MATEMÁTICA ELEMENTAR II:

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1 Marcelo Gorges Olímpio Rudinin Vissoto Leite MATEMÁTICA ELEMENTAR II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 2009

2 2009 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ L55m Leite, Olímpio Rudinin Vissoto. Matemática elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia. / Olímpio Rudinin Vissoto Leite, Marcelo Gorges. Curitiba, PR: IESDE, p. Sequência de: Matemática elementar I ISBN Matemática (Ensino médio). I. Gorges, Marcelo. II. Inteligência Educacional e Sistemas de Ensino. III. Título CDD: 510 CDU: 51 Capa: IESDE Brasil S.A. Imagem da capa: Júpiter Images/DPI Images Todos os direitos reservados. IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, CEP: Batel Curitiba PR

3 Olímpio Rudinin Vissoto Leite Mestre em Gestão de Negócios pela Universidade Católica de Santos. Graduado em Licenciatura em Matemática pela USP. Marcelo Gorges Licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná.

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5 Sumário Números e operações 11 Números naturais 11 Números inteiros 14 Números racionais 17 Números reais 20 Porcentagem 24 Fator de aumento 26 Fator de redução 27 Geometria e medidas 33 Comprimento e massa 33 Área, volume e capacidade 37 Volume e capacidade 42 Estimativas e arredondamentos 46 Teorema de Tales 51 Teorema de Pitágoras 58 Gráficos 65 Tipos de gráficos 65 Introdução às funções 83 Conceito intuitivo de função 83 Gráfico cartesiano 85 Domínio e imagem de uma função 88 Uma nova notação para função 89

6 Função afim 97 Gráfico da função afim 97 Função linear 98 Função identidade 98 Função constante 99 Coeficientes da função afim 100 Interseção da reta com eixo x (raiz da função afim) 101 Equações da reta 108 Função quadrática 115 Gráfico de uma função quadrática 115 Domínio e imagem da função quadrática 126 Máximo ou mínimo de uma função quadrática 127 Tópicos complementares de funções 135 Função definida por várias sentenças 135 Estudo da variação das funções 139 Valores extremos de uma função 141 Estudo do sinal de uma função 147 Inequação 149 Funções exponenciais 155 Potenciação 155 Propriedades das potências 156 Notação científica 157 Função exponencial 163 Equações exponenciais 169

7 Função logarítmica 175 O que é logaritmo? 175 Propriedades dos logaritmos 178 Função logarítmica 186 Equação logarítmica 190 A função exponencial de base e e de base 1 e 192 Logaritmo natural 193 Introdução à trigonometria 197 As razões trigonométricas 197 Como calcular o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo? 199 Seno, cosseno e tangente de um ângulo obtuso 211 Lei dos senos 219 Lei dos cossenos 219 Progressão Aritmética (P.A.) 225 Sequência numérica 225 Progressão Aritmética (P.A.) 228 Progressão Geométrica (P.G.) 241 Progressão Geométrica 241 Classificação de P.G. 242 Sistemas lineares 259 Matrizes 259 Determinantes 265 Sistemas lineares 269

8 Princípio fundamental da contagem 279 Princípio fundamental da contagem 279 Tipos de agrupamentos 281 Análise combinatória 287 Fatorial 287 Permutação simples 288 Permutação com repetição 289 Arranjo simples 292 Combinação simples 295 Noções de probabilidade 299 Experimentos aleatórios 299 Probabilidade 300 Probabilidade condicional 306 Matemática Financeira 313 Porcentagem 313 Porcentagem de uma quantia 314 Porcentagem de um número em relação a outro 314 Aumento 315 Desconto 317 Juros 320

9 Geometria espacial 327 Prismas 327 Paralelepípedo reto-retângulo 329 Cubo 330 Pirâmides 334 Cilindro 339 Cone 341 Esfera 342 Estatística 345 Notações 345 Tipos de variáveis 345 Medidas de tendência central 346 Medidas de dispersão 350 Apresentação de dados estatísticos 353 Frequências 354 Circunferência trigonométrica 359 Circunferência trigonométrica 359 Relações trigonométricas 363

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11 Estatística Marcelo Gorges Notações População: é o grupo observado, ou seja, todos os elementos de um conjunto que geralmente é numeroso. Amostra: é um subconjunto típico da população observada, ou seja, apenas uma parte da população. Tipos de variáveis Variáveis qualitativas: São as variáveis relativas a atributos dos indivíduos ou objetos pesquisados. Exemplos: nível de escolaridade, nacionalidade, religião, preferências etc. Variáveis quantitativas: São variáveis expressas em números. Exemplos: salário, idade, número de filhos, estatura etc. As variáveis quantitativas podem ser classificadas em variáveis contínuas e discretas. Quando uma variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo real, ela é denominada variável contínua. Características como altura, peso, compri-

12 346 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia mento, espessura, temperatura enquadram-se nesta categoria. Nesta situação, os dados são gerados por um processo de medição. Em situações em que os dados são gerados por processo de contagem, a variável é denominada como discreta. Neste caso, a variável pode assumir somente certos valores, em geral inteiros. Alguns exemplos de variável discreta seriam: número de filhos, quantidade de carros, número de acidentes etc. Resumindo, uma variável pode ser: qualitativa variável quantitativa contínua discreta Medidas de tendência central Média aritmética A média aritmética pode ser calculada da seguinte forma: M a x 1 + x 2 + x x n n Média aritmética ponderada É a soma do produto dos números pelos respectivos pesos, dividida pela soma desses pesos. M ap a. p 1 + b. p 2 + c. p x. p n p 1 + p 2 + p p n

13 Estatística 347 Exemplos: 1. Solução: Qual a média aritmética entre as idades 9, 28, 43 e 72 anos? M a Em uma escola a média dos 16 alunos do 8.º ano foi 6,2 e das 22 alunas foi 6,8. Qual a média da turma toda? Solução: M ap 16. 6, , , , ,8 38 6,55 Moda Moda (M o ): é o valor (ou valores) que mais aparece em uma dada distribuição ou população. Exemplo: Solução: Qual é a moda na seguinte distribuição de valores: 6, 9, 6, 9, 3, 5 e 6. Moda é o valor que mais aparece, portanto: M o 6 Mediana Mediana (M d ) é o valor que ocupa a posição central em uma distribuição de valores organizada em ordem crescente ou decrescente. Se o número de valores da distribuição for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais.

14 348 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Exemplos: 1. Qual a mediana das seguintes distribuições, já ordenadas, abaixo: a) 2, 3, 3, 3, 4, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11. Solução: Como a distribuição tem um número ímpar de elementos, a mediana é o termo central, M d 9. b) 20, 20, 20, 18, 16, 16, 12, 12, 12, 8, 6, 1. Solução: Como a distribuição tem um número par de elementos, a mediana é a média entre os termos centrais. M d Exercícios Qual a média aritmética de um aluno que obteve os seguintes resultados no colégio: no 1.º trimestre 8,4; no 2.º trimestre 6,8 e no 3.º trimestre 7,2. 2. Qual é a média de idade de um time de futebol em que há 5 atletas de 22 anos, 3 atletas de 25 anos, 2 atletas de 29 anos e 1 atleta com 32 anos.

15 Estatística Um aluno que tirou 8,0 no primeiro bimestre, 6,8 no segundo bimestre e 5,4 no terceiro bimestre, necessita tirar quanto no quarto bimestre para passar com média final 7,0? 4. Em um torneio de futebol um time marcou, respectivamente, em cada um de seus jogos, 2, 1, 4, 3, 4, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3 e 3 gols. Determine: a) a moda (M ); o b) a mediana (M ); d c) a média aritmética dos gols marcados (M ). a 5. Qual a moda, a mediana e a amplitude da seguinte distribuição de valores: 56, 48, 22, 63, 47, 35, 64, 21, 43 e 35.

16 350 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Medidas de dispersão Amplitude total É a diferença entre o maior e o menor valor em uma distribuição de dados. Exemplo: Qual a amplitude da seguinte distribuição de temperaturas, em graus Celsius, dada abaixo? a) Solução: 8, 20, 36, 5, 18, 21, 12, 14, 30, 33. Analisando a distribuição, a menor temperatura é 5ºC e a maior é 36ºC, portanto a amplitude será: Amplitude ºC. Desvio padrão O desvio padrão pode ser calculado pela seguinte fórmula: Para a população: D p (x 1 M a ) 2 + (x 2 M a ) 2 + (x 3 M a ) (x n M a ) 2 n, quando forem considerados todos os elementos da população. Para uma amostra: D p (x 1 M a ) 2 + (x 2 M a ) 2 + (x 3 M a ) (x n M a ) 2 n 1, quando for considerada apenas uma amostra da população.

17 Estatística 351 Exemplo: Em uma competição de salto em distância, foram registrados os seguintes resultados: 4,23m; 4,62m; 4,56m; 4,44m e 4,60m. Calcule o desvio padrão da competição. Solução: Vamos dividir em passos este exercício: 1.º passo: Calcular a média aritmética dos valores dados. M a 4,23 + 4,62 + 4,56 + 4,44 + 4, ,45 5 4,49 2.º passo: Calcular os desvios de cada valor em relação à média aritmética. 4,23 4,49 0,26 4,62 4,49 0,13 4,56 4,49 0,07 4,44 4,49 0,05 4,60 4,49 0,11 3.º passo: Elevar cada desvio ao quadrado. ( 0,26) 2 0, 0676 (0,13) 2 0, 0169 (0,07) 2 0, 0049 ( 0,05) 2 0, 0025 (0,11) 2 0, º passo: Substituir os valores na fórmula adequada, como foram considerados todos os valores da população temos: D p 0, , , , , , ,0208 0,144

18 352 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Coeficiente de variação CV D p M a Onde CV representa o coeficiente de variação, M a a média aritmética e D p o desvio padrão. Dizemos que o coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa, pois leva em consideração uma medida de dispersão absoluta, no caso o desvio padrão, e a média. Exemplo: Considere a seguinte situação: Uma empresa resolveu fazer um estudo com relação aos valores salariais de seus funcionários e a quantidade de anos de escolaridade, considerando os ensinos fundamental, médio, superior e pós-graduações. Veja alguns dos dados levantados neste estudo: Com relação aos valores dos salários, chegou-se a uma média de R$2.300,00 e um desvio padrão de R$460,00. Com relação a escolaridade, os dados são os seguintes: A média de anos de escolaridade foi de 14 anos, com desvio padrão de 2,8 anos. Qual das grandezas apresentou maior variabilidade? Solução: CV DP M a Para os salários temos: CV CV 0,2

19 Estatística 353 Para os anos de escolaridade temos: CV 2,8 14 CV 0,2 Considerando o Coeficiente de Variação, nenhuma das grandezas estudadas apresentou maior variabilidade. Apresentação de dados estatísticos Para facilitar a análise e interpretação dos dados estatísticos devemos organizá-los. Acompanhe alguns exemplos: Em uma determinada escola foram coletados os pesos (em kg) de 50 alunos. Os resultados obtidos estão dispostos no quadro a seguir: O primeiro passo para organizar esses dados é dispormos em uma determinada ordem, crescente ou decrescente. Organizando, a tabela fica assim: Os dados após a ordenação recebe o nome de ROL.

20 354 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Frequências Frequência absoluta: é o número de vezes que a variável assume valor na pesquisa. Frequência relativa: é a razão entre a frequência absoluta e o número total de elementos considerados. Observação: a frequência relativa percentual é a representação da frequência relativa em forma percentual. No tratamento de informações é muito comum a representação dos dados coletados em tabelas ou gráficos. Tabela de frequências A partir do ROL, podemos construir uma tabela chamada tabela de frequências. Para o ROL do exemplo anterior podemos montar a seguinte tabela de frequências: Pesos Frequências (f) A partir desta tabela de frequências vamos determinar a média desses dados já organizados.

21 Estatística 355 Para o cálculo da média aritmética, multiplicamos cada nota pela frequência correspondente, em seguida anotamos o produto obtido em uma nova coluna. Pesos Frequências (f) x i. f i Total: Agora devemos dividir o somatório do produto entre pesos e frequências pelo somatório das frequências, assim temos: M a ,38 50 Então, 63,38kg representa a média aritmética do "peso" dos 50 alunos. Ainda a partir desta tabela vamos determinar a mediana. Nesse caso, como a distribuição tem um número par de elementos, a mediana é a média entre os termos centrais. Os termos centrais são o 25.º termo equivalente ao número 61 e 26.º termo também equivale ao número 61, assim a mediana é: M d Por fim, a moda é o valor (ou valores) que mais aparece em uma dada distribuição, assim sendo, a moda será: M o 56

22 356 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Exemplo: Nível de escolaridade de um determinado bairro. Níveis Escolaridade Frequência Absoluta Frequência Relativa Frequência Relativa porcentual 1 Nenhuma ,015 1,5% 2 E. Fundamental ,170 17,0% 3 E. Médio ,515 51,5% 4 Graduação ,260 26,0% 5 Pós - Graduação ,040 4,0% Total 200 1, % Dada a tabela anterior, pode-se montar o seguinte gráfico de barras: Nível de Escolaridade Número de pessoas Nenhuma E. Fundamental E. Médio Escolaridade Graduação Pós-Graduação Frequência Absoluta

23 Estatística 357 Exercícios 6. Determine o desvio padrão do conjunto de valores: 13, 42, 26, 34 e De acordo com o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial), a avaliação da conformidade vem sendo cada vez mais usada por fornecedores para agregar valor e distinguir seus produtos, atraindo os consumidores e alcançando maiores fatias do mercado (retirado de: < O laboratório de controle de qualidade de uma indústria de laticínios analisou duas máquinas envasadoras de iogurte e apresentou os resultados na seguinte tabela: Iogurte Vida Volume ideal: 250ml Envasado na máquina A Resultados reais do volume do iogurte (em ml) 247 Iogurte Saúde Volume ideal: 250 ml Envasado na máquina B Resultados reais do volume do iogurte (em ml) Calcule, para cada tipo de iogurte, as seguintes medidas: a) a média aritmética;

24 358 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia b) a mediana; c) a moda; d) a amplitude; e) e o desvio padrão. De acordo com as medidas que você calculou, qual máquina envasa os iogurtes de maneira mais conforme? Por quê?

25 Gabarito Gabarito Estatística 1. M a 8,4 + 6,8 + 7,2 3 22,4 3 7, M ap anos ,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB 3. M a 4 8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB 7,0 4 8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB 7, ,2 + 4ºB 28,0 4ºB 28,0 20,2 4ºB 7,8 4. a) moda, M 1 e 3 (cada valor aparece 4 vezes na distribuição de valores). o b) a mediana, M ,5 d 2 c) M ,33 gols por partida. a Moda, M o 35 ( o valor aparece 2 vezes na distribuição de valores) Mediana, M d º passo: Calcular a média aritmética dos valores dados M a ,8 2.º passo: Calcular os desvios de cada valor em relação à média aritmética ,8 14, ,8 14, ,8 1,8

26 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 34 27,8 6, ,8 3,8 3.º passo: Elevar cada desvio ao quadrado. ( 14,8) 2 219,04 (14,2) 2 201,64 ( 1,8) 2 3,24 (6,2) 2 38,44 ( 3,8) 2 14,44 4.º passo: Substituir os valores na fórmula, assim: D P 219, ,64 + 3, , , ,8 5 9, a) máquina A: M 248,4; a máquina B: M a 249; b) máquina A: M 248; d máquina B: M d 250; c) em nenhum dos casos existe moda, pois não há nenhum valor que tem uma fre- quência maior que a frequência dos demais termos; d) máquina A: h 10; máquina B: h 18; e) máquina A: ( ,4) D P 2 + ( ,4) 2 + ( ,4) 2 + ( ,4) 2 + ( ,4) 2 5 D p 3,85 máquina B: ( ) D p 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 5 D p 7,25 A máquina A envasa os iogurtes de maneira mais conforme (constante), pois a amplitude e o desvio padrão são menores em relação à máquina B, apesar de a média e a mediana estarem um pouco mais distantes do volume ideal.