MATEMÁTICA CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI PRAIA GRANDE - SP PARABÉNS!!! VOCÊ JÁ É UM VENCEDOR! Grandezas diretamente e inversamente proporcionais.

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1 CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI PRAIA GRANDE - SP MATEMÁTICA 10 PARABÉNS!!! VOCÊ JÁ É UM VENCEDOR! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auiliá-lo nas redescobertas da "arte matemática" que elaboramos o conteúdo e os eercícios contidos nesta coleção de apostilas. Os tópicos aqui abordados são muito requisitados em concursos, vestibulares, etc. Leia com atenção, resolva todos os eercícios no caderno. Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos na orientação sempre para ajudá-lo. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais Proporção Regra de três simples - 01-

2 Números e Grandezas Proporcionais * Grandeza É todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, como consequência o outro varia também. Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por eemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si. A variação de uma grandeza pode variar outra grandeza, por eemplo: se observarmos os quilômetros percorridos por um carro (1º grandeza) e o combustível gasto (2º grandeza) por esse carro durante os quilômetros percorridos. A 2ª grandeza irá aumentar ou diminuir dependendo se a 1ª grandeza irá aumentar ou diminuir também. Podemos dizer que grandezas proporcionais são grandezas que a sua variação interfere na variação de outra. As grandezas proporcionais podem ser: Grandezas inversamente proporcionais. Grandezas diretamente proporcionais Grandeza Diretamente Proporcional Grandezas diretamente proporcionais, eplicando de uma forma mais informal, são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. Podemos dizer também que: São grandezas diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão da outra. Isto é, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... E assim por diante. Eemplo: Em um determinado mês do ano o litro de gasolina custava R$ 2,50. Tomando como base esse dado podemos formar a seguinte tabela. Observe: Quantidade de gasolina Quantidade a pagar 1 Litro R$ 2,50 2 Litros R$ 5,00 3 Litros R$ 7,50 Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra. Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica. Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais. Duas grandezas são chamadas, diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica

3 Grandeza Inversamente Proporcional Grandezas inversamente proporcionais, eplicando de maneira informal, são grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Podemos dizer também que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. Isto é, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... E assim por diante. Eemplo: Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 12 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros. Observe a tabela: Número de alunos escolhidos Números de livros para cada aluno Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade. Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... e assim por diante Eemplos de Grandezas: 1) A tabela relaciona as grandezas medida da corda e o valor pago de uma corda. Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais? Medida da corda (m) Valor pago (R$) 5m R$ 40,00 10m R$ 80,00 Como podemos ver, enquanto a grandeza medida da corda aumenta a outra grandeza valor pago também aumenta. Logo esta é uma grandeza diretamente proporcional. 2) A tabela relaciona as grandezas quantidade de operários e tempo para a construção de duas obras iguais, A e B. Essas duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais? Como estamos vendo, enquanto a grandeza quantidade de operários aumenta, a grandeza tempo diminui. Logo esta é uma grandeza inversamente proporcional. 3) A velocidade constante de um carro e o tempo que esse carro gasta para dar uma volta completa em uma pista estão indicados na tabela a seguir: De acordo com a tabela, essas duas grandezas, velocidade e tempo, são direta ou inversamente proporcionais? Observando a tabela, percebemos que se trata de uma grandeza inversamente proporcional, pois, a medida que uma grandeza aumenta a outra diminui

4 Eercício 01 Joaquim e Manuel trabalharam juntos em uma construção. Joaquim trabalhou durante 3 dias e Manuel durante 2 dias. O serviço todo rendeu para os dois juntos R$ 500,00. a) Qual dos dois tem direito a ganhar mais? b) Se a divisão for justa, quanto deve ganhar cada um? c) O tempo trabalhado e o valor recebido por cada um são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? Eercício 02 Um prêmio de R$ ,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e responda: Número de acertadores Prêmio 3 R$ ,00 4 R$ ,00 O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? Eercício 03 Diga se é diretamente ou inversamente proporcional: a) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poderá consumir. b) A compra de um determinado produto e o valor a ser pago. c) Número de erros em uma prova e a nota obtida. d) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa. e) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago PROPORÇÃO A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três" Denomina-se proporção a uma igualdade entre duas razões. A proporção também pode ser escrita na forma um está para dois, assim como dois está para quatro. Essa forma de escrever deu nomes próprios aos termos: Propriedade Fundamental das Proporções Em toda proporção, o produto dos etremos é igual ao produto dos meios. PROPORÇÃO PRODUTO DOS EXTREMOS PRODUTO DOS MEIOS = = = = = =

5 CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO Para calcular o valor do termo desconhecido em uma proporção usamos uma regra prática: a multiplicação em "cruz". Eemplos: 1) 2) Eercício 04 Copie e calcule em seu caderno o valor desconhecido: a) b) c) d) e) 1 3 f) g) h) i) 15 j)

6 Regra de Três Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplica-las na resolução de problemas. Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos. Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação Eemplo 1: Comprei 5m de corda por R$ 40,00. Quanto pagarei por 10m? Solução: montando a tabela: Medida da corda (m) Valor a ser pago (R$) 5m R$ 40,00 10m Identificação do tipo de relação: corda (m) Valor (R$) As flechas nos indicam que as grandezas são diretamente proporcionais, pois as duas estão na mesma direção. Após verificarmos que as grandezas são diretamente proporcionais temos que realizar as operações necessárias para chegar ao resultado desejado Resposta: Pagarei R$ 80,

7 Eemplo 2: Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) 3 R$ 120,00 5 Identificação do tipo de relação: Camisetas Preço (R$) Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas Eemplo 3: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 100Km/h, faz um determinado percurso em 30 minutos. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 200km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (min) 100km/h 30min 200km/h Identificação do tipo de relação: Velocidade (km/h) Tempo (min) Inicialmente colocamos uma seta para baio (1ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 2ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 15minutos

8 Eemplo 4: Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) 8h 20dias 5h Identificação do tipo de relação: Horas por dia Tempo término (dias) Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Eercício 05 Uma roda dá 100 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 40 minutos? Eercício 06 Com 4 eletricistas podemos fazer a instalação elétrica de uma casa em 6 dias. Quantos dias levarão 8 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? Eercício 07 Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 h. Quantas horas levara para engarrafar 4000 refrigerantes? Eercício 08 Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 12 marceneiros fariam o mesmo armário? Eercício 09 Uma torneira despeja em, um tanque, 50 litros de água em 20 min. Quantas horas levará para despejar 600 litros? Eercício 10 Máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantas peças produzirá em 1 hora? Logo, o prazo para término do trabalho seria de 32 dias

9 Eercício 11 Numa pequena fábrica de uniformes escolares, 12 costureiras fazem um determinado serviço em 5 dias. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, em quantos dias 15 costureiras farão o mesmo serviço? Eercício 12 COSTUREIRAS DIAS Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse livro? Eercício 13 Oito operários fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma casa? Eercício 16 Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma parede. Quanto tempo levariam 4 pintores, para fazer o mesmo serviço? Veja a tabela e verifique se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais: Eercício 17 PINTORES TEMPO 2 18h 4 Cinco operários constróem uma casa em 360 dias. Quantos dias serão necessários para que 15 operários construam a mesma casa? OPERÁRIOS DIAS Eercício 14 Uma torneira despeja 2700 litros de água em 90 minutos. Quantos litros despejará em 30 minutos? Eercício 15 Se um ônibus percorre uma estrada com velocidade média de 80 km / h, quantos quilômetros percorrerá em 2 horas? TEMPO 1h 2h ESPAÇO 80 Km - 17-

10 GABARITO Eercício 01: a) Joaquim b) Joaquim: R$ 300,00 e Manuel: R$ 200,00 c) Grandeza diretamente proporcional Eercício 02: Grandeza inversamente proporcional Eercício 03: a) Inversamente proporcional b) Diretamente proporcional c) Inversamente proporcional d) Inversamente proporcional e) Diretamente proporcional Eercício 11: 4 dias Eercício 12: 360 páginas Eercício 13: 20 dias Eercício 14: 900 litros Eercício 15: 160 km Eercício 16: 9 horas Eercício 17: 120 dias Eercício 04: a) = 6 b) = 8 c) = 3 d) = 5 e) = 27 f) = 8 g) = 10 h) = 6 i) = 12 j) = 60 Eercício 05: 200 voltas Eercício 06: 3 dias Eercício 07: 8 horas Eercício 08: 6 dias Eercício 09: 240min = 4 horas Eercício 10: 240 peças

11 BIBLIOGRAFIA Os tetos e os eercícios foram retirados e/ ou pesquisados nos seguintes livros: DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, (5 a a 8 a séries) DI PIERRO NETTO, Scipione. Matemática Conceitos e Histórias. São Paulo: Scipione, ( 5 a a 8 a séries) GIOVANI, José Rui. Et all. A Conquista da Matemática. São Paulo: FTD, (5 a a 8 a séries). MORI, Iracema. ONAGA, Dulce Satiko. Matemática Idéias e Desafios. São Paulo: Saraiva, (5 a a 8 a séries) Este conjunto de apostilas (01 a 20) foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo eercícios e teoria, ora criando com base nos conteúdos observados. PROFESSORES EDNILTON FELICIANO PAULO TELES DE ARAUJO