AULA 01 Razão, Proporção e regra de Três

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1 Cursinho Pré-Vestibular da UFSCar São Carlos Matemática Professora Elvira e Monitores Ana Carolina, Luísa e Bruno AULA 01 Razão, Proporção e regra de Três Conceitos envolvidos: Razão; Proporção; Grandezas diretamente proporcionais; Grandezas inversamente proporcionais; Regra de três simples; Regra de três composta; Regra de três diretamente proporcional; Regra de três inversamente proporcional; Razão Razão é a medida de comparação entre duas grandezas. A razão entre dois números a e b é o obtida dididindo-se a por b (a/b). Proporção O texto abaixo cita os ingredientes necessários para fazer um bolo que serve 12 pessoas (o bolo será cortado igualmente em 12 fatias): 2 xícaras (chá) de açúcar 3 xícaras (chá) de farinha de trigo 3 colheres (sopa) de margarina 3 ovos 1 e 1/2 xícara (chá) de leite 3 colheres (chá) bem cheia de fermento em pó Caso se queira que o bolo sirva a 24 pessoas: i) Pode-se dividir o bolo em 24 pedaços; ii) Pode-se aumentar a quantidade de ingredientes e fazer um bolo maior; Exercícios de aula a) Qual razão melhor representa um pedaço de bolo (feito com as quantidades de ingredientes iguais aos da receita) se ele for cortado em: i) 12 partes ii) 24 partes b) Qual a razão entre os itens ii e i do exercício anterior? c) Qual a quantidade de cada ingrediente que possibilita que 24 pessoas comam o bolo ser diminuir a fatia dada no item i? Proporção - definição Os números a, b c e d, com b e d 0, formam, nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão entre a e b for igual à razão entre c e d. Representa-se por: Lê-se: a está para b assim como c está para d. Grandezas diretamente proporcionais Uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B, se e somente se, as razões entre os valores de A e os correspondentes valores de B forem iguais. Em outras palavras, se a grandeza A aumenta, a grandeza B aumenta, e se a grandeza A diminui, a grandeza B também diminui, sempre na mesma proporção. Aula 01 Título da aula 1

2 À distância e o tempo da viagem de um trem, com velocidade constante de 80 km/h, são grandezas diretamente proporcionais. Técnica operatória Sempre podemos aplicar a técnica da regra de três quando o problema envolver duas grandezas (distância, tempo, uma quantidade, etc.) que relacionam-se entre si de alguma maneira, ou seja, sempre que houver uma proporção entre elas. Veja a seguinte tabela: Grandezas inversamente proporcionais Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, se e somente se, os produtos entre os valores de A e os correspondentes valores de B forem iguais. Em outras palavras, se a grandeza A aumenta, a grandeza B diminui. Se a grandeza A diminui, a grandeza B aumenta, sempre na mesma proporção. A velocidade e o tempo da viagem de 240km de um trem são grandezas inversamente proporcionais. Podemos ter grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Veremos os dois casos: A e B grandezas diretamente proporcionais Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais, devemos multiplicar em cruz, ou seja: a d = b c Com isso, temos que as razões entre os valores das grandezas são iguais: O produto entre a velocidade e o tempo respectivo é sempre o mesmo. p = 40 6 = 80 3 = = 240 Regra de três simples Na matemática, a Regra de Três é um processo prático de resolução de problemas nos quais temos dois valores relacionados a uma grandeza e apenas um relacionado a outra grandeza, que de certa forma, relacionam-se entre si. Sendo assim, temos três valores e, com eles, conseguimos descobrir o quarto valor, a incógnita de interesse. Gregos e romanos já estudavam as relações entre proporções, porém não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Foram os árabes na idade média que trouxeram a regra de três. Leonardo de Pisa, no século XIII, em seu livro Liber Abaci, difundiu os princípios desse método, dando-o o nome que conhecemos hoje como "Regra de Três Números Conhecidos". Ou seja, sempre que uma grandeza aumentar/diminuir e a outra também, igualaremos as duas razões. Um atleta percorre 35 km em 3h. Mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele percorrerá 50 km? No exemplo, temos as grandezas distância e tempo. Sabemos que o atleta percorre 35 km em 3 h e queremos descobrir quanto tempo ele levaria para percorrer 50 km. Temos aqui grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior a distância, maior será o tempo gasto. Organizando os dados fornecidos, temos: Repare que foram colocadas duas setas apontando para baixo, ou seja, do menor para o maior valor, indicando que a distância aumenta para baixo, assim como o tempo. Se as duas setas estiverem no mesmo sentido, as grandezas serão diretamente proporcionais e as duas razões Aula 01 Título da aula 2

3 deverão ser igualadas. Ou seja, a seta indica o numerador e o denominador respectivamente, no sentido em que a seta aponta. Igualando as razões, respeitando as setas (apontando do numerador para o denominador): 35x = 50 3 = 150 Logo, o atleta levará 4 h para percorrer 50km. Vale ressaltar que os dados devem estar sempre nas mesmas grandezas. No exemplo, comparamos as duas distâncias em km e, ao relacionar uma distância com a grandeza hora, obtivemos o resultado também em horas. Vale ressaltar também que não multiplicamos em cruz de uma vez, como estamos acostumados a fazer, para fazer um processo padrão e facilitar os cálculos da regra de três composta, o próximo tópico. A e B grandezas inversamente proporcionais Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais, devemos multiplicar linha a linha, ou seja: a c = b d Com isso, temos que a razão entre uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores da outra grandeza: Ou seja, sempre que uma grandeza aumentar/diminuir e a outra diminuir/aumentar, igualaremos uma razão ao inverso da outra razão. A ração existente em um quartel de cavalaria é suficiente para alimentar 30 cavalos durante 30 dias. Quantos dias duraria a ração de existissem apenas 20 cavalos? No exemplo, temos as grandezas quantidade de cavalos e dias de disponibilidade de ração. Sabemos que com 30 cavalos, teremos 30 dias de ração disponíveis e queremos descobrir quantos dias a ração duraria caso tivéssemos 20 cavalos. Temos aqui grandezas inversamente proporcionais, pois quanto menor a quantidade de cavalos, maior será o número de dias de ração disponíveis. Organizando os dados fornecidos, temos: Observe que agora as setas estão em sentido contrário, pois enquanto o número de cavalos agora aumenta para cima, o número de dias de ração aumenta para baixo. Igualando as razões, respeitando o sentido da seta para o numerador e o denominador. Igualando as razões, respeitando as setas (apontando do numerador para o denominador): 20x = = 900 Logo, para 20 cavalos, teremos 45 dias de ração. Viu só que o processo está ficando automático? Basta apenas definir os sentidos de aumento das grandezas, colocar as setas e igualar as razões respeitando que a seta aponta do numerador para o denominador! Regra de três composta Chama-se Regra de três composta ao método prático empregado para resolver problema análogo ao da regra de três simples, porém com mais de duas grandezas proporcionais. Vejamos um exemplo: Com 16 máquinas de costura, aprontam-se 720 uniformes em 3 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2160 unidades de uniformes em 24 dias? No exemplo, temos as grandezas quantidade de máquinas de costura, número de uniformes e dias de produção. A grandeza número de máquinas, que é a incógnita, deverá ser comparada com as outras duas grandezas. Assim, a quantidade de máquinas e a quantidade de uniformes são grandezas diretamente proporcionais, pois para o mesmo número de dias, quanto maior a quantidade de máquinas, maior a quantidade de uniformes. A quantidade de máquinas e o número de dias de produção são grandezas inversamente proporcionais, pois para o mesmo número de uniformes, quanto Aula 01 Título da aula 3

4 maior a quantidade de máquinas, menor a quantidade de dias de produção. Analisando a tabela, como se tivessemos duas regras de três simples na mesma tabela, aumentando o número de máquinas, aumentariamos o número de uniformes e diminuiríamos o número de dias. Colocando as setas: Para o processo de regra de três composta, igualamos a razão da incógnita com a multiplicação das razões das outras grandezas, respeitando o sentido dos numeradores e denominadores das setas. No exemplo: = 17280x Você deve concordar que, em casos como este, é justo que cada um pague proporcionalmente ao que consumiu. A conta foi de R$ 28, 00. Considere que Hagar tenha consumido o triplo do que consumiu o seu acompanhante; assim, proporcionalmente, Hagar deve pagar a) R$ 18,00 b) R$ 19,00 c) R$ 21,00 d) R$ 12,00 e) R$ 24,00 02) Um motor elétrico, tendo a si acoplada uma polia de 10cm de diâmetro, transmite movimento circular ao volante de uma moenda com 1,2m de diâmetro, através de uma correia, sem deslizamento, conforme apresentado na figura a seguir. Logo, precisaremos de 6 máquinas de costura. Veja que, analisando a nossa seta, não faz sentido o resultado ser 6, visto que a seta aumenta para baixo. Lembre-se que os sentidos das setas respeitaram apenas as relações de grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais, não devendo ser levados em conta na conferência dos resultados em uma regra de três composta. Resumo Fixe a grandeza com a incógnita de interesse (no exemplo, a quantidade de máquinas de costura). Agora adote um sentido da seta desta grandeza (no exemplo, fizemos a comparação com a seta para baixo, aumentando o número de máquinas de costura ), faça a relação entre esta grandeza e as outras, uma a uma, e verifique se são diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Vá preenchendo as setas uma a uma. Depois, iguale a razão da grandeza da incógnita com o produto das outras razões, respeitando o sentido das setas. Assinale a alternativa que corresponde à seguinte indagação: quantas rotações por minuto (rpm) deve desenvolver o motor para que o volante da moenda gire a 180 rpm? a) 1800 b) 360 c) 2160 d) 4320 e) ) Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pão. Quantos kg de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? Utilize a tabela a seguir para a resolução. Exercícios de Aula 01) (UFRJ) Leia com atenção: Aula 01 Título da aula 4

5 a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5 Exercícios Propostos Exercícios propostos 01) B 02) C 03) 9562,5 kg 04) 252 dias 05) D 01) A ração para 12 animais, durante 8 dias, custa R$ 240,00. O custo da ração para 18 animais durante 6 dias custa a) R$ 480,00 b) R$ 270,00 c) R$ 213,33 d) R$ 160,00 e) R$ 120,00 02) Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm de largura por 35 cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2 m de largura. O comprimento correspondente será a) 0,685m b) 1,35m c) 2,1m d) 6,85m e) 18m 03) Cem quilogramas de trigo fornecem 85 kg de farinha. Quantos quilogramas de farinha se obtêm com 150 sacas de trigo de 775 kg cada uma? 04) Quatorze pedreiros levam 180 dias para construir uma casa. Quanto tempo levarão 10 pedreiros para construir a mesma casa? 05) (VUNESP) Um determinado medicamento deve ser administrado a um doente 3 vezes ao dia, em doses de 5 ml cada vez, durante 10 dias. Se cada frasco contém 100cm³ do medicamento, o número de frascos necessários e suficientes é: GABARITO Exercícios de aula 01) C 02) C 03) E Aula 01 Título da aula 5