INSTITUTO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO IBE METEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

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1 INSTITUTO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO IBE METEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS Aluno: Adilson Reis Pinto de Sousa Especialização em Matemática Financeira e Estatística CAXIAS MA JUNHO DE 2017

2 2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 3 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (SFA)... 4 Principais Características... 4 Sistema Francês (carência + juros compensatórios)... 5 Sistema Francês (carência + saldo devedor)... 6 Sistema Price de Amortização ou (Tabela Price)... 7 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)... 7 Sistema SAC (carência + juros compensatórios)... 8 Sistema SAC (carência + saldo devedor corrigido)... 9 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) Sistema Americano (carência + saldo devedor corrigido) CONCLUSÃO...16 BIBLIOGRAFIA...17

3 3 INTRODUÇÃO Neste trabalho, abordaremos as metodologias de vários sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos, e, ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou seja, as prestações que mudam a cada período do empréstimo ou financiamento. A metodologia baseia-se em um estudo de caso onde é demonstrado uma forma simples de ensinar e divulgar os sistemas de amortizações por meio de um mini curso. Empréstimo Recuso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto à sua finalidade, exige-se apenas uma garantia de devolução dos recursos financeiros emprestados. Ex.: cheque especial e CDC. Financiamento Recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado quanto à sua finalidade, existindo sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à liberação dos recursos financeiros financiados. Para desenvolvermos as tabelas / planilhas de amortização, utilizaremos as seguintes nomenclaturas e fórmulas: Saldo Devedor É o Valor nominal do empréstimo ou financiamento, ou simplesmente o valor presente (PV) na data focal 0 (zero), que é diminuído da parcela de amortização a cada período (n); Fórmula nº 64 SD n =SD (anterior) -PA n Amortização Parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento; Fórmula nº 63 PA n = PMT-J Juros Compensatórios É o valor calculado a partir do saldo devedor e posteriormente somado á parcela de amortização; Fórmula nº 4 J = PV x i x n Prestação É o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela de amortização mais juros compensatórios. De forma objetiva, o trabalho exposto visa também a ensinar eventuais pessoas e alunos de Matemática Financeira a lidar com sistemas de amortização de forma simples, didaticamente fácil e coerente considerando que a grande maioria das pessoas tem dificuldades em assimilar os conteúdos da disciplina assim os usuários e estudiosos terão a oportunidade de verificar que estudar matemática Financeira não é tão difícil como se imagina.

4 4 SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (SFA) Este sistema consiste no pagamento de empréstimos ou financiamentos com prestações iguais e com periodicidade constante. É considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral. Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em prestações (PMT) iguais, constituídas de duas parcelas de amortização e juros compensatórios (J), que variam inversamente, ou seja, enquanto as parcelas de amortização diminuem ao longo do tempo, os juros aumentam. Principais Características A prestação é constante durante todo o período de financiamento; A parcela de amortização aumenta a cada período(n); Os juros compensatórios diminuem a cada período(n). Exemplo: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. PV = R$ ,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT =? Primeiro calculamos o valor da prestação (PMT) do financiamento. Fórmula nº 38 PMT = PV _(1 + i) n x i _ (1 + i) n - 1 PMT = _(1,1) 5 x 0,1 PMT = 2.637,97 (1,1) 5 1

5 5 Planilha de financiamento: SD n =SD (anterior) -PA n PA n = PMT-J J = PV x i x n PMT = PA n + J ,00 0,00 0,00 0, , , , , ,77 836, , , ,94 656, , , ,14 457, ,97 5 0, ,15 239, , , , ,85 Sistema Francês (carência + juros compensatórios) Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência apenas o pagamento dos juros compensatórios. Exemplo: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. PV = ,00 n = 5 meses c = 2 meses i = 10% ao mês PMT =? PMT = PV _(1 + i) n x i _ (1 + i) n - 1 PMT = _(1,1) 5 x 0,1 PMT = 2.637,97 (1,1) 5 1 Planilha de financiamento SD n =SD (anterior) -PA n PA n = PMT-J J = PV x i x n PMT = PA n + J ,00 0,00 0,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, ,00 0, , , , , ,77 836, , , ,94 656, , , ,14 457, ,97 7 0, ,15 239, , , , ,85

6 6 Sistema Francês (carência + saldo devedor) Neste caso não se paga juros compensatórios, na verdade os juros são acrescidos ao saldo devedor com base no regime de capitalização composta, e, na seqüência, calcula-se a prestação com base no conceito de uma série uniforme de pagamento postecipada. Exemplo: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento de juros durante o período de carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor, calculado pelo Sistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Atualizando o saldo devedor durante a carência: Período 1: Saldo devedor = x 1,1 = R$ ,00 Período 2: Saldo devedor = x 1,1 = R$ ,00 Cálculo da PMT: PV = ,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT =? PMT = PV _(1 + i) n x i _ (1 + i) n - 1 PMT = _(1,1) 5 x 0,1 PMT = 3.191,95 (1,1) 5 1 Planilha de financiamento SD n =SD (anterior) -PA n PA n = PMT-J J = PV x i x n PMT = PA n + J , , , , , , , , , , , ,16 793, , , ,97 553, ,95 7 0, ,77 290, , , , ,75

7 7 Sistema Price de Amortização ou (Tabela Price) O Sistema Price de Amortização (Tabela Price), é uma derivação do Sistema Francês de Amortização, diferenciando-se apenas nos seguintes pontos: A taxa é apresentada em termos nominais e normalmente é apresentada ao ano; O período do financiamento normalmente é menor do que o tempo da taxa, quase sempre é dado ao mês; Para transformar as taxas, usa-se o critério da proporcionalidade. Exemplo: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com a taxa de 12% ao ano, para ser pago em 7 pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização ou Tabela Price. Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. PV = R$ ,00 i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao mês) n = 7 meses PMT = PV _(1 + i) n x i _ (1 + i) n - 1 PMT = _(1,01) 7 x 0,01 PMT = 1.486,28 (1,01) 7 1 Planilha de financiamento SD n =SD (anterior) -PA n PA n = PMT-J J = PV x i x n PMT = PA n + J ,00 0,00 0,00 0, , ,28 100, , , ,14 86, , , ,14 72, , , ,29 57, , , ,57 43, , , ,99 29, ,28 7 0, ,56 14, , ,97 403, ,96 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) As parcelas de amortização (PA n ) serão constantes durante o período das amortizações, constituídas de duas parcelas: amortização e juros.enquanto a amortização

8 8 permanece constante ao longo dos períodos (n), os juros dos períodos são uniformemente decrescentes. Exemplo: um banco empresta o valor de R$ ,0, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. PV = ,00 i = 10% ao mês n = 5 meses PMT =? Cálculo da parcela de amortização: PA n = VP ou SD n n PA n = PA n = R$ 2.000,00 5 Planilha de financiamento SD n =SD (anterior) -PA n PA n = PV/n J = PV x i x n PMT = PA n + J ,00 0,00 0, , , , , , ,00 800, , , ,00 600, , , ,00 400, ,00 5 0, ,00 200, , , , ,00 Sistema SAC (carência + juros compensatórios) Não há parcela de amortização durante o período de carência, apenas o pagamento dos juros compensatórios. Exemplo: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

9 9 PV = ,00 n = 5 meses i = 10% ao mês c = 2 meses PMT =? Planilha de financiamento SD n =SD (anterior) -PA n PA n = PV/n J = PV x i x n PMT = PA n + J ,00 0,00 0,00 0, ,00 0, , ,00 0, , , , , , , , , , , , , ,00 7 0, , , , , ,00 Sistema SAC (carência + saldo devedor corrigido) Durante o período de carência, não se paga juros compensatórios, os juros serão acrescidos ao saldo devedor durante esse período pelo regime de capitalização composta. Calculando-se a prestação com base no conceito de uma série de pagamento uniforme postecipada. Exemplo: um banco empresta o valor de R$ ,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento de juros durante o período de carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor, calculado pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. Atualizando o saldo devedor durante a carência: Período 1: Saldo devedor = x 1,1 = R$ ,00 Período 2: Saldo devedor = x 1,1 = R$ ,00 PV = ,00

10 10 n = 5 meses i = 10% ao mês c = 2 meses PMT =? Cálculo da parcela de amortização: PA n = VP ou SD n n PA n = PA n = R$ 2.420,00 5 Planilha de financiamento SD n =SD (anterior) -PA n PA n = PV/n J = PV x i x n PMT = PA n + J ,00 0,00 0, ,00 0,00 0,00 0, ,00 0,00 0,00 0, , , , , , ,00 968, , , ,00 726, , , ,00 484, ,00 7 0, ,00 242, , , , ,00 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Este sistema foi originalmente desenvolvido para atender o Sistema Financeiro de Habitação (SFH). O financiamento é pago em prestações uniformemente decrescentes, constituídas de duas parcelas: amortização e juros, que correspondem à média aritmética das respectivas prestações do SFA e do SAC. Enquanto as amortizações são crescentes ao longo dos períodos (n), os juros dos períodos são decrescentes. Exemplo: Um banco empresta o valor de R$ ,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Mista (SAM). Pede-se: Elaborar planilha de financiamento. Inicialmente, consideramos as planilhas dos exemplos anteriores do SFA e do SAC:

11 11 SFA n SAC n Saldo devedor Amortização Juros Prestação SD n =SD (anterior) -PA n PA n = PMT-J J = PV x i x n PMT = PA n + J ,00 0,00 0, , , , , , ,77 836, , , ,94 656, , , ,14 457, ,97 5 0, ,15 239, , , , ,85 Saldo devedor Amortização Juros Prestação SD n =SD (anterior) -PA n PA n = PV/n J = PV x i x n PMT = PA n + J ,00 0,00 0, , , , , , ,00 800, , , ,00 600, , , ,00 400, ,00 5 0, ,00 200, , , , ,00 Planilha de financiamento SAM SD n =SD SFA +SD SAC PA n = PA SFA +PA n J = J SFA + J SAC PMT=PMT SFA + PMT SAC ,00 0,00 0, , , , , , ,89 818, , , ,97 628, , , ,07 428, ,99 5 0, ,08 219, , , , ,93

12 12 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) O sistema SACRE foi desenvolvido pela Caixa Econômica Federal (CEF) com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se, simultaneamente, a parcela de juros sobre o saldo devedor. Neste sistema as prestações mensais são calculadas com base no saldo devedor existente no inicio de cada período de 12 meses. Assim sendo o valor das 2 prestações iniciais é calculado da mesma forma como se obtém o valor da primeira prestação do Sistema de Amortização Constante SAC. Nos processo de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação SFH, ambos podem gerar saldo residual. Saldo residual é o valor remanescente no fim do prazo contratado, decorrente da evolução do financiamento. Quando ele é negativo significa que a dívida foi liquidada e o mutuário terá direito à devolução daquele valor. Quando positivo, o mutuário deve fazer o pagamento para que a dívida seja liquidada. A metodologia do cálculo deverá se feita da seguinte forma: a) divide-se o valor do empréstimo pelo número de prestações do financiamento, obtendose assim o valor da parcela de amortização (PA n ); b) multiplica-se a taxa mensal de juros pelo valor do empréstimo, obtendo-se o valor dos juros compensatórios (J n ) da primeira prestação (PMT); c) soma-se a parcela dos juros compensatórios (J n ) com a parcela de amortização (PA n ); d) após o pagamento das 12 prestações iniciais, divide-se o saldo devedor remanescente pelo número de prestações a vencer. Exemplo: Um imóvel no valor de R$ ,00 é financiado em 180 prestações, sabendose que a taxa de juros é de 12% ao ano, e que o saldo devedor será corrigido pela TR Taxa Referencial (projetada) de 1% ao mês durante todo o período do contrato. Adotou-se o Sistema SACRE para calcular a amortização da dívida. Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento para as 25 primeiras prestações. PV = ,00 i = 12% ao ano, equivalente a 0,948879% ao mês

13 13 TR = 1% ao mês n = 180 Cálculo das prestações (PMT): - 12 primeiras prestações: PA n = / 180 = R$ 194,44 J = x 0, = R$ 332,11 Valor da PMT 1 = R$ 526,55-12 prestações seguintes (13ª à 24ª): PA n = ,59 / 168 = R$ 220,99 J = ,89 x 0, = R$ 352,28 Valor da PMT 2 = R$ 573,27-12 prestações seguintes (25ª à 36ª): PA n = ,77 / 156 = R$ 251,18 J = ,77 x 0, = R$ 371,80 Valor da PMT 3 = R$ 622,98

14 14 Planilha de financiamento SACRE último passo 4º passo 3º passo 2º passo 1º passo n Saldo devedor Saldo devedor Amortização Juros Prestação SD n =SD (corrigido) -PA n (SD anterior ) x TR PA n = PMT - J J = PV x i x n (PA n /n)+(pa n xi) , ,00 191,12 335,43 526, , ,47 189,60 336,95 526, , ,08 188,05 338,50 526, , ,89 186,46 340,09 526, , ,97 184,85 341,70 526, , ,38 183,20 343,35 526, , ,19 181,53 345,02 526, , ,46 179,82 346,73 526, , ,26 178,07 348,48 526, , ,66 176,29 350,26 526, , ,73 174,48 352,07 526, , ,55 172,63 353,92 526, , ,17 217,47 355,80 573, , ,50 215,99 357,28 573, , ,87 214,49 358,78 573, , ,35 212,96 360,31 573, , ,98 211,40 361,87 573, , ,84 209,80 363,47 573, , ,99 208,18 365,09 573, , ,49 206,52 366,75 573, , ,41 204,84 368,43 573, , ,81 203,11 370,16 573, , ,76 201,36 371,91 573, , ,33 199,57 373,70 573, , ,60 247,46 375,52 622,98 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) Neste tipo, o valor principal (VP) do empréstimo ou financiamento é devolvido de uma única vez, sendo os juros compensatórios (J n ) pagos durante os períodos (n) da carência ou juntamente com o valor principal. Exemplo: Um banco empresta a importância de R$ ,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser paga em uma única parcela, porém, devendo os juros compensatórios serem pagos mensalmente durante o prazo da carência, calculados pelo Sistema de Amortização Americano (SAA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

15 15 PV = ,00 n = 5 meses i = 10% ao mês Planilha de financiamento SD n =SD (anterior) -PA n PA n = PMT-J J = PV x i x n PMT = PA n + J , , , , , , , ,00 5 0, , , , , , ,00 Sistema Americano (carência + saldo devedor corrigido) neste sistema, o valor principal será amortizado com os juros compensatórios no último período, sendo que os juros serão periodicamente incorporados ao saldo devedor. Exemplo: Um banco empresta a importância de R$ ,00, com a taxa de 10% ao mês, para ser para em uma única parcela, porém, devendo os juros compensatórios ser incorporados mensalmente ao saldo durante o prazo de carência, calculados pelo Sistema de Amortização Americano (SAA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento. PV = ,00 i = 10% ao mês n = 5 meses PMT =?

16 16 Planilha de financiamento SD n =SD (anterior) x i PA n J = PMT - PA n PMT = SD anterior x i , , , , , , , , , , , , , ,10 CONCLUSÃO O trabalho foi desenvolvido de forma a facilitar o entendimento das pessoas e alunos que se interessam pela Matemática Financeira cuja amostragem se baseia em um estudo que demonstra aos alunos ou qualquer pessoa que se interesse pelo tema, normalmente estigmatizado como de difícil compreensão, que na verdade é muito simples se aprender Matemática Financeira, para tanto é só torna-la simples e ter um pouco de dedicação. Tendo como base os diversos Sistemas de Amortização a ideia e colocar de forma objetiva quais são esses Sistemas, dando dessa forma uma noção geral do que vem a ser amortizações em processos de financiamento e/ou investimentos os quais os usuários tem duas condições básica quanto se trata de movimentação financeira: ou é ativo, emprestador de dinheiro, ou é passivo, quando toma dinheiro emprestado. O conhecimento em Matemática Financeira tem sido muito procurado no presente considerando que os consumidores, que usam crédito cada vez mais, estão atentos aos seus escassos recursos e as aquisições a prazo normalmente escondem armadilhas que reduzem a sua renda final ao longo de suaves prestações. Assim, muitos consumidores começam a fazerem contas e ao perceber que as taxas embutidas são muito onerosas, se utilizam da Matemática Financeira para dimensionarem o tamanho dos juros cobrados. Por fim, foi com esse fim que ao longo de alguns exemplos foi demonstrado à forma de como processar as tabelas e demonstrar respectivas equações que se cumpre o objetivo deste trabalho.

17 17 BIBLIOGRAFIA ABREU, P. F. S. P. e STEPHAN, C., Análise de Investimentos, Rio de Janeiro, Editora Campus,, ASSAF NETO, A., Matemática Financeira e suas Aplicações, São Paulo, Editora Atlas, COSTA, P. H. S. e ATTIE, E. V., Análise de Projetos de Investimento, Rio de Janeiro, Fundação Getúlio Vargas, EHRLICH, P.T., Engenharia Econômica, São Paulo, Ed. Atlas, FLEISCHER, G. A., Teoria da Aplicação do Capital: Um Estudo das Decisões de Investimento, São Paulo, Ed. Edgard Blücher, HIRSCHFELD, H., Engenharia Econômica, São Paulo, Atlas, KUHNEN, O. L. e BAUER, U. R., Matemática Financeira Aplicada e Análise de Investimentos, São Paulo, Editora Atlas, LAPPONI, J. C., Matemática Financeira usando EXCEL, São Paulo, Lapponi Treinamento e Editora, LAPPONI, J. C., Avaliação de Projetos de Investimento, São Paulo, Lapponi Treinamento e Editora, MATHIAS, W. F. e GOMES, J. M., Matemática Financeira, São Paulo, Atlas, OLIVEIRA, J. A. N., Engenharia Econômica: Uma Abordagem às Decisões de Investimento, São Paulo, Mc Graw-Hill do Brasil, PUCCINI, A. L., Matemática Financeira Objetiva e Aplicada, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1995.