04.1 Razão É a comparação entre duas grandezas, de mesma espécie, da forma

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1 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA Prof. Mário 04 Razão e Proporção 04. Razão É a comparação entre duas grandezas, de mesma espécie, da forma a ou a : b com b? 0 b Onde: a antecedente b conseqüente Lê-se: a está para b 04.. Razão Inversa 04.. Propriedade Podemos multiplicar ou dividir ambos os termos de uma razão, por um mesmo número diferente de zero, que esta não se altera. a. k a b. k ( k 0) b a: k b: k Ex. - Qual razão entre as idades de Francis (4 anos) e Melissa ( anos)? Ex. - Na prova de Matemática de Samara, a razão do número de questões certas para o número total de questões foi de 3 para 4. Sabendo-se que a prova era composta de 6 questões, quantas questões Samara acertou? 0. Determinar a razão de 48 para Numa partida de basquete, Francis fez arremessos, acertando 9 deles. Nestas condições: a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos de Francis? b) Qual a razão entre o número de arremessos que Francis acertou e o número de arremessos que ela errou? Razões Especiais RE Velocidade v d t Distância d v. t d Tempo t v km/h : 3,6 x 3,6 m/s Ex.3 - Um carro percorreu a distância de 40 km em 4 horas: a) qual a velocidade média do carro? b) no SI esta velocidade deve corresponder a? Ex.4 - Se um carro faz um movimento de 8 km/h durante h30min, que distância percorreu? Ex. - Uma moto percorreu a distância de 64 km com uma velocidade média de 86 km/h. Qual o tempo gasto no percurso? Ex.6 - Um automóvel foi de São Paulo a Ubatuba, passando por Taubaté. De São Paulo a

2 Razão e Proporção Taubaté ele rodou 30 km a uma velocidade média de 00 km/h. Os 00 km restantes, até Ubatuba, foram feitos a 60 km/h. O tempo total da viagem foi de? 03. Um móvel percorreu a distância de 800 km em 6 horas. Qual sua velocidade média? 04. A Kombi da Larissa fez um movimento a 0 km/h durante 3 horas. Qual a distância percorrida 0. Se um móvel percorre a distância de 00 km com velocidade média de 00 km/h, qual o tempo gasto nessa viagem? 06. Se um veículo se deslocar com velocidade média de 90 km/h: a) Quantos quilômetros irão percorrer em hora? b) Qual o valor desta velocidade no SI? 07. Um automóvel percorre 80m em 8 segundos: a) Qual sua velocidade no SI? b) Qual sua indicação no velocímetro? 08. Um ciclista percorreu 6 km na velocidade de 36 km/h. Quanto tempo gastou no percurso? 09. Um soldado marcha com velocidade de 8 km/h. Em 3h30min percorrerá quantos quilômetros? 0. Se um veículo se deslocar com uma velocidade média de 8 km/h, quantos quilômetros ele irá percorrer em : a) hora b) horas c) h 30 min. Um automóvel percorreu 630 km em horas: a) qual a velocidade média desse automóvel no percurso, em Km/h? b) essa mesma velocidade no SI é?. A distância entre São Paulo e Brasília é de.0 km. Qual a velocidade média do ônibus que faz esse percurso em: a) h b) h 30 min 3. Transforme em m/s: a) 6 Km/h b) 7 Km/h c) 6 Km/h 4. Transforme em Km/h: a) 40 m/s b) 7 m/s c) 30 m/s. Um móvel percorreu 360m em 8s. Calcule sua velocidade em Km/h. 6. Um ciclista percorreu 43.00m em 4h. Calcule sua velocidade em m/s. 7. Em uma volta de 000m, você desenvolveu uma velocidade média de 00m/min. Qual foi o tempo gasto no percurso? 8. Um ponto material percorreu a distância de 300m com velocidade média de 0m/s. Quanto tempo gastou? 9. Um móvel percorreu 486 km com velocidade média de 4m/s. Em quantas horas transcorreu este percurso? 0. Um motociclista percorre 600m na velocidade média de 7 km/h. Quantos segundos levam no trajeto?. Um veículo desenvolve a velocidade média de 7m/s durante 3 horas. Quantos quilômetros percorrerão?. Se o móvel anda a 40m/s, que distância percorrerá em 7 minutos? RE Escala Escala ( cm) tamanho no papel tamanho real (cm) Ex.7 Num mapa feito na escala : a distância entre duas cidades A e B é 3,4 cm. Calcule a distância real entre as duas cidades em km.

3 Razão e Proporção 3 Ex.8 Na maquete de uma praça pública construída na escala :7, o edifício da prefeitura, de 3,m de altura, está representado com uma altura de? 3. Uma maquete foi construída na razão :40. Se a altura de um edifício na maquete for de 90 cm, qual é a altura real desse prédio? 4. Uma escala de : 0, qual o comprimento real, em metros, correspondente ao comprimento de 8 cm?. (Fuvest-06) No mapa a seguir a distância, em linha reta, entre as cidades de Araçatuba e Campinas é de, cm. Na realidade, esta distância é de aproximadamente: RE3 Densidade do Corpo massa ( g) D 3 volume ( cm ) RE4 Densidade Demográfica Dens. Demográfica nº de habitantes km Gabarito: 0) :3, 0a) 3: 0b) 3: 03) 0 km/h, 04) 660km, 0) h, 06a) 90km, 06b) m/s, 07a) 3m/s, 07b) 6km/h, 08) 3h30min, 09) 8km, 0a) 8km, 0b) 70km, 0c),km, a) 6, b) 3m/s, a) 76 /3km/h, b) 9km/h, 3a) 4, 3b) 0, 3c) 3, 4a) 44, 4b) 70, 4c) 08, ) 7, 6) 3, 7) min, 8) s, 9) 3, 0) 30, ) 80, ) 6,8km, 3) 36m, 4) 4, ) 37km.

4 Razão e Proporção Proporção Quatro números a, b, c e d, diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção se e somente se, a b c d ou Onde: a e c são antecedentes b e d são conseqüentes a e d são extremos b e c são meios d é a quarta proporcional a :b c :d Lê-se: a esta para b assim como c está para d Obs.: A igualdade entre duas razões é chamada de proporção. Exemplo: A igualdade é uma proporção porque as razões e expressam o mesmo 4 4 quociente (Constante ou mesma parte da unidade) Quarta proporcional É o quarto número, de uma sucessão, que forma com os outros três números dados uma proporção. Exemplo: é a quarta proporcional na seqüência,, 6, Proporção contínua E toda proporção em que seus meios são iguais. a b b c Onde: b é média proporcional ou média geométrica dos extremos, c é a terceira proporcional de a e b. Exemplo: 6 Em, 6 é a média geométrica ou média proporcional entre e 8 e 8 é a terceira 6 8 proporcional de e 6. Cálculo da Média Geométrica É a raiz quadrada do produto dos dois números dados a b Se então b a. c b a. c b c Exemplo Propriedades P - Propriedade fundamental Ex.9 - Verificar se os números,,6 e formam nessa ordem, uma proporção. Ex.0 - Calcule o valor de x na proporção 6,,, x. ( 3ª proporcional ) Ex. Encontre o valor de x na proporção,6, e x. (4ª proporcional)

5 Razão e Proporção. Verificar se os números formam nessa ordem, uma proporção: a), 3, 0 e 6 b) 9, 7, 8 e c) 9, 8, 36 e 3 d) 7, 3, 3 e e) 3,, 8 e f) 7, 6, 49 e 4 g),, 40 e 9 h) 8, 63, 7 e 9 i) 8, 9, 7 e 8 j) 8, 63, 9 e 7 l) 6, 7, 8 e m), 6, e 66. Calcule o valor de x na proporção contínua. (média geométrica). a), x, x, 7 b) 4, x, x, 36 c) 8, x, x, 8 d) 6, x, x, 9 e) 3, x, x, 48 f) 6, x, x, 4 3. Calcule o valor da terceira proporcional (Proporção contínua). a),, x b) 4,, x c) 8,, x d) 6,, x e) 3,, x f) 6,, x g),,, x h),,, x i) 4, 6, 6, x 4. Encontre o valor da quarta proporcional (x). a) 8, 63, 9, x b) 6, 7, 8, x c), 6,, x d) 3,; 9; 7; x e) 8, 9, 6, x f),, 40, x g) 9,, 33, x h) 8, 9, 60, x i) 47, 7, 84, x j) 60, 80, 80, x l), 9,, x m) 8, 96, 7, x Ex. - Resolva x 8 x a) b) 4 6 x + (com x -) c) 3/ 4 / / 3 x. Resolva: x 0 x 9 x 8 x x 36 x 8 a ) b) c) d) e) f ) x 3 x 3 x 8 x 7 x 49 x g ) h) i) j) l) m) x + 3 n) x + 4 x o) x + 8 x 4 p) x 3 x 7 q) x 3 3 x + r) x 0 7 Ex.3 (TTN/8) Uma pessoa pretende medir a altura de um poste baseado no tamanho de sua sombra projetada ao solo. Sabendo-se que a pessoa tem,80m de altura e a sombras do poste e da pessoa medem m e 60 cm, respectivamente, a altura do poste é? 6. Resolva: a) Se 7 homens em 00 são criminosos, quantos em 00 não são criminosos? b) Para fazer um refresco, misturamos suco concentrado com água na razão de 3 para. Nessas condições 9 copos de suco concentrado devem ser misturados com quantos copos de água? c) Numa receita de bolo, está escrito que são necessários ovos para cada 0, Kg de farinha utilizada. Quantos ovos serão necessários se forem utilizados kg de farinha?

6 Razão e Proporção 6 P - Soma ou subtração dos antecedentes e conseqüentes Ex.4 - X + y. Ex. - X/6 y/ e X y X/y / 7. Resolva os sistemas: + y 43 a) y 34 b) 8 + y 6 c) 3 + y 39 d) y 68 e) y 0 f ) 7 3 y 70 g) 8 3 B 7 h) A B 7 B 8 i) A B 7 9 B P 0 j) B P 8 9 y l) 6 x y m) 3 x y 6 Ex.6 - A soma de dois números é 4 e eles são proporcionais a 7 e. Quais são estes números? Ex.7 - Resolva a proporção X / Y / 3 Z /, sabendo que x + y + z 70. Ex.8 - A mistura de tinta branca com tinta preta está na razão para 3. Precisando de 30L dessa mistura, quantos litros de cada cor devemos ter: Ex.9 - O perímetro de um retângulo é 8cm. A razão é de 3 para 4. Calcule as dimensões desse retângulo. 8. A diferença entre dois números é 0. Sabendo-se que eles são proporcionais aos números 4 e 3, determinar esses números. 9. A soma entre dois números é 30. Sabendo-se que eles são proporcionais a 3 e, determinar esses números. 0. Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão para 3. Se ele precisar de 4 L dessa mistura, quantos litros de cada cor ele irá utilizar?. Dois números serão entre si como está para. Sabendo-se que a diferença entre eles é 40, calcule os dois números.. Para fazer uma limonada misturamos suco de limão com água na proporção de para. Quantos litros de suco de limão e de água serão necessários para fazer litros de limonada? 3. A razão entre as massas de alumínio e de oxigênio na substância óxido de alumínio é igual a 7/ 8. Calcule as massas de alumínio e de oxigênio, necessárias para formar g de óxido de alumínio. 4. Determine dois números que têm por soma e que estão na razão Determine dois números cuja razão é 3 e cuja diferença é Em junho de 006, Francis e Melissa pesam juntas 3 kg. Se o peso da Melissa é do peso 4 de Francis, quanto pesa cada uma? 7. Determine as dimensões de um retângulo que tem perímetro 6 cm, sabendo que a razão entre comprimento e a largura é 8.

7 Razão e Proporção 7 8. Quando Francis, filha do Prof. Mário, nasceu, Vânia, também sua filha, tinha 6 anos. Em 006, a razão da idade de Francis para a idade de Vânia é 0,7. Qual a idade de Francis? 9. Calcule a área de um retângulo que tem perímetro 0 m, sabendo que a razão entre sua largura e seu comprimento é Quando Francis nasceu, Melissa tinha 7 anos. Em 006, a razão da idade de Francis para a idade de Melissa é 0,7. Qual a idade de Francis? P3 - Multiplicação dos antecedentes e conseqüentes y B C Ex. 0 Resolva: 4 a) b) xy 80 A. B. C 008 Ex. - Determine as dimensões de um retângulo, sabendo-se que elas estão na razão 6: e que a área desse retângulo é 70 m ².. Resolva: a b a) 3 a. b 60 y b) 7 xy 4 B c) 8 A. B 60 y z d) 3 4 x. y. z 3000 B C e) 3 6 A. B. C Determine: a) A e B na proporção A / 4 B /, sabendo-se que A. B 80. b) Determine as dimensões de um retângulo, sabendo-se que elas estão na razão 4:3 e que a área desse retângulo é 48m². 3. O volume de um paralelepípedo retângulo é 60 m 3. Calcular as arestas, sabendo-se que estas são proporcionais aos números 3, 4 e Números Diretamente Proporcionais As sucessões ( a, b, c,...) e ( a, b, c,...) são diretamente proporcionais se e somente se, a b c... k a b c Onde: k é fator de proporcionalidade (Constante) Ex. - Verificar se as seqüências (3,4,) e (6,8,) são dir. proporcionais. Ex.3 - Os números 3,, e são diretamente proporcionais aos números 4,0 e 0? Ex.4 - Os números a, b, 3 e 4 são diretamente proporcionais aos números 40, 4, 04 e c. Nessas condições, determine os valores de a, b e c. Ex. A sucessão x, y, z é formada por números diretamente proporcionais a,, 3 e o fator de proporcionalidade é. Calcule x, y e z. 4. Verificar se os números 4, 9 e 7 são diretamente proporcionais aos números 6, 36 e 8.. Os números x, y e 3 são diretamente proporcionais aos números 40, 7 e 8. Determine os números x e y. 6. Os números 78, 39 e 7 são proporcionais aos números 6, 3 e 9? 7. Os números da sucessão 36, x, y são diretamente proporcionais aos números da sucessão 4,,6. Calcule x e y.

8 Razão e Proporção 8 8. Os números A, 9 e 3 são proporcionais aos números, B e. Quais são os valores de A e B? 9. A sucessão x, y, z é formada por números diretamente proporcionais a 6, 7, 8 e o fator de proporcionalidade é. Calcule x, y e z Divisão em Partes Diretamente Proporcionais Ex.6 Repartir 3 em partes diretamente proporcionais aos números 3, e 8. Ex.7 - Divida 3 em partes proporcionais a /3 e 3/4. Ex.8 - Sabendo-se que x, y e z são diretamente proporcionais a 0, e 30 e que x + y 80, qual o valor de z? 30. Vamos repartir 40 em três parcelas, que são diretamente proporcionais aos números 3,7 e 4. Quais são as três parcelas? 3. As massas de cobre e zinco que se fundem para formar o latão são diretamente proporcionais aos números 7 e 3. Quantos kg de cobre e quantos kg de zinco são necessários para obter 40 kg de latão? 3. Divida em partes diretamente proporcionais a 6,7 e Repartir 70 em duas partes tais que a razão entre elas seja 0, Decomponha 6 numa soma de duas parcelas de modo que a metade da primeira seja igual a um quinto da segunda parcela. 3. Sabendo-se que A, B e C são diretamente proporcionais a 3,8 e e que A + B 6, qual o valor de C? 36. Reparta 0 em três parcelas tais que sejam proporcionais a, e Sabendo-se que x, y e z são diretamente proporcionais a 06, 03 e 09 e que x + y 7, qual o valor de z? 38. A diferença entre dois números é e guardam entre si a proporção 6 para 4. Quais são esses números? 39. Em 006 o Prof. Mário precisa repartir R$ 603,00 entre suas filhas Melissa, anos, Vânia, 4 anos e Francis, 8 anos, de modo que cada uma receba uma quantia proporcional à sua idade. Como será feita a divisão? 40. Samara e David formaram uma sociedade. Samara entra com R$ 3.000,00 e David com R$.000,00. Conseguem obter na sociedade um lucro de R$ 6000,00. Quanto deve receber cada um de lucro? 4. Dividir o número 70 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números, 3 e e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e, respectivamente Números Inversamente Proporcionais As sucessões ( a, b, c,...) e ( a, b, c,...) são inversamente proporcionais se e somente se, a b c... k a b c (a a ) (b b ) (c c )... k(cte) Ex.9 - Verificar se os números 3, e 6 são inversamente proporcionais aos números 0, e 0. Ex.30 - Os números 6, e 8 são inversamente proporcionais aos números 4, 7 e 4? Ex.3 - Os números 4, 4, e 0, são inversamente proporcionais aos números x, y e. Nessas condições, encontre x e y.

9 Razão e Proporção 9 4. Os números 6, e 8 são inversamente proporcionais aos números 4, 7 e 4? 43. Os números,; e,4 são inversamente proporcionais aos números 4 ; 3 e,? 44. Quais devem ser os valores dos números x e y para que os números 3, e y sejam inversamente proporcionais aos números x, 30 e 0? 4. Sabendo-se que os números da sucessão, x, y são inversamente proporcionais aos da sucessão, 6,, calcule x e y. 46. Os números a, b e 6 são inversamente proporcionais aos números 3, e. Quanto vale a e b? Divisão em Partes Inversamente Proporcionais Ex.3 - Repartir o número 44 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e. Ex.33 - Repartir o valor 33 em partes inversamente proporcionais aos números /3 e /8. Ex.34 - Dividir o número 46 em partes diretamente proporcionais a e 4, e inversamente proporcionais a e Vamos repartir 380 em parcelas que são inversamente proporcionais aos números, e 4. Quais são essas parcelas? 48. Divida 3 em partes inversamente proporcionais a 3, e. 49. Divida em parcelas que sejam diretamente proporcionais a, e 7, e inversamente proporcionais a 3, e 9 respectivamente. 0. Dividir o número 690 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números, e 3 e inversamente proporcionais aos números, 3 e 4, respectivamente. Gabarito: 0- a) sim, b) não, c) sim, d) sim, e) sim, f) sim, g) não, h) não, i) não j) sim l) sim m) sim. 0- de a até f resposta. 03- a) 7, b) 36, c) 8, d) 9, e) 48, f) 4, g), h), i) a) 7, b), c) 66, d) 8, e) 8, f) 6, g) 7, h) 80, i) 4, j) 90, l), m) a), b) 7, c) 6, d) 7, e)9, f) 8, g) 7, h) 8, i) 3, j) 8, l) 7, m) 44, n) 7, o) 3, p), q) 4, r). 06- a) 46, b), c) a) x 9, y, b) x 44, y 90, c) x 0, y 6, d) x 8, y, e) x 36, y 3, f) x 3, y, g) x, y 4, h) A 0, B 30, i) A 63, B 8, j) B 60, P 80, l) x 66, y, m) x 8, y e e. 0- B l e C 9 l e l de suco de limão e l de H O. 3-3,8g de Al e 7,g de O. 4-4 e e Melissa tem 6 kg e Francis 70 kg cm por 30 cm. 8-8 anos m. 0-8 anos. - a) a 6, b 0 b) x 8, y 8 c) A 64, B 40 d) x 0, y, z 0 e) A 3, B, C 4. - a) A, B b) 8m e 6m. 3-, e sim. - x0, y8. 6- sim. 7- x4, y e x7, y84,z , 0 e Cu 8kg, Zn kg. 3-7, 84, e e , e e M,00; V6,00 e F 6, Sâmara R$ 3600,00 e David R$ 400, ,90 e não. 43- sim. 44- x 0,y x, y e respectivamente , 80 e , e , 7 e , 40 e 70.