GABARITO - ANO 2018 OBSERVAÇÃO:

Transcrição

1 GABARITO - ANO 018 OBSERVAÇÃO: Embora as soluções neste gabarito se apresentem sob a forma de um texto explicativo, gostaríamos de salientar que para efeito de contagem dos pontos adquiridos, na avaliação das provas objetivas, para premiação só será levado em consideração a resposta objetiva da questão. Quanto a prova dissertativa, toda a resolução é levada em consideração (outras resoluções diferentes da apresentada aqui, terão seus méritos julgados pela banca avaliadora).

2 PARTE OBJETIVA - NÍVEL 1 - ANO 018 Problema 1 Em uma corrida de carros, os pilotos Felipe e Emerson largaram em 8 o e 11 o lugares, respectivamente. Durante a corrida, Felipe fez duas ultrapassagens, depois Emerson fez sete ultrapassagens e, em seguida, Felipe fez outras quatro ultrapassagens. Não houve nenhuma ultrapassagem por parte dos outros pilotos e a corrida terminou. Em que posição Emerson terminou a corrida? No início da corrida, existem 7 pilotos a frente de Felipe e pilotos entre Felipe e Emerson, isto pode ser representado por: F E ou 7 F E Felipe faz duas ultrapassagens e a nova configuração é F E ou 5 F 4 E Emerson faz sete ultrapassagens fazendo com que fique a frente de Felipe: E F ou E F 4 Ao realizar mais quatro ultrapassagens, Felipe ultrapassa novamente Emerson: F E ou F 1 E 6 Assim, Emerson ultrapassou 7 pessoas, subindo para o 4 o lugar, mas também foi ultrapassado por Felipe uma vez, ficando assim na 5 a colocação. Problema A tabela apresenta as cinco netas de Dona Zazá. Cada X na tabela significa que neta na coluna correspondente é mais velha do que a neta na linha correspondente; por exemplo, Ana é mais velha do que Carol. Das cinco netas de Dona Zazá, qual é a quarta neta mais velha? Ana Bruna Carol Daiana Emília Ana X X X Bruna X X Carol X X X X Daiana Emília X Como cada X na tabela significa que neta na coluna correspondente é mais velha do que a neta na linha correspondente temos que a coluna que tiver a maior quantidade de X será a coluna da neta mais velha. Na coluna de Daiana temos 4 X, logo, é a mais velha; Na coluna referente à Emília, temos X, logo, é a segunda mais velha; Seguindo este raciocínio, podemos ordenar as netas de Dona Zazá em ordem de idade (da mais velha para a mais nova): Daiana, Emília, Bruna, Ana e Carol. Assim, a quarta neta mais velha é Ana. Problema Para fazer uma jarra de 1 litro de sua vitamina favorita, Chicó utiliza meio mamão, maçãs, bananas e 50 ml de leite. Sabendo que em sua casa ele tem 1 mamão, 4 maçãs, 6 bananas e 1 litro de leite, determine a quantidade mínima de ingredientes que ele precisa comprar no mercadinho da esquina para fazer 6 jarras de vitamina. (Obs.: O mamão é vendido somente por unidade e o leite é vendido a caixa com 1 litro).

3 Primeiramente devemos observar a quantidade de ingredientes necessário para fazer uma jarra de vitamina. O enunciado da questão nos permite conhecer a quantidade necessária de ingredientes para fazer uma jarra de vitamina. Conhecendo-se esses valores, basta multiplicarmos a quantidade de ingredientes para 1 Jarra por 6, que iremos descobrir a quantidade de ingredientes para fazer 6 Jarras de Vitamina. Assim, para fazer 6 Jarras de Vitamina é necessário mamões, 1 maçãs, 18 bananas e 1,5 Litros de Leite. Mas o exercício pergunta a quantidade mínima de ingredientes que precisam ser comprados para se fazer as 6 Jarras de Vitamina. Com isso, o exercício fornece a quantidade de ingrediente que Chicó tem em sua casa, que é: 1 mamão, 4 maçãs, 6 bananas e 1 litro de leite. Dessa forma, para saber a quantidade de ingredientes que deverão ser comprados no mercadinho da esquina, devemos calcular a diferença dos ingredientes que Chicó tem em casa pela quantidade de ingredientes que precisa para fazer as 6 Jarras de Vitamina. Ou seja, Precisa de mamões mas tem 1 mamão, assim precisa comprar mamões. Precisa de 1 maçãs mas tem 4 maçãs, assim precisa comprar 8 maçãs. Precisa de 18 bananas mas tem 6 bananas, assim precisa comprar 1 bananas. Precisa de 1,5 litros de leite mas tem 1 litro, assim precisa comprar 1 litro, visto que o mercadinho não vende meio litro de leite. Logo, Chicó precisa comprar mamões, 8 maçãs, 1 bananas e 1 litro de leite. Problema 4 O logotipo de um clube foi criado sobrepondo dois pedaços de uma fita com 1 cm de largura. As outras dimensões, em centímetros, estão indicadas na figura. Qual é a área, em cm, do logotipo? Para calcular a área basta pensar na subdivisão em quadrados de área 1 cm como na figura ao lado. Os triângulos formados, quando juntados dois a dois, formam um novo quadrado. Somando a área temos 11 cm. Problema 5 Paulo possui uma coleção de moedas de diversos países. Esta coleção tem 67 moedas e Paulo resolveu distribui-las entre seus seis sobrinhos. Começa pelo mais novo dos seis e, por ordem crescente de idade, cada sobrinho recebe uma moeda a mais do que o sobrinho anterior. Quantas moedas receberá o sobrinho mais velho? Para distribuir as moedas da forma desejada, Paulo pode fazer isto em duas etapas: Na primeira etapa ele entrega 1 moeda ao mais novo, moedas ao segundo mais novo, moedas ao seguinte até o sexto sobrinho; Na segunda etapa basta dividir igualmente as moedas restantes entre os seis sobrinhos. Então seriam necessárias = 1 moedas para a primeira etapa. O restante das moedas (67 1 = 46) precisa ser dividida igualmente entre os 6, então caberão mais 46 6 = 41 moedas a cada um deles. Assim, o sobrinho mais velho já havia recebido 6 moedas na primeira etapa de divisão e receberá mais as 41 da segunda etapa e, portanto, ficará com 47 moedas.

4 Problema 6 João e Maria foram à sorveteria na qual haviam duas opções: Picolé de fruta (R$ 1,50 a unidade) e picolé de leite (R$,00 a unidade). Juntos dispunham de R$ 0,00 para gastar com picolé. Qual é o número de opções que o casal dispõe para fazer a compra, de forma que não sobre troco? (Obs.: Considera-se como uma opção comprar 04 picolés de fruta e 1 picolés de leite) Considere F representando o número de picolés de frutas e L o número de picolés de leite (Note que F, L N). Devemos ter F + L = 0, visto que, o casal dispõe apenas de R$0, 00 para compra dos picolés. Segue da equação acima que L = 15 F 4. Portanto F {0, 4, 8, 1, 16, 0}. De maneira objetiva, dizemos que existem 6 opções para o casal adquira os picolés sem que lhes sobre troco.

5 PARTE DISSERTATIVA - NÍVEL 1 - ANO 018 Problema 1 Zezinho está brincando de empilhar cubos, todos do mesmo tamanho. Zezinho montou a construção abaixo: a) Sabendo que, na perspectiva da representação, os únicos cubinhos que não aparecem estão servindo de apoio às camadas superiores, quantos cubinhos não aparecem nesta perspectiva? Pensando a figura em camadas temos que 5 a camada todos os cubinhos desta camada estão visíveis 4 a camada 1 cubinho desta camada não está visível a camada 1 cubinho desta camada não está visível a camada cubinhos desta camada não estão visíveis 1 a camada 6 cubinhos desta camada não estão visíveis Assim, 11 cubinhos não estão visíveis na perspectiva dada. b) Quantos cubinhos foram usados por Zezinho nesta construção?

6 Separando as camadas temos: 5 a camada 1 cubinho 4 a camada cubinhos a camada 4 cubinhos a camada 8 cubinhos 1 a camada 11 cubinhos Assim, o total de cubinhos é = 7. É possível realizar o mesmo raciocínio separando a figura em camadas verticais como a seguir: ou c) Sem mover os cubinhos já postos, qual a menor quantidade de cubinhos Zezinho precisaria acrescentar à sua construção para que ela se tornasse um cubo? Ao observar a construção inicial temos que a maior dimensão é a altura, com 5 cubinhos, então, o menor cubo que pode ser construído tem 5 cubinhos de lado: E, portanto, será formado por 5 camadas e cada camada com 5 cubinhos, totalizando 5 5 = 15 cubinhos. Como já estão postos 7, seriam necessários mais 15 7 = 98 cubinhos. Problema Se ignorarmos o duplo zero as restantes 7 peças de um jogo de dominó podem ser vistas como frações menores ou iguais a 1 (Numerador menor que o Denominador). Por exemplo, a peça abaixo representa 5 6. Qual é a soma das 7 frações formadas pelas 7 peças restantes?

7 As frações formadas pelas peças do dominó serão: 0 1, 1 1, 0, 1,, 0, 1,,, 0 4, 1 4, 4, 4, 4 4, 0 5, 1 5, 5, 5, 4 5, 5 5, 0 6, 1 6, 6, 6, 4 6, 5 6 e 6 6 Assim, a soma de todas elas é dada por: = = = = 81 6 = 7 = 1, 5 Problema Em um tabuleiro quadrado, dividido em dezesseis quadradinhos com lados de 1 cm, podemos fazer várias figuras pintando exatamente oito desses quadradinhos de cinza. Dizemos que o perímetro de uma dessas figuras é o comprimento do seu contorno. Por exemplo, o perímetro das duas figuras a seguir é 0 cm. a) Desenhe figuras formadas por oito quadradinhos e com os perímetros indicados. Perímetro 1 cm Perímetro 6 cm Algumas respostas possíveis Perímetro 1 cm Perímetro 1 cm Perímetro 1 cm Perímetro 6 cm Perímetro 6 cm b) Qual o perímetro máximo possível para uma figura desenhada com 8 quadradinhos? Explique. Para que o perímetro seja diferente em figuras com a mesma quantidade de quadradinhos (ou seja, com a mesma área) é necessário que seja diferente a quantidade de quadradinhos com arestas em comum. Quanto menor o número de arestas em comum maior será o perímetro, então basta pintar os quadradinhos sem que nenhum deles divida o lado com nenhum outro. Como o tabuleiro tem 16 quadrados, então é possível fazer. Por exemplo: Então o maior perímetro possível é 8 4 = cm.