COLÉGIO INTEGRADO JAÓ

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João Henrique Mota Estrada
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1 COLÉGIO INTEGRADO JAÓ Professor Tales Mazzoccante ORIENTAÇÕES PARA PROVA BIMESTRAL MATEMÁTICA 7º ANO Data: 07 / 10 / 2016 Aluno(a): 7º Ano Turma: Algumas orientações: Neste terceiro bimestre, daremos ênfase a razão, proporção, regra de três simples e composta na avaliação bimestral. A) Razão e Proporção: Razão é a divisão entre dois números, ou seja, fração deles na ordem em que são citados. A proporção é uma igualdade entre razões. Veja: A razão entre as idades de Leonardo (11 anos) e Tales (33 anos) é ou 1 3. A razão entre as idades de Tales (33 anos) e Leonardo (11 anos) é ou 3. Utilizamos a proporção em alguns problemas em que utilizam razões como por exemplo: 01. Em 2 horas, um jovem faz 15 exercícios de matemática. Quantos exercícios com as mesmas características, ele fará em 4 horas de estudo? Resposta: Observe que é possível relacionar a quantidade de horas gastas com a quantidade exercícios feitos: 2 x Além disso, é fácil perceber que de 2 para 4, dobramos as quantidades e, portanto de 15 para x, a fim de manter a proporção (igualdade entre as frações), também é coerente multiplicar por 2 a quantidade de exercícios feitos. 2 Logo, em 4 horas de estudo este jovem consegue realizar exercícios com as mesmas características. 02. Determine a, b e c na proporção a seguir: 50 = a 10 = b 20 = c 5 Resposta: Observe que de 50 para 10, dividimos o número 50 por 5; logo o mesmo se faz com para a, ou seja, : 5 = 6 e portanto, a = 6. De 10 para 20, dobrou-se o 10, então é coerente dobrar o a (6. 2 = 12), logo b = 12.

2 Em seguida, de 20 para 5, divide-se por 4, e portanto, c deve ser b dividido por 4 (ou seja, 12 : 4 = 3). Conclui-se que c = 3 e teremos: 50 = 6 10 = = 3 5 B) Regra de três simples: é a proporção com apenas duas razões. Temos três números conhecidos e apenas um número desconhecido. A regra de três simples pode ser DIRETA ou INVERSA. A regra de três direta é aquela que, avaliadas as grandezas envolvidas, percebe-se que as duas grandezas aumentam ou ambas diminuem; a regra de três inversa, no entanto, observa-se que se uma grandeza aumenta, a outra deve diminuir. Veja: GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (PROBLEMAS DE REGRA DE TRÊS DIRETA) a) Se um pedreiro levanta 3 metros de muro em 2 horas, quanto mais horas ele tiver de trabalho, mais metros de muro, nas mesmas condições de antes, estarão levantados. b) Se uma máquina produz pregos funcionando 8 horas por dia, produzirá muito menos se trabalhar menos horas por dia. c) Dois ralos idênticos conseguem esvaziar 500 litros de água de um reservatório em determinado tempo. Espera-se que quanto mais ralos idênticos a esses tivermos disponíveis, mais litros serão escoados. A figura a seguir mostra o desenho de um barquinho que foi ampliado. Qual deve ser a altura do barquinho maior? Resposta: Quanto maior o comprimento do barquinho, maior deverá ser a altura dele e portanto, trata-se de uma situação de regra de três DIRETA. Duas formas possíveis de se resolver este problema: a) Relacionar comprimento com comprimento e altura com altura: Verifique que é difícil saber que número se multiplica 4 para dar 9, neste caso. Utilizar a proporção como nos exemplos anteriores não parece tarefa fácil. Para estes casos surge uma nova forma de se proceder. Acompanhe logo a seguir.

3 b) Resolver por regra de três simples utilizando o método prático: Voltemos no caso da proporção 2. Já sabemos que o resultado é, multiplicando por 2 o x numerador e o denominador da primeira fração. No entanto, se fizéssemos , teríamos e em seguida, 60 2 que: se multiplicássemos cruzado, a equação obtida também nos leva a. =. Dizemos, então Este é o método prático! Resolver uma proporção em que as grandezas são diretamente proporcionais (as duas aumentam ou diminuem) é o mesmo que multiplicar cruzado. Pois bem, vamos voltar ao problema do barquinho. É possível montar o seguinte esquema: Comprimento Altura 4 cm 9 cm 6 cm x cm Fazendo Dividir por 54 por 4 é fazer duas metades de 54, ou seja, 27 que leva em 13,5 13,5 Logo, a altura do segundo barquinho é 13,5 cm. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS (PROBLEMAS DE REGRA DE TRÊS INVERSA) a) Se um automóvel aumenta a velocidade de percurso, gastará menos tempo para chegar ao destino. b) Se uma máquina produz certa quantidade de produto em 10 dias trabalhando 4 horas por dia, se precisar produzir a mesma quantidade de produto em menos dias, deverá trabalhar mais horas por dia. c) Uma correia presa a duas polias de raios de medidas diferentes, funcionam de modo que a menor terá que dar muito mais voltas para acompanhar a polia maior, já que estão presas à mesma correia que se movimenta girando elas; ou seja, quanto menor o raio de uma delas, mais voltas ela terá que dar para acompanhar a polia maior. Se dois homens conseguem montar uma máquina em doze horas de trabalho, quantas horas serão necessárias para que seis homens, com a mesma capacidade e produtividade, montem uma máquina do mesmo tipo? Resposta: Muito simples! Se a quantidade homens é três vezes maior, é fácil pensar que eles gastarão três vezes menos tempo para montar uma máquina do mesmo tipo, pois o trabalho será feito em menos tempo com a colaboração de mais indivíduos. Portanto, se antes eram gastam 12 horas de trabalho, agora serão necessárias apenas 4 horas de trabalho.

4 Método prático: Sabemos que quanto mais gente trabalhando, menos tempo será necessário para concluir o serviço. Logo, é fato que este problema trata de grandezas inversamente proporcionais. Temos, neste caso, um problema de regra de três inversa. homens horas x Observe que multiplicar cruzado não ajuda na solução do problema e o resultado seria incompatível. Fazendo , e 72 2 = 36 Nada a ver! No entanto, se fizermos: = 36 4 horas Logo, não se multiplica cruzado nas regras de três inversas. C) Regra de Três Composta: Na regra de três composta aparecem mais de duas razões. O processo para resolver os problemas fica bem simples quando se aprendeu os métodos práticos acima descritos. Acompanhe! Numa indústria, sabe-se que 8 homens montam em 12 dias de serviço um total de 16 máquinas. Quantos dias serão necessários para que 15 homens montem 50 máquinas? Resposta: Inicialmente, comenta-se que teremos três grandezas neste problema e portanto trata-se de um problema de regra de três composta. Sugiro que você coloque o que se pretende encontrar no meio das outras duas grandezas. Vá direto à pergunta e ao identificar o que está faltando, coloque no meio da regra de três e preencha o esquema como feito a seguir: homens dias máquinas x 50 Em seguida, vamos analisar cada grandeza com aquela que possui o x, sempre de duas em duas. Vamos lá! Quanto mais homens estiverem trabalhando para montar uma certa quantidade de máquinas, menos tempo será necessário. Quantidade de homens e dias são grandezas inversamente proporcionais.

5 Quanto mais máquinas se quiserem montar, mais dias serão gastos, pois temos mais trabalho a ser feito. Quantidade de máquinas e de dias são grandezas diretamente proporcionais. Pois bem! As grandezas inversamente proporcionais não se multiplicam cruzado, logo, façamos o seguinte esquema para colocar estes números numa equação. 15 vai no x, que cruza, indo para o 16, enquanto que 8 vai no 12, que cruza, indo para o x. 16 = Neste estágio do problema, vamos simplificar as frações Simplificam-se 2 com 2, o 5 com 5 e o 8 com Multiplica-se 6 por 10 para dividir por Divide-se 60 por dias Logo, serão necessários 20 dias para que 15 homens montem 50 máquinas nas condições apresentadas. Revisem os módulos do 3º bimestre em que aparecem problemas sobre os assuntos aqui estudados, anotações e exercícios no caderno e livro. Bom estudo e boa avaliação!

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