JUROS COMPOSTOS. VERSÃO RÁPIDA orientação para leitura: 1º. Resumo (p. 61), 2º. Termos Importantes (p. 62) e 3º. Exemplos Desenvolvidos (p. 52).

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1 4 JUROS COMPOSTOS Este capítulo apresenta os principais conceitos e aplicações relacionadas ao regime de capitalização de juros compostos tratando de questões relativas a: - aplicação em operações bancárias e comerciais; - conceitos e fórmulas utilizadas; - taxas equivalentes e períodos de capitalização; e - problemas básicos resolvidos pelo modelo aritmético e com o uso do programa Excel. VERSÃO RÁPIDA orientação para leitura: 1º. Resumo (p. 61), 2º. Termos Importantes (p. 62) e 3º. Exemplos Desenvolvidos (p. 52) APLICAÇÃO Como vimos no capítulo anterior, a aplicação do regime de capitalização simples (juros simples) é mais freqüente nas operações de curto prazo, especialmente em desconto de duplicatas e em cheque especial e conta garantida. A maioria das operações comerciais e dos produtos e serviços transacionados no mercado financeiro brasileiro, especialmente em negócios de médio e longo prazos, utiliza o regime de capitalização composta (juros compostos) na sua operacionalização. Por exemplo, Caderneta de Poupança, Certificados de Depósitos Bancários, Fundos de Investimentos, Empréstimos, Financiamentos, Leasing, Créditos Imobiliários etc. Essa opção expressa o costume de calcular juros sobre juros. Para o investidor, o valor acumulado (montante) até o período de capitalização anterior servirá como base de cálculo para os juros do período em curso; assim, tem-se a incidência de juros de forma cumulativa.

2 4.2. CONCEITOS E FÓRMULAS UTILIZADAS A capitalização composta ocorre quando os rendimentos incorporados ao valor presente ou capital, em cada período de tempo a que se referir a taxa de juros, passam, também, a render juros no período seguinte, ou seja, o capital investido ou emprestado será acrescido do rendimento de juros, compondo um novo capital, o qual no período seguinte será acrescido de rendimento de juros e assim sucessivamente. É um procedimento usualmente chamado de juros sobre juros. Portanto, o capital cresce de forma geométrica, caracterizando uma função exponencial. Para diferenciar os dois regimes de capitalização discreta de juros (juros simples e juros compostos), deve-se observar que no regime de juros simples os juros são calculados periodicamente sobre o capital (valor presente). No regime de juros compostos, os juros são calculados sobre o valor futuro ou montante (valor presente ou capital mais juros) obtido até o período anterior. Para melhor entendimento desses regimes de capitalização, vejamos o exemplo seguinte: um investimento de R$ 1.000,00, à taxa de 10% a.m., durante 5 meses; exposto na Tabela abaixo. Tabela 4.1 Regimes de capitalização simples e composta. Período Montante ou Valor Futuro (FV) (n) Simples Composto 0,5 (15 dias) 1.050, , , , , , , , , , , ,51 Dada a mesma taxa de juros, os juros rendidos e os valores futuros no regime de capitalização composta serão maiores do que os valores obtidos no regime de capitalização simples quando o tempo transcorrido for maior que o período de capitalização. (Veremos a comparação entre

3 as taxas equivalentes e proporcionais, no tocante ao tempo transcorrido e o período de capitalização, no capitulo 5). No exemplo acima, no período 1, apuramos os mesmos juros rendidos (R$100,00) e os mesmos valores futuros (R$ 1.100,00) tanto para juros simples como para juros compostos. No período 2, aplica-se a taxa de juros (10% a.m.) sobre o valor de R$ 1.100,00, utilizando juros compostos, que resulta num valor futuro de R$ 1.210,00. Esse procedimento de aplicar a taxa de juros sobre o saldo resultante do mês anterior segue até o final do período da operação. Portanto, genericamente, a fórmula de capitalização de juros compostos após n períodos de capitalização é: VF = VP x (1 + i) n Onde: VF = valor futuro ou montante VP = valor presente ou valor inicial ou capital inicial i = taxa de juros compostos na forma decimal n = prazo da operação ou número de períodos da capitalização A figura a seguir mostra o fluxo de caixa do exemplo acima. Figura 4.1 Fluxo de caixa do exemplo.

4 Da fórmula geral, já apresentada, pode-se extrair outras fórmulas que facilitam o cálculo direto do valor dos juros, da taxa, do período de capitalização e do valor presente. Vejamos: J = VP x [ (1+ i) n 1] n = LN (FV / PV) / LN (1 + i) i = (FV / PV) 1/n - 1 PV = FV / (1 + i) n Onde: J = valor dos juros compostos Vimos que no regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são também equivalentes. No regime de juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes. Taxas de juros compostos são equivalentes quando, incidindo sobre o mesmo valor presente durante o mesmo período, produzem juros e valores futuros iguais, mesmo referidas a diferentes períodos de capitalização. No próximo capítulo, trataremos especificamente de taxas de juros EXEMPLOS DESENVOLVIDOS Neste capítulo estudamos a capitalização composta que ocorre quando os rendimentos incorporados ao valor presente ou capital, em cada período de tempo a que se referir a taxa de juros, passam, também, a render juros no período seguinte. O Excel apresenta funções e recursos financeiros para operações com juros compostos. Empregaremos as seguintes funções financeiras do programa apresentadas no Capítulo 2: NPER (taxa;pgto;vp;vf;tipo) para determinar n TAXA (nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) para determinar i VP (taxa;per;pgto;vf;tipo) para determinar o PV VF (taxa;nper;pgto;vp;tipo) para determinar o FV Exemplo 4.1 (Para calcular o valor dos juros (J) dados: o capital ou valor presente (VP), o prazo (n) e a taxa de juros (i)) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado pelo período de 7 meses a uma taxa de juros de 1,5% a.m. Determinar os juros obtidos no regime de juros compostos.

5 Dados: VP = 2.000,00 n = 7 meses i = 1,5% a.m. = 0,015 na forma decimal J =? Cálculo: a) Pelo modelo algébrico J = VP x [ (1+ i) n 1] J = x [ (1 + 0,015) 7 1] = x 0,1098 = $ 219,69 b) Pelo Excel (digitar a função VF diretamente em uma célula menos o VP) =VF(1,5%;7;;-2000)-2000 e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => $ 219,69 Ou (digitar a fórmula diretamente em uma célula) =2000*((1+1,5%)^7-1) e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => $ 219,69 Atentar: o Excel não apresenta uma função específica para o cálculo do valor dos juros compostos (J). Nesse caso, calculamos o VF e deduzimos o VP: VF VP = J Importante: 1 - A sintaxe da função VF é (taxa;nper;pgto;vp;tipo). No entanto, quando se inicia a digitação numa célula ( =VF ), o Excel indica sua sintaxe, não necessitando memorizá-la. Figura 4.2 Sintaxe da função VF. 2 A taxa pode ser digitada na forma percentual, sucedida do sinal de percentagem (%), ou na forma decimal. 3 O espaço destinado a pgto não foi preenchido e foi utilizado o sinal de ponto-e-vírgula para separar os argumentos.

6 4 O valor presente digitado foi precedido do sinal negativo para satisfazer o parâmetro do fluxo de caixa (desembolso, saída de recursos). 5 O argumento tipo foi omitido. Utiliza-se 0, zero, (padrão) para depósitos no fim do período e 1 para depósitos no início do período. Figura 4.3 Cálculo do exemplo 4.1. Exemplo 4.2 (Para calcular o valor presente ou capital (VP) dados: o valor futuro ou montante (VF), prazo (n) e a taxa de juros (i)) Com o objetivo de atingir um valor futuro de R$ ,00, em 2 anos, para comprar um determinado bem, com taxa de juros de 0,85% a.m., calcular o valor que deve ser investido hoje pelo regime de juros compostos. Dados: VF = ,00 n = 24 meses i = 0,85% a.m. = 0,0085 na forma decimal VP =? Cálculo: a) Pelo modelo algébrico VP = VF / (1 + i) n VP = / (1 + 0,0085) 24 = / 1,2252 = $ ,28 b) Pelo Excel (digitar a função VP diretamente em uma célula) =VP(0,85;24;;50000) e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => - $ ,28 Ou (digitar a fórmula diretamente em uma célula) =50000/(1+0,85%)^24 e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => $ ,28

7 Importante: 1 - A sintaxe da função VP é (taxa;per;pgto;vp;tipo): =VP(0,85;24;;50000) 2 A taxa pode ser digitada na forma percentual, sucedida do sinal de percentagem (%), ou na forma decimal. 3 O espaço destinado a pgto não foi preenchido e foi utilizado o sinal de ponto-e-vírgula para separar os argumentos. 4 O valor futuro é o resgate do valor presente investido mais os juros obtidos; portanto, o resultado que aparece na célula tem o sinal negativo para satisfazer o parâmetro do fluxo de caixa (desembolso no presente, saída de recursos). 5 - O argumento tipo foi omitido. Utiliza-se 0, zero, (padrão) para depósitos no fim do período e 1 para depósitos no início do período. Vamos apresentar agora o emprego da função financeira pela guia Fórmulas da interface do usuário. Essa guia contém o catálogo de funções do Excel e opções que facilitam suas operações. Como apresentado no Capítulo 2, utilizaremos a categoria Financeira do grupo Biblioteca de Funções. 1 Selecionar uma célula vazia e escolher guia Fórmulas, no grupo Biblioteca de Funções e selecionar a categoria Financeira, como apresentado na Figura Clicar na seta que aponta para baixo para procurar e selecionar a função desejada: VP. 3 Digitar os dados na caixa de diálogo Argumentos da função como apresentado na Figura seguinte. Observar Resultado da fórmula e clicar em OK. O valor de - R$ ,28 retornará à célula selecionada.

8 Figura 4.4 Biblioteca de funções financeiras na guia Fórmulas. Figura 4.5 Argumentos da função no exemplo 4.2. Exemplo 4.3 (Para calcular o prazo (n) dados: o capital ou valor presente (VP), o valor futuro ou montante (VF) e a taxa de juros (i)) Durante quanto tempo um investimento de R$ ,09, à taxa de juros de 2% a.m., proporcionou um montante de R$ ,00 pelo regime de juros compostos? Dados: VP = ,09 i = 2% a.m. = 0,02 na forma decimal VF = ,00

9 n =? Cálculo: a) Pelo modelo algébrico n = LN (VF / VP) / LN (1 + i) n = LN ( / ,09) / LN (1 + 0,02) = 0,5941 / 0,0198 = 30 (meses) b) Pelo Excel (digitar a função NPER diretamente em uma célula) =NPER(2%;;-55207,09;100000) e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => 30 Ou (digitar a fórmula diretamente em uma célula) =LN(100000/55207,09)/LN(1+2%) e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => 30 Importante: 1 - A sintaxe da função NPER é (taxa;pgto;vp;vf;tipo): =NPER(2%;;-55207,09;100000) 2 O valor presente (investimento) aparece na célula com o sinal negativo para satisfazer o parâmetro do fluxo de caixa (desembolso no presente, saída de recursos). Figura 4.6 Cálculo do exemplo 4.3 Exemplo 4.4 (Para calcular a taxa de juros (i) dados: o capital ou valor presente (VP), o valor futuro ou montante (VF) e o prazo (n)) Um investimento de R$ ,00 rendeu, após 6 meses, o montante de R$ ,00. Calcular a taxa de juros mensal pelo regime de juros compostos. Dados: VP = ,00

10 VF = ,00 n = 6 meses i =? Cálculo: a) Pelo modelo algébrico i = (VF / VP) 1/n - 1 i = ( / ) 1/6-1 = (1,10) 0, = 1,60% a.m. b) Pelo Excel (digitar a função TAXA diretamente em uma célula) =TAXA(6;;-40000;44000) e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => 1,60% (a.m.) Ou (digitar a fórmula diretamente em uma célula) =((44000/40000)^(1/6)-1)*100 e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => 1,60 (% a.m.) Importante: 1 - A sintaxe da função TAXA é (nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa). 2 O valor presente (investimento) aparece na célula com o sinal negativo para satisfazer o parâmetro do fluxo de caixa (desembolso no presente, saída de recursos). 3 - O argumento estimativa é um valor de porcentagem que o Excel usa como ponto inicial para calcular a taxa de juros. O valor padrão é 10%. Foi omitido sem prejudicar a operação. Figura 4.7 Cálculo do exemplo 4.4 Exemplo 4.5 (Para calcular o montante ou valor futuro (VF) dados: o capital ou valor presente (VP), o prazo (n) e a taxa de juros (i))

11 Calcular o montante de um capital de R$ ,00 que foi aplicado pelo período de 8 meses a uma taxa de juros de 2,25% a.m. no regime de juros compostos. Dados: VP = ,00 n = 8 meses i = 2,25% a.m. = 0,0225 na forma decimal VF =? Cálculo: a) Pelo modelo algébrico VF = VP x (1+ i) n VF = x (1 + 0,0225) 8 = x 1,1948 = $ ,78 b) Pelo Excel (digitar a função VF diretamente em uma célula) =VF(2,25%;8;;-25000) e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => $ ,78 Ou (digitar a fórmula diretamente em uma célula) =25000*(1+2,25%)^8 e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => $ ,78 Importante: 1 - A sintaxe da função VF é (taxa;nper;pgto;vp;tipo): =VF(2,25%;8;;-25000) 2 O valor presente digitado foi precedido do sinal negativo para satisfazer o parâmetro do fluxo de caixa (desembolso, saída de recursos). Utilizando a função financeira pela guia Fórmulas: 1 Selecionar uma célula vazia e selecionar guia Fórmulas, no grupo Biblioteca de Funções, selecionar a categoria Financeira. 2 Clicar na seta que aponta para baixo para procurar e selecionar a função desejada: VF. 3 Digitar os dados na caixa de diálogo Argumentos da função conforme figura a seguir. Observar Resultado da

12 fórmula e clicar em OK. O dado $ ,78 retornará à célula selecionada. Figura 4.8 Argumentos da função no exemplo 4.5 Exemplo 4.6 (Para calcular o montante ou valor futuro (VF) dados: o capital ou valor presente (VP), o prazo (n) e uma série sucessiva de taxas de juros (i)) Calcular o valor futuro, no regime de juros compostos, de um capital de R$ ,00 numa modalidade de investimento que rende 10%, 11%, 12%, 12,5% e 13% ao longo de 5 anos. Dados: VP = ,00 i = 10% a.a., 11% a.a.,12% a.a.;12,5% a.a. e 13% a.a. = 0,10; 0,11; 0,12; 0,125 e 0,13 na forma decimal n = 5 anos VF =? Cálculo: a) Pelo modelo algébrico VF = VP x [(1+ i1) x (1+ i2) x (1+ i3) x (1+ i4) x (1+ i5)] VF = x [(1+0,10) x (1+0,11) x (1+0,12) x (1+0,125) x (1+0,13)] = x 1,7385 = $ ,60

13 b) Pelo Excel (digitar a função VFPLANO diretamente em uma célula) =VFPLANO(10000;{0,1;0,11;0,12;0,125;0,13}) e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => $ ,60 Ou (digitar a fórmula diretamente em uma célula) =-10000*(1+10%)*(1+11%)*(1+12%)*(1+12,5%)*(1+13%) e pressionar ENTER. O resultado aparece na célula => $ ,60. Importante: 1 - Utilizamos a função VFPLANO. Essa função retorna o valor futuro de um cronograma de taxas. É útil para investimentos que oferecem uma taxa de juros variável ou quando a taxa flutua ao longo do tempo. 2 - A sintaxe da função é: =VFPLANO(capital;plano). Capital é o valor presente, capital inicial ou investimento que será atualizado pela série sucessiva de taxas de juros compostas. Plano é o intervalo ou matriz que contém as taxas de juros. 3 - As taxas foram digitadas na forma decimal e entre chaves ( { } ) como uma matriz. As chaves identificam uma fórmula como fórmula de matriz. Figura 4.9 Cálculo do exemplo RESUMO A maioria das operações comerciais e dos produtos e serviços transacionados no mercado financeiro brasileiro, especialmente em negócios de médio e longo prazos, utiliza o regime de capitalização composta (juros compostos) na sua operacionalização. Por exemplo,

14 Caderneta de Poupança, Certificados de Depósitos Bancários (CDB), Fundos de Investimentos, Empréstimos, Financiamentos, Leasing, Créditos Imobiliários etc. Essa opção expressa o costume de calcular juros sobre juros. Para o investidor, o valor acumulado (montante) até o período de capitalização anterior servirá como base de cálculo para os juros do período em curso; assim, tem-se a incidência de juros de forma cumulativa. Esse procedimento de aplicar a taxa de juros sobre o saldo resultante do mês anterior até o final do período da operação pode ser expresso, genericamente, na fórmula base de capitalização de juros compostos que é: VF = VP x (1 + i) n As demais fórmulas desenvolvidas para juros compostos são: J = VP x [ (1+ i) n 1] n = LN (FV / PV) / LN (1 + i) i = (FV / PV) 1/n - 1 PV = FV / (1 + i) n Vimos que no regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são também equivalentes. No regime de juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes. Taxas de juros compostos são equivalentes quando, incidindo sobre o mesmo valor presente durante certo período, produzem juros e valores futuros iguais, mesmo referidas a diferentes períodos de capitalização. Para operações básicas com juros compostos, empregamos as seguintes funções financeiras do Excel: NPER (taxa;pgto;vp;vf;tipo) para determinar n TAXA (nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) para determinar i VP (taxa;per;pgto;vf;tipo) para determinar o PV VF (taxa;nper;pgto;vp;tipo) para determinar o FV 4.5. TERMOS IMPORTANTES Regime de capitalização: é processo de incorporar os juros obtidos ao capital de forma periódica. Temos a capitalização simples e a capitalização composta.

15 Capitalização simples (juros simples): verifica-se quando apenas o capital (valor presente) rende juros. Capitalização composta (juros compostos): verifica-se quando o juro é incorporado ao capital (valor presente), a cada período de tempo a que se referir a taxa de juros, e passa a render juros no período seguinte. Valor presente ou capital (VP): é o valor atual da operação financeira, representando o recurso que será investido ou emprestado em determinada data. Valor futuro ou montante (VF): é o valor acumulado da operação financeira resultante do valor presente mais os juros obtidos até o final do período estipulado. Tempo ou período de capitalização (n): é o prazo, em determinada unidade de tempo (dias, meses, anos etc.) da operação financeira, usualmente expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa de juros. Taxa de juros (i): é a unidade de medida dos juros resultantes da relação entre o valor da remuneração recebida ou paga e o valor do recurso investido ou emprestado durante um determinado período numa operação financeira. Taxas equivalentes: no regime de juros compostos, taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas sobre o mesmo valor presente, durante um mesmo período, produzem juros e valores futuros iguais, mesmo expressas em diferentes unidades de tempo.