MATEMÁTICA ELEMENTAR II:

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1 Marcelo Gorges Olímpio Rudinin Vissoto Leite MATEMÁTICA ELEMENTAR II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 009

2 009 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ L55m Leite, Olímpio Rudinin Vissoto. Matemática elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia. / Olímpio Rudinin Vissoto Leite, Marcelo Gorges. Curitiba, PR: IESDE, p. Sequência de: Matemática elementar I ISBN Matemática (Ensino médio). I. Gorges, Marcelo. II. Inteligência Educacional e Sistemas de Ensino. III. Título CDD: 50 CDU: 5 Capa: IESDE Brasil S.A. Imagem da capa: Júpiter Images/DPI Images Todos os direitos reservados. IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho,.48. CEP: Batel Curitiba PR

3 Olímpio Rudinin Vissoto Leite Mestre em Gestão de Negócios pela Universidade Católica de Santos. Graduado em Licenciatura em Matemática pela USP. Marcelo Gorges Licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná.

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5 Sumário Números e operações Números naturais Números inteiros 4 Números racionais 7 Números reais 0 Porcentagem 4 Fator de aumento 6 Fator de redução 7 Geometria e medidas Comprimento e massa Área, volume e capacidade 7 Volume e capacidade 4 Estimativas e arredondamentos 46 Teorema de Tales 5 Teorema de Pitágoras 58 Gráficos 65 Tipos de gráficos 65 Introdução às funções 8 Conceito intuitivo de função 8 Gráfico cartesiano 85 Domínio e imagem de uma função 88 Uma nova notação para função 89

6 Função afim 97 Gráfico da função afim 97 Função linear 98 Função identidade 98 Função constante 99 Coeficientes da função afim 00 Interseção da reta com eio (raiz da função afim) 0 Equações da reta 08 Função quadrática 5 Gráfico de uma função quadrática 5 Domínio e imagem da função quadrática 6 Máimo ou mínimo de uma função quadrática 7 Tópicos complementares de funções 5 Função definida por várias sentenças 5 Estudo da variação das funções 9 Valores etremos de uma função 4 Estudo do sinal de uma função 47 Inequação 49 Funções eponenciais 55 Potenciação 55 Propriedades das potências 56 Notação científica 57 Função eponencial 6 Equações eponenciais 69

7 Função logarítmica 75 O que é logaritmo? 75 Propriedades dos logaritmos 78 Função logarítmica 86 Equação logarítmica 90 A função eponencial de base e e de base e 9 Logaritmo natural 9 Introdução à trigonometria 97 As razões trigonométricas 97 Como calcular o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo? 99 Seno, cosseno e tangente de um ângulo obtuso Lei dos senos 9 Lei dos cossenos 9 Progressão Aritmética (P.A.) 5 Sequência numérica 5 Progressão Aritmética (P.A.) 8 Progressão Geométrica (P.G.) 4 Progressão Geométrica 4 Classificação de P.G. 4 Sistemas lineares 59 Matrizes 59 Determinantes 65 Sistemas lineares 69

8 Princípio fundamental da contagem 79 Princípio fundamental da contagem 79 Tipos de agrupamentos 8 Análise combinatória 87 Fatorial 87 Permutação simples 88 Permutação com repetição 89 Arranjo simples 9 Combinação simples 95 Noções de probabilidade 99 Eperimentos aleatórios 99 Probabilidade 00 Probabilidade condicional 06 Matemática Financeira Porcentagem Porcentagem de uma quantia 4 Porcentagem de um número em relação a outro 4 Aumento 5 Desconto 7 Juros 0

9 Geometria espacial 7 Prismas 7 Paralelepípedo reto-retângulo 9 Cubo 0 Pirâmides 4 Cilindro 9 Cone 4 Esfera 4 Estatística 45 Notações 45 Tipos de variáveis 45 Medidas de tendência central 46 Medidas de dispersão 50 Apresentação de dados estatísticos 5 Frequências 54 Circunferência trigonométrica 59 Circunferência trigonométrica 59 Relações trigonométricas 6

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11 Função afim Olímpio Rudinin Vissoto Leite b A lei de uma função afim é dada por ƒ() = a + b ou = a + b, com a e (a e b são números reais). Gráfico da função afim O gráfico de ƒ() = a + b ou = a + b é uma reta. Eemplo: Solução: Esboçar o gráfico da função ƒ() = (ou = ). Para desenhar uma reta, basta determinar dois pontos distintos dessa reta. Assim, se = 0, então = = 00; se =, então = = (, ) 0 00 (0, 00) 0 (, 0) 0 4 5

12 98 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Função linear Se uma função afim ƒ() = é definida por uma lei da forma ƒ() = a + b, com a 0 e b = 0, ou seja ƒ() = a, ela é denominada função linear. Eemplo: f() f()= (,), (, ) 0 No gráfico anterior, por eemplo, temos a reta =. Quando =, temos = e quando =, temos =. Observe que as variáveis e são proporcionais. Além disso, sempre que for zero, também será. O gráfico de uma função linear sempre intercepta a origem, ponto (0, 0). Função identidade A função afim ƒ() = a + b, com a = e b = 0, fica reduzida a ƒ() =. A função ƒ() = é chamada de função identidade, pois a cada ela associa um valor igual ao de, ou seja, o valor de é idêntico ao do. O gráfico da função identidade é uma reta particular: ela é bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes do referencial cartesiano, como pode ser observado no gráfico a seguir.

13 Função afim 99 (, ) 0 0 (0, 0) 0 (, ) Função constante Uma outra função pode ser obtida a partir da função afim: a função constante. Em ƒ() = a + b, fazendo a = 0, obtemos ƒ() = 0 + b, ou, simplesmente, ƒ() = b. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eio. Eemplo: Solução: Esboçar o gráfico da reta =. Para qualquer valor de, é constante, isto é, vale sempre. (, ) (, ) (, ) 0 (0, ) (, ) (, ) (, ) 4 (4, )

14 00 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 4 Coeficientes da função afim A lei da função afim, ƒ() = a + b ou = a + b, apresenta dois coeficientes: a e b. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular. Coeficiente angular ou declividade (a), é a tangente da inclinação da reta, isto é, é a tangente do ângulo que a reta forma com o eio, conforme pode ser observado na figura a seguir: α α a = tg α a = tg α (α agudo, tg α > 0) (α obtuso, tg α < 0)

15 Função afim 0 O coeficiente b é chamado de coeficiente linear. Fazendo = 0 em = a + b, obtemos = b. Isso significa que o coeficiente linear representa a ordenada do ponto P(0, b), interseção da reta com o eio. Eemplo: A partir da reta da equação = +, determine os significados dos coeficientes linear e angular. Solução: α 0 5 A partir da fórmula da função, percebemos que o coeficiente linear é. No gráfico, notamos que a reta intercepta o eio no ponto P(0, ), ou seja, o coeficiente linear representa a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eio. O coeficiente angular é. Sendo assim, a tangente do ângulo a que a reta forma com o eio, vale. Utilizando uma calculadora científica, podemos determinar que a medida do ângulo a, que a reta forma com o eio, é aproimadamente 6º. Interseção da reta com eio (raiz da função afim) Todos os pontos do eio têm como ordenada com valor 0 (zero). Sendo assim, para descobrir o ponto de intersecção de uma reta de equação = a + b (a 0) com eio, basta fazer = 0 e calcular o valor de correspondente.

16 0 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Assim temos: b a = a + b 0 = a + b = b a O valor b a é chamado de raiz ou zero da função. Portanto, a intersecção de uma reta de equação = a + b (a 0) com eio é o ponto P ( b, 0). Também podemos pensar que raiz de uma função é o valor de a que torna a função nula, ou seja, igual a zero. Eemplo: Determinar a raiz da função = + 5 e o ponto de interseção com o eio, da reta que a representa. Solução: Fazendo = 0 em = + 5, obtemos 0 = + 5. Logo, = 5 =,5. Assim, a raiz da função = + 5 é =,5, e o ponto de interseção da reta com o eio é P( 5, 0). Perceba que para =,5 temos = 0.

17 Função afim 0 Eercícios. Em cada item, esboce o gráfico da função, dê o coeficiente angular e o coeficiente linear, eplicando o significado de cada um. a) = + 4 b) ƒ() = +. Considere a função ƒ() = + 5. a) Esboce o gráfico da função. b) Dê os pontos de interseção da reta com os eios coordenados. c) Qual é a raiz dessa função?

18 04 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia. Calcule a área do triângulo colorido, sendo = + 6: 0 4. Em cada um dos itens a seguir, a partir dos gráficos, dê o sinal (positivo ou negativo) do coeficiente angular (a) e do coeficiente linear (b) da função correspondente. a)

19 Função afim 05 b) c)

20 06 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia d) 5. Em uma loja de Miami, o salário mensal fio de um vendedor é de 00 dólares. Além disso, ele ganha dólares por unidade vendida. Epresse o ganho mensal desse vendedor em função do número de unidades vendidas. Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de 800 dólares?

21 Função afim Um botijão de cozinha contém kg de gás. Em média, é consumido, por dia, 0,5kg. a) Epresse a massa m de gás no botijão, em função de t (dias de consumo). b) Esboce o gráfico dessa função. c) Depois de quantos dias a massa de gás no botijão será de 6,5kg? d) Depois de quantos dias o botijão estará vazio? 7. Um capital de R$ ,00 é investido a juros simples de % ao mês, isto é, vai render mensalmente % de R$ ,00. Epresse o montante M (capital + juros) em função do tempo de aplicação n (em meses). Qual o valor do montante após três meses de investimento?

22 08 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Equações da reta. caso: reta não vertical Eemplo: Determinar a reta que passa pelos pontos A (, ) e B (, 4). Solução: P 4 B β A α 0 4 Considerar um ponto P(, ) que se movimenta sobre a reta AB. Ao percorrê- -la, a abscissa e a ordenada de P variam. Mas a = b. Logo, tga = tgb. Assim, tga = 4 e tgb = 4. Daí, = 4, ou ainda, = 5, que é a equação da reta AB. Repetindo esse procedimento para dois pontos quaisquer, A e B, de uma reta não vertical, obtém-se sempre uma equação do tipo = a + b. Reciprocamente, prova-se que qualquer equação do tipo = a + b, com a e b números reais, representa sempre uma reta.

23 Função afim 09 Observação: Toda equação é uma condição. Assim, a equação = a + b é a condição para que um ponto P (, ) pertença à reta que essa equação representa.. caso: reta vertical Eemplo: Obter a equação da reta que passa pelos pontos A (4, ) e B (4, 5). Solução: Inicialmente, vamos construir o gráfico da reta que passa pelos pontos A e B. 5 B 4 A 0 4 Considere um ponto P(, ) que se movimenta sobre essa reta. Ao percorrê-la, apenas a ordenada de P varia. A abscissa é sempre constante e igual a 4. Essa é a principal característica da reta vertical: seus pontos têm sempre a mesma abscissa. A condição = 4 é a equação da reta vertical que passa pelos pontos A (4, ) e B (4, 5). Repetindo esse procedimento para dois pontos, a (k, ) e b (k, ), concluímos que a equação da reta vertical AB é sempre do tipo = k.

24 0 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Eemplo: Solução: Obter a equação da reta determinada pelos pontos A (, ) e B(, 5). P(,) 5 B(,5) A(,) tga = 5 tga = tga = tg = 5 tg = 5 Como tga = tgb, temos: = 5, então: =, que representa a equação da reta que passa pelos pontos A(, ) e B(, 5). A equação da reta que passa pelos pontos A(, ) e B(, 5), pode ser obtida de outra maneira, vejamos:

25 Função afim 5 B(,5) A(,) A equação de uma reta é = a + b. Temos: tga = a, onde a é a inclinação da reta. Do gráfico anterior, obtemos tga =. Logo, a =. Assim, já encontramos = + b. Como a reta passa pelo ponto A (, ), substituindo = e = nessa equação, obtemos o valor de b: =. + b Daí, b =. Assim, a equação procurada é =. Eercícios 8. Desenhe o gráfico cartesiano da reta que passa pelos pontos A (, ) e B (, ). Em seguida, determine a equação dessa reta.

26 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 9. Determine a equação da reta que passa pelos pontos O (0, 0) e L (, ) e esboce o gráfico cartesiano dessa reta. 0. Considere a reta de equação = +. Atribua a os valores e 4, e use os dois pontos obtidos para esboçar o gráfico cartesiano dessa reta.. Determine os pontos da reta de equação = + 4 que pertencem aos eios coordenados. Esboce o gráfico dessa reta.. Esboce o gráfico cartesiano das retas de equações: a) = + 4 b) = + c) = 5 d) =

27 Função afim. Sendo tg 0,8, determine a equação da reta r, que passa pelo ponto P (0, ) e forma um ângulo de medida a com o sentido positivo do eio. 4. Sabendo que tg 0,8, determine a equação da reta s, que passa pelo ponto Q (0, 0) e forma um ângulo de medida a com o sentido positivo do eio. 5. Qual é o coeficiente angular da reta de equação + = 0? 6. Determine as leis das funções afim, representadas graficamente a seguir: a) B A α 4

28 4 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia b) B α A 7. O valor da bandeirada de um tái é de R$,00 e do quilômetro rodado é de R$,50. Seja o valor a ser pago para percorrer quilômetros, considerando quilômetros rodados mais bandeirada. Dê a epressão de em função de e desenhe, num referencial cartesiano, a reta associada à equação que você achou. Quanto um passageiro deverá pagar se rodar 0km? 8. Um tanque continha de petróleo. Uma válvula aberta escoa 0 /min. Sejam V o volume de petróleo e t os minutos que a válvula vai ficar aberta. Dê a epressão de V em função de t e desenhe, num referencial cartesiano, a reta associada à equação que você achou. Em quanto tempo o tanque ficará vazio (V = 0)?

29 Gabarito Gabarito Função afim. a). c) coeficiente angular = tg α = coeficiente linear = 4 ( a reta intercepta o eio no ponto (0, 4)) d) (0, 5) e 5, 0 e) = 5 =,5 b) 0 coeficiente angular = tg α = coeficiente linear = ( a reta intercepta o eio no ponto (0, )) α. A = 9 unidades de área. 4. a) a > 0 e b > 0 b) a < 0 e b > 0 c) a > 0 e b < 0 d) a < 0 e b < 0 5. = = 00 + = 50 Logo, deve vender = 50 unidades

30 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia a) m = 0,5t b) m(kg) A B α β 0 6 t(dias) 0 c) d) 0,5t = 6,5 t = dias 0,5t = 0 tg β = tg α = = t = 6 dias 7. Valor do montante em função do tempo de aplicação: M = C ( + i. n) M = ( + 0,0. n) M = n 9. L = Após meses, o valor do investimento é de: M = n 0 M = M = Assim, o montante ao final de meses é de R$55.000,00.

31 Gabarito 0. Para = temos = 4. Para = 4 temos = 6 a) α 0. b) α 0

32 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia c) 5 4. = 0,8. 5. = + 0, logo, o coeficiente angular dessa reta é. d) a) = + b) = + 7. =,5 + Sendo = 0, temos: =, = 5 + = 8 Assim, o passageiro pagará R$8, , = 0,8. + 0

33 Gabarito 8. V = t. Sendo V = 0, tem-se t = 500, isto é, o tanque ficará vazio em 500 minutos, ou seja, em 5 horas V (litros) t(minutos)

34 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia