Unidade I. Prof. Luiz Felix

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1 Unidade I MATEMÁTICA APLICADA Prof. Luiz Felix

2 Conjuntos Designa-se conjunto uma representação de objetos, podendo ser representado de três modos: representação ordinária A = 0, 1, 2, 3, 4 representação abstrata A = x Z 0 x 4 representação por diagramas de Venn A

3 Operações entre conjuntos Interseção elementos comuns Dados os conjuntos A = 0,4,9 e B = 4,8 A B = 4 União composição de todos os elementos Dados os conjuntos A = 1,4,8 e B = 7,8 A B = 1,4,7,8 Diferença Dados os conjuntos A = 2,3,5 35 eb= 2 2,4 A B = 3,5

4 Conjuntos numéricos Números Naturais N = 0, 1, 2, 3... Números Inteiros Z =..., 2, 1, 0, 1, 2... Números Racionais Q = x / x = a/b com a e b Z com b de 0 Exemplos: 2/10 = 0,2 47/99 = 0,4747

5 Conjuntos numéricos Números irracionais formados por dízimas infinitas não periódicas. Exemplo: 3 = 1, Números reais formados por todos os números racionais e irracionais.

6 Produto cartesiano A x B = (x,y) / x A e y B Exemplo: A = 1,2,3 e B = 1,2,5 A x B = (1,1), (1,2), (1,5), (2,1), (2,2), (2,5), (3,1), (3,2), (3,5)

7 Plano cartesiano

8 Funções Uma relação f: A B é chamada de FUNÇÃO se: I. não há elemento x em A sem correspondente y em B. (Não podem sobrar elementos de A); II. qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B (Não pode haver elemento de A associado a mais de um elemento de B).

9 Funções exemplo Sendo A = 2, 1, 0, 1 B = 2, 3, 4, 5, 7 Verifique se a relação f: A A B é uma função B

10 Função constante É toda a função y = k, em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico dessa função é uma reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k. k

11 Função linear Sendo A e B conjuntos de números reais, e m uma constante real diferente de zero, dizemos que uma função f: A B, com f (x) = m. x é uma função linear.

12 Interatividade Observando o 2º quadrante do plano cartesiano, podemos afirmar que: a) x > 0 e y > 0 b) x < 0 e y < 0 c) x>0ey<0 0 d) x < 0 e y > 0 e) x = 0 e y = 0

13 Função do 1º grau (ou função afim) Sua sentença é dada por y = m. x + n, sendo m e n constantes reais com m 0 n n m > 0 m < 0

14 Observações importantes da função do 1º grau 1ª) A constante n é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y. 2ª) A constante m é chamada de coeficiente angular. Quando m > 0, o gráfico corresponde a uma função crescente, e, quando m < 0, o gráfico corresponde a uma função decrescente.

15 Observações importantes da função do 1º grau 3ª) Conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x 1, y 1 ) e B (x 2, y 2 ), o coeficiente angular m é dado por: m = y 2 y 1 x 2 x 1 4ª) Conhecendo-se um ponto P (x 0, y 0 ) de uma reta e seu coeficiente angular m, a função correspondente é dada por: y y 0 = m (x x 0 ) Ou seja: A equação da reta é: y = m (x x 0 ) + y 0

16 Função do 1º grau exemplo Obtenha o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (1, 2) e B (2, 7) Resolução: A (x 1,y 1 ) B (x 2,y 2 ) Sendo m = y 2 y 1 x 2 x 1 m = 7 2 m = 5 m =

17 Função do 1º grau exemplo Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(1,3) e tem coeficiente angular m = 2. Resolução: y = m (x x 0 ) + y 0 e P(1,3) P(x 0,y 0 ) y = 2 (x 1) + 3 y = 2x y = 2x + 1

18 Função do 1º grau exemplo Qual a equação da reta que passa pelos pontos A (1,2) e B (2,3)? Resolução: A (x 1,y 1 ) B (x 2,y 2 ) Sendo m = y 2 y 1 x 2 x 1 m = 3 2 m = 1 m = Sendo y = m (x x 0 ) + y 0 e A(1,2) y=1(x 1)+2 y = x y = x + 1

19 Função demanda e oferta de mercado A demanda (ou procura) de um determinado bem é a quantidade desse bem que os consumidores pretendem adquirir. A oferta de um bem é a quantidade que os vendedores desejam oferecer no mercado. x é a quantidade demandada ou ofertada, e y o preço unitário do produto Na demanda y = m.x + n, esta é uma função decrescente, pois m < 0. Na oferta y = m. x + n, esta é uma função crescente, pois m > 0.

20 Função demanda de mercado exemplo O preço por dia em um estacionamento é R$ 20,00. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$ 15,00, estacionarão 75 automóveis. Ache a equação da demanda.

21 Função demanda de mercado resolução Preço = 20,00 Qtde = 50 P(x1, y1) P(50,20) Preço = 15,00 Qtde = 75 P(x2, y2) P(75,15) Sendo m = y2 y1 x2 x1 m = m = 5 m = 1 m = 0, Se utilizarmos P(50,20), temos: y = m (x x0) + y0 y = 0,2 (x 50) + 20 y = 0,2x y = 0,2x + 30 ou p = -0,2q + 30

22 Interatividade Um fabricante produz 400 unidades por mês quando o preço de venda é R$ 500,00 por unidade. São produzidas 300 unidades por mês quando o preço é R$ 450,00. Admitindo que a função oferta seja do 1º grau, qual sua equação? a) p = 0,5 q 300 b) p = 0,5 q c) p = 0,5 q d) p= 05q 0,5 300 e) p = 0,5 q + 500

23 Receita total Seja x a quantidade vendida de um produto; Chamamos de função receita o produto do preço de venda por x e indicamos por R: R(x) = P.x

24 Receita total exemplo Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. a) Qual a função receita? Sendo R(x) = P.x, então: R(x) = 5.x b) Qual a receita da livraria se forem vendidas 10 revistas? Sendo a função receita R(x) = 5.x então: R(x) = 5.10 R(x) = 50 reais

25 Receita total exemplo c) Qual a quantidade que deve ser vendida para se obter uma receita de R$ 700,00? Nesse caso temos: Função receita: R(x) = 5.x Receita desejada R(x) = 700 então: 700 = 5.x x = 700 = 140 5

26 Custo total Seja x a quantidade produzida de um produto; O custo total de produção, ou simplesmente custo, depende de x, e a relação entre eles chamamos de função custo total, ou simplesmente função custo, e indicamos por C.

27 Custo total Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros. A soma desses custos chamamos de custo fixo e indicamos por C F. A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por C V C(x) = C F + C V Para x variando dentro de certos valores, normalmente não muito grandes, o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x.

28 Custo total exemplo O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$ 5.000,00, e o custo variável por unidade é R$ 10,00. Qual a função custo total? Sendo C(x) = CF + CV temos: CF = 5000 e CV = 10 então: C(x) = x

29 Interatividade O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é R$ 30,00, e o preço de venda é R$ 40,00. Indique a alternativa que apresenta, respectivamente, a função receita eafunçãocusto custo. a) R(x) = 30.x e C(x) = x b) R(x) = 30.x e C(x) = x c) R(x) = 40.x e C(x) = x d) R(x) = 40.x e C(x) = x e) R(x) = 40.x e C(x) = x

30 Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R(x) = C(x)

31 Ponto crítico (break even point) ou ponto de nivelamento exemplo Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$ ,00 por mês, e o custo variável por unidade é R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento? Nesse caso temos: Função receita: R(x) = 60.x Função custo: C(x) = x Sendo R(x) = C(x) temos: 60.x = x 60.x 40.x = x = x = 500

32 Função lucro A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C. Indicando a função lucro por L, teremos: L(x) = R(x) C(x)

33 Função lucro exemplo O custo fixo mensal de uma empresa é R$ ,00, o preço unitário de venda é R$ 8,00, e o custo variável por unidade é R$ 6,00. a) Qual a função lucro? R(x) = P.x = 8.x C(x) = C F + C V = x L(x) = R(x) C(x) L(x) = 8.x ( x) = L(x) = 8.x x L(x) = 2.x 30000

34 Função lucro exemplo b) Qual o lucro se unidades forem vendidas? Sendo a função lucro L(x) = 2.x então: L(x) = L(x) = L(x) = 50000

35 Função lucro exemplo c) Quantas unidades devem ser vendidas para se obter um lucro de R$ ,00? Sendo a função lucro L(x) = 2.x então: = 2.x = 2.x 2.x = x = x = 45000

36 Interatividade O custo fixo de fabricação de um produto é R$ 1.000,00 por mês, o custo variável por unidade é R$ 5,00, e cada unidade é vendida por R$ 7,00. Indique a alternativa que apresenta, respectivamente, o ponto crítico e a função lucro. a) Ponto crítico = 300 e L(x) = 12.x b) Ponto crítico = 500 e L(x) = 12.x 1000 c) Ponto crítico = 500 e L(x) = 2.x 1000 d) Ponto crítico = 300 e L(x) = 2.x 1000 e) Ponto crítico = 500 e L(x) = 2.x

37 ATÉ A PRÓXIMA!

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