Grandezas proporcionais. Matemática 1 Aulas 13 e 14 Prof. Henrique Figo

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1 Grandezas proporcionais Matemática 1 Aulas 13 e 14 Prof. Henrique Figo

2 Motivação Qual desses carros gasta mais combustível para ir de São Paulo ao Rio de Janeiro? Sabe-se que o carro A, movido a gasolina, consumiu o equivalente a R$60,00 de combustível para fazer a viagem. O carro B, movido a álcool, consumiu o equivalente a R$40,00. Evidentemente o carro A gasta mais combustível, mas, em termos relativos, quanto a mais? Para sabermos exatamente essa razão o que fazemos? Observe que a palavra razão é auto-explicativa, ou seja, devemos fazer a divisão entre as grandezas envolvidas custo de gasolina do carro A custo de álcool do carro B = = 1,5 Isto é, o carro A consome de combustível uma vez e meia o que consome o carro B.

3 Motivação João vendeu seu apartamento e aplicou R$8000 numa caderneta de poupança que, ao final de um ano, rendeu R$960. No mesmo período, ele aplicou R$5000 num fundo de investimentos que rendeu R$800. Qual das duas aplicações teve maior rentabilidade? Como descobrir tal comparação? Em termos absolutos, observe que o rendimento da caderneta de poupança foi maior. Será que a resposta será a mesma em termos relativos? Fazendo as razões entre o investimento e o valor obtido temos que caderneta de poupança= = = 12% fundo de investimento= = = 16% Proporcionalmente, o fundo de investimento é mais rentável

4 Definição A razão de um número a para um número b, com b 0, é o quociente a b A igualdade entre duas razões equivalentes determina uma proporção, isto é: a b = c d Exemplos: 4 5 = 8 10 = = = 1 2 = 2 4 = 3 6 = 4 8 =

5 Propriedades 1. a b = c d a d = b c 2. a b = c d a±b b = c±d d 3. a b = c d a±c b ±d = a b = c d Exemplos: 3 4 = = 9 4 = 36 (propriedade 1) 10 = = = 3 2 (propriedade 2) 1 4 = = = 1 4 (propriedade 3)

6 Grandezas diretamente proporcionais Consideremos a seguinte situação: quanto mais combustível um tanque de carro possuir, maior será a distância potencialmente percorrida. Dizemos que as grandezas envolvidas (combustível e distância) são diretamente proporcionais. De modo geral, se x e y são grandezas diretamente proporcionais então: x y = constante

7 Grandezas inversamente proporcionais Sabemos que a distância entre Campinas e São Paulo é de, aproximadamente 100 km. Se um carro parte de Campinas com uma velocidade de 100 km/h, chegará à capital paulista em torno de uma hora depois da partida. Caso sua velocidade seja reduzida à metade (50 km/h), o que podemos afirmar a respeito do tempo de chegada? Você concorda que o mesmo dobrará? Nessa situação as duas grandezas envolvidas (velocidade e tempo) são inversamente proporcionais. De modo geral, se x e y são grandezas inversamente proporcionais então: x 1 y = xy = constante

8 Exemplos: 1. Se R$60,00 é o preço de 12 kg de biscoito, qual será o preço de 40 kg? Observe que as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, isto é, 60 = constante, na qual a constante em questão vale = x 40 Logo x 40 = 5, ou seja, x = R$200,00 2. y é inversamente proporcional a x e para x = 2 tem-se y = 24. Qual o valor de y para x = 3 2? O raciocínio para se resolver esse tipo de problema é o seguinte: sabemos que a proporção entre x e y se dá de forma inversa (segundo dados do enunciado), logo o produto x y é uma constante. Pela informação inicial sabemos que x y = 2 24 = 48 (constante). Portanto, se x = 3, teremos que resolver a seguinte 2 equação: 3 2 y = 48, ou seja y = 32.

9 Regra de três composta Utilizaremos regra de três composta quando nossos problemas envolverem mais de duas grandezas. Acompanhe o seguinte exemplo. Em uma central de atendimento, 5 telefonistas recebem chamadas em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Supondo que as telefonistas estejam o tempo todo atendendo alguém, quantas horas por dia deverão trabalhar 4 daquelas telefonistas para atender pessoas em 25 dias? Grandezas envolvidas: chamadas, dias, horas por dia e telefonistas h/dia telefonistas chamadas dias antes depois x

10 Observe que a incógnita x aparece na grandeza horas/dia. Faça a relação entre essa grandeza e as demais, procurando saber se as relações se dão de forma direta ou inversa. Acompanhe: + horas/dia telefonistas (inversamente) + horas/dia + chamadas (diretamente) + horas/dia dias (inversamente) Devemos, finalmente, resolver a seguinte equação: 6 = x x = 3 horas/dia