Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a. é uma proporção. Assim: Proporção é uma igualdade entre duas razões.

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Celso Pessanha Machado Vamos iniciar o nosso curso de matemática financeira. Durante esse semestre vamos estudar questões ligadas a juros, aplicações, empréstimos e descontos, estando aptos a realizar análises financeiras básicas no término dos estudos. Vamos começar recordando algumas questões básicas, fundamentais para as próximas aulas. Proporções - Introdução Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg. Observe a razão entre o peso dos dois rapazes: Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros: Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade é uma proporção. Assim: Proporção é uma igualdade entre duas razões. Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: ou a:b=c:d (lê-se "a está para b assim como c está para d") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção. Exemplo:

2 Dada a proporção, temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36 Aplicações da propriedade fundamental Determinação do termo desconhecido de uma proporção Exemplos: Determine o valor de x na proporção: Solução: 5. x = (aplicando a propriedade fundamental) 5. x = 120 x = 24 Logo, o valor de x é 24. Determine o valor de x na proporção: Solução: 5. (x-3) = 4. (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = x = 19 3x = -19 x = Logo, o valor de x é. Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. Solução: 5. x = x = 280 (aplicando a propriedade fundamental)

3 x = 56 Logo, o valor de x é 56. Resolução de problemas envolvendo proporções Exemplo: Numa salina, de cada metro cúbico (m 3 ) de água salgada, são retirados 40 dm 3 de sal. Para obtermos 2 m 3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários? Solução: A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção: Lembre-se que 40dm 3 = 0,04m = 0,04. x 0,04x = 2 (aplicando a propriedade fundamental) x = 50 m 3 Logo, são necessários 50 m 3 de água salgada Quarta proporcional Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que: Exemplo: Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6. Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção: (aplicando a propriedade fundamental) 8. x = x = 72 x = 9

4 Logo, a quarta proporcional é 9 Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: Tempo (minutos) Produção (Kg) Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min ----> 100Kg 10 min ----> 200Kg Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo Velocidade (m/s) Tempo (s) , Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s ----> 200s 10 m/s ----> 100s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s ----> 200s 20 m/s ----> 50s

5 Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. Exemplo: Se numa receita de pudim de microondas uso duas latas de leite condensado, 6 ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, apenas meia receita. Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à quantidade de pães que peça: Preço R$ 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00 Nº de pães Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peço mais pães, pago mais, se peço menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o preço pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor. Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante. Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.) Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra. Observação: É necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo. Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo de viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem.

6 Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma distância de 600km. Velocidade média (km/h) Tempo de viagem (h) Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim se viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos sempre o mesmo valor. Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante. Exercícios sobre grandezas proporcionais 1) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x e y. 2) Sabendo que x, y, z e 120 são diretamente proporcionais aos números 150, 120, 200 e 600, determine os números a, b e c. 3) Três funcionários arquivaram um total de 382 documentos em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o número de documentos arquivados pelo funcionário mais velho foi: 4) Na bandeira brasileira, o comprimento e a largura são proporcionais a 10 e 7. Carla quer fazer uma bandeira com 2 m de comprimento. Quantos metros deverá ter a largura? a) 1,20 b) 1,30 c) 1,40 d) 1,50 e) 1,70 5) Os números positivos x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5. Sabendo-se que y - z2-2x = 0, determine x + y + z. 6) Se João correr a uma velocidade de 4,0 km/h, ele completa uma certa distância em 6 minutos. Em 8 minutos, com a mesma distância, sua velocidade será: a) 5,3 km/h b) 5,2 km/h c) 7,6 km/h d) 3,0 km/h

7 7) Determine quantos quilômetros esse automóvel percorre, em média, com 1 litro desse combustível. 8) Na bula de um determinado remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do "peso" da criança. Se uma criança tem 12 kg, qual a dosagem correta? 9) (TRE) Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico de 30 anos? 10) (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a sombra da pessoa passou a medir quanto? 11) Um garoto de 1m de altura projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante, um edifício projeta uma sombra de 9 m. Qual é altura do edifício? 12) (Ag. de Trânsito - Cesgranrio ) Uma equipe de 30 agentes de trânsito vai ser dividida em dois grupos que atuarão em duas regiões diferentes, uma de 6 km² e outra, de 9 km². Se essa equipe for dividida em partes diretamente proporcionais às áreas das duas regiões, quantos agentes trabalharão na região de maior área? (A) 18 (B) 15 (C) 12 (D) 9 (E) 6 13) (Prova Técnico Judiciário Área Administrativa 4ª Região) - No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Eleitoral de uma certa circunscrição judiciária. Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era: a) 40 b) 41 c) 42

8 d) 43 e) 44