Unidade II MATEMÁTICA FINANCEIRA. Prof. Maurício Felippe Manzalli

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1 Unidade II MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Maurício Felippe Manzalli

2 Taxa Efetiva nos Descontos Comercial e Bancário Definição: i Denomina-se efetiva a taxa de juros à qual devemos aplicar os valores descontados (líquidos) comercial ou bancário para obtermos, de montante, o valor nominal da dívida, no prazo de antecipação. Representaremos essa taxa por if. A fórmula da taxa efetiva pode ser construída a partir da própria definição: N = Vd. ( 1 + if. n)

3 Taxa Efetiva nos Descontos Comercial e Bancário A partir dessa definição, i podemos concluir as seguintes fórmulas: If = ou if = d Vd.n

4 Taxa Efetiva nos Descontos Comercial e Bancário As fórmulas correspondentes para o desconto bancário poderão ser obtidas através da troca dos parâmetros das duas fórmulas anteriores: N if = 1 db Vdb ou if = Vdb.n n

5 Taxa Efetiva nos Descontos Comercial e Bancário Observação: Substituindo, na fórmula da taxa efetiva comercial, cada parâmetro por sua fórmula, conseguimos chegar a uma fórmula para a taxa efetiva, baseada apenas na taxa de desconto e no prazo de antecipação: if = i 1 in

6 Taxa Efetiva nos Descontos Comercial e Bancário Fazendo o mesmo para o desconto bancário, teremos que transformar a taxa administrativa em uma taxa de juros correspondente, na mesma unidade de tempo que a taxa de desconto e adicionar as duas, dando origem a uma nova taxa de desconto bancário, que engloba a administrativa e a de desconto, representada por I.

7 Taxa Efetiva nos Descontos Comercial e Bancário Dessa forma a fórmula da taxa efetiva para o desconto bancário, baseada apenas nas suas duas taxas e no prazo, será: if = I 1 In

8 Interatividade Calculando l a taxa efetiva no desconto simples comercial de um título de valor nominal R$1.000,00, em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês, encontramos o valor: a) 4,00% ao mês b) 4,55% ao ano c) 4,55% ao mês d) 4,00% ao ano e) 5,00% ao mês

9 Juros Compostos Conceitos básicos Conceito: segundo o critério i de cálculo l denominado composto, ao final de cada período o juro do período é adicionado ao principal do período e o montante assim formado é reaplicado, como principal,no período seguinte. Conseqüências da definição do critério composto:

10 Juros Compostos Conceitos básicos Denominações: as denominações desse critério seguem as idéias passadas pela definição: juro sobre juro juro capitalizado juro exponencial Nesse caso o juro não é diretamente proporcional à taxa e ao número de períodos e os cálculos serão feitos sempre utilizando o divisor 100 para a taxa de juros.

11 Juros Compostos Conceitos básicos Montante: t relembrando seu conceito, faremos sua aplicação período a período, construindo a fórmula. Vamos indexar o montante ao final de cada período, com o número do período. 1º - M1 = P + Pi = P.(1+ i) 2 2º - M2 = M1 + M1.i = P.(1 +i) + P.(1+i).i = P.(1+ i) 3º - M3 = M2 + M2.i = P.(1+ i) + P.(1+ i).i = P.(1+ i) 2 2 3

12 Juros Compostos Fórmula Seguindo essa linha de raciocínio i concluímos que, para n períodos, teremos: M = P.(1+i) n

13 Juros Compostos Valores Atual e Nominal Existe uma forte segmentação na sociedade, em muitos aspectos. Profissionais que atuam na área de investimentos utilizam as expressões montante e principal ou capital. Profissionais de áreas de pagamento preferem os vocábulos atual e nominal.

14 Juros Compostos Valores Atual e Nominal O valor nominal está associado a uma idéia de valor futuro, de montante do valor atual. Operacionalmente podemos escrever: n N = A. (1+i) ou A = N/(1+i) Obs.: não podemos esquecer que o valor nominal de um dívida será montante de cada um dos seus valores atuais, aplicados às taxas em que foram calculados, pelo seu prazo de antecipação. n

15 Interatividade Calculando l o montante t de um principal i de R$1.000,00, aplicado a juros de 5%am, de acordo com o critério composto, por dez meses, encontramos: a) R$1.630,00 b) R$1.640,00 c) R$1.650,00 d) R$1.628,89 e) R$1.629,88

16 Juros Compostos Calculadoras Financeiras Existe uma correspondência entre os parâmetros financeiros e as funções presentes nas teclas de uma calculadora financeira. De maneira geral, introduzidos os valores de três desses parâmetros a calculadora fornecerá o valor do quarto parâmetro. Essa correspondência é a seguinte:

17 Juros Compostos Calculadoras Financeiras Montante t (M) FV Principal (P) PV Taxa de juros ( i ) i Número de períodos ( n ) n Devemos lembrar que valores de entrada ou saída no fluxo de caixa deverão figurar com sinais diferentes (+ ou ).

18 Juros Compostos Equivalência de Taxas Conceito: duas taxas de juros diferentes, referidas a unidades de tempo diferentes, são equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante. Fórmula: Determine as taxas anual e mensal equivalentes, segundo o critério de cálculo do juro composto. ia = taxa unitária anual im = taxa unitária mensal número de períodos: um ano para a taxa anual e doze meses para a taxa mensal.

19 Juros Compostos Equivalência de Taxas Aplicando a fórmula do montante t composto teremos: M = P.(1 +im) para a taxa mensal 12 M = P.(1 +ia) para a taxa anual Se, como especifica o conceito, os montantes e os principais são iguais, teremos: 12 (1 +im) = (1 +ia)

20 Juros Compostos Número Fracionário de Períodos Conceitos: Temos dois critérios de cálculo de montantes em números fracionários de períodos. Segundo um critério denominado exponencial, capitalizamos a taxa diretamente ao número de períodos, mesmo fracionário.

21 Juros Compostos Número Fracionário de Períodos Existe outro critério i de cálculo l enominado linear, segundo o qual devemos calcular a parte inteira do número de períodos a juros compostos e o montante assim obtido deverá ser aplicado a juros simples na parte fracionária dos períodos.

22 Interatividade Calculando l o montante t composto de um principal de R$1.000,00, aplicado à taxa de juros de 4% ao mês, por 115 dias, pelo critério linear, teremos: a) R$1.660,00 b) R$1.162,36 c) R$1.152,54 d) R$1.362,48 e) R$1.122,32

23 Séries de Capitais Conceitos Básicos Conceito de Série: qualquer seqüência de capitais reunidos sob uma determinada propriedade pode ser considerada uma série, também denominada anuidade. Exemplos: aluguel condomínio mensalidade escolar pagamentos parcelados em geral seguros

24 Séries de Capitais Conceitos Básicos Esses capitais i podem ser valores que saem ou entram em um fluxo de caixa, caracterizando uma Série de Pagamentos, que tem como objetivo a quitação de uma dívida ou uma série de aplicações, denominada Série de Rendas, que tem como objetivo a capitalização de um valor futuro.

25 Séries de Capitais Conceitos Básicos Uma série de pagamentos tem como principal característica seu valor atual na data zero, também denominado valor à vista, que é igual à soma de todos os valores (termos) da série na data zero; valor esse que depende do número e do valor dos pagamentos, bem como da taxa de juros utilizada no financiamento.

26 Séries de Capitais Conceitos Básicos A série de rendas tem como parâmetro importante o montante ou valor futuro, que é a soma de todas as aplicações na data do último depósito. Esse valor dependerá do número e do valor dos depósitos, bem como da taxa utilizada para corrigi-los.

27 Séries de Capitais Modelo Básico Série periódica: seus termos ocorrem a períodos iguais. Temporária: a série tem uma duração determinada. Constante: todos os termos da série têm o mesmo valor. Imediata: o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo. Postecipada: cada termo localiza-se no final do período de vencimento.

28 Séries de Capitais Modelo Básico Fórmula do Valor Atual Valor Presente ou à Vista (A): teoricamente, o valor à vista da série de pagamentos poderia ser calculado, através da sua definição, termo a termo. Na prática isso seria complicado, pois podemos ter séries com um grande número de termos. Para evitar esse transtorno, estabeleceremos uma fórmula que fará isso por nós.

29 Séries de Capitais Modelo Básico Fórmula do Valor Atual Adotando d R para representar as prestações, n para o número de prestações e i para a taxa de juros e aplicando a definição de valor atual na data zero, teremos: 2 3 n A = R/(1+i) + R/(1+i) + R/(1+i) R/(1+i) Fatorando e agrupando os termos da expressão acima, teremos: A = R. n (1 + i) 1 n i.(1 + i )

30 Séries de Capitais Modelo Básico Fórmula do Montante Valor Futuro ou montante(s): t o valor futuro ou montante de uma série de rendas poderia ser calculado através da definição, corrigindo-se os valores dos depósitos para a data do último depósito e somando-se-os nessa data. Esse procedimento seria, no entanto, impraticável para uma série com um número grande de termos. Vamos então estabelecer uma fórmula que efetue todo esse cálculo l para nós.

31 Séries de Capitais Modelo Básico Fórmula do Montante Adotando d S para denominar o montante da série, poderíamos escrever, de acordo com a definição: n 1 n 2 2 S = R.(1 + i) + R.(1 + i) R.(1 + i) + R.(1 + i) + R Fatorando e simplificando a expressão, teremos: (1 + i) S = R. i n 1

32 Séries de Capitais Modelo Básico Calculadora Financeira Montante da Série (S) FV Valor à Vista da Série (A) PV Taxa de juros ( i ) i Número de termos da Série ( n ) n Valor dos Termos da Série (R) PMT Devemos lembrar que valores de entrada ou saída no fluxo de caixa deverão figurar com sinais diferentes (+ ou ) e que a calculadora deverá estar na opção END.

33 Interatividade O valor à vista do financiamento i que quita o pagamento de um bem em treze pagamentos mensais iguais de R$250,00 sem entrada, a juros compostos de 3% ao mês, é: a) R$2.698,34 b) R$2.789,35 c) R$2.834,59 d) R$2.658,74 e) R$2.653,48

34 ATÉ A PRÓXIMA!