Prof. Rivelino Matemática Básica

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1 NÚMEROS PROPORCIONAIS Números Diretamente Proporcionais Os números de uma sucessão numérica A = ( a, a, a,... a n ) são ditos diretamente proporcionais aos números da sucessão numérica B = ( b,.. n), quando as razões de cada termo de A pelo seu correspondente em B forem iguais, isto é: a a a an = = =... = = k b b b b n Este valor k é chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade. ) Encontre x e y sabendo que os números da sucessão (x, y, 40) são diretamente proporcionais aos números da sucessão (, 4, 8). Números Inversamente Proporcionais Os números de uma sucessão numérica A = ( a, a, a,... a n ) são inversamente proporcionais aos números da sucessão numérica B = ( b,.. n), quando os produtos de cada termo da sucessão A pelo seu correspondente em B forem iguais, isto é: a = a = a = a n n = k Exemplo: A = (,, 4, 5, 6 ) B = ( 0, 5, 0, 5, 0 ) Agora, vamos estabelecer razões entre os termos de A e seus correspondentes em B = = = = = O número é chamado de fator de 5 proporcionalidade. Este valor k também é chamado de fator ou coeficiente de proporcionalidade. Na situação exposta, podemos dizer também que os elementos da sucessão A são diretamente proporcionais aos inversos dos elementos da sucessão B. a a a an = = =... = = k b b b b n Exemplo: Exercícios Básicos A = (, 6, 8, ) ) Verifique se os números da sucessão B = ( 4,, 9, 6 ) (40,, 4 ) são ou não proporcionais aos números da sucessão ( 0, 8, 6 ). Vamos encontrar os produtos entre os Em caso afirmativo, determine o termos correspondentes de A e B. coeficiente de proporcionalidade. Repita com fé: Eu Vou Passar

2 .4 = 6. = 8.9 =.6 = 7 O número 7 é chamado, nesse caso, fator de proporcionalidade. Exercícios Básicos ) Verifique se os números (, 5, 0 ) são ou não inversamente proporcionais aos números da sucessão ( 0, 4, ). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade k. ) Encontre x, y e z, sabendo que os números das sucessões ( x,, 8 ) e ( 9, y, z ) são inversamente proporcionais e têm coeficiente de proporcionalidade k = 6. Divisão em Partes Diretamente Proporcionais ) Dividir o número 80 em partes diretamente proporcionais a, 4 e 5. ) Dividir 0 em partes diretamente proporcionais a, e. Divisão em Partes Inversamente Proporcionais Grandezas Diretamente Proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, multiplicando-se (ou dividindo-se) uma delas por um número, a outra ficará multiplicada (ou dividida) por esse número. QUADRADO Lado Perímetro Grandezas Inversamente Proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando multiplicando-se (ou dividindo-se) uma delas por um número, a outra ficará dividida (ou multiplicada) por esse número. Velocidade Tempo (km/h) h ) Dividir 44 em partes inversamente proporcionais a, e 5. ) Dividir 0 em partes inversamente proporcionais a, e. Regra de Sociedade Em uma sociedade é justo que os lucros e os prejuízos sejam distribuídos entre os sócios proporcionalmente aos capitais Repita com fé: Eu Vou Passar

3 empregados e também ao tempo durante o qual permaneceram na sociedade. Exercícios Básicos ) Dois sócios lucraram R$ 585,00. O primeiro entrou para a sociedade com R$ 60,00 e o segundo com R$ 40,00. Qual será o lucro de cada sócio? ) Três pessoas associam-se entrando cada uma com o capital de R$ 0.000,00. Sabendo-se que tiveram um prejuízo de R$.500,00 e que a ª ficou 8 meses na sociedade; a ª, 7 meses e a ª, 0 meses, qual o prejuízo de cada uma? e) -5. (FAAP) Duas grandezas L e M são diretamente proporcionais e têm suas medidas relacionadas conforme a tabela: L 4 y 8 t M x 6 54 z 08 A soma dos valores de x, y, z e t é: a) 66 b) 6 c) 7 d) 54 e) Dividindo 70 em partes proporcionais a, Exercícios e 5, a soma entre a menor e a maior. (BANERJ) x é inversamente proporcional parte é: a y. Quando x vale, y vale 4. Qual o a) 5 valor de x quando y vale 6? b) 49 a) 6 c) 56 b) 8 d) 4 c) 9 e) 8 d) e) 8 5. (PGR) Uma peça de tecido foi dividida em 4 partes proporcionais aos números 0,. (TRT) As sucessões ( -, x, y + ) e ( z,, 6 e 0. Sabendo-se que a peça tinha 5, 8 ) são inversamente proporcionais e o metros, o comprimento do menor fator de proporcionalidade entre elas é corte foi de: 0. Então o valor de x + y z é: a) 0 m a) - b) 40 m b) 98 c) 0 m c) d) 48 m d) 5 Repita com fé: Eu Vou Passar

4 e) 64 m 6. (ESAF) Um pai deixou para seus filhos uma herança no valor de R$ 5.500,00 para ser dividida entre eles na razão direta do número de dependentes de cada um. Sabendo-se que o primeiro herdeiro tem dependentes, o segundo e o terceiro 5, coube na partilha ao primeiro herdeiro a quantia de R$? a).000,00 b).00,00 c).00,00 d).500,00 e).650,00 7. (B.BRASIL) 65 balas foram distribuídas entre irmãos, cujas idades somadas totalizavam anos. Sabendo-se que a distribuição foi diretamente proporcional à idade de cada um, que o mais moço recebeu 40 balas e o do meio, 50, calcular suas idades. a) 6, e 4 b) 7, 9 e 7 c), e 8 d) 6, e 6 e) 8, 0 e 5, respectivamente. A fração da fortuna que coube a cada sobrinho foi de: a) /7 b) /9 c) / d) /5 e) /9 9. Um certo número de documentos foi distribuído entre três fiscais, em partes diretamente proporcionais a 6, 8 e 9, respectivamente. O primeiro fiscal recebeu 960 documentos. O número de documentos distribuídos entre os três fiscais corresponde a: a) 880 b) 960 c) 680 d) (PETROBRÁS) Dividindo-se R$.800,00 em partes inversamente proporcionais a, e 4, a menor parte corresponderá a R$: a) 475,00 b) 50,00 c) 600,00 d) 60,00 e) 650,00 8. (PETROBRÁS) Um milionário viúvo. (TRT) Certa quantia foi dividida entre duas decidiu repartir sua fortuna entre seus três pessoas, em partes inversamente filhos e sobrinhos, de modo que a parte proporcionais a 7 e 5. Sabendo que a de cada filho e a de cada sobrinho fosse diferença entre as partes é de R$ 60,00, diretamente proporcional aos números 5 e o valor, em reais, da menor parte é de: 4 Repita com fé: Eu Vou Passar

5 a) 60,00 b) 0,00 c) 60,00 d) 40,00 e) 40,00 números 0, 6 e ; nessas condições, a medida da largura desse depósito é de: a) 8 m b) m c) 40 m d) 6 m. (TRF) O juiz da 99ª Vara resolveu e) 4 m distribuir.800 processos entre auxiliares em parcelas inversamente 5. Ao dividir a quantia de R$ 0.000,00 em proporcionais ao tempo de serviço de cada um. Antônio tem 5 anos de serviço, Bernardo, 0 e Carlos, 0. O número de processos que Bernardo recebeu é igual a: a) 800 b).000 c).00 duas partes inversamente proporcionais a e, nessa ordem, a primeira e a segunda parte são, respectivamente: a) R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00 b) R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00 c) R$ 5.000,00 e R$ 5.000,00 d) R$ 8.000,00 e R$.000,00 e) R$.000,00 e R$ 8.000,00 d).400 e) No final do ano, a nossa escola sempre reparte um prêmio de R$.800,00 entre. (FURNAS) Dividindo-se um terreno em os três melhores alunos de forma lotes proporcionais a, 4 e 6, o menor lote será 60 m². A área total do terreno, em m², corresponde a: a) 70 b) 780 c).70 d).560 e).800 diretamente proporcional às notas de Matemática e inversamente proporcional às faltas de cada um no ano. Sabendo que Abel, Beatriz e Carlos foram os melhores alunos, que Abel tirou nota 6 em Matemática e faltou 8 vezes, que Beatriz tirou nota 6 e faltou vezes e que Carlos tirou nota 0 e faltou vezes, quanto coube ao Carlos? 4. (PGR) Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depósito de água, cuja capacidade é de litros, são a) R$ 700,00 b) R$ 70,00 c) R$ 70,00 proporcionais, respectivamente, aos d) R$ 70, Repita com fé: Eu Vou Passar

6 e) R$ 740,00 7. Dois moços formam uma sociedade e lucram R$.500,00. O primeiro entrou com R$ 7.000,00, e o segundo, com R$ 5.500,00. Qual o lucro de cada um? a) R$.000,00 e R$.500,00 b) R$.00,00 e R$.00,00 c) R$.00,00 e R$.00,00 d) R$.400,00 e R$.00,00 e) R$.600,00 e R$ 900,00 8. Três sócios lucraram juntamente R$.500,00. O primeiro entrou com R$ 7.000,00 durante ano, o segundo, com R$ 8.500,00 durante 8 meses e o terceiro, com R$ 9.000,00 durante 7 meses. Qual foi o lucro de cada um? a) R$ 6.800,00; R$ 6.00,00 e R$ 8.400,00 b) R$ 6.800,00; R$ 8.400,00 e R$ 6.00,00 c) R$ 8.400,00; R$ 6.800,00 e R$ 6.00,00 d) R$ 8.400,00; R$ 6.00,00 e R$ 6.800,00 e) R$ 6.00,00; R$ 6.800,00 e R$ 8.400,00 9. Divida 9 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a, 5 e 6 e a 4, 6 e 9. a) 7, 40 e 80 b) 80, 40 e 7 c) 80, 7 e 40 d) 40, 7 e 80 e) 40, 80 e 7 0. Divida em três partes que sejam inversamente proporcionais a, 5 e 6 e diretamente proporcionais a 4, 6 e 9. a).000,.50 e 800 b).000, 800 e.50 c).800,.50 e.000 d).800,.000 e.50 e).50,.800 e.000. Três operários receberam, ao todo, R$ 680,00. O primeiro trabalhou 5 dias à razão de 6 horas por dia; o segundo, 5 dias à razão de 4 horas por dia e o terceiro, 0 dias à razão de 5 horas por dia. Quanto recebeu cada um deles? a) R$ 80,00; R$ 00,00 e R$ 00,00 b) R$ 80,00; R$ 00,00 e R$ 00,00 c) R$ 00,00; R$ 80,00 e R$ 00,00 d) R$ 00,00; R$ 80,00 e R$ 00,00 e) R$ 00,00; R$ 00,00 e R$ 80,00. três semi-retas partem de um mesmo ponto Q, formando três ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos números, e. O suplemento do maior dos ângulos, em graus, mede: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90. O perímetro de um triângulo é 60 cm. As medidas dos lados são diretamente 6 Repita com fé: Eu Vou Passar

7 proporcionais aos números, 4 e 5. Então o menor lado do triângulo mede: a) 0 cm b) cm c) cm d) cm e) 5 cm 4. Divida 75 em partes diretamente proporcionais a 5, e 4 4 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 4, 6 e. a) 70, e 84 b) 70, 84 e c) 84, 70 e d) 84, e 70 e), 70 e Determine três números cuja soma é 5, sabendo que eles são proporcionais a, 4 e 7 8. a), 8 e b), 8 e c), e 8 d) 8, e e) 8, e 7 Repita com fé: Eu Vou Passar