CADERNO DE EXERCÍCIOS 1C

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1 CADERNO DE EXERCÍCIOS C Ensino Médio Matemática Questão Conteúdo Teorema de Pitágoras Área de círculo Equação do º grau Área de círculo Equação do º grau Habilidade da Matriz da EJA/FB H H7 H8 H H7 H8 Área de trapézio H

2 . Um projetista de utensílios domésticos criou um suporte para copos que tem uma área revestida com tecido impermeável. Na figura, apresenta-se esse suporte e a região coberta pelo círculo é a região em que há o revestimento impermeável. Figura Para construir esse suporte, inicialmente o projetista criou um quadrado de diagonal igual a 8,9 cm e, a partir do quadrado, ele determinou qual seria a região coberta com o tecido. Acompanhe nas imagens o passo a passo até a finalização do modelo do suporte. º passo º passo º passo º e último passo Se o círculo que será revestido tem o diâmetro igual à medida do lado do quadrado, qual é a quantidade necessária de tecido impermeável para colocar nessa parte do suporte?

3 Observação: adote π =,. Considere que o suporte mencionado no eercício, teve uma ótima aceitação no mercado de utensílios e o projetista resolveu produzir uma nova versão que serviria para copos de chope. Para produzir esse novo produto, o projetista iniciou seus trabalhos a partir do quadrado já utilizado para fazer o primeiro suporte, aumentando nessa nova versão a medida do lado em centímetros. O novo quadrado, utilizado para confeccionar o suporte para copos de chope, tem área igual a 00 cm². Observe os desenhos. Medida aumentada para produzir o suporte suporte produzido Suporte para copo de chope Medida aumentada para produzir o suporte A parte hachurada representa a região que aumentou no suporte.

4 A partir dos desenhos e das informações apresentadas, determine a área da região circular, do novo suporte, que também será revestida com um tecido impermeável. Para tanto, é importante que você considere que a medida do lado do quadrado utilizado para confeccionar o primeiro suporte é igual a 6 cm. Observação: lembre-se de que o círculo tem diâmetro igual à medida do lado do quadrado utilizado para fazer o segundo suporte.. Em uma viagem de férias, uma família fez a seguinte organização, para que não houvesse surpresas com os gastos: Transporte / do valor reservado para a viagem Hotel / do valor reservado para a viagem Passeios / do valor reservado para a viagem Refeições R$ 900,00 A partir das informações apresentadas na tabela, qual foi o valor reservado para a viagem?

5 . (Enem 009) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de.050 m /s. O cálculo da vazão, Q em m /s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes. Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? a) 90 m /s b) 750 m /s c).050 m /s d) d).5 m /s e) e).009 m /s 5

6 Gabarito comentado. Para saber qual é a área do tecido impermeável, devemos calcular a área do círculo. Para tanto, inicialmente vamos calcular a medida do lado do quadrado, já que sabemos que o diâmetro do círculo tem a medida igual ao lado do quadrado. Devemos lembrar que, no enunciado do eercício, foi mencionado que a diagonal desse quadrado tem medida igual a 8,9 cm. Conforme podemos observar na imagem a seguir, ao traçar a diagonal de um quadrado, obtemos um triângulo retângulo. Para saber a medida do lado do quadrado, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. L L d L L d² = L² + L² (8,9)² = L² + L² 7,08 = L² 7,08 6,0 = L² L 6 L² Portanto, vamos considerar que o lado do quadrado tem medida igual de 6,0 cm. Se o lado do quadrado mede 6,0 cm, o diâmetro do círculo, como mencionado no enunciado, também mede 6,0 cm. Vamos agora calcular a área do círculo. Para tanto, utilizaremos a seguinte epressão: Ac = πr² π =, raio = cm 6

7 Lembre-se: o raio de um círculo tem medida igual à metade do diâmetro, por isso, neste caso, o raio mede cm. Ac =,.² Ac =,.9 Ac = 8,6 Portanto, para revestir o círculo, serão necessários 8,6 cm² de tecido impermeável. Observações: Em todos os cálculos realizados consideramos os valores com apenas casas decimais. Logo, se, ao realizar o cálculo, forem utilizadas mais que duas casas decimais, poderão eistir pequenas diferenças entre os resultados apresentados no gabarito e os resultados encontrados por você.. Para encontrar a medida do tecido que revestirá o suporte para copos, devemos fazer algumas interpretações. Primeiro vamos observar o desenho a seguir: suporte produzido Se essa parte representa o primeiro suporte construído, a medida do lado desse quadrado é igual a 6 cm. Conforme informado no enunciado do eercício, a área do quadrado utilizado para confeccionar o novo suporte é igual a 00 cm², e a medida do lado do quadrado é igual a medida do lado do quadrado utilizado para produzir o primeiro suporte aumentado de uma medida. Logo, teremos: 7

8 6 6 suporte produzido Se a área de um quadrado é calculada multiplicando-se a medida de seus lados, a área desse quadrado pode ser calculada da seguinte maneira: A = (6 + ). ( 6 + ) Sabemos que a área é igual a 00 cm². 00 = ( 6 + ). ( 6 + ) Para determinar o valor de, e assim encontrar a medida total do lado desse quadrado, vamos aplicar a distributiva. 00 = ( 6 + ). ( 6 + ) 00 = ² 00 = ² 0 = ² = ² Chegamos a uma equação do º grau. Para encontrar o valor da medida do lado do quadrado, devemos resolvê-la. Inicialmente, identificaremos os coeficientes da equação. 0 = ² + 6 a = b = c = 6 8

9 = b a Δ Δ b².a.c = = (-)²-..(-.. -.( - 6) 6) = 56 = 00 = = = 0 = 6 Obtivemos os valores = e = 6, vamos verificar qual deles representa a medida do lado do quadrado. O quadrado tem a medida de lado 6 +. Substituiremos a incógnita pelos valores encontrados. 6 + = = 0 Como estamos falando de medida, devemos considerar que o valor da incógnita é =, pois ao substituir o valor desconhecido por 6, encontramos um valor negativo que não pode ser considerado como medida de lado de um quadrado. 9

10 Agora, já sabemos que o novo quadrado utilizado para confeccionar o º suporte, tem lado igual a 0 cm suporte produzido 0 Se o quadrado tem lado igual a 0 cm, o diâmetro do círculo também é igual a 0 cm. Basta agora calcular a área do círculo que será revestido. Ac = π. r² Ac =,.5² Ac =,. 5 Ac = 78,5 Portanto, para confeccionar o suporte para chope, serão necessários 78,5 cm² de tecido impermeável.. Analisando a tabela, observa-se que, eceto o valor reservado para as refeições, todos os outros valores apresentados têm como referência o valor reservado para a viagem. Mas, não se sabe qual foi o valor reservado para a viagem, portanto, esse valor desconhecido chamaremos de. A partir dessa denominação, representa-se os gastos com a viagem por meio de uma equação do º grau. representa o valor reservado para a viagem. representa o valor reservado para o transporte. 0

11 representa o valor reservado para o hotel. representa o valor reservado para os passeios. R$ 900,00 é o valor reservado para as refeições. Temos então a equação: = Como as frações que compõem a equação têm denominadores diferentes, calcula-se o mmc dos denominadores.,,,,,,,,.. = = = Realiza-se o seguinte cálculo: : = = Para todas as outras frações serão realizados estes cálculos Pode-se cancelar os denominadores quando os dois membros da equação possuem o mesmo denominador.

12 = = Resolve-se a equação: = = = = Conclui-se que, para a viagem, foi reservado o valor de R$ 0.800,00.. Alternativa D Pela figura I, a área A é dada pela epressão do trapézio: A = (base maior + base menor). altura A = (0 + 0).,5 A = 6,5 m. E utilizando a epressão Q = A.v onde a vazão A vale.050 m /s teremos para a velocidade: Q = A.v.050 = 6,5.v v = 6,8 m/s. Observando figura a área do trapézio será de: A = (base maior + base menor). altura A = (9 + ).

13 A = 90 m Mantendo a mesma velocidade a nova vazão Q será: Q = A.v Q = 90.6,8 Q =.5 m /s