Matemática PRF. Professor Marcelo Jardim AULA 1: RAZÃO-PROPORÇÃO-DIVISÃO PROPORCIONAL

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1 Matemática PRF Professor Marcelo Jardim AULA 1: RAZÃO-PROPORÇÃO-DIVISÃO PROPORCIONAL 1

2 A razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo. Desta forma a razão entre os números a e b, nesta ordem, é o quociente a,com b 0. b 01. A soma de dois números é 140 e a razão entre eles é 3 4,determineos. 2

3 02. A diferença entre dois números é 69 e a razão entre eles é 8 5, determine-os. 03. Dois números estão entre si como 2 está para 3.Sabendo-se que o dobro do menor,mais o triplo do maior é igual a 78,determine os números. 3

4 04. Na igualdade de razões x = y = z calcule x+y+z, sabe-se que 2x- y + 3z = 36, GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são diretamente proporcionais ou simplesmente proporcionais,quando multiplicando-se ou dividindo-se uma delas por um número,a outra ficará multiplicada ou dividida,respectivamente,por esse mesmo número. EXEMPLO: velocidade de um veículo e a distância percorrida num intervalo de tempo fixado. Tal propriedade faz com que a razão dos números correspondentes nas duas grandezas seja CONSTANTE ( coeficiente ou fator de proporcionalidade) 4

5 x y =K,onde: x valor da primeira grandeza y valor correspondente na segunda grandeza K coeficiente de proporcionalidade Variação DIRETA é uma RETA 01. Dividir o número 100 em duas partes diretamente proporcionais a 2 e 3. 5

6 02. Dividir o número 240 em três partes diretamente proporcionais a 1,4 e Dividir o número 36 em partes proporcionais a 14,21 e 28. 6

7 04. Determinar dois números x e y,diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é Pedro e Paulo investiram R$12000,00 e R$15000,00, respectivamente,num negócio que proporcionou um lucro de R$7500,00.Quanto coube a cada um, se o lucro foi dividido proporcionalmente ao valor investido? 7

8 06. Um certo número de documentos foi distribuído entre três fiscais em partes proporcionais a 6,8 e 9,respectivamente.O primeiro fiscal recebeu 960 documentos.qual o número de documentos distribuídos entre os três fiscais? 07. O lucro de uma empresa foi dividido entre seus 3 sócios, A,B e C, em partes proporcionais a 3,2 e 5, respectivamente.sabendo que A recebeu R$50000,00 a mais que B,determine quanto recebeu cada sócio. 8

9 08. Dois números x e y são proporcionais a 3 e 4, respectivamente.sabendo que o triplo do primeiro,mais o dobro do segundo é igual a 34,determine x e y. 09. Três números x,y e z são proporcionais a 2,3 e 4, respectivamente.sabendo que 2x+3y-z=108, determine x,y e z. 9

10 10. Dividir o número 116 em duas partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 4 e 7, respectivamente. (CESPE) A quantia de R$ ,00 deverá ser repartida entre os irmãos Carlos, Lúcia e Marcos e a parte que caberá a cada um deles deverá ser diretamente proporcional aos números 5, 4 e 2, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 11.O valor que caberá a Carlos é superior a R$ ,00 12.O valor que Marcos deverá receber é superior a 1/5 do valor total da quantia repartida. 13.Considere que, para uma nova quantia a ser dividida entre os três irmãos, Lúcia receba R$ ,00 e seja mantida a mesma condição de proporcionalidade. Então a nova quantia a ser dividida é superior a R$ ,00. 10

11 (CESPE) Os acionistas A, B e C, possuem, respectivamente, 200, 500 e 800 quotas de uma companhia e terão de dividir um prêmio de R$10.500,00 na proporção do número de quotas que cada um possui. Nesta situação, julgue os itens seguintes. 14.O acionista C receberá 4 vezes mais que o acionista A. 15.O acionista B receberá mais de 2 do total do prêmio O acionista B receberá menos de 1 do total do prêmio O acionista A receberá mais de R$1.500,00 18.Os acionistas A e B juntos receberão R$4.900,00 (CESPE) Considerando que uma empresa contratou profissionais com formação de nível fundamental, médio e superior em números que são diretamente proporcionais aos números 7, 5 e 3, respectivamente e supondo que o salário de um profissional de nível fundamental é R$ 1.000,00, o do de nível médio é de R$ 2.000,00 e do de nível superior é de R$ 4.000,00 e que a folha salarial mensal da empresa com esses profissionais é de R$ ,00, julgue os itens seguintes. 19.O número de profissionais contratados por essa empresa foi inferior a Com os salários dos profissionais de nível fundamental contratados, a empresa gastará uma quantia superior a R$ ,00 por mês. 21.O número de profissionais de nível médio contratados por essa empresa foi superior a 8 e inferior a

12 (CESPE) Paulo e Marcos são irmãos. Sabe-se que Marcos nasceu 4 anos antes de Paulo e que os dois aniversariam no mesmo dia do ano. Nessas condições, julgue o item subsequente. 22.Considere que, no dia em que Paulo completou 8 anos de idade, o pai deles dividiu R$ 300,00 entre os dois de modo que cada um deles tenha recebido uma quantia proporcional à sua idade. Nesse caso, Paulo recebeu R$ 120,00 e Marcos, R$ 180, (CESPE). Na formação de uma microempresa, os dois sócios integralizaram os capitais de R$ 6.000,00 e R$ 9.000,00, respectivamente. Após 9 meses, esses sócios aceitaram outra pessoa na sociedade, que integralizou o capital de R$ ,00. Ao final do 1.º ano, a firma apresentou um lucro de R$ ,00, que foi dividido em partes proporcionais ao capital e tempo de integralização. Nesse caso, coube ao 3.º sócio uma importância superior a R$ 2.000,00. 12

13 A tabela abaixo mostra a participação em uma empresa, de três sócios, em tempo (a partir do inicio das atividades da empresa) e em capital inicial investido. Sócio Tempo de participação Capital inicial investido A 3 meses R$ ,00 B 6 meses R$ ,00 c 12 meses R$ ,00 Ao completar um ano de funcionamento, o lucro de R$ ,00 foi dividido entre eles. Com base nas informações citadas julgue os itens abaixo: 24.O sócio A recebeu absolutamente a metade do sócio B. 25.A quantia relativa ao sócio A, é 75% menor que a do sócio B. 26.O sócio A recebeu 1 do lucro total. 17 (CESPE) Para se dividir uma fortuna, imaginou-se duas formas distintas. Na primeira, a fortuna seria dividida na razão direta dos números 3, 5 e 7; na segunda, na razão direta dos números 4, 9 e 12. Na segunda forma de divisão, a segunda maior parte da fortuna ficaria aumentada em R$3.000,00 em relação à segunda maior parte da primeira forma de divisão. Em face dessa situação, julgue os itens a seguir. 27.O valor da fortuna a ser divida é superior a R$ , A menor parte da fortuna corresponde à segunda forma de divisão é inferior R$16.000, Na segunda forma de divisão, a maior parte da fortuna é o triplo do valor correspondente à menor parte. 30.Na primeira forma de divisão, a maior parte é inferior a R$50.000,00. 13

14 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são inversamente proporcionais quando multiplicando-se ou dividindo-se uma delas por um número,a outra ficará dividida ou multiplicada,respectivamente,pelo mesmo número. Tal propriedade faz com que o produto dos números correspondentes nas duas grandezas seja CONSTANTE (coeficiente ou fator de proporcionalidade) X.Y=K Variação INDIRETA é uma CURVA (HIPÉRBOLE) EXEMPLO: velocidade de um veículo e tempo necessário para percorrer uma certa distância fixada. 14

15 01. Dividir o número 70 em partes inversamente proporcionais a 3 e Dividir o número 310 em partes inversamente proporcionais a 5, 3 e 2 15

16 03.Dividir o número 380 em partes inversamente proporcionais a 2,5 e 4. ATENÇÃO: Se uma sucessão numérica é simultaneamente proporcional a duas outras sucessões, então será proporcional aos PRODUTOS dos números correspondentes dos elementos correspondentes dessas duas sucessões. 16

17 01. Dividindo-se o número 270 em 3 partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente, encontramos a maior parte igual a: 02. Dividindo-se o número 87 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 5 e 7, encontramos para maior parte: 17

18 03. Dividindo-se o número 690 em três partes diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos úmeros 2, 3 e 4, respectivamente a menor parte vale: 04. Dividindo-se 105 em três partes que são, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 3, 2 e 5 e inversamente proporcionais a 5, 3 e 6, respectivamente, a menor dessas partes vale: 18