Professor Mauricio Lutz RAZÕES E PROPORÇÕES

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1 1 RAZÕES E PROPORÇÕES Chama-se razão de dois números, dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quociente do primeiro pelo segundo. a ou b a : b, onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado conseqüente da razão dada. Exemplo: Numa partida de basquetebol João fez 1 arremesses, acertando 9 deles. Nessas condições: a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos de João? 9 =, ou seja, cada arremessos João acertava b) Qual a razão entre o número de arremessos que João acertou e o número de arremessos que ele errou? 9 3 =, ou seja, cada 3 arremessos certos João errava 2. 2 razões. Proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais meios e vice-versa. onde Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos a b c = Û a. d = bc., d b. c é o produto dos meios e a. d é o produto dos extremos, podendo ser lida como a esta para b assim como c está para d. Exemplo: Sabendo que os números, 24, e x formam nesta ordem, uma proporção, determinar o valor de x = Þ 24.Þ = 20\ 20 x

2 2 Grandezas diretamente proporcionais Dada sucessão de valores (a, b, c, d,...), dizemos que estes valores são diretamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (a, b, c,,...) quando forem iguais as razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra. a a b c d = = = =... = k b c O resultado constante das razões obtidas de duas sucessões de números diretamente proporcionais é chamada de fator de proporcionalidade (k). Exemplo: Os valores, 7, 10 e 1, nesta ordem, são diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30 respectivamente, pois as razões,, e são todas iguais, sendo igual a 2 1 o fator de proporcionalidade da primeira para a segunda. Grandezas inversamente proporcionais Dada sucessão de valores (a, b, c, d,...), dizemos que estes valores são inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (a, b, c,,...), todos também diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra. a b c d = = = =... = k ou a. a = bb. = cc. = d. =... = k a b c Exemplos: 1) Os valores 2, 3, e 12 são inversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e, nessa ordem, pois os produtos 2x30, 3x20, x12 e 12x são todos iguais = = = Þ 2.30= 3.20=.12= 12.= 0

3 3 2) Reparta a quantia de R$94,00 em partes inversamente proporcionais aos números e 8. ìx+ y= 94 ï x y x y í = = k Þ = k e = k ï ïî 8 8 k k x = kþ 8y = kþ y= 8 k k 4k+ 3k + = 94Þ = k = 94.24Þ k = = Logo: 3240 = k 3240 x = = 40 y = k = = Portanto temos R$40,00 e R$40,00. Exercícios 1) As letras a, b e c representam números que são diretamente proporcionais aos números 14, e 84, nessa ordem. O fator de proporcionalidade é. Quais são 7 os valores de a, b e c? 2) Quais são os valores dos números representados pelas letras x e y para que - 12, x e y sejam diretamente proporcionais aos números, - e 13, nessa ordem? 3) As letras a e c representam números. Sabendo que a, 3 e c são inversamente proporcionais aos números 9, 7 e 3, nessa ordem, determine: a) o fator de proporcionalidade. b) o valor de a e o valor de c. 4) Quais os valores de x e y para que 1,2; e y sejam, nessa ordem, inversamente proporcionais aos números x; 14,4 e 10?

4 4 ) As medidas da largura e do comprimento de um retângulo são diretamente proporcionais a e 8 e seu perímetro é 78 cm. Quais são as medidas da largura e do comprimento desse retângulo, se a largura é menor que o comprimento? ) O número 400 será repartido em três parcelas, de modo que as parcelas sejam diretamente proporcionais aos números 10, 1 e 2. Qual será o valor de cada parcela? 7) Leila e Jorge foram ao Bingo Piratininga e combinaram que o total de prêmios seria dividido em partes inversamente proporcionais ao salário de cada um. Eles ganharam R$ 1.400,00. Se Leila ganha salários mínimos e Jorge, 8 salários mínimos, quanto coube a cada um? 8) O perímetro de um triângulo é 48 m e as medidas dos seus lados são diretamente proporcionais a 4, 3 e. Determine as medidas dos lados desse triângulo. 9) Para dividir o número 370 em três parcelas inversamente proporcionais aos números 4, e, quais seriam os valores dessas parcelas? 10) A soma de três números e 90 é esses números são inversamente proporcionais aos números 1, 8 1 e 9 1. Quais são esses números? 11) Um terreno de 30 m 2 será dividido em três partes, de modo que as áreas dessas partes sejam diretamente proporcionais aos números 2, 4 e. Qual será a área de cada parte? 12) Pedro quer repartir R$ 900,00 entre três netos em partes diretamente proporcionais às idades de cada um, Juca tem 7 anos, Marta tem 10 anos e Daniel tem 13 anos. Que quantia caberá a cada um?

5 13) Rosa, Irene e Sueli são costureiras e receberam uma encomenda de 47 aventais. Elas resolveram dividir a tarefa em partes inversamente proporcionais às suas idades. Rosa tem 40 anos, Irene, 32 anos e Sueli, 24 anos. Quantos aventais cada uma fará? 14) Roberto, Geraldo e André formaram uma sociedade para comprar um carro de R$.000,00. André entrou com R$ 1.00,00, Roberto, com R$ 2.00,00 e Geraldo, com R$ 1.000,00. Depois de um certo tempo, eles vendaram o carro por R$.000,00 e dividiram a diferença obtida em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um investiu. Qual é a parte da diferença que coube a cada um? 1) Gina, Marcos e Ricardo têm sociedade em uma loja. Ao fazer o balanço, dividiram o lucro de R$ ,00 em partes diretamente proporcionais ao tempo que estão na sociedade. Gina está a 8 meses, Marcos há 1ano e Ricardo há 1 ano e meio. Qual a quantia que coube a cada um? Gabarito: 1) a=12;b=48; c=72 2) 10 e y= 2 3) a) 441 b) a=49 e c=147 4) 0 e y=0,48 ) 1 cm e 24 cm ) 80, 120 e 200 7) Leila: R$800,00 Jorge:R$00,00 8) 1 m, 12 m e 20 m 9) 10, 120 e ) 180, 240 e ) 0 m 2, 120 m 2 e 180 m 2 12) Juca: R$ 210,00 Marta: R$ 300,00 Daniel: R$ 390,00 13) Rosa: 12 Irene: 1 Sueli: 20 14) Roberto: R$ 00,00 Geraldo: R$200,00 André: R$ 300,00 1) Gina: R$4.800,00 Marcos: R$7.200,00 Ricardo:R$ ,00