MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA

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1 PORCENTAGEM É sempre uma regra de três simples, diretamente proporcional % = = 0, % = = 0, Ex: a) Calcule 10% de 20% b) Calcule (10%) 2 c) Calcule 100 % EXERCÍCIOS 01) Um comerciante reajustou o preço de determinado produto em 10%. Observando que as vendas caíram, resolveu dar um desconto de 10% sobre o valor anunciado para o produto. Podemos afirmar que o valor final, em relação ao inicial, será: 02) A população de uma cidade cresceu 25% em um ano e, no ano seguinte, teve um decrescimento de 25%. Em relação à população inicial da cidade, podemos deduzir corretamente que a população: 03) Um cliente possui R$ 100,00 (cem reais) em sua conta bancária. Sabendo-se que o Governo Federal cobra um tributo de 0,38% de CPMF (Contribuição Provisória sobre a Movimentação Financeira) sobre cada movimentação financeira, qual o valor máximo que esse cliente pode sacar sem ficar com a conta negativa? 04) Um administrador municipal promoveu uma consulta à população com o objetivo de obter subsídios para o projeto do orçamento do próximo ano. Das pessoas consultadas, 4392 responderam que a maior prioridade deveria ser dada à segurança pública. Sabendo que estas constituíam 24% do total de pessoas consultadas, calcule esse total. 05) Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 100 alunos. Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação. Dentre os que ficaram em recuperação, 70% foram aprovados. Determine o percentual de alunos aprovados nessa disciplina. 06) Pedrão comprou dois aparelhos de ar condicionado e, com isso, seu consumo de energia elétrica, de setembro para outubro, cresceu em 40%. Se a conta de outubro registra um consumo de 210kWh, a conta de setembro registrava um consumo de: 07) Segundo dados publicados na revista Istoé Dinheiro (02/08/06) no ano de 2006 deverão ser investidos no mundo 673 bilhões de dólares em mídia e serviços de marketing. Este valor representa um crescimento de 6,2% em relação a Com base nesses dados, calcule quanto foi investido no mundo, no ano de 2005, em mídia e serviços de marketing. 09) Um comerciante comprou uma peça de tecido de 100m por R$ 900,00. Se ele vender 40m com lucro de 35%, 50m com lucro de 20% e 10m pelo preço de custo, então o comerciante terá um lucro na venda da peça de: 10) O dono de uma loja sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de determinado produto deve ser, no mínimo, 30% superior ao preço de custo. Visando atender clientes que pedem desconto, o dono da loja define o preço de venda, acrescentando 60% ao preço de custo. Dessa forma, o maior desconto que ele pode conceder, sem ter prejuízo, é de: 11) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$4200,00, já incluídos R$120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então, é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem: 12) Em porcentagem das emissões totais de gases do efeito estufa, o Brasil é o quarto maior poluidor, conforme a tabela abaixo. É CORRETO afirmar que a porcentagem de gases emitidos juntamente por Japão e Canadá, em relação aos gases emitidos pelo Brasil, é aproximadamente: Classifica ção Canadá 13) Mona verificou que o preço de um televisor era R$ 840,00. Após uma semana, retornou à mesma loja e constatou que o preço da mesma televisão fora reajustado em mais 15%. O desconto que Mona deve receber para que o valor da televisão retorne ao preço anterior é, aproximadamente, de: 14) Uma empresa comprou três milhões de reais em dólares. No primeiro mês, o dólar oscilou negativamente em 12%, mas no segundo mês a empresa conseguiu recuperar 8% do prejuízo acumulado. Ao final do segundo mês, a perda da empresa em relação ao seu investimento inicial foi de aproximadamente: 15) Um investidor iniciante investiu R$ 3.000,00 na Bolsa de Valores. No primeiro mês ele perdeu 40% do valor investido e no segundo mês ele recuperou 30% do prejuízo do mês anterior. Ao final do segundo mês, o montante investido em sua carteira era de: 16) Jorge trabalha em uma empresa cujo piso salarial é de R$360,00 e recebe, mensalmente, o triplo desse valor. A metade do que ganha fica comprometida com as despesas de luz, gás, transporte e lazer. Além disso, o aluguel e o 08) João, no primeiro trecho de sua caminhada, percorreu IPTU consomem juntos 20% do seu salário e 1/4 do que 12% de uma estrada. Ao concluir o segundo trecho, recebe é gasto com alimentação e a compra de produtos de correspondente a metros, o percentual percorrido primeira necessidade. Com base nessas informações, é passou a ser 16% da estrada. A extensão da estrada é correto afirmar que, mensalmente, Jorge tem condições de poupar: 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1 1º 2º 4º 7º 9º 10º País Estados Unidos China Brasil Japão Malásia Porcentagem 15,8 11,9 5,4 3,2 2,1 1,8

2 17) Joana, que trabalha como vendedora, teve duas propostas de emprego: - a primeira oferece um salário de R$ 600,00, mais comissão de 1% do seu total de vendas; - a segunda oferece um salário de R$ 700,00, mais comissão de 0,6% do seu total de vendas. Acima de qual valor total de vendas efetuadas, a primeira proposta de emprego de Joana oferece maior salário do que a segunda? 18) O preço de um carro novo é de R$ ,00 e diminui de 10 % a cada ano de uso. Qual será o preço com 3 anos de uso? 19) Um vendedor de frutas levava um carregamento de caixas de laranjas para vender a seu cliente a R$ 8,40 cada caixa. Ao chegar para a venda percebeu que havia doze caixas com frutas impróprias para o consumo, que foram descartadas, e as que sobraram foram vendidas por ele com acréscimo de 15% em seu preço. Com isso, obteve o mesmo montante que conseguiria caso não tivesse perdido as doze caixas e as tivesse vendido a R$ 8,40. A quantidade de caixas de laranjas vendidas foi de: 20) Recentemente o governo autorizou um aumento de 10% no preço da gasolina e, logo em seguida, um aumento de 8% no preço do álcool. Como, na composição da gasolina, o álcool contribui com 25%, o preço da gasolina teve, então, um novo reajuste correspondente ao aumento do preço do álcool. O aumento da gasolina, levando em conta os dois reajustes, foi de: 21) A tabela abaixo descreve os valores gastos, no primeiro ano de vida, com cachorros e gatos. De acordo com a tabela, para um cachorro e um gato, o gasto com ração, no primeiro ano, representa em relação ao custo total, incluindo o preço dos animais, a porcentagem de: 25) Consideremos a renda per capita de um país como a razão entre o Produto Interno Bruto (PIB) e sua população. Em 2004, a razão entre o PIB da China e o Brasil, nesta ordem, era 2,8; e a razão entre suas populações, também nesta ordem, era 7. Com base nessas informações, pode se afirmar corretamente que, em 2004, a renda per capita do Brasil superou a da China em: 26) Com o reajuste de 10% no preço da mercadoria A, seu novo preço ultrapassará o da mercadoria B em R$ 9,99. Dando um desconto de 5% no preço da mercadoria B, o novo preço dessa mercadoria se igualará ao preço da mercadoria A antes do reajuste de 10%. Assim, o preço da mercadoria B, sem o desconto de 5%, em R$, é: 27) Um comerciante comprou certo artigo com um desconto de 20% sobre o preço de tabela. Em sua loja, ele fixou um preço para tal artigo, de modo a poder vendê-lo dando aos clientes um desconto de 25% e a obter um lucro de 40% sobre o preço fixado. Nessas condições, sabendo que pela compra de uma unidade desse artigo um cliente terá que desembolsar R$ 42,00, o seu preço de tabela é 28) O senhor Pitágoras contrata um advogado; esse consegue receber 90% do valor da questão avaliada em R$ ,00 e cobra, a título de honorários, 15% da quantia recebida. Qual a importância que resta para o senhor Pitágoras? 29) Uma mercadoria foi vendida a uma pessoa com o lucro de 20%; esta vendeu-a com o lucro de 10%, e por fim, esta terceira vendeu-a com lucro de 5%. Qual a taxa única, que representa o valor final da mercadoria, após o último aumento. 30) Durante sua viagem ao país das Maravilhas a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: beba-me e fique 25% mais alta. A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: prove-me e fique 10% mais baixa ; logo após tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: beba-me e fique 10% mais alta. Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito: prove-me e fique 20% mais baixa. Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela: GABARITO PORCENTAGEM 22) Quando foi admitido em uma empresa, José contratou um plano de saúde, cujo valor correspondia a 5% do seu salário. Hoje, José tem um salário 30% maior e o plano de saúde teve, desde a admissão de José, um aumento de 82%, representando, atualmente, K% do salário de José. O valor de K é: 23) Um teatro aumenta o preço do ingresso em 8%. Em conseqüência, o número de ingressos vendidos diminui em 5%. Qual é a variação, em porcentagem, da receita obtida pelo teatro? 01) 99% do valor inicial 02) diminuiu 6,25% 03) R$99,62 04) ) 79% 06) 150kWh 07) 633,71 bilhões de dólares 08) 30km 09) 24% 10) 18,75% 11) R$3792,00 12) 92,6% 13) 13% 14) 11% 15) R$2160,00 16) R$54,00 17) R$25.000,00 18) R$16.038,00 19) 80 20) 12,2% 21) 24% 22) 7% 23) 2,6% 24) R$75,00 25) exatos 150% 26) R$222,00 27) R$ 24,50 28) R$22950,00 29) 38,6% 30) ficou 1% mais baixa 24) O preço do produto X é 20% menor que o do produto Y, e este, por sua vez, tem preço 20% maior que o do produto Z. Se os preços dos três produtos somam R$ 237,00, quanto custa, em reais, o produto Z? Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

3 JUROS SIMPLES j = c.i.t j = juros; c = capital; i = taxa; t = tempo MONTANTE M = c + j 10) Uma mercadoria no valor de R$ 400,00 é vendida à vista ou em duas parcelas iguais de R$ 210,00, sendo uma no ato da compra e outra 30 dias depois. A taxa mensal de juros, na compra parcelada é, aproximadamente, igual a: 11) Um objeto pode ser comprado, à vista, por R$ 110,00, ou a prazo, em duas parcelas de R$ 60,00. Se a primeira for paga no ato da compra e a segunda, 30 dias após, a taxa de juros cobrada na venda a prazo é de: M = montante; j = juros; c = capital Substituindo j = c.i.t em M = c + j: M = c + c.i.t M = c(1 + i.t) EXERCÍCIOS 01) A que taxa mensal de juros simples um capital de R$ 500,00, aplicado durante 10 meses, produz R$ 150,00 de juros? 02) Chiquinho aplicou a quantia de R$ 500,00 a juros simples durante 6 meses. A taxa de aplicação foi de 5% ao mês. O montante obtido foi: 03) Mário tomou um empréstimo de R$ 8.000,00 a juros simples de 5% ao mês. Dois meses depois, Mário pagou R$ 5.000,00 do empréstimo e, um mês após esse pagamento, liquidou todo o seu débito. O valor do último pagamento foi de: 04) José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no sistema de juros simples, a uma taxa de juros fixa e mensal. Se no final dos 5 meses José recebeu um total de R$ 600,00, então a taxa fixa mensal aplicada foi de: 05) João abriu uma caderneta de poupança e, em 1º de janeiro de 2006, depositou R$ 500,00 a uma taxa de juros simples, nesse ano, de 20%. Em 1º de janeiro de 2007, depositou mais R$ 1.000,00. Para que João tenha, nessa poupança, em 1º de janeiro de 2008, um montante de R$ 1.824,00, a taxa de juros simples do segundo ano deve corresponder a: 06) Determinado capital, acrescido dos juros simples de 4 meses, resulta em R$672,00. O mesmo capital, acrescido dos juros simples de 10 meses, resulta em R$780,00. A taxa de juros simples mensal é de: 07) Bento emprestou R$ 10000,00 a Carlos, pelo prazo de 10 meses, à taxa de 6,9% ao mês, no regime de juro simples. No entanto, 4 meses antes do vencimento, necessitando de dinheiro, Bento propôs que Carlos antecipasse o pagamento da dívida, utilizando para tal a taxa de 7,5% ao mês, ainda no regime de juro simples. Caso Carlos aceite a proposta de Bento, quanto deverá desembolsar para saldar a dívida? 08) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em: 12) José colocou 2/3 de meu capital a 36% a.a., e o restante a 18% a.a., recebendo juro anual de R$ ,00. Qual é o meu capital? 13) Uma pessoa aplicou uma parte de um capital a 4% ao ano e a outra parte a 5%, também ao ano. No final de um ano, ela recebeu de juros um total de R$220,00. Se os montantes aplicados tivessem sido invertidos, o que foi aplicado a 4% fosse aplicado a 5% e vice-versa, os juros recebidos teriam sofrido acréscimo de R$10,00. Qual foi o capital total aplicado por essa pessoa? 14) André aplicou parte de seus R$ ,00 a 1,6% ao mês, e o restante a 2% ao mês. No final de um mês, recebeu um total de R$ 194,00 de juros das duas aplicações. O valor absoluto da diferença entre os valores aplicados a 1,6% e a 2% é: 15) Um capital de R$ ,00 foi dividido em duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa de 12% de juros anuais. Ao término de um ano, observou-se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados foi de: 16) Uma loja de eletrodomésticos anuncia a seguinte promoção: "Televisor 29", à vista, por apenas R$ 702,00, ou a prazo, em duas prestações mensais iguais de R$ 390,00, sendo a primeira paga no ato da compra". Nestas condições, a taxa mensal de juros embutida na venda a prazo é igual a: 17) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$ 48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$ 25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a: 18) Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º como entrada e o 2º um mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a: 19) Um total de R$ 6.000,00 será investido, parte a 3,5% e parte a 6%. Se o rendimento total esperado é, no mínimo, de R$ 300,00, o valor máximo que pode ser investido a 3,5% é 20) Luiz Carlos investiu R$ ,00 no mercado financeiro da seguinte forma: parte no fundo de ações, parte no fundo de renda fixa e parte na poupança. Após um ano ele recebeu R$ 1.018,00 em juros simples dos três investimentos. Nesse período de um ano, o fundo de ações rendeu 15%, o fundo de renda fixa rendeu 10% e a poupança rendeu 8%. Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo de ações apenas metade do que ele investiu na poupança, os juros que ele obteve em cada um dos investimentos foram: 09) Em 05 de agosto de 2004, aproveitando a possibilidade de desconto no benefício, certo aposentado contraiu um empréstimo de R$ ,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Se nenhuma parcela desse empréstimo foi descontada, o saldo devedor em 5 de dezembro de 2005 era de, aproximadamente: 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3

4 a) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo de renda fixa e R$ 288,00 na poupança. b) R$ 300,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo de renda fixa e R$ 258,00 na poupança. c) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 470,00 no fundo de renda fixa e R$ 288,00 na poupança. d) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 480,00 no fundo de renda fixa e R$ 278,00 na poupança. e) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 430,00 no fundo de renda fixa e R$ 318,00 na poupança. GABARITO JUROS SIMPLES 01) 3% 02) R$650,00 03) R$3990,00 04) 4% 05) 14% 06) 3% 07) R$11830,00 08) 6 anos e 8 meses 09) R$12960,00 10) 10,53% 11) 20% 12) R$ ,00 13) R$500,00 14)R$7.000,00 15) R$6.000,00 16) 25% 17) 9% 18) 9% 19)R$2.400,00 20) a JUROS COMPOSTOS MONTANTE M = c + j M = c.(1+i) t M = montante j = juros;c = capital; i = taxa; t = tempo EXERCÍCIOS 01) Um poupador depositou na caderneta de poupança a quantia de R$ ,00, no dia primeiro de março. Sabendo que a taxa de remuneração é constante e igual a um por cento ao mês, e que o resultado final obtido é dado = 1 i pela fórmula V P em que P é o valor inicial depositado, i é a taxa de remuneração e t é o tempo, então o valor V, após 5 meses, é: 02) Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juros fixos de 1% ao mês, sem qualquer tipo de desconto. Ao final de dois anos, este investidor terá, nesta aplicação, em reais: 03) Suponha uma inflação mensal de 4% durante um ano. De quanto será a inflação acumulada neste ano? (Pode deixar indicado o resultado) 04) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, é: 05) Um pai combinou que pagaria a mesada de seu filho no dia 10 de cada mês, começando no dia 10 de janeiro de 2003, com R$ 100,00, sendo que o valor seria corrigido mensalmente em 1%. Em 10 de janeiro de 2004, o valor a ser pago pelo pai será, em reais: 06) Uma carteira de investimento rende 2% ao mês. Depois de três meses, R$1.500,00 aplicados cumulativamente nesta carteira valem aproximadamente: 07) Um banco pratica sobre o seu serviço de cheque especial a taxa de juros de 11% ao mês. Para cada 100 reais de cheque especial, o banco cobra 111 no primeiro mês, 123,21 no segundo, e assim por diante. Sobre um montante de 100 reais, ao final de um ano o banco irá cobrar aproximadamente: 08) Cássia aplicou o capital de R$15.000,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% a.m. (ao mês). Considerando a aproximação (1,02) 5 = 1,1, Cássia computou o valor aproximado do montante a ser recebido ao final da aplicação. Esse valor é: 09) O preço de venda de um automóvel é de R$ ,00. Este valor pode ser dividido em 40 prestações iguais calculadas da seguinte maneira: adiciona-se ao valor do automóvel juros mensais e cumulativos de 1% durante 40 meses e divide-se o montante por 40. Determine o valor da prestação, em reais. (Use as aproximações 1, ,5) 10) Um produto, cujo preço à vista é R$ 61,00, foi comprado com uma entrada à vista de R$ 25,00 e mais duas prestações mensais iguais de R$ 25,00 cada uma. A taxa percentual mensal de juros compostos praticada na venda do produto é: 11) Uma máquina de lavar roupa é vendida à vista por R$1200,00 ou, então, a prazo com R$ 300,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1089,00, dois meses após a compra. A taxa mensal de juros compostos do financiamento é: 12) Fábio recebeu um empréstimo bancário de R$10.000,00, para ser pago em duas parcelas anuais, a serem pagas respectivamente no final do primeiro ano e do segundo ano, sendo cobrados juros compostos à taxa de 20% ao ano. Sabendo que o valor da 1ª parcela foi R$ 4.000,00, podemos concluir que o valor da 2ª foi de: 13) O Sr. Alfredo costuma aplicar seu dinheiro num fundo de investimento que rende juros compostos. a) Quanto deverá aplicar hoje, para ter um montante de R$13310,00 daqui a 3 anos, se a taxa de juros for de 10% ao ano? b) Se ele aplicar hoje R$ 8000,00, qual a taxa anual de juros (constante) que o fundo deverá render para que ele possa sacar R$ 6000,00 daqui a 1 ano e R$ 9000,00 daqui a 2 anos, esgotando seu saldo? GABARITO JUROS COMPOSTOS 01) R$105100,00 02) R$1000.(1,01) 24 03) (0,04) 12 04) R$ 1000.(1,15) n 05) R$100.(1,01) 12 06) R$1500.(1,02) 3 07) R$100.(1,11) 12 08) R$18150,00 09) R$750,00 10) 18% 11) 10% 12) R$9600,00 13) a) R$10000,00 b) 50% Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

5 TAXAS DE JUROS Antes de iniciarmos o estudo sobre taxas de juros, vamos relembrar alguns conceitos e definir alguns termos que irão fazer parte do nosso estudo: Juros (j): valor que é gerado pela aplicação ou empréstimo de dinheiro. Capital inicial (C, valor presente VP ou present value PV, valor atual VA): valor que é aplicado ou emprestado, sobre o qual incidirão as taxas de juros. Taxas de juros (i interest rate): é a razão entre os valores do juro e do capital inicial Prazo (t): período de tempo pelo qual se é aplicado ou emprestado o dinheiro. Obs: a taxa e o prazo devem ser considerados em uma mesma unidade de tempo. Montante (M, valor nomina VNl, valor futuro VF, future value FV, valor capitalizado, valor de resgate): valor obtido pela soma do capital inicial com o juro. Prazo comercial: considera-se o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Prazo civil: consideram-se os dias efetivamente transcorridos. TAXAS PROPORCIONAIS São as taxas diferentes que, aplicadas a um mesmo capital inicial, geram um mesmo montante, em um mesmo intervalo de tempo. Ex: um capital inicial aplicado a uma taxa de juros de 5% ao mês, por um período de doze meses, rende o mesmo que se aplicado a uma taxa de juros de 60% ao ano, por um período de um ano. Podemos representá-las da seguinte forma: i ano = 2 x i semestre = 4 x i trimestre = 6 x i bimestre = 12 x i mês = 360 x i dia EXERCÍCIOS 01) Determine as taxas proporcionais à taxa de 5% a.m., em cada caso: a) a.b. b) a.t. c) a.s. d) a.a. 02) Determine a taxa mensal proporcional em cada caso: a) 8% a.b. b) 9% a.t. c) 9% a.s. d) 24% a.a. 03) Determine as taxas proporcionais à taxa de 6% a.b., em cada caso: a) a.t. b) a.a. 04) Determine a taxa diária proporcional a 20% a.a., considerando: a) o ano comercial b) o ano civil 05) Calcular a taxa semestral proporcional a juros simples de 36% a.a.? 06) Calcular a taxa mensal proporcional a juros simples de 84% a.a.? 07) Calcular a taxa semestral proporcional a juros simples de 8% a.m.? 08) Calcular a taxa semestral proporcional a juros simples de 72% a.a.? 09) Calcular a taxa mensal proporcional a 120% a.a.? 10) Qual é a taxa trimestral proporcional a 36% a.a. GABARITO TAXAS PROPORCIONAIS 01) a) 10% a.b. b) 15% a.t. c) 30% a.s. d) 60% a.a. 02) a) 4% a.m. b) 3% a.m. c) 1,5% a.m. d) 2% a.m. 03) a) 9% a.t. b) 36% a.a. 04) a) 0,056%a.d. b) 0,055%a.d. 05) 18% 06) 7% 07) 48% 08) 36% 09) 10% 10) 9% TAXAS EQUIVALENTES São as taxas diferentes que, aplicadas a um mesmo capital inicial, geram um mesmo montante, em um mesmo intervalo de tempo. Ex: um capital inicial aplicado a uma taxa de juros de 1% ao mês, por um período de doze meses, rende o mesmo que se aplicado a uma taxa de juros de 12,68% ao ano, por um período de um ano. Podemos representá-las da seguinte forma: (1 + i ano) = (1 + i semestre) 2 = (1 + i trimestre) 4 = (1 + i bimestre) 6 = (1 + i mês) 12 = (1 + i dia) 360 Importante: # sempre deve ser utilizada a taxa equivalente, a menos que seja pedida a taxa proporcional # nos juros simples, as taxas proporcional e equivalente são iguais. EXERCÍCIOS 01) Determine as taxas equivalentes à taxa de 2% a.m., em cada caso: Considere (1,02) 6 = 1,1262 e (1,02) 12 = 1,2682 a) a.s. b) a.a. 02) Determine a taxa mensal equivalente em cada caso: Considere (1,06) 1/3 = 1,0196; (1,24) 1/6 = 1,0365 e (1,36) 1/12 = 1,0260 a) 6% a.t. b) 24%a.s. c) 36%a.a Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5

6 03) Determine a taxa trimestral equivalente a 2% a.b.? Considere (1,02) 3/2 = 1, ) Determine a taxa diária equivalente a 25% a.a., considerando o ano civil? Considere (1,25) 1/365 = 1, ) Qual a taxa anual equivalente à taxa composta de 5% a.m.? 06) Calcular a taxa semestral equivalente a juros de 2% a.m.? 07) Calcular a taxa semestral equivalente a juros composta de 4% a.b.? 08) Qual a taxa anual equivalente à taxa composta de 10% a.s.? 09) Calcular a taxa mensal equivalente unitária a juros compostos de 108% a.a.? 10) Calcular a taxa semestral equivalente percentual a juros compostos de 8% a.a.? 11) Qual a taxa anual composta equivalente a taxa de 4% a.m.? 12) Calcular a taxa semestral equivalente a juros compostos de 10% a.m.? 13) Calcular a taxa semestral proporcional a juros compostos de 72% a.a.? 14) Calcular a taxa semestral equivalente a juros compostos de 8% a.b.? 15) Calcular a taxa anual equivalente a 5% a.s.? 16) Determinar a taxa composta anual equivalente a 6% ao mês. 17) Qual a taxa anual equivalente a 12% ao mês de juros compostos? 18) Um capital foi aplicado a 4% ao mês de juros compostos. A que taxa anual o capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante? GABARITO TAXAS EQUIVALENTES 01) a) 12,62% a.s. b) 26,82% a.a 02) a) 1,96% a.m. b) 3,65% a.m. c) 2,60% a.m. 03) 3,01% a.t. 04) 0,06% a.d. 05) 79,58% 06) 12,61% 07) 12,48% 08) 21% 09) 12 2, ) [( 1, 08 1).100]% 11) 60,10% 12) 77,16% 13) 36% 14) 25,97% 15) 10,25% 16) 101,22% 17) 289,60% 18) 60,10% a.a. TAXAS EFETIVAS São as taxas onde a unidade de tempo é a mesma utilizada para a capitalização. Ex: 1% ao mês por 3 meses, 18% ao ano por 2 anos,... TAXAS NOMINAIS São as taxas onde a unidade de tempo não é a mesma utilizada para a capitalização. Ex: 1% ao mês por 20 dias, 18% ao ano por 10 meses,... Nestes casos, devemos converter a taxa nominal em taxa efetiva, utilizando o regime de juros simples. Ex: 24% a.a. capitalizados: Ao semestre = 12% a.s. Ao trimestre = 6% a.t. Ao bimestre = 4% a.b. Ao mês = 2% a.m. 01) Determinar a taxa efetiva semestral equivalente à taxa de 24% a.a., capitalizados bimestralmente. enunciado = taxa nominal anual 24% a. a. i b = = 4% a. b. = taxa efetiva bimestral 6 3 (1 + 4%) 1 = 12,49% a. s. = taxa efetiva semestral Veja que interessante: 02) Determine a taxa efetiva anual equivalente às taxas: a) 12% a.a. capitalizados a.d. enunciado = taxa nominal anual 12% a. a. i = = 0,0333% a. d. = taxa efetiva diária (1 + 0,0333%) 1 = 12,75% a. a. = taxa efetiva anual b) 12% a.a. capitalizados a.m. enunciado = taxa nominal anual 12% a. a. i = = 1% a. m. = taxa efetiva mensal (1 + 1%) 1 = 12,68% a. a. = taxa efetiva anual c) 12% a.a. capitalizados a.b. enunciado = taxa nominal anual 12% a. a. i = = 2% a. b. = taxa efetiva bimestral 6 6 (1 + 2%) 1 = 12,62% a. a. = taxa efetiva anual d) 12% a.a. capitalizados a.t. enunciado = taxa nominal anual 12% a. a. i = = 3% a. t. = taxa efetiva trimestral 4 4 (1 + 3%) 1 = 12,55% a. a. = taxa efetiva anual Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

7 e) 12% a.a. capitalizados a.s. enunciado = taxa nominal anual 12% a. a. i = = 6% a. s. = taxa efetiva semestral 2 2 (1 + 6%) 1 = 12,36% a. a. = taxa efetiva anual Observe, na tabela abaixo, que quanto maior o número de capitalizações, maior o valor da taxa efetiva anual: Capitalização Número de Taxa efetiva anual capitalizações Diária ,75% Mensal 12 12,68% Bimestral 6 12,62% Trimestral 4 12,55% Semestral 2 12,36% Anual 1 12,00% EXERCÍCIOS 01) Um capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 60% a.a. com capitalização mensal. Qual o montante dessa aplicação? 02) Qual o montante de uma aplicação de R$ ,00, a juros compostos, durante 6 meses à taxa de 36% a.a., capitalizados mensalmente? 03) Determine o prazo de uma aplicação de R$ ,00, a juros compostos, capitalizados mensalmente, se desejo obter um montante de R$ ,00, a taxa de juro de 15% a.m. 04) Qual a taxa efetiva para que o capital de R$ ,00, aplicado durante 1 ano, com capitalização mensal, atinja um montante de R$ ,00? 05) A taxa de juros nominal de 30% a.s., capitalizada mensalmente, equivale à taxa semestral de: 06) Um banco paga juros compostos de 30% a.a., com capitalização semestral, Qual a taxa anual efetiva? 07) Qual a taxa efetiva para que o capital de R$ ,00, aplicado durante 1 ano, com capitalização mensal, atinja um montante de R$ ,20. 08) Um título de valor nominal de R$ ,00 vai ser resgatado três meses antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Sabendo-se que a taxa de desconto racional é de 96% a.a., qual o valor descontado e o desconto, considerando capitalização mensal? 09) O montante gerado por um capital de R$ ,00, no fim de 5 anos, com juros de 40% a.a. capitalizados trimestralmente é de: 10) Quanto se deve investir hoje, à taxa nominal de juros de 20% ao no, capitalizados trimestralmente, para se obter R$ ,00 daqui a 5 anos? 11) A taxa de juros nominal de 30% ao semestre, capitalizados mensalmente equivale à taxa semestral de: 12) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capitalização semestral. Qual a anual taxa efetiva? 13) Durante quanto tempo R$ ,00 produzem R$ ,10 de juros compostos, a 24% a.a., capitalizados trimestralmente. 14) Qual o prazo necessário para que um capital aplicado à taxa composta de 5% ao mês produza um juro igual a 107,8% de seu valor: 15) Em quantos meses o juro ultrapassará o valor do capital aplicado a uma taxa de juros de 24% ao ano, capitalizados trimestralmente? 16) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a: 17) O capital de R$ ,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito esses de aplicação. GABARITO TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS 01) R$ ,00 02) R$ ,00 03) 5 meses 04) 8% a.m. 05) 34% 06) 32,25% 07) 5% a.m. 08) R$ ,00 e R$ ,88 09) R$ ,84 10) R$ ,00 11) 34% 12) 32,25% 13) 24 meses 14) 5 trimestrais 15) 36 16) 69 % e 79 % 17) R$ ,38 TAXA APARENTE É a taxa que vigora em aplicações, nela se encontra embutido: a inflação e o retorno. TAXA REAL É a taxa que realmente aumenta o valor do capital. Podemos relacionar as taxas aparente, real e a inflação através da fórmula: ( 1 + a ) = ( 1 + r ). ( 1 + f ) Onde: a = taxa aparente, r = taxa real, f = inflação EXERCÍCIOS 01) Calcular a taxa aparente anual, que uma financeira deve cobrar para que ganhe 8% a.a., num período onde a inflação é 5% a.a.? 02) Calcular a remuneração real que recebe um cliente, em um banco que se utiliza da taxa de 40% a.a. em suas aplicações, num período onde a inflação é 30% a.a.? 03) Calcular a inflação anual, para que um aplicador ganhe 12% a.a. em uma financeira que se utiliza de uma taxa de 25% a.a. para seus clientes? 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 7

8 04) Qual a taxa que um banco deve fornecer aos seus clientes, de modo a fornecer um ganho de 0,5% a.m., num período onde a inflação é de 28%? 05) Por um capital de R$6000,00 aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$7260,00 como capital acumulado. Qual é a taxa de juros real ganha, se a inflação for de 5% a.a.? 06) Uma letra foi adquirida por R$1000,00 e resgatada por R$1350,00, no final de um ano. Calcule a taxa de juros aparente? 07) Uma letra foi adquirida por R$1000,00 e resgatada por R$1350,00, no final de um ano. Calcule a taxa de juros real, uma vez que a inflação fora de 10% a.a.? 08) Uma pessoa aplica R$1000,00 em uma instituição financeira que paga 5% a.m. mais correção monetária. Que montante receberá o investidor após 3 meses, se a correção monetária mensal for de 2% a.m.? 09) Qual a taxa que um banco deve fornecer aos seus clientes, de modo a fornecer um ganho de 0,8% a.m., num período onde a inflação é de 15%? 10) Calcular a taxa aparente anual, que uma financeira deve cobrar para que ganhe 5% a.a., num período onde a inflação é 4% a.a.? 11) Calcular a remuneração real que recebe um cliente, em um banco que se utiliza da taxa de 30% a.a. em suas aplicações, num período onde a inflação é 20% a.a.? 12) Calcular a inflação anual, para que um aplicador ganhe 4% a.a. em uma financeira que se utiliza de uma taxa de 16% a.a. para seus clientes? 13) A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em termos nominais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de: 14) Se uma aplicação rendeu 38% em um mês e, nesse período, a inflação foi de 20%, a taxa real de juros foi de: 15) Se uma aplicação foi feita a uma taxa de 28,8% em um mês, e se neste mês a inflação foi de 15%. A taxa real de juros foi de: 16) Um capital foi aplicado à taxa racional efetiva de 50% a.m.. Nestes dois meses a inflação foi de 40% no primeiro mês e de 50% no segundo. Pode-se concluir que a taxa real de juros neste bimestre foi de aproximadamente: GABARITO TAXAS APARENTE E REAL 01) 13,40% a.a. 02) 7,69% a.a. 03) 11,61% a.a. 04) 28,64% a.m. 05) 4,76% a.a. 06) 35% a.a. 07) 22,73% a.a. 08) R$ 1.228,50 09) 15,92% a.m. 10) 9,20% a.a. 11) 8,33% a.a. 12) 11,53% a.a. 13) 5% 14) 15% 15) 12% 16) 7,1% JUROS SIMPLES EXATO É aquele no qual se consideram os dias exatos (mês com 28, 29, 30 ou 31 dias e ano com 365 ou 366 dias) A taxa tem que ser anual e o tempo em anos. Importante: # para verificar se o ano é bissexto, ver se é divisível por quatro. # o dia em que foi feita a aplicação é considerado, enquanto que o dia em que foi feita a retirada não é considerado. Obs: se o período de aplicação considerar uma parte em um ano bissexto e uma parte em um ano não bissexto, deve-se separar a parte bissexta da parte não bissexta e somar os resultados obtidos. EXERCÍCIOS 01) Calcular o juro simples exato do capital R$ 3.800,00, colocado a uma taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 1945 a 28 de maio do mesmo ano? 02) Calcular o juro simples exato do capital R$ 5.000,00, colocado, à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 1945 a 28 de maio do mesmo ano? 03) A quantia de R$ 1.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 8 de agosto de 2003 ao dia 2 de julho de Calcule os juros exatos obtidos, à taxa de 10% ao mês. 04) Um capital foi aplicado no dia 2 de maio de 1990 e o dia 14 de junho de 1991 havia rendido juro simples exato no valor de 6/5 de seu próprio valor. A que taxa anual o capital foi aplicado? 05) Um capital foi aplicado a 6% ao mês de juro simples comerciais. A que taxa de juro simples exato o mesmo capital deveria ter sido aplicado para render os mesmos juro no mesmo prazo? GABARITO JUROS SIMPLES EXATO 01) R$76,00 02) R$100,00 03) R$90,00 04) 107,35% 05) 6,08% a.m. Prazo médio PRAZO, TAXA E CAPITAL MÉDIO t m = ( c i t) ( c i) Onde: c = capital, i = taxa, t = tempo, t m = tempo médio Taxa média i m = ( c i t) ( c t) Onde: c = capital, i = taxa, i m = taxa média, t = tempo Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

9 Capital médio c m = ( c i t) ( i t) Onde: c = capital, c m = capital médio, i = taxa, t = tempo Obs: # se não for dado o tempo, considera-se pelo mesmo período. # se não for dada a taxa, considera-se que foi a mesma. EXERCÍCIOS 01) Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 300,00 a 8% a.m., R$ 200,00 a 9% a.m. e R$ 100,00 a 6%a.m., sabe-se que o prazo de aplicações são iguais. Qual a taxa média da aplicação? 02) Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 300,00 a 4% a.m. durante 2 meses, R$ 200,00 a 3% a.m. durante 3 meses e R$ 100,00 a 2%a.m. durante 3 mês. Qual a taxa média da aplicação? 03) Uma entidade financeira usa os seguintes critérios para investimento: R$40,00 em 180 dias, R$ 35,00 em 200 dias e R$ 25,00 em 360 dias. Qual é o prazo médio dos seus investimentos? 04) Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 600,00 a 8% a.m., R$500,00 a 9% a.m. e R$ 400,00 a 3%a.m.. Qual o capital médio da aplicação? 05) Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: metade do seu capital a 16% ao mês, a terça parte do seu capital a 12% ao mês e o restante à 6% ao mês. Qual a taxa média da aplicação? 06) Aplicou-se um capital da seguinte forma: 2/5 do capital à 9% ao mês 1/4 do capital à 8% ao mês e o saldo à 10% ao mês de juros simples. Qual a taxa média da aplicação? 07) Uma entidade financeira usa os seguintes critérios para investimento: 40% dos seus recursos em 180 dias, 35% de seus recursos em 270 dias e 25% em 360 dias. Qual é o prazo médio dos seus investimentos? 08) Mário investiu 30% do seu capital em um fundo de ações e o restante em um fundo de renda fixa. Após um mês, as quotas dos fundos de ações e de renda fixa haviam se valorizado 40% e 20%, respectivamente. A rentabilidade do capital de Mário foi nesse mês, de: 09) Considere três títulos de valores nominais iguais a R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário simples são, respectivamente, três meses a 6 % ao mês, quatro meses a 9 % ao mês e dois meses a 60 % ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da taxa média mensal de desconto é igual a: GABARITO PRAZO, TAXA E CAPITAL MÉDIO 01) 8%a.m. 02) 3,2%a.m. 03) ) R$ 525,00 05) 13% a.m. 06) 9,1% a.m. 07) 256,5 08) 26% 09) 7 % CONVENÇÃO EXPONENCIAL E CONVENÇÃO LINEAR São utilizadas quando o tempo não for exato, isto é, for um número fracionário ou um número misto CONVENÇÃO EXPONENCIAL (JURO COMPOSTO) M = c. ( 1 + i ) t. (1 + i ) p/q Onde: c = capital, c m = capital médio, i = taxa, t = tempo, p/q = tempo fracionário CONVENÇÃO LINEAR (JURO COMPOSTO + JURO SIMPLES) M = c ( 1+ i) t p 1+ i q Onde: c = capital, c m = capital médio, i = taxa, t = tempo, p/q = tempo fracionário Obs: A convenção linear é um pouquinho maior que a convenção exponencial EXERCÍCIOS 01) Um investidor aplicou R$ ,00 por 40 meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção exponencial? (dado que (1 + 10%) 1/3 = 1,0323) 02) Um investidor aplicou R$ ,00 por 40 meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção linear? 03) Qual o montante de um capital de R$ ,00 durante 3 anos e seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Utilizando a convenção exponencial (dado que (1 + 10%) 1/2 = 1,0488) 04) Qual o montante de um capital de R$ ,00 durante 3 anos e seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Utilizando a convenção linear. 05) Um investidor aplicou R$ ,00 por 44 meses à taxa de 15% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção exponencial? (dado que (1 + 15%) 2/3 = 1,0977) 06) Um investidor aplicou R$ ,00 por 44 meses à taxa de 15% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a convenção linear? GABARITO CONVENÇÃO EXPONENCIAL E LINEAR 01) R$ ,91 02) R$ ,67 03) R$ ,58 04) R$ ,00 05) R$ ,87 06) R$ , Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 9

10 DESCONTOS Consideremos inicialmente que: # os juros (j) passam a ser chamados de Desconto; # o capital (c) passa a ser chamado de Valor Atual (A), Valor Presente (VP) Present Value (PV), ou Valor Resgatado; # o Montante (M) passa a ser chamado de Valor Nominal (N), Valor Futuro (VF) Future Value (FV), ou valor do título; # o tempo (t) deve ser considerado como o tempo que falta (t f) para vencer o título; Agora, vamos considerar que há dois tipos de desconto: Desconto Racional ou por dentro : é aquele no qual a taxa de desconto incide sobre o Valor Atual A. Desconto Comercial ou por fora : é aquele no qual a taxa de desconto incide sobre o Valor Nominal N. Desconto Bancário: é aquele no qual a taxa de desconto incide sobre o Valor Nominal N, acrescido de encargos bancários. DESCONTO SIMPLES DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO (Valor Atual A) É aquele no qual a taxa de desconto incide sobre o Valor Atual A. A taxa de juros também pode ser chamada de taxa de desconto por dentro, taxa de rentabilidade, taxa de desconto racional simples, taxa efetiva, taxa real, taxa linear ou taxa implícita. Lembre-se que obtemos os juros simples pela relação: j = c.i.t Onde: j = juros, c = capital, i = taxa e t = tempo. Substituindo j por D e c por A, obtemos: D = A.i.t Onde: D = desconto racional, A = valor Atual, i = taxa e t = tempo. Lembre-se ainda que obtemos o Montante pela relação: M = c + j j = M c Onde: M = montante, c = capital e j = juros. Substituindo j por D, M por N e c por A, obtemos: Onde: Onde: D = desconto racional, N = valor Nominal, A = valor Atual. Substituindo D = A.i.t, obtemos: Isolando N: A.i.t = N A N = A.i.t + A N = A.(1 + i.t) Onde: Onde: N = valor Nominal, A = valor Atual, i = taxa e t = tempo. DESCONTO COMERCIAL OU POR FORA (Valor Nominal N) é aquele no qual a taxa de desconto incide sobre o Valor Nominal N. A taxa de juros também pode ser chamada de taxa de desconto por fora, taxa de desconto comercial, taxa nominal ou taxa estabelecida. Lembre-se que obtemos os juros simples pela relação: j = c.i.t Onde: j = juros, c = capital, i = taxa e t = tempo. Substituindo j por D e c por N, obtemos: D = N.i.t Lembre-se ainda que obtemos o Montante pela relação: M = c + j j = M - c Onde: M = montante, c = capital e j = juros. Substituindo j por D, M por N e c por A, obtemos: D = N A Substituindo D = N.i.t, obtemos: Isolando A: N.i.t = N A A = N N.i.t A = N.(1 i.t) Onde: Onde: A = valor Atual, N = valor Nominal, i = taxa e t = tempo. Importante: caso não seja mencionado se o desconto é racional ou comercial, deve-se usar o racional. D = N A Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

11 RELAÇÃO ENTRE DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL SIMPLES D C = D R (1 + i.t) Para lembrar: o Desconto Comercial é sempre maior que o Desconto Racional, assim como o Montante é sempre maior que o capital, então é só associar com a fórmula de juros simples: M = c (1 + i.t) EXERCÍCIOS 01) Qual é o valor racional nominal de um título, cujo valor atual vale R$ 200,00, dois meses antes do vencimento e cuja taxa combinada fora de 10% a.m.? 02) Qual é o valor comercial atual de um título, dois meses antes do vencimento, cujo valor nominal vale R$ 240,00, e cuja taxa combinada fora de 10% a.m.? 03) Calcule o desconto por dentro e o valor atual de um título no sétimo mês após feito negócio. Sabendo que a taxa combinada foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor nominal de R$ 3.000,00? 04) Calcule o desconto por fora e o valor atual de um título no sétimo mês após feito negócio. Sabendo que a taxa combinada foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor nominal de R$ 3.000,00? 05) O desconto comercial simples de um título seis meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 10% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. 06) Ao descontar um título por fora e por dentro, verificou-se que a diferença entre os dois descontos era de R$ 64,00. Sendo de 80 dias o prazo da operação e de 12% a.a. a taxa simples dos descontos, o valor nominal da letra em reais é: 07) Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00.com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 25% a.a. qual o valor atual racional deste título hoje? 08) Se tenho um título com valor nominal de R$ 15:000,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 25% a.a. qual o valor atual racional deste título daqui a 1 ano? 09) Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual o valor atual racional deste título 2 meses antes do seu vencimento? 10) Se tenho um título com valor nominal de R$ ;00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual! o valor atual racional deste título 4 meses depois de adquirido o título? 11) Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 com vencimento. daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 25% a.a. qual o valor atual comercial deste título hoje? 12) Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 25% a.a., qual o valor atual comercial deste título daqui a 1 ano? 13) Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 e com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24%.a.a., qual o valor atual comercial deste título 2 meses antes do seu vencimento? 14) Se tenho um título com valor nominal de R$ ,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual o valor atual comercial deste título 4 meses depois de adquirido o título? 15) Determine o desconto racional obtido ao reportar-se uma letra de valor nominal R$ 7.200,00 a 10% a.m. 2 meses antes de seu vencimento. 16) Determine a desconto comercia! sofrido por um título de R$ 7.200,00 descontado a 2 meses antes de seu vencimento a uma taxa de 10% a.m.. 17) Determine o valor nominal de um título que descontado 60 dias antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 10% a.m. apresentou um valor descontado de R$ ,00. 18) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com seu vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$ ,00 e eu desejo ganhar 36% ao ano, é de: 19) Quanto tempo antes de seu vencimento foi paga uma letra de R$ ,00, descontada a 6% a.a. o desconto comercial foi de R$ 2.400,00? 20) Uma letra, faltando 8 meses para seu vencimento, sofre o desconto por fora de R$ 3.200,00. Calcular o valor atual, sendo a taxa de 12% a.a. 21) Uma letra de R$ ,00 foi apresentada para desconto racional, faltando 1 ano e 3 meses para o seu vencimento. A que taxa foi descontada, se pagou R$ ,00? 22) Uma letra de R$ ,00 sofre o desconto por dentro de R$ ,00, à taxa de 25% ao ano. Quanto tempo aproximadamente antes do vencimento ela foi liquidada? 23) Se o valor atual for igual a 2/3 do valor nominal e o prazo da aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros simples Considerada? 24) O valor nominal título é igual ao dobro de seu valor de atual. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é a 12,5% a.m.; qual o prazo de aplicação considerando o regime de capitalização simples? 25) O valor atual de um título é igual a 1/2 de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto sabendo-se que o pagamento foi antecipado de 5 meses. 26) Qual o valor atual, calculado por desconto simples racional, à taxa de 37,5% ao mês, de um título de valor de face de R$ ,00 vinte dias antes de seu vencimento? 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 11

12 27) Qual a diferença entre o desconto comercial e o desconto racional, 9% a.a. sobre um título de R$ ,00, pago 50 dias antes do vencimento?' Então: 1 = (1 + i R.t).(1 i C.t) 28) Um comerciante comprou uma certa quantidade de bombons ao preço de Cr$ ,00 a caixa, para pagamento ao final de 18 meses. No entanto, resolveu pagá-las à vista, para aproveitar-se do desconto por fora de 8% a.a., que Ihe fora concedido sobre aquele prazo. Calcular o número de caixas de bombons adquiridas, sabendo-se que o desconto obtido foi no valor de Cr$ ,00. 29) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos da descontos. No primeiro caso; a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencível em 180 dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso,com desconto racional (por dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$635,50, o valor nominal do título era de R$ 30) José descontou 2 duplicatas em um banco, no regime de juros simples comerciais a uma taxa de juros de 15% a.a.. O primeiro título vencia em 270 dias e o segundo em 160 dias; sendo que o último era de valor nominal 50% superior ao primeiro. Sabendo-se que os dois descontos comerciais somaram o valor de R$382,50; o título que produziu o maior desconto tinha o valor nominal em R$, de GABARITO DESCONTOS RACIONAL E COMERCIAL SIMPLES 01) R$240,00 02) R$192,00 03) R$1.000,00 e R$2.000,00 04) R$1.500,00 e R$1.500,00 05) R$375,00 06) ) R$10.000,00 08) R$12.000,00 09) R$10.000,00 10) R$20.000,00 11) R$7.500,00 12) R$11.250,00 13) R$9.600,00 14) R$12.000,00 15) R$1.200,00 16) R$1.440,00 17) R$18.000,00 18) R$25.000,00 19) anos 20) R$36.800,00 21) 8% a.a. 22) 1 ano e 8 meses 23) 25% a.a. 24) 8 meses 25) 20% a.m. 26) R$80.000,00 27) R$ 18,52 28) ) 6.510,00 30) RELAÇÃO ENTRE TAXAS NO DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL SIMPLES Em situação normal, o Desconto Comercial é maior que o Desconto Racional, e as taxas Comercial e Racional possuem valores iguais, no entanto, se o Desconto Comercial e o Desconto Racional forem iguais, as taxas Comercial e Racional passam a ser diferentes, sendo que a taxa Comercial passa a ser chamada de Nominal, e a taxa Racional passa a ser chamada de Efetiva. Considerando-se que no Desconto Racional N = A.(1 + i R.t) E que no Desconto Comercial A = N.(1 i C.t) Obs: para resolvermos questões que relacionam taxa Nominal e taxa Efetiva, utilizamos apenas os valores das taxas e o tempo, sendo as outras informações desnecessárias. Lembre-se: i R = taxa Racional (Efetiva) e i C = taxa Comercial (Nominal) EXERCÍCIOS 01) Desconto simples por fora a uma taxa de 20% ao mês aplicado por 1 mês é equivalente a desconto por dentro, também aplicado por 1 mês, a uma taxa mensal de: 02) Calcule a taxa simples efetiva mensal de uma aplicação feita utilizando desconto simples por fora a uma de 20% ao mês por 1 mês. 03) Desconto simples por dentro a uma taxa de 25% ao mês aplicado por 1 mês é equivalente a desconto por fora, também aplicado por 1 mês, a uma taxa mensal de: 04) Calcule a taxa simples nominal mensal de uma aplicação feita utilizando desconto simples por dentro a uma de 25% ao mês por 1 mês. 05) Uma nota promissória de valor nominal R$ 7.200,00 foi resgatada 50 dias antes do vencimento, à taxa mensal de 2,4%, com desconto simples comercial. A taxa efetiva mensal cobrada nessa transação foi de 06) Uma promissória de R$ ,00 é descontada em um banco 60 dias antes do vencimento pelo desconto comercial simples, aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Se a operação resulta em uma taxa linear efetiva de desconto de 12,5% ao mês, a taxa mensal de desconto comercial simples praticada pelo banco é de 07) Calcule taxa de juros simples mensais que um título descontado pelo desconto comercial, utilizando taxa de 16% a.b. em 5 meses: 08) Calcule taxa nominal simples mensal que um título descontado pelo desconto racional simples, utilizando taxa de 6% a.m. em 5 meses: 09) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu vencimento e recebeu R$ ,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: GABARITO RELAÇÃO ENTRE TAXAS NO DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL SIMPLES 01) 25% 02) 25% 03) 20% 04) 20% 05) 2,5% 06) 10,0% 07) 13,3% 08) 4,62% 09) R$ ,00 e 5,4 % ao mês Substituindo a primeira na segunda, obtemos: A = A.(1 + i R.t).(1 i C.t) Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

13 DESCONTO COMPOSTO DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO (Valor Atual A) É aquele no qual a taxa de desconto incide sobre o Valor Atual A. Lembre-se que: M = c + j j = M c Onde: M = montante, c = capital e j = juros. Substituindo j por D, M por N e c por A, obtemos: Considerando que: D = N A M = c.(1 + i) t Onde: M = montante, c = capital, i = taxa e t = tempo. Substituindo M por N e c por A, obtemos: N = A.(1 + i) t Onde: N = valor Nominal, A = valor Atual, i = taxa e t = tempo DESCONTO COMERCIAL OU POR FORA (Valor Nominal N) é aquele no qual a taxa de desconto incide sobre o Valor Nominal N. A = N.(1 i) t Onde: A = valor Atual, N = valor Nominal, i = taxa e t = tempo Importante: caso não seja mencionado se o desconto é racional ou comercial, deve-se usar o racional. EXERCÍCIOS 01) Determinar o valor do desconto que um título de R$ ,00, com vencimento para 4 meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto? 02) Um título disponível ao fim de 6 meses foi descontado a juros composto de 8% a.m. e se reduziu a R$ ,00. Qual o valor do título? 05) Um título de valor nominal R$ 6.500,00, obteve um desconto de R$ 2.707,26. Se a taxa de juros de mercado for de 8% a.m., qual deverá ser o prazo de antecipação? 06) Um título disponível ao fim de 6 meses foi descontado comercialmente a juros composto de 8% a.m. e se reduziu a R$ ,00. Qual o valor do título? 07) Um título vale em sua data de vencimento, R$ ,00. Um investidor quer saber quanto tempo poderá antecipar seu resgate para que, havendo um desconto comercial composto de R$ ,00. a taxa de juros compostos cobrada seja de 10% a.a. 08) O valor atual comercial de um título de R$ ,00 vencível em 4 meses é R$ ,00. Qual a taxa de juros compostos vigente? 09) Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 8.000,00 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento. Qual é o valor de resgate, se a taxa composta de juros corrente for de 4% a.m.? 10) Pedro receberá R$ ,00 como parte sua numa herança. Contudo, necessitando do dinheiro 4 meses antes da data de recebimento propõe a um amigo a venda de seus direitos por R$ ,05. Que taxa de juros anual Pedro pagou? 11) Se existe a possibilidade de ganhar 3% a.m., que desconto racional devo exigir na compra de um título no valor nominal de R$ ,00, vencível em 2 meses? 12) André receberá R$ ,38 como parte sua numa herança. Contudo, necessitando do dinheiro 4 meses antes da data de recebimento propõe a um amigo a venda de seus direitos por R$ ,00. Que taxa de juros mensal André pagou? 13) Quanto sofrerá de desconto um título de R$ ,00, 3 meses antes de seu vencimento se foi descontado a 5% ao mês de desconto composto? 14) Uma Nota Promissória foi quitada 6 meses antes de seu vencimento à taxa de 6,0% ao mês de desconto composto. Sendo o valor nominal da promissória R$ ,00. Qual o valor do desconto concedido? 15) Em um título no valor nominal de R$ 6.500,00, o desconto racional sofrido foi de R$ 2.707,31. Se a taxa de juros de mercado for de 8,0% ao mês, qual deverá ser o prazo de antecipação? 16) Determinar o prazo de antecipação de um título de R$ ,00, que deverá ser descontado a 8% ao mês de desconto composto e que gerou um desconto de R$ ,10. 03) Um título vale em sua data de vencimento, R$ ,00. Um investidor quer saber quanto tempo poderá antecipar seu resgate para que, havendo um desconto composto de R$ ,00. a taxa de juros compostos cobrada seja de 10% a.a. 17) Determinar o prazo de antecipação de um título de R$ ,30, que deverá ser descontado a 9% ao mês de desconto composto e que gerou um valor descontado de R$ ,00. 18) Pedro receberá R$ ,00 como parte sua numa 04) O valor atual de um título de R$ ,00 vencível em herança. Contudo, necessitando do dinheiro 4 meses antes 4 meses é R$ ,72. Qual a taxa de juros compostos da data de recebimento propõe a um amigo a venda de seus vigente? direitos por R$ ,05. Que taxa de juros mensal Pedro Pagou? 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 13

14 19) Um título cujo o valor nominal é R$ ,00. Qual o seu valor atual (ou presente) se a taxa de juros composto é de 10% a.m. e seu vencimento é daqui a 5 meses. 20) Um título de valor nominal igual a R$ ,00 é resgatado 2 meses antes de seu vencimento, segundo o critério de desconto racional composto, sabendo-se que a taxa de juro composto é de 10% a.m., qual o valor do desconto? 21) Um título vai ser resgatado dois meses antes do seu vencimento. Sabendo que foi adotado o critério do desconto racional composto, a taxa de 15% a.m., qual o valor descontado desse título de valor nominal igual a R$ ,00? 22) Qual o prazo de antecipação de um título de valor nominal de R$ ,00. Sabendo-se que o valor do desconto composto foi de R$ ,36 e a taxa de desconto foi de 5% a.m. 23) O valor atual de R$ ,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 6% ao mês de juros compostos é: 24) Qual o valor atual composto de um título de R$ ,00 vencível em 8 meses, se a taxa de juros compostos vigente é de 5% ao mês? 25) O valor atual de um título de R$ ,00 vencível em 4 meses é R$ ,00. Qual a taxa de juros compostos vigente? GABARITO DESCONTO COMPOSTO 01) R$ ,00 02) R$63.476,00 03) 2 anos 04) 10% a.m. 05) 7 meses 06) R$20.000,00 07) 3 anos 08) 9% a.m. 09) R$6.838,63 10) 79,59% a.a. 11) R$906,98 12) 12,0% 13) R$95.313,68 14) R$ ,43 15) 7 meses 16) 4 meses 17) 10 meses 18) 5,00% 19) R$ ,00 20) R$1.735,54 21) R$75.614,37 22) 6 meses 23) R$ ,00 24) R$ ,52 25) 9% a.m. EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS Muitas são as vezes nas quais é necessário fazer a troca de um ou mais títulos por outro(s), esta é uma situação que ocorre com freqüência, pois nem sempre um comerciante consegue honrar a(s) data(s) de vencimento de seu(s) título(s), e então efetua a troca entre os títulos. É importante destacar que nestas situações, estamos falando de títulos com valores diferentes, com datas de vencimento diferentes, mas que em certo momento possuem valores iguais, e este momento é chamado de data focal. A data focal é o momento utilizado como referência para a comparação dos valores que possuem datas de vencimento diferentes. Na data focal, os títulos (com valores diferentes) devem possuir um mesmo valor, que será considerado como o Valor Atual A (capital), e então serão chamados de capitais equivalentes. Podemos então dizer que os capitais serão equivalentes quando os seus Valores Atuais VPs (capitais) forem iguais: c 1 = c 2 = c 3 =... EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS EM JUROS SIMPLES É fundamental que seja observado se o exercício está sendo dado em função de um desconto racional ( por dentro ) ou de um desconto comercial ( por fora ), pois as relações a serem utilizadas em cada caso serão diferentes. EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS COM DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU POR DENTRO Lembre-se: D = N A Onde: Onde: D = desconto racional, N = valor Nominal, A = valor Atual. Substituindo D = A.i.t, obtemos: Isolando A: A.i.t = N A A.i.t + A = N A.(1 + i.t) = N A N = 1 + t.i Onde: Onde: N = valor Nominal, A = valor Atual, i = taxa e t = tempo. Então podemos escrever: N 1 + t.i 1 N2 = 1 + t.i 2 N3 = 1 + t.i 1 = 3. Onde: Onde: N = valor Nominal, i = taxa e t = tempo. EXERCÍCIOS 01) Qual o valor do capital, disponível em 120 dias, equivalente a R$ ,00 disponível em 60 dias à taxa de 10% ao mês de desconto simples racional? 02) Uma empresa deve um título de valor R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo por um outro que vencerá na data 5, usando uma taxa simples de 10% ao período, qual o valor do novo título. 03) Uma empresa deve um título de valor R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo por um outro que vencerá na data 5, usando uma taxa simples de 10% ao período, qual o valor do novo título. Utilize a data focal 5 para a equivalência. 04) Uma impressora é vendida à vista por R$ 300,00 à vista ou com uma entrada de 30% e mais um pagamento de R$ 220,50 após 30 dias. Qual a taxa simples mensal envolvida na operação? 05) Os capitais R$ 500,00 e R$ 700,00 com vencimentos respectivos em 150 e 360 dias, são equivalentes. Qual a taxa mensal de desconto simples racional vigente? Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

15 06) Um som é vendido da seguinte forma: entrada de R$ 500,00 e duas prestações iguais de R$ 600,00. A primeira daqui a 30 dias e a segunda daqui a 90 dias. Se a loja opera com uma taxa simples de desconto igual a 20% a.m., qual o preço à vista deste som? 07) Ume empresa devedora de três títulos pagáveis em 6, 12 e 18 meses, com valores respectivamente de R$ 4.400,00, R$ 6.000,00 e R$ 7.800,00. Verificando que apenas daqui a 12 meses possuirá recursos disponíveis, propõe liquidar esses três títulos nesta data. Qual será o valor deste pagamento, se a taxa de juros simples for de 20% a.a.? 08) Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto simples racional, a uma taxa de 10% a.m., qual o valor nominal desses títulos. 09) Qual o valor do capital, disponível em 180 dias, equivalente a R$ ,00 disponível em 60 dias à taxa de 5% ao mês de desconto simples racional? 10) Qual o valor do capital, disponível em 150 dias, equivalente a R$ ,00 disponível em 60 dias à taxa de 10% ao mês de desconto simples racional? 11) Uma empresa deve um título de valor R$ 1.300,00 na data 6 e desejá-lo trocá-lo por um outro que vencerá na data 10, usando uma taxa simples de 5% ao período, qual o valor do novo título. 12) Qual o valor do capital, disponível em 150 dias, equivalente a R$ ,00 disponível em 60 dias à taxa de 10% ao mês de desconto simples racional? 13) Em uma determinada loja, um cliente possui duas alternativas para compra um TV à cores. A primeira alternativa é pagamento à vista de R$ ,0, a segunda alternativa é o pagamento de uma parcela de R$ ,00 e a segunda após 60 dias. Sabendo que a opção de pagamento a prazo o preço do televisor seria de R$ ,00, qual é a taxa de juros anual cobrada? 14) Um fogão é vendido por Cr$ ,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de Cr$ ,00 após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operação? 15) Uma loja vende seus produtos com pagamento em duas prestações mensais iguais, sem juros. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto um desconto de 10% é concedido se o cliente pagar à vista. Na realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de: 16) Um título de valor nominal de R$ 500,00 com vencimento daqui a 1 mês, precisa ser trocado por outro de valor nominal de R$ 700,00 com vencimento daqui a três meses. Supondo o critério de desconto racional simples, qual a taxa mensal que deverá ser considerada? 17) Qual será a taxa anual de desconto necessário, para que os capitais de R$ 2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a 2 e 3 anos, respectivamente, sejam equivalentes na data atual pelo regime de capitalização simples? (utilize desconto racional) 18) Um vídeo game é vendido da seguinte forma. Entrada de R$ 500,00 e duas prestações iguais a R$ 1.560,00. A primeira daqui a 60 dias e a segunda daqui a 90 dias. Se a loja opera com uma taxa de desconto igual a 10% a.m., qual o preço à vista? (utilize desconto racional) 19) Aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses contratando-se a taxa de juros de 28% a.a. Além desta aplicação, existe outra de valor nominal de R$ 8.000,00 com vencimento a 18 meses. Considerando-se a taxa de juros de 10% a.m. e a data focal 12, qual é a soma das aplicações sob o critério do desconto racional? GABARITO EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS COM DESCONTO RACIONAL SIMPLES 01) R$12.250,00 02) R$1.500,00 03) R$1.560,00 04) 5% 05) 8% 06) R$1.375,00 07) R$18.000,00 08) R$3.750,00 09) R$13.000,00 10) R$15.000,00 11) R$1.500,00 12) R$12.250,00 13) 360% a.a. 14) 15% 15) 25% 16) 25% 17) 12,5% 18) R$3.000,00 19) R$8.146,00 EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS COM DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU POR FORA D = N A Substituindo D = N.i.t, obtemos: Isolando A: N.i.t = N A A = N N.i.t A = N.(1 i.t) Onde: Onde: A = valor Atual, N = valor Nominal, i = taxa e t = tempo. Então podemos escrever: N 1 ( 1 i. t 1) = N 2 ( 1 i. t 2) = N 3 ( 1 i. t 3) =... Onde: Onde: N = valor Nominal, i = taxa e t = tempo. EXERCÍCIOS 01) Uma empresa deve um título de valor R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo por um outro que vencerá na data 5, usando uma taxa simples comercial de 10% ao período, qual o valor do novo título. 02) Um capital de R$ 900,00 disponível em 40 dias, é equivalente a outro capital, disponível em 100 dias, à taxa de 60% a.a. de desconto simples comercial, qual o valor do outro capital? 03) Um título de R$ 7.000,00 com vencimento para 120 dias, deve ser substituído por outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é de 10% ao mês, qual será o valor do novo título? 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 15

16 04) Uma empresa deve um título de valor R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo por um outro que vencerá na data 5, usando uma taxa simples comercial de 10% ao período, qual o valor do novo título. Utilize a data focal 5 para a equivalência. 05) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de R$ 2.000,00, com 45 dias de prazo e outra de R$ ,00, pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 10% a.m., o valor nominal dessa dívida será de aproximadamente: 06) Uma empresa devedora de dois títulos de R$ ,00 cada, vencíveis em 3 e 4 meses, deseja liquidar a dívida com um único pagamento no quinto mês. Calcular o valor desse pagamento empregando a taxa simples comercial de 15% a.m. 07) Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto simples comercial, a uma taxa de 10% a.m., qual o valor nominal desses títulos. 08) Determinar a taxa de juros mensal para que sejam equivalentes hoje os capitais de R$1.000,00 vencível em dois meses e R$1.500,00 vencível em três meses, considerando-se o desconto simples comercial. 09) O capital R$ ,00 vencível em 40 dias, é equivalente ao capital R$ ,00 à taxa de 75% ao ano de desconto simples comercial. Em que data o capital R$ ,00 estará disponível? 10) Um título de valor nominal de R$ ,00 com vencimento daqui a 1 mês precisa se trocado por outro de valor nominal de R$ ,00 com vencimento daqui a três meses. Supondo o critério de desconto comercial simples, qual a taxa mensal que deverá ser considerada? 11) Qual será a taxa anual de desconto necessário, para que os capitais de R$ 2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a 2 e 3 anos, respectivamente, sejam equivalentes na data atual pelo regime de capitalização simples? (utilize desconto comercial) 12) Um comerciante deve pagar, ao final de 60 dias, uma conta de R$ 300,00. Porem, o comerciante, somente poderá efetuar o pagamento ao final de 120 dias, se a taxa de desconto simples comercial vigente é 100% ao ano, qual será o valor do novo pagamento? 13) Um título de R$ ,00 e outro de R$ ,00, vencem respectivamente em 60 e 120 dias. Calcular o valor nominal de um único título com vencimento par 30 dias, a fim de substituir os dois primeiros. A taxa de desconto simples comercial é de 20% ao mês. 14) Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 200,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 20% ao mês? novo título se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 120% ao ano? 16) Um vídeo game é vendido da seguinte forma. Entrada de R$ 500,00 e duas prestações iguais a R$ 600,00. A primeira daqui a 30 dias e a segunda daqui a 90 dias. Se a loja opera com uma taxa de desconto igual a 20% a.m., qual o preço à vista? (utilize desconto comercial) 17) Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto comercial simples, a uma taxa de 8% a.m., qual o valor nominal desses títulos. GABARITO EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS COM DESCONTO RACIONAL SIMPLES 01) R$1.820,00 02) R$1.008,00 03) R$6.000,00 04) R$1.625,00 05) R$11.666,00 06) R$ ,00 07) R$2.400,00 08) 20% 09) 95 dias 10) 12,5% 11) 7,69% 12) R$375,00 13) R$57.500,00 14) R$370,00 15) R$ ,00 16) R$1.220,00 17) R$2.100,00 EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS EM JUROS COMPOSTOS É fundamental que seja observado se o exercício está sendo dado em função de um desconto racional ( por dentro ) ou de um desconto comercial ( por fora ), pois as relações a serem utilizadas em cada caso serão diferentes. EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS COM DESCONTO RACIONAL COMPOSTO (POR DENTRO) Inicialmente devemos verificar se o valor será Capitalizado ou Descapitalizado: Para Capitalizar (achar o Montante, Valor Futuro ou Valor Nominal), devemos multiplicar por (1 + i) t. Considerando que: M = c.(1 + i) t Onde: M = montante, c = capital, i = taxa e t = tempo. Substituindo M por N e c por A, obtemos: N = A.(1 + i) t Onde: N = valor Nominal, A = valor Atual, i = taxa e t = tempo Então podemos escrever: A 1.(1 + i) t 1 = A 2.(1 + i) t 2 = A 3.(1 + i) t 3 =... Para Descapitalizar (achar o Capital ou Valor Atual), devemos dividir por (1 + i) t. 15) O portador de um título de R$ ,00 com vencimento para 60 dias, quer trocá-lo por dois outros, de igual valor, vencíveis em 30 e 90 dias. Qual o valor de cada 16 Considerando que: N = A.(1 + i) t 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

17 Isolando o A, obtemos: A = + 1(Ni t Onde: N = valor Nominal, A = valor Atual, i = taxa e t = tempo Então podemos escrever: N = = = t1 t2 t3.)i 1(N)i + 1(N)i + EXERCÍCIOS 01) Um capital de R$ 900,00 disponível em 90 dias, é equivalente a outro capital, disponível em 150 dias, à taxa de 5% a.m., qual o valor do outro capital? 02) Qual o valor do capital, disponível em 120 dias, equivalentes a R$ ,00, disponível em 90 dias, à taxa de 15% a.m.? 03) Qual o valor do capital, disponível em 210 dias, equivalentes a R$ ,00, disponível em 90 dias, à taxa de 10% a.m.? 04) Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto composto de mercado é 10% a.m.? 05) Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 180 dias, se a taxa de desconto composto de mercado é 10% a.m.? 06) Devo saldar uma dívida da seguinte maneira: pagando R$ ,00 hoje, R$ ,00 daqui a 30 dias e R$ ,00 daqui a 60 dias. Como só terei recursos daqui a 30 dias e achei a taxa de 5% a.m. proposta pelo credor muito atraente, resolvi quitar a dívida ao fim de 30 dias, em comum acordo com o credor. De quanto deverá ser este pagamento único? 07) Devo saldar uma dívida da seguinte maneira: pagando R$ ,00 hoje, R$ ,00 daqui a 1 mês, R$ ,00 daqui a 2 meses, R$ ,00 daqui a 3 meses e R$ ,00 daqui a 4 meses. Como só terei recursos daqui a 30 dias e achei a taxa de 10% a.m. proposta pelo credor muito atraente, resolvi quitar a dívida ao fim de 30 dias, em comum acordo com o credor. De quanto deverá ser este pagamento único? 08) Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto composto, a uma taxa de 10% a.m., qual o valor nominal desses títulos. 09) Qual o valor do capital com vencimento para 5 meses, equivalente ao capital R$ ,00, com vencimento para 3 meses, à taxa de 6% ao mês de juros compostos? 10) Um capital de R$ 1.000,00 disponível em 90 dias, é equivalente a um outro capital, disponível em 150 dias, à taxa de 5% ao mês de desconto composto, qual o valor do outro capital? 11) Qual será a taxa anual de desconto necessário, para que os capitais de R$ 2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a 2 e 3 anos, respectivamente, sejam equivalentes na data atual pelo regime de capitalização composta. 12) Qual o valor do capital, disponível em 60 dias, equivalente a R$ 800,00, disponível em 150 dias à taxa de 8% ao mês de desconto composto? 13) Qual o valor do capital, disponível em 120 dias, equivalentes a R$ ,00, disponível em 90 dias, à taxa de 10% ao mês de desconto composto? 14) Qual o valor do capital, vencível em 3 anos, equivalente a R$ ,40 vencível em 8 anos, à taxa de 3% ao ano de desconto composto? 15) Um título de R$ 7.700,00 com vencimento para 120 dias, deve ser substituído por outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto composto vigente é 10% ao mês, qual será o valor do novo título? 16) Um comerciante deve pagar, ao final de 60 dias, uma conta de R$ 300,00. Porém, o comerciante somente poderá efetuar o pagamento ao final de 120 dias, se a taxa de desconto composto vigente é 5% ao mês, qual será o valor do novo pagamento? 17) O capital R$ ,00 vencível em 60 dias, é equivalente ao capital R$ ,00 à taxa de 15% ao mês de desconto composto. Em que data o capital R$ ,00 estará disponível? 18) Os capitais R$ 500,00 e R$ 700,00 com vencimentos respectivos em 150 e 360 dias, são equivalentes. Qual a taxa mensal de desconto composto vigente? 19) Um título de valor nominal de R$ 500,00 com vencimento daqui a 1 mês, precisa ser trocado por outro de valor nominal de R$ 700,00 com vencimento daqui a três meses. Supondo o critério de desconto racional composto, qual a taxa mensal aproximadamente que deverá ser considerada? 20) Deverei pagar R$ ,00 em 120 dias. Porém, em 60 dias quero fazer um pagamento de R$ ,00 por conta do débito. Se a taxa de juros compostos de mercado é 10% ao mês, quanto deverei ainda pagar no vencimento? 21) Um título de R$ ,00 e outro de R$ ,00, vencem respectivamente em 60 dias e 120 dias. Calcular o valor nominal de um único título com vencimento para 30 dias, a fim de substituir os dois primeiros. A taxa de desconto composto é de 10% ao mês. 22) Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 100,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto composto de mercado é 10% ao mês? 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 17

18 23) Um título de R$ ,00 com vencimento ao final de 6 meses, a contar da época atual. Deve ser liquidado por meio de 2 pagamentos iguais, o primeiro, ao final de 3 meses, e o segundo, ao final de 5 meses. Sendo a taxa de juros compostos de mercado 10% ao mês, calcular o valor de cada pagamento. 24) Um comerciante deverá pagar, ao final de 150 dias, R$ ,00. Quanto o comerciante poderá pagar em duas parcelas iguais, ao final de 60 dias e de 120 dias, para saldar seu débito se a taxa de juros compostos de mercado é 8% ao mês? 25) Uma empresa deverá efetuar os seguintes pagamentos: R$ ,00 em 3 meses, R$ ,00 em 5 meses, R$ ,00 em 6 meses e R$ ,00 em 8 meses. A empresa quer saldar seus débitos por meio de 3 pagamentos iguais, vencendo o primeiro a vista, o segundo em 2 meses e o terceiro em 4 meses. Sendo a taxa de juros compostos vigente 5% ao mês, qual o valor de cada pagamento? 26) Devo saldar uma dívida da seguinte maneira pagando R$ ,00 hoje, R$ ,00 daqui a 30 dias e R$ ,00 daqui a 60 dias. Como só terei recursos daqui a 30 dias e achei a taxa de 5% ao mês proposta pelo credor muito atraente, resolvi quitar a dívida, ao fim de 30 dias, em comum acordo com o credor. De quanto deverá ser este pagamento único? 27) O portador de um título de R$ ,00 com vencimento para 2 anos, quer trocá-lo por dois outros, de igual valor, vencíveis em 1 a 3 anos. Qual o valor de cada novo título se a taxa de desconto composto de mercado é 150% ao ano? 28) Uma empresa devedora de dois títulos de R$ ,00, vencíveis em 3 e 4 meses respectivamente, deseja resgatar a dívida com um único pagamento no fim de 5 meses. Calcular o valor desse pagamento empregando a taxa composta de 15% a.m. 29) Precisamos trocar três títulos com vencimentos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto composto, a uma taxa de 8% a.m., qual o valor nominal desses títulos. GABARITO EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS COM DESCONTO RACIONAL COMPOSTO (POR DENTRO) 01) R$992,25 02) R$11.500,00 03) R$14.641,00 04) R$398,00 05) R$363,29 06) R$43.000,00 07) R$58.868,52 08) R$1.993,48 09) R$ ,00 10) R$1.102,50 11) 10% 12) R$635,07 13) R$11.000,00 14) R$ ,00 15) R$7.000,00 16) R$330,75 17) 3 meses 18) 5% a.m. 19) 18% 20) R$ ,00 21) R$ ,73 22) R$310,00 23) R$ ,12 24) R$ ,00 25) R$ ,00 26) R$42.523,00 27) R$ ,00 28) R$74.175,00 29) R$1.887,70 EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS COM DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO (POR FORA) Na modalidade de juros compostos, o valor Atual pode ser calculado pela relação: c = M. ( 1 i ) t Onde: M = montante, c = capital e desconto por fora e t = tempo. i f = taxa de Substituindo M por N e c por A, obtemos: Então podemos escrever: A = N. ( 1 i ) t N 1. ( 1 i ) t 1 = N 2. ( 1 i ) t 2 = N 3. ( 1 i ) t 3 =... EXERCÍCIOS 01) Qual o valor do capital, disponível em 120 dias, equivalentes a R$ 8.500,00, disponível em 90 dias, à taxa de 15% a.m.?(utilize o desconto comercial) 02) Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 162,00 ao final de 60 dias e R$ 100,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto comercial composto é 10% a.m.? 03) Qual o valor do capital, disponível em 120 dias, equivalentes a R$ 8.100,00, disponível em 60 dias, à taxa de 10% a.m.?(utilize o desconto comercial) 04) Qual o valor do capital, disponível em 150 dias, equivalentes a R$ ,00, disponível em 30 dias, à taxa de 5% a.m.?(utilize o desconto comercial) 05) Qual o valor do capital, disponível em 60 dias, equivalentes a R$ ,00, disponível em 210 dias, à taxa de 7% a.m.?(utilize o desconto comercial) 06) Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 184,00 ao final de 60 dias e R$ 100,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto comercial composto é 8% a.m.? 07) Qual o valor do pagamento ao final de 60 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 500,00 ao final de 90 dias e R$ 1.000,00 ao final de 150 dias, se a taxa de desconto comercial composto é 10% a.m.? GABARITO EQUIVALÊNCIAS DE CAPITAIS COM DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO (POR FORA) 01) R$10.000,00 02) R$270,00 03) R$10.000,00 04) R$10.400,00 05) R$6.957,00 06) R$292,00 07) R$1.179, Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

19 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES Para se entender a idéia de rendas certas, imagine a seguinte situação: você resolve abrir uma caderneta de poupança, depositando uma certa quantia e, nos meses subseqüentes, na data de aniversário (data focal), deposita um valor igual ao do momento da abertura, por um determinado período de tempo, que irá render juros compostos até o momento da retirada. Esta é uma situação caracterizada como renda certa, e podemos dizer então que são necessárias três características: # Parcelas ou prestações de mesmo valor; # Intervalo de tempos iguais (períodos); # Regime de juros compostos. Podemos considerar duas situações de cálculo de rendas certas: 1ª) Cálculo do valor futuro VF (Nominal) para uma série de parcelas iguais: quando consideramos uma aplicação para resgate futuro, como no exemplo anterior. 2ª) Cálculo do valor presente VP (Atual) para uma série de parcelas iguais: quando consideramos um desconto de parcelas iguais e consecutivas no regime de juros compostos (um empréstimo sendo pago de forma periódica e com parcelas iguais). Obs: é importante perceber que devemos considerar os seguintes elementos: # Parcelas ou Prestações (P): são os valores periódicos que constituem a renda, seja numa capitalização ou numa amortização; # Número de parcelas (n): é a soma da quantidade de parcelas; # Taxa de juros (i): é a taxa de juros compostos, que deve estar na mesma unidade de tempo do período entre as parcelas; # Valor futuro (Nominal): é a soma dos montantes de cada uma das parcelas, aplicadas a uma mesma taxa e em intervalos de tempo iguais; # Valor presente (Atual): é a soma dos valores presentes (capitais) de cada uma das parcelas, considerando-se sempre a mesma taxa e a mesma data focal. As rendas certas ou anuidades podem ser classificadas da seguinte forma: # Temporárias: possuem duração limitada ou predeterminada. # Periódicas: possuem o mesmo intervalo de tempo entre as parcelas. # Constantes: possuem todas as parcelas iguais. # Diferidas: quando há carência para a primeira parcela. # Imediatas: quando não há carência para a primeira parcela. As anuidades imediatas podem ser: Postecipadas ou vencidas: quando as parcelas são exigidas no final de cada período. Antecipadas: quando as parcelas são exigidas no início de cada período. CÁLCULO DO VALOR ATUAL PARA UMA SÉRIE DE PARCELAS IGUAIS O valor Atual de uma parcela no caso de renda certa postecipada, ou seja, os pagamentos são feitos ao final de cada período (sem entrada), pode ser obtido utilizando a fórmula: A = P.a n,i Onde: A = valor Atual, P = parcela, a n = número de parcelas n, i n (1+ i) 1 = e n i(1+ i) Obs: No caso de haver uma parcela como entrada, desconsidere-a para substituir o valor de n e some-a ao resultado. No caso de haver uma carência com período de tempo maior que um (uma parcela), considere o tempo total, como se não houvesse carência e desconte o valor correspondente ao período de carência. CÁLCULO DO VALOR FUTURO (NOMINAL) PARA UMA SÉRIE DE PARCELAS IGUAIS O Montante, em um processo de capitalização com n parcelas iguais a P, periódicas e postecipadas, a uma taxa de juros i, referidas ao mesmo período das parcelas, pode ser obtido pela soma dos montantes de cada uma das parcelas, porém este é um procedimento demasiadamente trabalhoso, então utilizamos a fórmula: S n, i N = P.S n,i Onde: N = valor Nominal, P = parcela, n (1+ i) 1 = e n = número de parcelas i Obs: No caso de haver um período de tempo de capitalização superior ao do número de parcelas, considere o período todo para a substituição do valor de n, e depois desconsidere o período em que não houve parcelas. EXERCÍCIOS 01) O valor atual de uma Anuidade Imediata de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 10% a.m. é: 02) O valor atual de uma Anuidade Antecipada de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 10% a.m. é: 03) Determinar o valor atual de uma renda certa, diferida de 3 meses, com 4 pagamentos mensais e iguais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 10% a.m. é: 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 19

20 04) Aplica-se, mensalmente, R$ ,00 durante 4 meses, no início de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. Qual o valor do montante, no início do 4º mês? 05) Aplica-se, mensalmente, R$ ,00 durante 4 meses, no início de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. Qual o valor do montante, no final do 5º mês? 06) O valor atual de uma Anuidade Imediata de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 8% a.m. é: 07) O valor atual de uma Anuidade Antecipada de 4 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 8% ao mês. é: 08) O valor atual de uma Anuidade Imediata de 5 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 6% ao mês é: 09) O valor atual de uma Anuidade Antecipada de 5 pagamentos mensais no valor de R$ ,00, à taxa composta de 6% ao mês é: 10) Determinar o valor atual de uma Renda Certa Antecipada com 4 pagamentos no valor de R$ ,00, por mês, à taxa composta de 7% ao mês 11) Calcular o valor atual de Uma Renda Certa Antecipada de 5 pagamentos mensais no valor de R$ ,00 cada um, à taxa composta de 8% ao mês: 12) Calcular o valor atual de Uma Renda Certa Postecipada de 5 pagamentos mensais no valor de R$ ,00 cada um, à taxa composta de 8% ao mês: 13) O valor atual de uma Renda Certa Imediata com 3 pagamentos mensais e iguais é R$ ,00. Qual o valor de cada pagamento se a taxa composta vigente é 4% ao mês? 14) O valor atual de uma Renda Certa Antecipada com 3 pagamentos mensais e iguais é R$329876,00. Qual o valor de cada pagamento se a taxa composta é 4% a.m.? 15) Determinar o valor de cada pagamento mensal de uma Renda Certa Antecipada de 4 pagamentos iguais à taxa composta de 6% ao mês se seu valor atual é R$ ,40. 16) Determinar o valor de cada pagamento mensal de uma Renda Certa Postecipada de 4 pagamentos iguais à taxa composta de 6% ao mês se seu valor atual é de R$ ,40. 17) Determinar o valor atual de uma Renda Certa Imediata com 4 pagamentos no valor de R$ ,00, por mês, à taxa composta de 7% ao mês 18) Determinar o valor atual de uma Renda Certa, Diferida de 3 meses, com 4 pagamentos mensais e iguais de R$ ,00, à taxa composta de 5% ao mês. 19) Qual o valor de cada pagamento mensal de uma Renda Certa, Diferida de 2 meses, com 5 pagamentos iguais, se seu valor atual à taxa composta de 6% ao mês é R$ ,00? 20) Quanto deve ser pago no dia 5 de março para quitar um débito formado por 4 prestações mensais e iguais de R$ ,00, cada uma que deverão vencer nos dias 5 de abril, 5 de maio, 5 de junho e 5 de julho do mesmo ano, se a taxa composta vigente é 9% ao mês? 21) Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ ,00, vencendo a primeira prestação um mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao mês, qual o preço a vista desse carro? 22) Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ ,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao mês, qual o preço a vista desse carro? 23) Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ ,00, vencendo a primeira prestação três meses após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao mês, qual o preço a vista desse carro? 24) Quanto deverá ser pago no dia 8 de julho para saldar um débito formado por 3 prestações mensais e iguais de R$ ,00 cada uma, que deverão vencer nos dias 8 de julho, 8 de agosto e 8 de setembro do mesmo ano, se a taxa composta do mercado é 8% ao mês? 25) Um débito é formado por 5 prestações mensais e iguais que deverão vencer nos dias 15 de abril, 15 de maio, 15 de junho, 15 de julho e 15 de agosto, no valor de R$ cada uma. Quanto deverá ser pago no dia 15 de janeiro, do mesmo ano, para quitar o débito, se a taxa composta vigente é 7% ao mês? 26) Uma pessoa aplica mensalmente R$ ,00 em um fundo que oferece remuneração mensal a taxa de juros compostos de 10% a.m. Se a pessoa fizer 5 aplicações mensais. Qual será o montante na última aplicação? 27) Aplica-se, mensalmente, R$ ,00 durante 8 meses, à taxa composta de 5% ao mês. Qual o valor do montante, ao final do 8 mês? (considere que as aplicações são feitas no fim de cada mês) 28) Calcular o montante, ao final do 6 mês de uma aplicação de R$ ,00 mensais durante 6 meses à taxa composta de 10% a.m. (considere que as aplicações são feitas no fim de cada mês) 29) Qual será o montante no final do 5º mês de uma aplicação de 5 pagamentos mensais de R$ ,00 cada um à taxa composta de 12% ao mês? (considere que as aplicações são feitas no fim de cada mês) 30) Determinar qual o valor final no último pagamento de uma série de 10 pagamento mensais de R$ ,00 cada um, à taxa composta de 8% ao mês. 31) Depositou-se R$ ,00 por mês durante 8 meses. Qual o valor do capital acumulado no fim do 8 mês, se a taxa composta vigente é 6% ao mês? (considere que as aplicações são feitas no fim de cada mês) Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

21 32) Um título de R$ ,00 deverá vencer no dia 12 de julho. Quanto deverá ser depositado nos dias 12 de maio, 12 de junho e 12 de julho, do mesmo ano para saldar o débito, se a taxa composta vigente é 9% ao mês? 33) Um título de R$ ,00 deverá vencer no dia 17 de setembro. Se a taxa composta de mercado é 7% ao mês, quanto deverá ser depositado nos dias 17 de abril, 17 de maio, 17 de junho, 17 de julho, 17 de agosto e 17 de setembro, para saldar a dívida? 34) Um comerciante deverá pagar R$ ,00, ao final de 8 meses e pretende efetuar 4 pagamentos iguais, um 3 meses antes do vencimento, outro 2 meses, outro 1 mês e o ultimo no vencimento de sua dívida. Qual o valor de cada pagamento se a taxa composta do mercado é 8% ao mês? 35) Para saldar uma dívida de R$ ,00 que deverá vencer ao final de 15 meses, quando deveria depositar ao final de cada trimestre em uma entidade financeira que paga 15% ao trimestre de juros compostos? 36) Aplica-se, mensalmente, no ínicio de cada mês, R$ ,00 durante 8 meses, à taxa composta de 5% ao mês. Qual o valor do montante, ao final do 8 mês? 37) Calcular o montante, ao final do 6 mês de aplicações de R$ ,00 mensais durante 6 meses, todas feitas no início de cada mês, à taxa composta de 10% a.m.. 38) Qual será o montante no final do 5º mês, gerados por 5 pagamentos mensais de R$ ,00, feitos no início de cada mês, a uma taxa composta de 12% ao mês? 39) Depositou-se R$ ,00 por mês durante 8 meses no início de cada mês. Qual o valor do capital acumulado no fim do 8 mês, se a taxa composta vigente é 6% ao mês? GABARITO RENDAS CERTAS OU ANUIDADES 01) R$31.698,65 02) R$34.868,52 03) R$26.198,00 04) R$46.410,00 05) R$41.051,00 06) R$ ,68 07) R$ ,70 08) R$ ,20 09) R$ ,28 10) R$ ,40 11) R$ ,89 12)R$ ,70 13) R$ ,33 14) R$ ,42 15) R$ ,00 16) R$ ,00 17) R$ ,65 18) R$32.162,82 19) R$ ,57 20) R$ ,00 21) R$ ,00 22) R$ ,00 23) R$ ,78 24) R$ ,00 25) R$ ,07 26) R$ ,00 27) R$ ,45 28) R$ ,70 29) R$ ,64 30) R$ ,20 31) R$ ,44 32) R$ ,47 33) R$ ,96 34) R$ ,18 35) R$ ,91 36) R$ ,20 37) R$ ,97 38) R$ ,68 39) R$ ,28 AMORTIZAÇÃO Os empréstimos e financiamentos são operações financeiras muito comuns, e as formas mais utilizadas para o pagamento das prestações, com amortização da dívida, nestas modalidades, são o Sistema de Amortização Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), que iremos analisar a partir de agora: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) Neste sistema, o valor principal devido será restituído em prestações de mesmo valor, portanto basta dividi-lo pelo número de parcelas, o que fará com que a amortização da dívida seja constante. O juro será sempre calculado com base no saldo devedor do período anterior, e o valor de cada prestação será obtido pela soma do valor da amortização com os juros. Podemos então dizer: P = A M + j Onde: P = prestação, A M = amortização, j = juros Para uma melhor compreensão, vamos analisar a situação hipotética a seguir: Você comprou um apartamento no valor de R$ ,00, e fez um financiamento do valor integral, com juros de 2%a.m. para pagar em 5 meses: TABELA NO ANEXO DE TABELAS SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SF ou Tabela Price) Neste sistema, o valor principal devido será acrescido de juros e restituído em prestações periódicas de mesmo valor (renda certa postecipada). O valor de cada prestação será obtido pela soma do valor da amortização com os juros. Podemos então dizer: P = A M + j Onde: P = prestação, A M = amortização, j = juros Para calcular o valor de cada prestação, podemos utilizar a relação abaixo, isolando P: A = P.a n,i Onde: A = valor Atual, P = parcela e a n, i n (1+ i) 1 = n i(1+ i) Os juros são obtidos pelo produto da taxa pelo saldo devedor do período anterior: j = i. SD n 1 Para uma melhor compreensão, vamos analisar a situação hipotética a seguir: Você comprou um apartamento no valor de R$ ,00, e fez um financiamento do valor integral, com juros de 2%a.m. para pagar em 5 meses: TABELA NO ANEXO DE TABELAS 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 21

22 EXERCÍCIOS O enunciado a seguir refere-se às questões de número 1 a 5: A fim de expandir os seus negócios, certa pessoa consegue um financiamento de R$ ,00, nas seguintes condições: taxa de juros de 10% a.a. com pagamentos semestrais; amortizações pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC), com pagamentos semestrais; prazo de amortização: 3 anos. 01) Nessas condições, é correto afirmar que os juros a serem pagos no quinto pagamento importam em: 02) O valor da quarta prestação deverá ser 03) O total de juros pagos pelo comprador é de aproximadamente: 04) O valor da 2ª amortização será 05) O saldo devedor, após o pagamento da terceira parcela, será, aproximadamente, O enunciado seguinte refere-se às questões 6 a 10: Uma geladeira é vendida pelo preço à vista de R$1552,45, mas pode ser financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros 72% a.a., "Tabela Price". Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 8 meses 06) O total de juros pagos pelo comprador é de aproximadamente: 07) O valor de cada prestação 08) O saldo devedor, após o pagamento da terceira parcela, será, aproximadamente, 09) O valor da 6ª amortização 10) Os juros pagos na 4ª prestação O enunciado a seguir refere-se às questões de número 11 a 15: A fim de expandir os seus negócios, certa pessoa consegue um financiamento de R$ ,00, nas seguintes condições: taxa de juros de 20% a.b. com pagamentos mensais; amortizações pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC), com pagamentos semestrais; prazo de amortização: 15 anos. 11) Nessas condições, é correto afirmar que os juros a serem pagos no 150º pagamento importam em: 12) O valor da 104º prestação deverá ser 13) O total de juros pagos pelo comprador é de aproximadamente: 14) O valor da 82ª amortização será 15) O saldo devedor, após o pagamento da 67º parcela, será, aproximadamente, 16) Uma pessoa obteve um empréstimo de R$ , a uma taxa de juros compostos de 2% a.m., que deverá ser pago em 10 parcelas iguais. O valor dos juros a ser pagos na 8 a parcela é de: O enunciado seguinte refere-se às questões 17 a 21 Uma casa é vendida pelo preço à vista de R$ ,00, mas pode ser financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros 10% a.m., "Tabela Price". Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 100 meses Dados: a 31,10% = 9,4790; a 32,10% = 9,5264; a 44,10% = 9,8491; a 45,10% = 9,8628; a 46,10% = 9,8753; a 47,10% = 9,8866; a 53,10% = 9,9360; a 55,10% = 9,9471; a 56,10% = 9,9519; a 68,10% = 9,9847; a 69,10% = 9,9861; a 70,10% = 9,9873; a 100,10% = 9, ) O total de juros pagos pelo comprador é de aproximadamente: 18) O valor de cada prestação 19) O saldo devedor, após o pagamento da 53ºparcela, será, aproximadamente, 20) O valor da 69ª amortização 21) O valor dos juros pagos na 45ª prestação 22) Um financiamento imobiliário no valor de R$ ,00 é realizado por um sistema de amortizações mensais iguais durante 20 anos. Considerando que a taxa de juros mensal é de 1%, calcule o valor da 13 a prestação mensal. O enunciado a seguir refere-se às questões 23 e 24: A fim de expandir os seus negócios, certa pessoa consegue um financiamento de R$ ,00, nas seguintes condições: taxa de juros de 8% a.a. com pagamentos semestrais; amortizações pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC), com pagamentos semestrais; prazo de amortização: 3 anos. 23) Nessas condições, é correto afirmar que os juros a serem pagos no terceiro pagamento importam em: 24) O valor da quinta prestação deverá ser 25) Um financiamento no valor de R$ 3.000,00 foi contraído no início de um determinado mês, para ser pago em dezoito prestações iguais e mensais de R$ 200,00, com a primeira prestação vencendo no fim daquele mês, a segunda no fim do mês seguinte e assim por diante. Imediatamente após o pagamento da oitava prestação, determine o valor mais próximo da dívida restante do tomador do financiamento, considerando a mesma taxa de juros do financiamento e desprezando os centavos. O enunciado seguinte refere-se às questões 26 a 28, em cujas resoluções pode ser usada a tabela Um equipamento, no valor de R$50.000,00, é financiado pelo Sistema Francês em 8 semestres, e a primeira prestação ocorrerá ao final do terceiro semestre. Se a operação foi contratada à taxa semestral de 20% e sendo os juros capitalizados durante a carência, então: Dados: a 6,20% = 3,325510; a 5,20% = 2, ; a 3,20% = 2, Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

23 26) O valor de cada prestação será, aproximadamente 27) O saldo devedor no terceiro semestre, após o pagamento da primeira parcela, será, aproximadamente, 28) O saldo devedor no quinto semestre, será, aproximadamente 29) Um microcomputador é vendido pelo preço à vista de R$ , mas pode ser financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros 96% a.a., "Tabela Price". Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 5 meses, total de juros pagos pelo comprador é de aproximadamente: 30) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ ,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na décima prestação, desprezando os centavos. GABARITO AMORTIZAÇÃO 01) R$250,00 02) R$2.875,00 03) R$2.625,00 04) R$2.500,00 05) R$7.500,00 06) R$358,04 07) R$200,00 08) R$842,47 09) R$167,92 10) R$50,55 11) R$620,00 12) R$1.740,00 13) R$ ,00 14) R$200,00 15) R$22.600,00 16) R$770,53 17) R$ ,29 18) R$5.000,35 19) R$49.436,46 20) R$236,82 21) R$4.976,30 22) R$1.640,00 23) R$8.000,00 24) R$54.000,00 25) R$1.796,00 26) R$21.650,83 27) R$64.749,17 28) R$45.607,02 29) R$ ) R$ 163,00 04) (CEF-2008/2) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser a) 216,5 b) 217,5 c) 218,5 d) 219,5 e) 220,5 05) Obtenha o valor mais próximo da taxa interna de retorno do fluxo de caixa abaixo: Ano 0 1 a 2 3 a 10 Fluxo (em R$1000,00) a) 8% a.a. b) 9% a.a. c) 10% a.a. d) 11% a.a. e) 12% a.a. GABARITO TAXA INTERNA DE RETORNO 01) 20% 02) e 03) a 04) e 05) d TAXA INTERNA DE RETORNO 01) Considere o fluxo de caixa: um capital investido de R$2000,00 no início de um mês e uma receita no início do mês seguinte de R$2400,00. Calcule o valor da taxa interna de retorno: 02) Obtenha o valor mais próximo da taxa interna de retorno do fluxo de caixa abaixo. Ano 0 1 a 10 Fluxo (em R$1000,00) a) 5% a.a. b) 7% a.a. c) 7,5% a.a. d) 9% a.a. e) 10% a.a. 03) (CEF-2008/1) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. A taxa interna de retorno anual é igual a a) 10% b) 12% c) 15% d) 18% e) 20% (-2008/001-caderno A) Considere que determinada concessionária de veículos ofereça, além do pagamento à vista, vários planos de financiamento, à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês Com base nessas informações e considerando 1,2 como valor aproximado para 1,01512, julgue os itens seguintes (-2008/001 caderno A - questão 60) Caso um indivíduo disponha de R$ ,00 e, em vez de comprar um veículo, ele invista seu dinheiro em uma instituição financeira que pague 1,5% ao mês de juros compostos, em 24 meses ela obterá um montante superior a R$ , (-2008/001 caderno A questão 61) Suponha que o valor correspondente ao preço à vista de um veículo seja investido em uma instituição financeira que paga juros compostos de 1,5% ao mês, e que ao final de 36 meses o montante obtido seja de R$ ,00. Nesse caso, o preço à vista desse veículo é inferior a R$ , (-2008/001 caderno A questão 62) A taxa de juros praticada por essa concessionária é equivalente à taxa de 20% ao ano Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 23

24 004- (-2008/001 caderno A questão 63) Considere que um comprador tenha optado por fazer um financiamento dando uma entrada de R$ ,00 e mais 12 prestações mensais, consecutivas e iguais, de R$ 3.000,00, com a primeira prestação vencendo um mês após a compra. Nesse caso, o montante dessa série de pagamentos, logo após efetuar a quitação da última prestação, será superior a R$ , (-2008/001 caderno A questão 64) Suponha que um indivíduo tenha optado por financiar a compra de um veículo em 12 prestações mensais, consecutivas e iguais, de R$ 6.000,00, com a primeira vencendo um mês após a compra. Nessa situação, o preço do veículo à vista era inferior a R$ , (-2008/001 caderno A questão 65) Suponha que a concessionária ofereça um plano de pagamento com base no sistema de amortização constante (SAC), em 12 parcelas mensais e consecutivas, com a primeira vencendo um mês após a compra, à taxa de juros mensais de 1,5%. Se o valor dos juros correspondente à 1.ª parcela é igual a R$ 360,00, então o total de juros pagos ao se financiar um veículo nessa concessionária, com base nesse plano, é inferior a R$ 2.500, (-2008/001 caderno A questão 66) Considere o financiamento de um veículo em 12 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 4.500,00, com a primeira prestação sendo paga no ato da compra e as demais, uma a cada 30 dias. Nesse caso, o preço à vista do veículo é inferior a R$ ,00. (-2008/002 caderno vermelho) Para a venda de notebooks, uma loja de informática oferece vários planos de financiamento e, em todos eles, a taxa básica de juros é de 3% compostos ao mês. Nessa situação, julgue os itens seguintes, considerando 1,2 como valor aproximando para 1, (-2008/002 caderno vermelho - questão 36) Considerando-se que, na compra de um notebook, o cliente opte por um plano de financiamento que consista em prestações consecutivas, mensais e iguais a R$ 420,00 e que o montante desta série de pagamentos, após o pagamento da última prestação seja igual a R$ 7.000,00, nessa situação, se T representar o número de prestações desse financiamento, então T será aproximadamente igual a 009- (-2008/002 caderno vermelho - questão 37) Se, em determinado mês, a taxa de inflação foi de 1%, então, nesse mês, a taxa real de juros de um financiamento foi superior a 2% (-2008/002 caderno vermelho - questão 38) Para o desenvolvimento de projetos, um escritório de arquitetura utilizará um notebook por 3 anos e está avaliando a melhor opção entre alugar ou comprar o equipamento. Na pesquisa, o escritório obteve as seguintes propostas: I alugar o equipamento por R$ 1.500,00 ao ano, incluídas eventuais manutenções, com pagamento no início de cada ano. II comprar o equipamento, à vista, por R$ 5.000,00 e mais R$ 300,00, no 2.º ano, e R$ 500,00 no 3.º ano, correspondentes à taxa de manutenção; nesse caso, no final do 3.º ano, o vendedor se compromete a readquirir o equipamento por R$ 1.600,00. Considerando que a taxa de juros compostos do mercado seja de 3% ao mês e que 0,97, 0,94 e 0,92 sejam valores aproximados para 1,03-1, 1,03-2 e 1,03-3, respectivamente, é correto afirmar que a melhor opção para o escritório de arquitetura será alugar o notebook (-2008/002 caderno vermelho - questão 39) Se, em uma venda, ficar acordado que o pagamento será feito de uma única vez, ao final do 6.º mês após a compra do notebook, cujo valor à vista é de R$ 3.600,00, nesse caso, no pagamento, o cliente desembolsará mais de R$ 4.200, (-2008/002 caderno vermelho - questão 40) Se o financiamento for feito em 6 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 720,00, com a primeira vencendo um mês após a compra, então o montante dessa série de pagamentos, logo após a quitação da 6.ª prestação, será superior a R$ 4.500, (-2008/002 caderno vermelho - questão 41) Caso um cliente escolha financiar a compra de um notebook em 12 prestações postecipadas, mensais, consecutivas e iguais a R$ 360,00, nesse caso, considerando 0,70 como valor aproximado para 1,03!12, é correto concluir que o preço do notebook, à vista, é inferior a R$ 3.800, (-2008/002 caderno vermelho - questão 42) Se, na compra de um notebook, o financiamento for feito com base no sistema francês de amortização, em 6 prestações postecipadas, mensais, consecutivas e iguais a R$ 900,00, e a taxa de juros compostos cobrados nesse financiamento for de 3% ao mês, nesse caso, se a amortização no pagamento da 1.ª prestação for igual a R$ 756,00, então a amortização no pagamento da 2.ª prestação será superior a R$ 785,00. (-2008/003 caderno GAMA) Julgue os itens a seguir, relacionados a empréstimos e financiamentos, considerando, em todas as situações apresentadas, que o regime de juros praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 2%, e tomando 1,3 como valor aproximado para 1, (-2008/003 caderno GAMA questão 59) Caso um imóvel no valor de R$ ,00 seja financiado em 12 prestações mensais e consecutivas, tendo como base o Sistema Francês de Amortização, nesse caso, para a composição da primeira prestação, o valor de amortização será superior a R$ 7.800, (-2008/003 caderno GAMA questão 60) Em um financiamento pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), o valor das prestações, mensais e consecutivas, é sempre constante; o que varia é o valor dos juros pagos a cada mês (-2008/003 caderno GAMA questão 61) Caso o saldo devedor de um empréstimo seja hoje de R$ ,00, se nenhum pagamento for efetuado, esse valor será superior a R$ ,00, ao final do período de um ano Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

25 018- (-2008/003 caderno GAMA questão 62) Se o pagamento de um empréstimo que seria quitado em uma única prestação de R$ ,00 ao final do segundo ano for antecipado para o final do primeiro ano, o valor a ser pago será superior a R$ ,00. financiável desse imóvel, também em reais, então, considerando-se que, na mudança das faixas de valores de imóveis, não há redução no valor máximo do financiamento, é correto expressar F(x) na forma a seguir (-2008/003 caderno GAMA questão 63) Se o pagamento de um financiamento tiver de ser feito em 24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 1.200,00, nesse caso, o montante dessa série de pagamentos, por ocasião do pagamento da última prestação, será superior a R$ , (-2008/003 caderno GAMA questão 64) Se determinado valor, que foi tomado como empréstimo, será pago em 12 prestações postecipadas mensais, consecutivas e iguais a R$ 1.300,00, então esse valor é superior a R$ , (-2008/003 caderno GAMA questão 65) A taxa de juros compostos de 2% ao mês é proporcional à de 25% ao ano (-2008/003 caderno GAMA questão 66) Se um financiamento for quitado com o pagamento de 12 prestações postecipadas iguais, mensais e consecutivas, e, durante esse período, a inflação for de 1,2% ao mês, então a taxa de juros real cobrada no financiamento será superior a 3,2% ao mês. (-2007/001 caderno BRANCO) Unindo experiência e credibilidade O financiamento imobiliário da Associação de Poupança e Empréstimos (POUPEX) é o resultado da parceria entre o Banco do Brasil S.A. () e a POUPEX, uma empresa com 25 anos de mercado e que já financiou milhares de imóveis em todo o país. Com a nova linha, o cliente tem acesso a condições especiais para financiar em até 180 meses (15 anos) a sua casa, nova ou usada, ou construir o seu imóvel. Considere a tabela de modalidades residenciais a seguir (-2007/001 caderno BRANCO questão 38) Considere que, para o financiamento, em 1 ano, do valor máximo financiável de um imóvel de valor igual a R$ 100 mil, a capitalização seja mensal e o regime, o de juros compostos. Nesse caso, tomando-se 1,105 como valor aproximado para, conclui-se que o valor efetivamente pago pelo empréstimo seria superior a R$ , (-2007/001 caderno BRANCO questão 39) Considere que uma pessoa tenha solicitado o financiamento do valor máximo financiável para a compra de um imóvel de valor igual a R$ 180 mil, pelo prazo de dois anos. Considere ainda que o financiamento tenha sido concedido de acordo com a tabela apresentada no texto, com capitalização mensal e regime de juros simples; que o solicitante tenha quitado o empréstimo 6 meses antes do prazo combinado e tenha tido desconto do tipo racional (ou por dentro). Nesse caso, considerando-se 1,16 como valor aproximado para 1,22, conclui-se que o valor 1,055 total pago pelo empréstimo foi superior a R$ ,00. Com referência ao texto acima, julgue os seguintes itens (-2007/001 caderno BRANCO questão 36) Considere que não haja qualquer restrição acerca do valor máximo do financiamento, isto é, que os valores apresentados na linha correspondente a valor máximo do financiamento sejam ignorados. Nessa situação, o gráfico da função que descreve o valor financiável em relação ao valor do imóvel é um segmento de reta de inclinação positiva (-2007/001 caderno BRANCO questão 37) Designando-se por x o valor do imóvel a ser financiado, em reais, e por F(x) a função que representa o valor 027- (-2007/001 caderno BRANCO questão 40) Considere que o valor de um imóvel do tipo A seja inferior a R$ 150 mil e o valor de um imóvel do tipo B, superior a R$ 350 mil e inferior a R$ 450 mil. Considere ainda que o valor total de 6 imóveis do tipo A seja igual ao valor total de 2 imóveis do tipo B, e que a soma dos valores financiáveis para a aquisição desses imóveis 1 do tipo A e 1 do tipo B seja igual a R$ 406 mil. Nessa situação, a soma total dos valores desses imóveis 1 do tipo A e 1 do tipo B é superior a R$ 550 mil (-2007/001 caderno BRANCO questão 41) Considere a seguinte situação hipotética. Uma pessoa deseja financiar um imóvel cujo valor é igual a R$ 240 mil. Para cobrir o valor não-financiável, o gerente do banco sugeriu-lhe fazer um investimento que consiste em 6 aplicações mensais, de mesmo valor, uma por mês, no primeiro dia de cada mês. O investimento escolhido paga juros fixos mensais e simples de 3% ao mês e será encerrado juntamente com o 6.º depósito. Nessa situação, o valor a ser depositado, mensalmente, no referido investimento é inferior a R$ 8.000, Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 25

26 (-2007/001 caderno BRANCO) Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a importância de R$ ,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz ao quinhão do prêmio. Com a retirada dos 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ ,00. Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os itens que se seguem (-2007/001 caderno BRANCO questão 42) Se x é a quantidade de elementos do grupo de amigos, então =. x 3 x 030- (-2007/001 caderno BRANCO questão 43) Considerando que, em uma função da forma f(x) = Ax 2 + Bx + C, em que A, B, e C são constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0 determina a quantidade de elementos do grupo de amigos, então é correto afirmar que, para essa função, o ponto de 3 mínimo é atingido quando x = (-2007/001 caderno BRANCO questão 44) A quantidade de elementos do grupo de amigos que fizeram juz ao prêmio é superior a (-2007/001 caderno BRANCO questão 45) Cada um dos elementos do grupo de amigos que efetivamente pagou a parcela correspondente ao jogo recebeu uma quantia superior a R$ ,00. (-2007/002 caderno AZUL) Em cada um dos itens subseqüentes, é apresentada uma situação a respeito de matemática financeira, seguida de uma assertiva a ser julgada (-2007/002 caderno AZUL questão 48) Um empréstimo de R$ ,00 foi concedido à taxa de juros compostos de 6% ao mês. Dois meses após concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ ,00 e, no final do terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-se 1,2 como valor aproximado de 1,06 3, conclui-se que esse último pagamento foi superior a R$ , (-2007/002 caderno AZUL questão 49) Um veículo popular cujo valor à vista é de R$ ,00 pode ser comprado, sem entrada, em 36 prestações mensais e iguais, sendo que a primeira prestação será paga em 1 mês após a compra, à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Nessa situação, tomando 0,17 como valor aproximado de 1,05 36, conclui-se que o valor da prestação será superior a R$ 1.400, (-2007/002 caderno AZUL questão 50) Uma dívida, contraída à taxa de juros compostos de 2% ao mês, deverá ser paga em 12 meses. No vencimento, o valor total a ser pago é de R$ ,00, no entanto, o devedor quer quitá-la dois meses antes do prazo. Nessa situação, de acordo apenas com as regras de matemática financeira, o credor deverá conceder ao devedor um desconto superior a R$ 2.000,00. (-2007/002 caderno AZUL) É loja ou é banco? Comércio recebe pagamentos e efetua saques como forma de atrair compradores Que tal aproveitar a força do Banco do Brasil S.A. (), atrair para o seu negócio alguns correntistas e transformá-los em clientes? Se você cadastrar sua empresa junto ao, pode receber o pagamento de impostos ou títulos e pode, também, deixar os correntistas sacarem dinheiro no seu balcão. O projeto já tem mais de 200 empresas cadastradas, chamadas de correspondentes, e deve atingir, até o fim do ano, estabelecimentos. Em troca do pagamento de títulos ou pelo serviço de saque, o banco paga a você R$ 0,18 a cada transação. As empresas fazem, em média, 800 operações por mês. O limite é de R$ 200,00 para saque e de R$ 500,00 por boleto, diz Ronan de Freitas, gerente de correspondentes do. As lojas que lidam com grande volume de dinheiro vivo e fazem o serviço de saque têm a vantagem de aumentar a segurança, já que ficam com menos dinheiro no caixa e não precisam transportá-lo até o banco. Mas o melhor, mesmo, é atrair gente nova para dentro do seu ponto comercial. Nossas vendas cresceram 10% ao mês desde a instalação do sistema, em fevereiro de Somos o correspondente com mais transações, mais de só em maio, afirma Pedro de Medeiros, sócio do supermercado Comercial do Paraná, de São Domingos do Araguaia, no Pará. Como fazer melhor. In: Pequenas Empresas Grandes Negócios, n.º 222, jul./2007, p. 100 (com adaptações) (-2007/002 caderno AZUL questão 59) Se o correspondente de que Pedro de Medeiros é sócio tivesse aplicado o valor obtido com as transações oriundas do projeto no mês de maio, à taxa de juros simples de 10% ao mês, durante 12 meses, ao final do período de aplicação, o montante correspondente seria superior a R$ 1.500, (-2007/002 caderno AZUL questão 60) Considere que a afirmação do correspondente Pedro de Medeiros Nossas vendas cresceram 10% ao mês desde a instalação do sistema, em fevereiro de 2007 signifique que, desde a instalação do sistema, em fevereiro de 2007, a cada mês, com relação ao mês anterior, as vendas em seu estabelecimento tenham crescido 10%. Nessa situação, é correto afirmar que o gráfico abaixo ilustra corretamente a evolução das vendas no estabelecimento de Pedro de Medeiros. (-2007/003 caderno QUEBEC) Em cada um dos itens subseqüentes, é apresentada uma situação hipotética a Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

27 respeito de matemática financeira, seguida de uma assertiva a ser julgada (-2007/003 caderno QUEBEC questão 54) O capital de R$ ,00 pode ser aplicado à taxa de 72% por um período de 3 anos ou à taxa de juros compostos de 20% ao ano, também por 3 anos. Nesse caso, para o investidor, a primeira forma de aplicação é financeiramente mais vantajosa que a segunda (-2007/003 caderno QUEBEC questão 55) Marcela tomou R$ ,00 emprestados a juros compostos mensais de 8%. Seis meses depois, ela pagou R$ ,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou a dívida. Nessa situação, considerando-se 1,08 7 = 1,7, é correto afirmar que, para liquidar a dívida, Marcela pagou mais de R$ ,00. um computador cujo preço à vista é de R$ 1.000,00 dando uma entrada de R$ 550,00 e mais uma prestação também de R$ 550,00, com vencimento para 30 dias contados a partir da data da compra, ela pagará nesse financiamento uma taxa de juros igual a 20% ao mês. (-2003/001 caderno AZUL) Texto X questões 29 a 30 A planilha do Excel 2000 abaixo mostra as taxas de juros que são praticadas em algumas modalidades de financiamento de um banco (-2007/003 caderno QUEBEC questão 56) Uma letra de câmbio vence daqui a um ano, com valor nominal de R$ ,00. A pessoa detentora desse título propõe a sua troca por outro, que vence daqui a 3 meses e tem valor nominal de R$ ,00. Nessa situação, se a taxa de juros compostos corrente é de 3% ao mês e se 1,3 é tomado como valor aproximado para 1,03 9, então a troca será financeiramente vantajosa para o detentor do primeiro título (-2007/003 caderno QUEBEC questão 57) Carlos deve a uma instituição financeira um título com valor de resgate de R$ 6.000,00 para vencimento daqui a 5 meses e outro, com valor de resgate de R$ 8.000,00, para vencimento daqui a 10 meses. Nessa situação, se a instituição financeira emprestou as quantias a Carlos à taxa de juros compostos de 2% ao mês, e se Carlos desejar resgatar esses dois títulos no dia de hoje, então ele terá de pagar um valor que, em reais, pode ser expresso por (-2003/001 caderno AZUL) Preparando-se para custear as despesas com a educação dos seus filhos, Carlos decidiu abrir uma poupança programada para 120 meses de duração, com rendimento mensal de 1%, em que os depósitos devem ser feitos no primeiro dia de cada mês. O valor d(k), em reais, do depósito a ser efetuado nessa poupança no k-ésimo mês obedece às seguintes regras: d(k) = 100, para k = 1, 2,..., 12; d(k + 12) d(k) = 100, para k 1. QUESTÃO (-2003/001 caderno AZUL questão 13 item 01) Com base nas informações do texto V, julgue d(19) - d(15) = (-2003/001 caderno AZUL questão 13 item 01) Com base nas informações do texto V, julgue d(42) = 400, (-2003/001 caderno AZUL questão 13 item 01) Com base nas informações do texto V, julgue Durante o sétimo ano, o valor total a ser depositado por Carlos na poupança mencionada no texto é superior a R$ 8.500,00. QTÃO 29 (-2003/001 caderno AZUL- questão 29) Com base nas informações do texto X e considerando que as prestações nos diferentes empréstimos citados na planilha sejam calculadas por meio do sistema Price, julgue os itens abaixo (-2003/001 caderno AZUL- questão 29 item 1)A taxa de 4,20% ao mês para o empréstimo crédito informática corresponde à taxa nominal equivalente à taxa de juros anual de 63,84% (-2003/001 caderno AZUL- questão 29 item 2)Em um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo CDC cheque financiado, o cliente do que contraiu tal empréstimo terá pago, a título de juros, um valor superior a R$ 980,00 ao final de 12 meses (-2003/001 caderno AZUL- questão 29 item 3)Considere que, em determinado mês, a taxa de inflação seja de 2%. Se, nesse mês, um cliente do banco estiver pagando uma dívida por meio do cartão de crédito do banco, a taxa real de juros paga nesse financiamento será inferior a 7% (-2003/001 caderno AZUL- questão 29 item 4) Se um cliente do banco contrair um empréstimo de R$ ,00 por meio do banco crédito veículo, que deverá ser pago em 12 parcelas mensais, iguais e postecipadas, sem prazo de carência, então o valor da prestação será inferior a R$ 1.000, (-2003/001 caderno AZUL- questão 29 item 5)Considere a seguinte situação hipotética. Um cliente deve R$ 1.000,00 no cartão de crédito do banco e tem um saldo de imposto de renda a receber, em 1 mês, no valor de R$ 4.000,00, que deve ser resgatado de uma única vez. Dessa forma, esse cliente tem as seguintes opções: 045- (-2003/001 caderno AZUL questão 25 item 3) opção I: resgatar todo o saldo de imposto de renda de Caso uma pessoa, para se conectar à Internet, adquira acordo com o CDC antecipação IRPF, pagar a dívida 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 27

28 do cartão de crédito e aplicar o saldo remanescente à taxa de juros mensal de 1%; opção II: pagar a dívida do cartão de crédito por ocasião da liberação do saldo do imposto de renda. Nessas condições, a opção I é financeiramente mais vantajosa para o cliente. (-2003/002 caderno AZUL) Um banco oferece um sistema de aposentadoria privada em que cada participante faz um depósito mensal correspondente a x % do seu salário por um período de 30 anos, realizando o primeiro depósito 1 mês após o ingresso no sistema e totalizando 360 depósitos. Nesse sistema, todo o montante recolhido é corrigido a uma taxa de juros compostos de t % ao mês. Considere são mantidos constantes durante todos os anos de contribuição e que, um mês depois de ter efetuado o 360.º depósito, quando da sua aposentadoria, o participante passa a receber, todos os meses, uma pensão igual ao salário S que ele possuía, a qual é descontada do montante que ele tem aplicado no sistema. Considere ainda que, para cada participante, o montante residual que ele possui no sistema após o pagamento de n pensões R(n), n 0 continua a ser corrigido pela mesma taxa de juros t% após a sua aposentadoria. Sabendo que R(0) é igual ao montante acumulado e corrigido no momento do 360.o depósito, julgue os itens a seguir, relativos ao sistema de aposentadoria descrito e à previdência social brasileira, tendo como base as informações apresentadas. um participante do sistema de aposentadoria tem, nesse sistema, um montante residual igual a 056- (-2003/002 caderno AZUL questão 117) R(n) é uma progressão aritmética de razão negativa e igual a - S (-2003/002 caderno AZUL questão 118) No sistema de aposentadoria descrito, caso t seja igual a 1 e R(0) = 200 S para um certo participante, então, para algum valor muito grande de n, o montante residual R(n) será menor que R(0) (-2003/002 caderno AZUL questão 119) No Brasil, o atual déficit previdenciário deve-se ao fato de que a previdência social limita-se a ser um sistema de aposentadoria como o acima descrito, em que x e t são mal dimensionados. (-2003/003 caderno AZUL) 051- (-2003/002 caderno AZUL questão 112) Para um salário de S reais mensais, considerando x = 10 e t = 1, no momento em que é feito o 12º depósito, o montante acumulado corrigido no sistema de aposentadoria é 28 igual a (-2003/002 caderno AZUL questão 113) Se, ao final de 5 anos, no momento do 60.º depósito, Pedro possuir no sistema de aposentadoria o montante acumulado e corrigido M, então a expressão representa o montante acumulado e corrigido pertencente a Pedro por ocasião da sua aposentadoria, em que 053- (-2003/002 caderno AZUL questão 114) Para um participante com salário S > 0 arbitrário, no momento em que é feito o 3.º depósito, se x = 9 e t = 5, o montante acumulado e corrigido no sistema, referente a esse participante, é superior ao montante que seria acumulado e corrigido caso x fosse igual a 10 e t fosse igual a (-2003/002 caderno AZUL questão 115) Considerando 1, = 6, caso t seja igual a 1, um indivíduo que tenha um salário de R$ 1.000,00 e que participe mensalmente com 10% do seu salário no sistema de aposentadoria terá, nesse sistema, por ocasião da sua aposentadoria, um montante de R$ , (-2003/002 caderno AZUL questão 116) Imediatamente após o recebimento da terceira pensão, Em 1.º/8/2002, Lúcio investiu R$ ,00 distribuídos entre os investimentos oferecidos pelo relacionados na tabela acima. Com base nessas informações e considerando que as aplicações acima tenham capitalização mensal, julgue os itens seguintes (-2003/003 caderno AZUL questão 121) Se, em 1.º/6/2003, o saldo de Lúcio no ações PETROBRAS era de R$ 5.000,00, admitindo que não tenha sido feito qualquer depósito ou retirada dessa aplicação, em 1.º/8/2003 ele teria nesse investimento um montante superior a R$ 5.300, (-2003/003 caderno AZUL questão 122) Considerando 1,2 4 = 2, se, no período de 1.º/8/2003 a 1.º/8/2004, o investimento ações EMBRAER apresentar rendimento mensal igual ao verificado no mês de junho de 2003, então, em 1.º/8/2004, um capital ali aplicado em 1.º/8/2003 seria aumentado em mais de 10 vezes (-2003/003 caderno AZUL questão 123) Considerando que no período de 1.º/8/2002 a 1.º/8/2003 houve uma inflação de 8%, o rendimento real do investimento ações PETROBRAS nesse período foi de exatamente 32% (-2003/003 caderno AZUL questão 124) De acordo com os dados da tabela, é correto concluir que, em algum dos meses do período de 1.º/8/2002 a 1.º/8/2003, a taxa de rendimento do fix básico foi negativa Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

29 063- (-2003/003 caderno AZUL questão 125) Se Lúcio investiu x reais no fix básico, y reais na poupança e z reais no ações EMBRAER em 1.º/8/2002, então, relativamente a esses três depósitos, ele teria em 1.º/8/2003 o montante atualizado de 1,2x + 1,1y + 0,9z reais (-2003/003 caderno AZUL questão 126) Considere que em 1.º/8/2002 Lúcio tenha investido R$ ,00 nos fundos ações PETROBRAS e ações EMBRAER. Para que no período de 1.º/8/2002 a 1.º/8/2003 ele não tenha acumulado prejuízo nessa parcela do seu investimento, ele teria que ter investido no ações PETROBRAS pelo menos R$ 2.000, (-2003/003 caderno AZUL questão 127) Considere que, em 1.º/8/2002, Lúcio tenha distribuído os seus R$ ,00 igualmente entre todas as opções de investimento citadas. Nessa situação, em 1.º/8/2003, ele teria recebido, a título de rendimentos, mais de R$ 3.000, (-2003/003 caderno AZUL questão 128) Considere que a quantia que Lúcio investiu no fix básico tenha sido a mesma que ele investiu no ações PETROBRAS, e que a quantia investida na poupança tenha sido a mesma que ele aplicou no ações EMBRAER. Nessas condições, sabendo que, ao final de 1 ano, Lúcio possuía M reais no conjunto de investimentos formado pelo fix básico e pela poupança e N reais no conjunto formado pelo ações PETROBRAS e ações EMBRAER, é correto concluir que Lúcio originalmente investiu poupança. reais na (-2002 caderno AZUL) Texto IV questões de 67 a 74 Crédito Informática Se você deseja adquirir equipamentos de microinformática, computadores de mão e aparelhos celulares com a tecnologia WAP, o oferece o Crédito Informática. Equipamentos de microinformática: microcomputador, impressora, escâner, Web cam, computadores de mão, notebook, equipamentos multifuncionais, gravadores de CD e kit DVD (exclusivamente para instalação em microcomputador), monitores, equipamentos easy box, cable modem e telefones celulares com tecnologia WAP. Limites de financiamento: * até o limite de crédito/prestação informado no seu extrato e(ou) na sua agenda financeira. * o valor do crédito poderá variar entre R$ 200,00 e R$ 5.000,00. Prazos: de 2 a 24 meses. Tarifas: * tarifa de abertura de crédito correspondente a 3% do valor solicitado, limitado ao mínimo de R$ 9,50 e ao máximo de 19 R$ 40,00, cobrada na data da liberação do crédito. * taxa de juros de 3,70% ao mês, equivalente a 54,65% ao ano. (-2003/001 caderno AZUL)Com base nas informações do texto IV, julgue os itens abaixo (-2002 caderno AZUL- questão 19 item 1) Para o limite máximo de empréstimo permitido, a tarifa de abertura de crédito seria igual a 3% desse limite (-2002 caderno AZUL- questão 19 item 2)Descontando-se a tarifa de abertura de crédito, em termos percentuais, o valor líquido correspondente a um empréstimo de R$ 200,00 é inferior àquele correspondente a um empréstimo de R$ 400, (-2002caderno AZUL- questão 19 item 3) A taxa mensal de juros cobrada no financiamento é a taxa proporcional equivalente à taxa nominal de 54,65% ao ano (-2002 caderno AZUL- questão 19 item 4)A taxa de juros anual mencionada, considerando-se o arredondamento conveniente, poderia ser obtida como resultado da expressão 100 [(1,037) 12-1]. (-2002 caderno AZUL) Utilizando o Crédito Informática, um indivíduo financiou R$ 3.000,00 para a aquisição de um microcomputador e, de acordo com as condições estabelecidas no texto IV, deverá quitar o débito em 24 parcelas mensais e postecipadas de R$ 190,76. Com base na situação hipotética acima e nas informações do texto IV, julgue os itens abaixo. 071-(-2002 caderno AZUL questão 20 item 1)Considerando-se as adequadas aproximações, o valor de cada parcela poderia ser obtido como resultado da expressão ,037 / [1 -(1,037) -24 ] (-2002 caderno AZUL questão 20 item 2)Se as parcelas fossem mensais e antecipadas, em vez de postecipadas, o valor de cada uma delas seria superior a R$ 191, (-2002 caderno AZUL questão 20 item 3) Se o empréstimo tivesse sido feito em 12 parcelas mensais e postecipadas, mantidas as demais condições, o valor de cada parcela duplicaria (-2002 caderno AZUL questão 20 item 4) Na situação descrita, o montante total a ser pago ao final de 24 meses, corrigindo-se o valor das parcelas pela taxa de juros cobrada no financiamento e desconsiderando-se a tarifa de abertura de crédito, pode ser obtido calculando-se a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão igual a 1,037, cujo primeiro termo é igual a 190,76 e último termo é igual a 190,76 (1,037) 23. (-2002 caderno AZUL) O investidor de uma opção de compra procura auferir um ganho com uma eventual alta no preço do ativo-objeto. Seu risco é limitado à perda do prêmio pago, caso não seja de seu interesse exercer o direito de opção. Nesse contexto, suponha que uma determinada ação, em certa data, esteja cotada no mercado por R$ 2,50, que a opção de compra dessa ação possa ser adquirida por um prêmio de R$ 0,25 por ação e que a unidade de negociação de mercado (lotepadrão) seja definida como ações. Com base nesses dados e supondo, ainda, que o investidor tenha adquirido um lote-padrão de ações, julgue os itens subseqüentes Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 29

30 075- (-2002 caderno AZUL questão 31 item 1) Se a ação atingir a cotação de R$ 3,00 no mês seguinte e o prêmio da opção subir para R$ 0,40 a ação, o investidor apurará uma rentabilidade de 75% em seu investimento em opções (-2002 caderno AZUL questão 31 item 2) Se a ação atingir a cotação de R$ 2,20 no mês seguinte, o investidor terá sua perda limitada ao prêmio pago, que foi de R$ , (-2002 caderno AZUL questão 31 item 3) Se a ação atingir a cotação de R$ 3,00 no mês seguinte e o prêmio da opção subir para R$ 0,40 a ação, em termos de retorno sobre o capital aplicado, terá sido menos vantajoso adquirir as opções do que adquirir as ações. (-2001) Texto III questões 15 e 18 Ourocap 1 Milhão Ourocap 1 Milhão é um título de capitalização de pagamento único no valor de R$ 400,00. O seu dinheiro fica aplicado por 36 meses e você concorre a seis prêmios de R$ 1 milhão, sempre em março e setembro, e a quatro prêmios mensais de R$ 20 mil cada. Ao fim do prazo de capitalização, você recebe 100% da sua aplicação corrigida pela taxa referencial (TR). Caso necessite do dinheiro antes, você poderá resgatá-lo após 12 meses de vigência do título, de acordo com os percentuais mostrados na tabela acima. O seu investimento é corrigido mensalmente pela TR. Características básicas: * são chances de ganhar; * cada título concorre com 24 combinações de seis dezenas nãorepetidas, selecionadas aleatoriamente entre 01 e 48; * os prêmios são apurados combase nas dezenas da primeira faixa de premiação da Supersena, havendo quatro sorteios mensais, aos sábados; * nos sábados de sorteio do prêmio de R$ 1 milhão, não há sorteio do prêmio de R$ 20 mil. Internet: < Acesso em 14/9/2001 (com adaptações) (-2001 questão 15 item 4) Os valores numéricos dos percentuais de resgate correspondentes aos meses de 13 a 18 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética (-2001 questão 15 item 5) Uma aplicação de R$ 400,00 na poupança, por 36 meses, produzirá um montante mais de 18% superior ao que será produzido por um título Ourocap 1 Milhão que não for contemplado em nenhum dos sorteios. (-2001) Texto IV questões de 16 a 18 Ourocap Milênio O Ourocap Milênio chegou com muitas novidades: mais chances de premiação, possibilidade de resgate parcial e variadas opções de mensalidades. Além disso, parte da receita da Brasilcap com as vendas do novo produto será destinada ao programa educar, de alfabetização de jovens e adultos carentes, coordenado pela Fundação Banco do Brasil. Características básicas: * Ourocap Milênio é um título de pagamento mensal, com prazo de vigência de 60 meses; * o novo Ourocap amplia as opções de mensalidades, oferecendo a você 12 opções, variando entre R$ 30,00 e R$ 400,00; * o capital destinado aos resgates é atualizado pela TR e capitalizado com base na taxa de juros da caderneta de poupança, que é igual a 0,5% ao mês; * a cada 12 pagamentos, você pode solicitar o resgate parcial, a partir de R$ 120,00, ou retirar integralmente o capital destinado a resgate até aquele momento; * sorteios regulares (todos os sábados, exceto o último do mês): 1 prêmio de vezes o valor da última mensalidade paga, 2 prêmios de 200 vezes o valor da última mensalidade paga e 252 prêmios de 10 vezes esse valor; * sorteio especial (último sábado de cada mês): 1 prêmio de vezes o valor da última mensalidade paga. A tabela abaixo mostra a evolução do seu saldo de capitalização e o percentual de resgate, mês a mês, até o fim do prazo de vigência do seu Ourocap. Os percentuais de resgate já incluem a taxa de juros de 0,5% ao mês, mas não incluem a TR. (-2001 questão 15) De acordo com o texto III, e considerando que a caderneta de poupança pague um rendimento mensal igual 0,5%, correspondente aos juros, acrescido da TR, julgue os seguintes itens (-2001 questão 15 item 3) Se a TR for igual a 0,28% ao mês durante os 12 primeiros meses de vigência de um título Ourocap 1 Milhão, então o valor disponível para resgate após um ano será igual, em reais, a (-2001) Com base nas informações do texto IV, sabendo que a caderneta de poupança paga um rendimento mensal igual ao valor da TR mais 0,5% de Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

31 juros, e com relação ao uso da Internet em negócios, julgue os itens que se seguem ( questão 17 item 1) A taxa nominal de juros praticada pela caderneta de poupança é de 6% ao ano ( questão 17 item 3) Considerando que o ano seja composto de 52 semanas e que todos os aplicadores do Ourocap Milênio tenham títulos de R$ 100,00 mensais, então o valor máximo que o pagaria em 1 ano de sorteios seria superior a R$ 20 milhões ( questão 17 item 4) A taxa semestral efetiva de juros equivalente a 0,5% ao mês é igual (1,005) 6-1. (-2001) A partir das informações dos textos III e IV, e considerando que Carlos tenha adquirido, em setembro de 2001, um Ourocap Milênio de R$ 100,00 mensais e que o valor da TR mantenha-se fixo e igual a 0,2% durante toda a vigência desse título, julgue os seguintes itens ( questão 18 item 1) O montante que Carlos poderia resgatar ao final de 30 meses, excluindo o valor da 30.ª parcela, seria igual a 086- ( questão 18 item 2)Se Carlos optasse por um Ourocap Milênio de R$ 400,00, o montante final que ele poderia resgatar seria o quádruplo daquele correspondente ao Ourocap Milênio de R$ 100,00 mensais ( questão 18 item 3) Se, além do investimento mencionado, Carlos tivesse adquirido, na mesma data, um Ourocap 1 Milhão, o capital f(n) destinado a resgate que estaria disponível no mês n, nas duas aplicações juntas, durante os 36 primeiros meses, seria dado pela função 088- ( questão 18 item 4) Se Carlos fosse sorteado no último sábado do mês em que fez o seu investimento, ele obteria, de imediato, lucro de 5.000% do valor investido ( questão 18 item 5) O gráfico abaixo ilustra corretamente a evolução mensal do capital destinado a resgate do título Ourocap Milênio adquirido por Carlos. (-2001) Os certificados de depósitos bancários (CDBs) constituem títulos de renda fixa emitidos pelos bancos e destinam-se a lastrear operações de financiamento de capital de giro. Nesse sentido, considere a seguinte situação hipotética. O Banco Gama anunciou o pagamento de 22,6% ao ano para aplicações em CDBs de sua emissão. Na oportunidade, foi projetada uma inflação anual de 7,2%, e o mercado adotava, como referencial de taxa pura de juros (livre de risco), o rendimento anual pago pela caderneta de poupança. A alíquota de imposto de renda era de 20% sobre os rendimentos auferidos. Com relação à situação hipotética apresentada, aos CDBs e aos recibos de depósitos bancários (RDBs), e desconsiderando a cobrança de IOF e de CPMF, julgue os itens seguintes ( questão 22 item 1) Na hipótese apresentada, a taxa de remuneração líquida é inferior a 17,5% ao ano ( questão 22 item 2) No caso em apreço, a taxa real de juros é superior a 15% ao ano. (-2001) Com o objetivo de adquirir um novo computador e com o auxílio de um navegador, um usuário acessou um site de busca para selecionar sites especializados na venda e na compra de computadores via Internet, obtendo a seguinte proposta para a aquisição de seu novo computador. Hardware: Processador Intel Pentium 4 1,5 GHz 128 MB de memória RAM Monitor de vídeo 17" Floppy disk de 1,44 MB de 3 ½" Winchester de 20 GB DVD 12 Placa de vídeo de 32 MB Placa de fax/modem de 56 kbps Interface de rede local 10/100 Software instalado: Windows 2000 Microsoft Works 2000 Condições de pagamento: Preço para pagamento a vista: * R$ 5.000,00 Condições para pagamento a prazo: * entrada de 20%; * o restante dividido em 3 parcelas mensais e iguais, com juros de 2% ao mês Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 31

32 Acerca das especificações e da possibilidade de aquisição do computador da proposta acima, julgue os itens a seguir (-2001 questão 36) Considerando que seja igual a 0,35, caso o usuário decida adquirir a prazo o equipamento mencionado acima, ele pagará uma parcela mensal de valor superior a R$ 1.380,00. (CEF-2006) Sistemas de amortização Os bancos oferecem algumas alternativas de financiamento e amortização de dívidas. O sistema de amortização é que define a forma de cálculo da prestação. Os sistemas atualmente praticados pelas instituições financeirasincluem: sistema de amortização constante (SAC) e sistemafrancês de amortização (Tabela Price). Suponha que Paulo conseguiu financiar, pelo sistema francês de amortização, um microcomputador no valor de R$ 5.000,00, em doze parcelas mensais e iguais, com taxa de juros de 5% ao mês, com o 1.º pagamento feito 30 dias após a assinatura do contrato. A figura a seguir apresenta uma janela do Excel 2003 contendo a planilha do financiamento obtido por Paulo. O conteúdo das células D9 e E10 está formatado para a cor da fonte branca. Os valores correspondentes a prestação, juros, amortização, saldo devedor e totais foram calculados utilizando-se o Excel 2003, com as células formatadas para número com duas casas decimais, o que ocasiona arredondamento para cima quando o algarismo da terceira casa decimal é maior ou igual a 5. que permanece constante ao longo de todo o período do financiamento (CEF questão 57) Se a taxa de juros do financiamento obtido por Paulo fosse de 10%, a prestação a ser paga utilizando-se ainda o sistema francês de amortização seria o dobro da prestação apresentada na planilha (CEF questão 59) O valor da prestação listado na planilha é o quociente da divisão do montante a ser financiado por 1, (CEF questão 61) Suponha que, no mês 6, no momento do pagamento da prestação, Paulo decida quitar antecipadamente toda a dívida. Nessa situação, além do valor de R$ 564,13, ele deveria pagar o montante de R$ 3.264,25. (CEF-2006) O gráfico abaixo ilustra corretamente a relação entre os valores dos juros e da amortização da dívida, de acordo com a situação apresentada na planilha (CEF questão 63) O gráfico abaixo ilustra corretamente a relação entre o valor pago a título de juros e o saldo devedor utilizado para o cálculo desse valor, ambos em reais, de acordo com a situação apresentada na planilha. A partir das informações acima, julgue os itens subseqüentes (CEF questão 56) O SAC consiste em um sistema de amortização de dívida em prestações periódicas, sucessivas e em progressão geométrica decrescente, ou seja, com razão menor que 1, no qual o valor da prestação é composto por uma parcela de juros uniformemente decrescente e outra de amortização, (CEF-2006) Financiamento de veículos O Financiamento de Veículos CAIXA é uma linha de crédito exclusiva para quem é cliente há pelo menos 1 ano. Com ele, você compra seu carro novo ou usado nas melhores condições do mercado, com até R$ 35 mil Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

33 de crédito. As prestações são mensais e calculadas pela Tabela Price. Mais vantagens: * taxas de juros reduzidas e pré-fixadas; * financiamento em até 36 meses; * financiamento de carros novos ou usados, com até 5 anos de fabricação; * financiamento de até 85% do valor do veículo. Amortização: * é permitida a amortização parcial ou a quitação antecipada do saldo devedor. Internet: < > (com adaptações). Suponha que Marta, cliente da CAIXA há mais de 1 ano, deseja financiar em 24 meses, pelo sistema acima, a compra de um veículo novo de valor igual a R$ ,00. Assuma também que a única taxa cobrada pela CAIXA nesse tipo de financiamento é a taxa de juros pré-fixada de 1% ao mês. Nessa situação e considerando as informações relativas ao financiamento de veículos apresentadas acima, julgue os itens seguintes (CEF questão 67) Pelo sistema acima, é de R$ ,00 o valor máximo do financiamento que Marta poderá fazer na CAIXA para pagar o veículo (CEF questão 68) É de 100 [(1,01) 12 1]% a taxa de juros anual equivalente à taxa mensal cobrada pela CAIXA no financiamento pretendido por Marta (CEF questão 69) Se Marta financiar apenas R$ ,00 e a primeira parcela vencer 1 mês após a obtenção do financiamento ou seja, os pagamentos são postecipados, então a parte da 2ª parcela referente aos juros será superior a R$ 100, (CEF questão 70) As prestações calculadas segundo a Tabela Price são diretamente proporcionais ao montante a ser financiado. Assim, se Marta financiar R$ ,00 para a compra do veículo, a prestação mensal a ser paga será o dobro da que ela pagaria se financiasse apenas R$ 7.000, (BASA questão 44) Tomando-se 1,02 como valor aproximado para conclui-se que é inferior a 30% a taxa nominal anual de juros compostos mensalmente equivalente à taxa nominal anual de 24% em que os juros são compostos trimestralmente (BASA questão 45) Considere que uma concessionária de veículos venda um de seus modelos, que custa R$ ,00 à vista, em 72 prestações mensais fixas de R$ 500,00, sem entrada, com a primeira prestação vencendo um mês após a compra. Nesse caso, o custo mensal da operação, isto é, a taxa interna de retorno, é determinado por uma taxa de juros i que é calculada resolvendo-se a seguinte equação: 56 i = 1! (1 + i) (BASA questão 46) Considere a seguinte situação hipotética. Ela procurou então uma instituição financeira para fazer uma aplicação e ter, no tempo certo, a quantia necessária. A instituição financeira remunera as aplicações de seus clientes em 1% ao mês. Nessa situação, tomando-se 1,13 como valor aproximado para 1,01 12, conclui-se que, para que Marta tenha o valor necessário para a troca do seu carro daqui a um ano, ela necessitará aplicar hoje uma quantia inferior a R$ , (BASA questão 47) Considere que uma dívida de valor nominal igual a R$ ,00, negociada à taxa nominal de juros simples corrente de 36% ao ano e com prazo de vencimento de dois anos, foi liquidada 6 meses antes do vencimento. Nessa situação, na data da liquidação, o valor atual da dívida e o valor do desconto por dentro, ou racional, foram, respectivamente, iguais a R$ ,00 e R$ , (BASA questão 48) Considere que R$ ,00 sejam investidos por 8 anos em um fundo de investimentos que paga uma taxa nominal de juros compostos anuais de 16%, capitalizados trimestralmente. Nessa situação, tomando-se 1,9 como valor aproximado de 1,04 16, é correto inferir-se que, ao final dos 8 anos, o montante será superior ao triplo do valor inicialmente investido. (BASA-2004) A respeito de juros simples, julgue os itens seguintes (BASA-2004 questão 46) Para que um capital aplicado a uma determinada taxa trimestral de juros simples triplique de valor em 5 anos, é necessário que a taxa de juros seja superior a 12% (BASA-2004 questão 47) Considere que, para uma dívida de R$ 3.200,00 com vencimento em 12 meses contados a partir da data de hoje, o credor ofereça ao devedor um desconto de 5% ao mês, caso ele aceite quitar a dívida antecipadamente. Nessa situação, se o devedor aceitar a proposta e quitar a dívida no dia de hoje, ele pagará menos de R$ 2.200,00. (BASA-2004) Pedro e Paulo foram admitidos no serviço público após a implantação do novo sistema de aposentadorias, que estabelece que o servidor público não mais se aposentará com a remuneração integral do cargo que ocupa. Temerosos com o futuro, cada um deles decidiu que iria abrir uma caderneta de poupança e, a cada mês, sem nenhuma falha, depositaria determinada quantia e só faria algum resgate daqui a exatamente 30 anos, após cada um deles ter efetuado 360 depósitos. Pedro decidiu depositar parcelas fixas de R$ 100,00 por mês enquanto Paulo decidiu que depositaria inicialmente R$ 100,00, mas, a cada mês, corrigiria o valor do depósito pela taxa de inflação do mês anterior. Com base nessa situação hipotética e considerando que durante os 30 anos em que Pedro e Paulo farão as suas reservas a poupança pagará uma taxa de juros compostos de 0,6% ao mês e que a taxa de inflação permanecerá constante e igual a 0,2% ao mês, julgue os itens subseqüentes. Marta, estudando a possibilidade de trocar de carro 109- (BASA-2004 questão 50) Se Pedro fizer hoje o daqui a 1 ano, fez uma pesquisa e concluiu que primeiro depósito de R$ 100,00, então, daqui a 30 anos necessitará, na data da negociação, de R$ ,00. completos, a quantia S acumulada na sua caderneta de 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 33

34 poupança poderá ser calculada pela fórmula: 110- (BASA-2004 questão 51) Se Paulo fizer hoje o primeiro depósito de R$ 100,00, então, daqui a 30 anos completos, a quantia S acumulada na sua caderneta de poupança poderá ser calculada pela fórmula: (BANESE-2004) Um banco cobra 3% ao mês de juros simples sobre os saldos devedores dos clientes. Abaixo, é mostrado o extrato mensal de um cliente, em um mês de 30 dias. Os asteriscos que aparecem no extrato são valores que devem ser calculados. A letra C indica crédito, enquanto a letra D indica débito. Se você acertar a dezena de milhar, ganha também os sorteios do milhar, da centena, da dezena, e assim sucessivamente. Internet: < (com adaptações). Com base nas informações do texto acima, julgue os itens a seguir. A respeito da situação descrita acima, julgue os itens seguintes (BANESE-2004 questão 42) O valor creditado no dia 15 foi superior a R$ 1.200, (BANESE-2004 questão 43) O total de juros pagos pelo cliente no mês considerado foi superior a R$ 100, (BANESE-2004 questão 44) Considere que uma pessoa tome R$ 1.500,00 emprestados a juros de 10% ao mês, pelo prazo de 2 meses. Nesse caso, se a capitalização for composta, o montante a ser devolvido no final do período será superior a R$ 1.800, (BANESE-2004 questão 45) No sistema de juros simples, a taxa anual equivalente à taxa mensal de 2,5% é superior a 35% (BANESE-2004 questão 46) No sistema de juros compostos, a taxa trimestral equivalente à taxa mensal de 10% é superior a 30% (BANESE-2004 questão 47) O prêmio máximo que um investidor do título do BANESE CAPITALIZAÇÃO poderia receber em um sorteio é superior a R$ , (BANESE-2004 questão 48) Considere a seguinte situação hipotética. Paulo possui um título do BANESE CAPITALIZAÇÃO de n.º , de mensalidade igual a R$ 100,00. No último sábado do mês passado, o resultado da extração da loteria federal foi o seguinte: 1.º prêmio ; 2.º prêmio ; 3.º prêmio ; 4.º prêmio ; 5.º prêmio Nessa situação, Paulo seria contemplado com um prêmio superior a R$ 2.600, (BANESE-2004 questão 49) Supondo uma taxa de rendimento mensal de 0,5%, um título do BANESE CAPITALIZAÇÃO de mensalidade igual a R$ 100,00, após os 60 meses do plano, produzirá um montante igual a 100 (1,005) (BANESE-2004 questão 50) Supondo que sejam disponibilizados títulos do BANESE CAPITALIZAÇÃO, numerados de a , a chance de um investidor que possui um único título ser contemplado em um determinado sorteio é igual a 1%. O título do BANESE CAPITALIZAÇÃO é uma forma de poupar que faz suas economias mensais renderem, e ainda dá prêmios em dinheiro. O investimento mensal varia de 20 a 200 reais, em múltiplos de 10. Após os 60 meses do plano, mesmo que tenha sido sorteado, você recebe todo o dinheiro economizado de volta, corrigido monetariamente. Veja como é fácil ganhar: Com as mensalidades em dia, seu título estará automaticamente concorrendo a prêmios em dinheiro pela loteria federal. Os números contemplados serão apurados com base nas extrações da loteria federal do último sábado de cada mês, ordenando o algarismo das unidades do 1.º ao 5.º prêmios, nesta ordem, conforme exemplo abaixo. 34 (BANESE-2002) Um indivíduo desconta uma promissória de valor de face igual a R$ 900,00, com vencimento daqui a 60 dias, em um banco cuja taxa de desconto simples é de 10% ao mês. Com base nessas informações, julgue os itens abaixo (BANESE-2002 questão 7 item 1) O valor recebido pelo indivíduo é maior que R$ 730, (BANESE-2002 questão 7 item 2) A dívida cresce a uma taxa mensal de juros compostos superior a 10% Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores