PARTE 1 - JUROS SIMPLES CONTEÚDO PROGRAMÁTICO. 1. Definições e nomenclatura 2. Conceito de capitalização simples 3. Fórmulas 4. Exercícios resolvidos

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1 PARTE 1 - JUROS SIMPLES CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Definições e nomenclatura 2. Conceito de capitalização simples 3. Fórmulas 4. Exercícios resolvidos 1. Definições e nomenclatura A Matemática Financeira tem como ponto fundamental o cálculo de valores monetários em diversas datas transportados pela taxa de juros. Os juros são o aluguel ou a remuneração pelo capital emprestado ou aplicado. Basicamente existem dois tipos de capitalização [Capitalização é a soma dos juros ao principal, ampliando-se o mesmo e formando o montante]: Capitalização Simples e Capitalização Composta. A Capitalização Simples (ou Juros Simples) consiste no cálculo de juros de maneira que seu crescimento, ao longo do tempo, ocorre linearmente. Os juros são sempre calculados sobre o Capital Inicial. Período de Capitalização é o período no qual os juros são capitalizados ou incorporados ao principal. Exemplo: se o período de capitalização é mensal significa que os juros calculados serão incorporados ao capital mensalmente. A taxa de juros é o índice que permite calcular os juros. Ela é geralmente expressa em percentual e deve, obrigatoriamente, referenciar o período de capitalização. Exemplos 2,4% ao mês; 4,5% ao bimestre; 9% ao semestre; 13% ao ano. Nomenclatura: A tabela a seguir mostra a nomenclatura utilizada nesta disciplina e a nomenclatura utilizada pelas calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas: Nomenclatura Nomenclatura Nomenclatura Definição Básica em Português em Inglês C VP PV Capital - Valor Presente - Present Value M VF FV Montante - Valor Futuro - Future Value J J INT Juro (ou Juros) Interest i i i Taxa de Juros n n n Tempo, Período, Número de Prestações P PGTO PMT Prestação Pagamento - Payment VPL VPL NPV Valor Presente Líquido - Net Present Value TIR TIR IRR Taxa Interna de Retorno - Internal Rate of Return 2. Conceito de Capitalização Simples No regime de juros simples, ou capitalização simples, o juro é sempre calculado sobre o valor principal (ou capital inicial). Os juros acumulados crescem, ao longo do tempo, de maneira linear (ou conforme uma progressão aritmética). Observe o seguinte diagrama, onde o capital inicial aplicado é C=1.000, a taxa de juros simples é i=1% por período (O período poderá estar em qualquer unidade de tempo: dia, semana, mês, semestre, ano, etc.). 1

2 Em qualquer período (n=1 ou n=2 ou n=3 ou n=4) o juro é sempre calculado sobre o capital inicial (valor presente), 1% de 1.000, J j = Fórmulas São utilizadas as seguintes fórmulas para capitalização simples: No exemplo acima temos, para cada período: Período Juros Juros Capital Acumulados Note que o capital cresce segundo uma progressão aritmética cuja razão é o Juro. Exemplo: Quais os juros e o montante correspondentes a uma aplicação de um capital de R$ durante 55 dias a uma taxa de 15% ao ano? Pela fórmula: Observações: - foi considerado ano comercial (de 360 dias) e note que no uso da fórmula, n e i tem a mesma periodicidade (n em mês e i em % ao mês, se n fosse anual, então i seria % ao ano, e assim por diante). No caso de ano exato (de 365 dias): Observação: Caso esteja omisso, adota-se o ano comercial (360 dias), bem como adota-se o mês comercial (30 dias). 2

3 Fórmulas para cálculo de Montante, Capital, Taxa de juros e Tempo no regime de capitalização simples: 4. Exercícios resolvidos Exercício 1: Um capital de $ foi aplicado durante 16 meses, à uma taxa de juros simples de 2,4% ao bimestre. Calcular o Montante após este período. Exercício 2: Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de $ para formar um montante de $ se aplicado à uma taxa de juros simples de 15% ao ano? PARTE 2 - JUROS COMPOSTOS CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Conceito de capitalização composta 2. Fórmulas 3. Exercícios resolvidos 4. Exercícios propostos 1. Conceito de capitalização composta No regime de capitalização composta ou de juros compostos os juros calculados num período serão acrescidos ao capital principal para o cálculo dos juros no próximo período. Por esta razão diz-se, no caso de regime de capitalização composta, juros sobre juros ou capitalização de juros. Este é o sistema utilizado no Brasil e na maioria dos países do mundo. Observe o esquema abaixo, onde é aplicado um capital de $ durante n períodos a uma taxa de 1% por período. 3

4 No primeiro período (n=1) a taxa de juros (1%) foi aplicada sobre o Capital C=1.000 gerando juros J 1 =10 e formando o montante M 1 = No segundo período a taxa de juros foi aplicada sobre o montante do período anterior (n=1), M 1 =1.010, gerando juros de J 2 =10,10 e formando o montante M 2 =1.020,10. E assim sucessivamente a cada período. 2. Fórmulas O Montante pode ser calculado pelas seguintes fórmulas: Da mesma maneira, para calcular o Valor Presente (Capital): Os Juros são calculados pela fórmula: J=M-C OBS: Vale lembrar que para calcular potenciação, basta multiplicar o número por ele mesmo, o número de vezes que a potência sugerir. Ex: 2 3 = 2x2x2 = 8 No exemplo acima, para cada período: Período Juro Capital , , , , , , , , ,60 Note que o capital cresce segundo uma progressão geométrica. Para o cálculo da taxa: Para o cálculo do número de períodos: 4

5 3. Exercícios resolvidos 1. Qual o montante gerado por um capital de $ aplicado durante 4 anos à uma taxa de 12% ao ano? 2. Qual capital preciso aplicar a uma taxa de 3% ao mês, capitalizável mensalmente, durante 10 meses para produzir um montante de $5.800? 3. A que taxa semestral um capital de $6.000 gera juros de $ 1.813,56 durante 3 anos? = ,56 = 7.813,56 Obs.: Como a taxa deve ser ao semestre, devemos passar n=3 anos para n=6 semestres. 4. Durante quanto tempo devo aplicar um capital de $ , a uma taxa de juros de 1,5% ao mês, capitalizável mensalmente, para obter um montante de $ ,51? Ou n= 14 meses e 15 dias. 5