Por que passar no BNB?

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1 Rumo ao

2 Por que passar no BNB?

3 Por que passar no BNB?

4 Por que passar no BNB?

5 Por que passar no BNB?

6 Por que passar no BNB?

7 Por que passar no BNB?

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9 DIAGRAMA DOS CONJUNTOS N = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Exemplos Irracionais 0, , R = Q U I, sendo Q I = Ø

10 União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos

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12 Conjunto Complementar Considere A um conjunto qualquer e U o conjunto universo. Todos os elementos que não estão em A estão no complementar de A. Veja o diagrama de Venn que representa o complementar de A, indicado por A C Assim o complementar de um subconjunto A se refere a elementos que não estão no conjunto A. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo U, sendo o conjunto A C o complementar de A formado pelos elementos de U que não pertencem a A.

13 Conjunto Complementar Vamos exemplificar como o contexto é importante para determinar o conjunto complementar. Considere o conjunto A={0,2,4,6,8,10, } Veja como fica se o conjunto universo no nosso contexto for N (números naturais). A C =N A={1,3,5,7,9 } B) Conjunto universo U=Z Agora, se o conjunto universo no nosso contexto for Z (números inteiros): A C =Z A={, 3, 2, 1,1,3,5,7,9 }

14 Complemento Relativo Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B, também conhecido como diferença de B e A (B A) é o conjunto de elementos de B que não estão em A. A diferença de B para A é geralmente denotada B \ A ou também B-A. Assim: B \ A = { x B/ x A} Exemplos {1,2,3}\{2,3,4}={1} {2,3,4}\{1,2,3}={4}

15 COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?

16 Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B. Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que segue. Se 11 passageiros estiveram em B, então mais de 15 estiveram em A. Certo Errado

17 Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e em B. Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que segue. Considere que, separando-se o grupo de passageiros selecionados que visitou o país A, o grupo que visitou o país B e o grupo que visitou o país C, seja verificado, em cada um desses grupos, que pelo menos a metade dos seus componentes era do sexo masculino. Nessa situação, conclui-se que o grupo de 30 passageiros selecionados tem, no máximo, 14 mulheres. Certo Errado

18 O resultado de uma pesquisa acerca da satisfação de 200 papiloscopistas, no que diz respeito às tarefas por eles executadas de identificação de vítimas e de descobertas de crimes de falsificação, foi o seguinte: 30 papiloscopistas sentem-se igualmente satisfeitos ao executar qualquer uma dessas tarefas; 180 papiloscopistas sentem-se satisfeitos ao executar pelo menos uma dessas tarefas. Considerando que todos os 200 papiloscopistas responderam à pesquisa, julgue o item seguinte. Menos de 30 papiloscopistas não se sentem satisfeitos ao executar alguma das duas tarefas mencionadas. Certo Errado

19 O resultado de uma pesquisa acerca da satisfação de 200 papiloscopistas, no que diz respeito às tarefas por eles executadas de identificação de vítimas e de descobertas de crimes de falsificação, foi o seguinte: 30 papiloscopistas sentem-se igualmente satisfeitos ao executar qualquer uma dessas tarefas; 180 papiloscopistas sentem-se satisfeitos ao executar pelo menos uma dessas tarefas. Considerando que todos os 200 papiloscopistas responderam à pesquisa, julgue o item seguinte. A quantidade de papiloscopistas que se sentem satisfeitos ao executar exatamente uma das referidas tarefas é superior a 100. Certo Errado

20 O resultado de uma pesquisa acerca da satisfação de 200 papiloscopistas, no que diz respeito às tarefas por eles executadas de identificação de vítimas e de descobertas de crimes de falsificação, foi o seguinte: 30 papiloscopistas sentem-se igualmente satisfeitos ao executar qualquer uma dessas tarefas; 180 papiloscopistas sentem-se satisfeitos ao executar pelo menos uma dessas tarefas. Considerando que todos os 200 papiloscopistas responderam à pesquisa, julgue o item seguinte. Nessa situação, as informações dadas permitem inferir que exatamente 75 papiloscopistas sentem-se satisfeitos ao executarem a tarefa de identificação de vítimas. Certo Errado

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22 RAZÃO E PROPORÇÃO

23 Razão A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números, A e B, denotada por A/B. Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4, pois 12/3 = 4. Proporção Já a palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. Exemplo: 6 = 10, a proporção 6 é proporcional a

24 Exemplo: Dada a proporção x = 12, qual é o valor de x? 3 9 logo 9.x=3.12 9x=36 e portanto x=4 DICA: Observe a ordem com que os valores são enunciados para interpretar corretamente a questão. Exemplos: A razão entre a e b é a/b e não b/a!!!

25 Regra de Três Simples Grandezas diretamente proporcionais A definição de grandeza está associada a tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Como exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço, idade, etc. As grandezas diretamente proporcionais estão ligadas de modo que, à medida que uma grandeza aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional.

26 Regra de Três Simples Grandezas inversamente proporcionais Entendemos por grandezas inversamente proporcionais as situações em que ocorrem operações inversas, isto é, se dobramos uma grandeza, a outra é reduzida à metade. São grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa. Percebemos que, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da primeira.

27 COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?

28 CESPE Acerca de números inteiros, divisibilidade, números racionais e reais, julgue o item subsequente. Considere que a densidade demográfica quantidade de habitantes por km² de uma região A seja igual a 4/5, Nesse caso, se em uma região B houver 12 habitantes em cada 15 km², então as regiões A e B possuem a mesma densidade demográfica. Certo Errado

29 Considerando que uma equipe de 30 operários, igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de extensão em 30 dias, julgue o item que segue Se, ao iniciar a obra, a equipe designada para a empreitada receber reforço de uma segunda equipe, com 90 operários igualmente produtivos e desempenho igual ao dos operários da equipe inicial, então a estrada será concluída em menos de 1/5 do tempo inicialmente previsto. Certo Errado CESPE

30 Regra de Três Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Para não vacilar, temos que montar um esquema com base na análise das colunas completas em relação à coluna do x. Usaremos um método simples e direto que ao contrário dos métodos tradicionais não analisa se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. E a Regra é clara: O sinal indica quem fica no NUMERADOR da fração, ou seja, se aparecer o sinal de + fica o MAIOR valor da coluna, se aparecer o sinal de fica o MENOR valor da coluna.

31 COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?

32 Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios. Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte. Para carregar 18 navios em um único dia, seis desses operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas. Certo Errado

33 Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios. Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte. Em um mesmo dia, 8 desses operadores, trabalhando durante 7 horas, carregam mais de 15 navios. Certo Errado

34 Divisão Proporcional Podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL como uma forma de divisão na qual se determinam valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão constante (que não tem variação). Iremos estudar os principais casos de Divisão Proporcional que caem em prova.

35 Divisão Proporcional Caso 1: Dividir em partes diretamente proporcionais à valores inteiros. Dividir o número 180 empartes diretamente proporcionais a 2,3 e 4.

36 Divisão Proporcional Caso 2: Dividir em partes diretamente proporcionais com algum valor fracionário. Dividir o número 405 em partes diretamente proporcionais a 2/3, 3/4 e 5/6.

37 Divisão Proporcional Caso3: Dividir em partes inversamente proporcionais. Dividir o número 70 em partes inversamente proporcionais a 2 e 5.

38 COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?

39 Os irmãos Jonas, Pierre e Saulo, que têm, respectivamente, 30, 20 e 18 anos de idade, herdaram de seu pai a quantia de R$ 5 milhões. O testamento prevê que essa quantia deverá ser dividida entre os irmãos em partes inversamente proporcionais às suas idades. Nessa situação hipotética,um dos irmãos receberá metade da herança. Certo Errado

40 Os irmãos Jonas, Pierre e Saulo, que têm, respectivamente, 30, 20 e 18 anos de idade, herdaram de seu pai a quantia de R$ 5 milhões. O testamento prevê que essa quantia deverá ser dividida entre os irmãos em partes inversamente proporcionais às suas idades. Nessa situação hipotética, Jonas receberá 50% a mais que Saulo. Certo Errado

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42 PORCENTAGEM

43 Definição A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando por cento, a cada centena ) é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem). Sendo assim: PORCENTAGEM X % = X / 100 e vice-versa,ou seja, toda porcentagem é uma fração de denominador 100 e toda fração de denominador 100 representa uma porcentagem.

44 Taxa Unitária Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa unitária. A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática financeira.

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46 DICA É muito importante sabermos calcular os valores básicos de 1% e 10%. 1% : basta movimentar a vírgula duas casas para a esquerda. Ex: 1% de 170 = 1,7 1% de 354 = 3,54 1% de 456,7 = 4,567 10% : basta movimentar a vírgula uma casa para a esquerda. Ex: 10% de 170 = 17,0 10% de 354 = 35,4 10% de 456,7 = 45,67

47 Exemplos Calcule: a)20% de 430 b)30% de 350

48 Exemplos c)40% de 520 d)75% de 150

49 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo: O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor inicial.como vimos no tópico anterior (taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo. O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. 120 Fator de Capitalização = 1,2 100 =

50 FATOR DE CAPITALIZAÇÃO COMO FAZER: 130 Acréscimo de 30% = 100% + 30% = 130% = = 1, Acréscimo de 15% = 100% + 15% = 115% = = 1, Acréscimo de 3% = 100% + 3% = 103% = = 1, Acréscimo de 200% = 100% + 200% = 300% = =

51 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO Agora vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo valor deste produto? Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas podemos fazer a afirmação abaixo O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial. Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo utilizar. O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo utilizar. 80 Fator de Descapitalização = 0,8 100 =

52 COMO FAZER: FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO 70 Desconto de 30% = 100% - 30% = 70% = = 0, Desconto de 15% = 100% - 15% = 85% = = 0, Desconto de 3% = 100% - 3% = 97% = = 0, Desconto de 50 50% = 100% - 50% = 50% = = 0,5 100

53 COMO A BANCA CESPE COBRA ISSO?

54 Ao passar com seu veículo por um radar eletrônico de medição de velocidade, o condutor percebeu que o velocímetro do seu carro indicava a velocidade de 99 km/h. Sabe-se que a velocidade mostrada no velocímetro do veículo é 10% maior que a velocidade real, que o radar mede a velocidade real do veículo, mas o órgão fiscalizador de trânsito considera, para efeito de infração, valores de velocidade 10% inferiores à velocidade real. Nessa situação, considerando que a velocidade máxima permitida para a via onde se localiza o referido radar é de 80 km/h,o condutor não cometeu infração, pois, descontando-se 20% da velocidade mostrada no velocímetro de seu veículo, o valor de velocidade considerada pelo órgão fiscalizador será de 79 km/h. Certo Errado

55 Com relação a matemática financeira, cada um do item a seguir apresenta uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada. Para liquidar o estoque de determinado produto, o lojista ofereceu um desconto de 10% no preço de venda. Passados alguns dias, para o estoque remanescente, o lojista concedeu novo desconto, agora de 20% sobre o preço já com primeiro desconto. Nessa situação, o valor do desconto que é equivalente a um único desconto aplicado sobre o preço do produto é igual a 28%. Certo Errado

56 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

57 Definição O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum (excetuando-se o 0 ) pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30: M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120,... M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180,... Logo o MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60. Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os termos não comuns. Observe: 20 = = 2². 5 e 30 = = logo MMC (20; 30) = 2² = 60

58 A terceira e melhor opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe: Dica: Apenas números naturais tem M.M.C

59 MÉTODO PRÁTICO Um método rápido e fácil para se determinar o MMC de um conjunto de números naturais é a FATORAÇÃO. Nela iremos decompor simultaneamente os valores, de forma que ao menos um deles possa ser dividido pelo fator primo apresentado, até que não sobrem valores maiores que 1. O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Mínimo Múltiplo Comum. Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar os números 6, 8 e 12 como exemplo.

60 MÉTODO PRÁTICO Da fatoração destes três números temos: O M.M.C será calculado pelo produto desses fatores primos usados na decomposição dos valores dados. Logo: M.M.C (6, 8, 12) = = 24

61 PROPRIEDADE Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do m.m.c. destes números. Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 2, 5 e 6 são exatamente os múltiplos positivos de 30 (m.m.c. (2,5, 6) = 30), ou seja, são 30, 60, 90,...

62 CUIDADO Apesar do nome Mínimo Múltiplo Comum é equivocado pensar que o mínimo indica um número pequeno, talvez menor que os valores apresentados. Na verdade ele é o menor dos múltiplos e quase sempre maior que todos esses valores de quem se busca o cálculo do M.M.C.

63 Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia?

64 MÁXIMO DIVISOR COMUM

65 Definição O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30: D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. e D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10. Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse método. 20 = = 2². 5 e 30 = = Logo MDC (20; 30) = 2. 5 = 10

66 A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea e conjunta dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe: Logo o M.D.C (20, 30) = 10

67 Como identificar questões que exigem o cálculo do M.D.C? Para não ficar em dúvida quanto à solicitação da questão, M.M.C ou M.D.C, basta entender que o M.D.C por ser um divisor comum, é um número sempre será menor ou igual ao menor dos valores apresentados, logo sempre um valor aquém dos valores dados, dando ideia de corte, fração. Já o M.M.C por ser um múltiplo comum, é um número sempre será maior ou igual ao maior dos valores apresentados, logo sempre um valor além dos valores dados, criando uma ideia de futuro.

68 CUIDADO Apesar do nome MÁXIMO Divisor Comum, é equivocado pensar que esse máximo indica um número grande. Na verdade ele é o maior dos divisores apresentados mas por ser divisor é quase sempre menor que todos os valores de quem se busca o cálculo do M.D.C.

69 Em uma arvore de natal, três luzes piscam com frequência diferentes. A primeira pisca a cada 4 segundos, a segunda a cada 6 segundos e a terceira a cada 10 segundos. Se num dado instante as luzes piscam ao mesmo tempo, após quantos segundos voltarão, a piscar juntas? a) 24 b) 40 c) 60 d) 80 e) 100

70 Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi: a) 74 b) 88 c) 96 d)102 e)112

71 Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação? a) 3 e 78 b) 5 e 78 c) 6 e 65 d) 65 e 6 e) 78 e 5