4 União: composição de todos os elementos. Dados os conjuntos A= 1,4,8 e B= 7,8, A B = 1,4,7,8 Diferença entre A e B: elementos de A que não pertencem a B. Dados os conjuntos A= 2,3,5 e B= 2,4, A B = 3,5
37 Cardinalidade de conjuntos Define-se a cardinalidade de um conjunto A como o número de elementos que pertencem ao conjunto A. Denotamos a cardinalidade de um conjunto A por card(a) ou n(a), e se lê cardinalidade de A ou número de elementos de A. Exemplo: A = -1, 3, 8, 9 n(a) = 4
38 Plano cartesiano O plano cartesiano é constituído por dois eixos, x (eixo das abscissas) e y (eixo das ordenadas), perpendiculares entre si, que se cruzam na origem. Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números indicados entre parênteses: a abscissa e a ordenada, respectivamente. Esse par ordenado representa as coordenadas de um ponto.
39 Plano cartesiano
40 Produto cartesiano Conjunto de todos os pares (x,y), tais que x pertence a A e y pertence a B, indicado pela expressão A x B: AxB= (x,y) / x Aey B Exemplo: A = 1,2,3 e B = 1,2,5 A x B = (1,1),, (1,2), (1,5), (2,1), (2,2), (2,5), (3,1), (3,2), (3,5)
41 Relação binária: domínio, contradomínio e conjunto imagem Qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B é chamado de relação de A em B. A relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada de relação binária. Representa-se a relação binária por R: A B O conjunto A é chamado de domínio da relação, e o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.
42 Relação binária: domínio, contradomínio e conjunto imagem Sendo A = -2, -1, 0, 1 e B = 2, 3, 4, 5, 7, vamos criar a relação f: A B A B Domínio: A = -2, -1, 0, 1 Contradomínio: B = 2,, 3, 4, 5, 7 Conjunto imagem: é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam, ou seja, C= 3, 4,
43 Interatividade Observando o 2º quadrante do plano cartesiano, podemos afirmar que: a) x > 0 e y > 0 b) x < 0 e y < 0 c) x>0ey<0 0 d) x < 0 e y > 0 e) x = 0 e y = 0
44 ATÉ A PRÓXIMA!
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