5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

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1 Unidade II Unidade II Na unidade I, estudamos as aplicações básicas em Matemática Financeira; agora, vamos aplicar os conceitos já estudados nos modelos de amortização. 5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do valor principal e encargos financeiros. 5.1 Sistema Financeiro da Habitação (SFH) Criado em 1964, com o objetivo de viabilizar a concessão de financiamentos de longo prazo para aquisição da casa própria, o Sistema Financeiro da Habitação é composto por um complexo conjunto de leis e regras próprias que definem as condições da concessão do financiamento em cada época. A concessão de um financiamento habitacional inicia-se com a procura, pelos interessados, de um agente financeiro. Os recursos para esse empréstimo podem ser oriundos das contas vinculadas do FGTS, Fundo de Garantia do Tempo de Serviço, do SBPE, Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo e demais fundos ou mesmo recursos próprios do agente financeiro. A hipoteca do imóvel é a garantia do financiamento. Na vigência desse sistema (SFH), foram criados planos e formas de reajuste de prestações, com benefícios aos tomadores, causando o descasamento entre saldo e prestação, o que gerou um grande déficit a ser coberto pelo FCVS, Fundo de Compensação de Variações Salariais. Há várias maneiras de amortizar uma dívida. É imprescindível, em cada operação, que as partes estabeleçam contrato para esclarecimento das formas, taxas e afins para o acerto da antecipação do montante e quitação da dívida. Uma característica fundamental dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em período imediatamente anterior. Para cada sistema de amortização, é construída uma planilha financeira que relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos. São consideradas também, no SFH, modalidades de pagamento com e sem carência. 70

2 MATEMÁTICA FINANCEIRA Observação Na carência, não há pagamento do valor principal, sendo pagos somente os juros, que podem eventualmente ser capitalizados durante esse período. Os sistemas de amortização mais usados no mercado são: Sistema de Amortização Constante SAC; Sistema de Amortização Francês (Price) SAF; Sistema de Amortização Misto SAM; Sistema de Amortização Americano SAA; Sistema de Amortização Crescente Sacre; Sistema de Amortização Variável (parcelas intermediárias). Saiba mais Você pode aprofundar o seu conhecimento sobre o SFH, Sistema Financeiro Habitacional, consultando o site do Banco Central: < Definições básicas Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam da forma pela qual o valor principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor. Antes de estudá-los, é importante definirmos os principais termos empregados nas operações de empréstimos e financiamentos. Encargos financeiros: representam os juros da operação, caracterizados como custo para o devedor e retorno para o credor. Eles podem ser prefixados ou pós-fixados. O que distingue essas duas modalidades é a correção (indexação) da dívida em função de uma expectativa (prefixação) ou verificação posterior (pós-fixação) do comportamento de determinado indexador. Nas operações pós-fixadas, há um desmembramento dos encargos financeiros em juros e correção monetária (ou variação cambial, no caso de a dívida ser expressa em moeda estrangeira) que vier a se verificar no futuro; nas prefixadas, estipula-se uma taxa única, a qual incorpora evidentemente uma 71

3 Unidade II expectativa inflacionária para todo o horizonte de tempo. Dessa forma, para uma operação pós-fixada, a taxa de juros contratada é aquela definida como real, isto é, situada acima do índice de inflação verificado no período. Além do encargo real da taxa de juros, as operações pós-fixadas preveem também a correção monetária (ou variação cambial) do saldo devedor da dívida, o que representa normalmente a recuperação da perda de valor do capital emprestado e ainda não restituído, situação gerada pela desvalorização perante a inflação. Nas operações prefixadas, os encargos financeiros são medidos por uma única taxa, que engloba os juros exigidos pelo emprestador e a expectativa inflacionária (correção monetária) para o período em vigência. Segundo Rovina (2009, pp ), alguns termos são muito importantes dentro do estudo da capitalização. São eles: Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida em um determinado período (data). É representada pela variável A. Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos, sendo composto de uma parcela de capital chamada amortização e uma parcela de juros. É representada por PMT (abreviatura de payment, que significa pagamento), nomenclatura aqui utilizada em função de ser a representação mais comum na maioria das calculadoras financeiras. Matematicamente, podemos agora descrever: Prestação = Amortização + Juros. PMT = A + INT Carência: significa a postergação só do valor principal, excluídos os juros. Os encargos financeiros podem, dependendo das condições contratuais, ser pagos ou não durante essa etapa. No primeiro caso, eles são capitalizados e pagos junto à primeira parcela de amortização do valor principal ou distribuídos por várias datas pactuadas de pagamento. Contudo, é mais comum o segundo caso: serem pagos no período de carência. Exemplo: ao tomar um empréstimo por 4 anos, a ser restituído em prestações trimestrais, o primeiro pagamento ocorrerá normalmente 3 meses (um trimestre) após a liberação dos recursos, vencendo os demais ao final de cada um dos trimestres subsequentes. Pode ocorrer um deferimento (carência) quanto ao pagamento da primeira prestação, iniciando 9 meses após o recebimento do capital emprestado. Nesse caso, diz-se que a carência corresponde a 2 trimestres, ou seja, ao prazo verificado entre a data convencional de início de pagamento (final do primeiro trimestre) e a do final do 9º mês. Vejamos, por fim, as características dos sistemas de financiamento habitacional: 72

4 MATEMÁTICA FINANCEIRA são basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo amortizações periódicas do valor principal e encargos financeiros (juros da operação); utilizam exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior; obedecem certa padronização, tanto nos desembolsos quanto nos reembolsos; podem ter ou não carência; quando têm, normalmente são pagos os juros. Temos ainda os conceitos de saldo devedor. Este é o elemento principal da dívida em um momento em que se tem deduzido o valor pago ao credor a título de amortização e de carência (que é uma diferenciação da data convencional do início dos pagamentos). 5.3 Sistema de Amortização Constante (SAC) O Sistema de Amortização Constante tem como característica básica as amortizações sempre iguais do valor principal, em todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante a divisão do capital (quantia emprestada) pelo número de prestações. Nessa modalidade, os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos. Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética. Lembrete Para o cálculo da amortização no SAC, é importante lembrar que: o capital da operação é dividido pelo número de parcelas; os juros incidem sempre sobre o saldo devedor. Para sua melhor compreensão, exploremos agora um exemplo. Trata-se de empréstimo de R$ ,00, concedido dentro de um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações semestrais. Desconsidere a existência de um prazo de carência. Foram considerados juros de 7% a.s. Devemos desenvolver uma planilha que mostre o desenrolar das prestações e dos juros. 73

5 Unidade II Tabela 6 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 700, , ,00 350, ,00 Total , , ,00 O SAC determina que a restituição do valor principal (capital emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o valor de cada amortização devida semestralmente é calculado pela simples divisão do valor principal pelo número fixado de prestações, ou seja: Amortização = valor do empréstimo / número de prestações , 00 Amortização = = , Amortização = 5.000,00 ao semestre Observação Note que, no período 0 (zero), não há amortização, pois é o momento em que ocorre o empréstimo. 74

6 MATEMÁTICA FINANCEIRA Os pagamentos desses valores determinam decréscimos iguais e constantes no saldo devedor em cada um dos períodos, ocasionando reduções nos valores semestrais dos juros e das prestações, como observamos na tabela. Nesse exemplo, o cálculo de juros foi realizado como é mais comum nessas operações de crédito de médio e longo prazos: com a taxa equivalente composta. Assim, para uma taxa equivalente nominal de 30% ao ano, conforme a taxa equivalente semestral, os juros atingem 7% a.s. Vejamos. Taxa equivalente semestral de 14,49% a.a. = , 1 = 1,07 1 = 0,07. Como é taxa devemos multiplicar por 100, resultando em 7% a.s. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior, apresentam valores aritmeticamente decrescentes, conforme são apurados na penúltima coluna da tabela exemplificada anteriormente. Ao final do primeiro semestre, os encargos financeiros correspondem a: 7% x ,00 = R$ 7.000,00; ao final do segundo semestre: 7% x = R$ 6.650,00; ao final do terceiro semestre: 7% x = R$ 6.300,00; e assim por diante. Lembrete Para calcular os juros, considera-se sempre o saldo devedor do período anterior. Por exemplo, se desejamos calcular os juros do período 1, consideramos saldo devedor do período zero, se juros do período 2, consideramos saldo devedor do período 1. Soma-se, em cada período, o valor da prestação semestral do financiamento. Assim, para o primeiro semestre, a prestação atinge: R$ 5.000,00 + R$ 7.000,00 = R$ ,00; para o segundo semestre: R$ 5.000,00 + R$ 6.650,00 = R$ ,00. O mesmo processo foi realizado até o último período. Pode ser observado, uma vez mais, que a diminuição de R$ 350,00 no valor dos juros em cada período é explicada pelo fato de as amortizações (fixas) reduzirem semestralmente o saldo devedor da dívida (base de cálculo dos juros) em R$ 5.000, Expressões de cálculo do SAC São desenvolvidas, a seguir, as expressões genéricas de cálculo de cada parcela da planilha do sistema de amortização constante. Amortização (Amort): os valores são sempre iguais e obtidos por: Amort = PV n PV = principal (valor do financiamento) n = número de prestações. 75

7 Unidade II Logo, PV n Amort 1 = Amort 2 = Amort 3 Amort n PV n Amort 1 + Amort 2 + Amort Amort n Saldo devedor (SD): é decrescente em PA (progressão aritmética) pelo valor constante da amortização. Logo, a redução periódica do SD equivale a subtrair, do seu valor anterior, a amortização (PV/n) do período atual: SD = PV n Juros (J): pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente ao longo do tempo, comportando-se como uma PA decrescente. A expressão de cálculo dos juros é então esta: J PV = ( n n t + ) i 1 1 Prestação (PMT): é a soma da amortização com juros e encargos administrativos que deve ser analisada em cada situação de empréstimo com a instituição financeira. PMT = Amort + J (não consideraremos encargos administrativos nesse modelo). Algebricamente, a prestação é, portanto, assim expressa: PV PMT = [ 1+ ( n t+ 1) i] n Vejamos um exemplo de cálculo de prestação no sistema SAC. Um capital de R$ ,00 financiado em 5 anos, com taxa de juros de 30% ao ano terá, pelo SAC, a prestação do 5º semestre de que valor? Legenda: PV = n = 5 anos = 10 semestres i = 30% ao ano. Transformando-a em taxa semestral: = 1, = 0, x 100 = 14,0175% a.s. 76

8 MATEMÁTICA FINANCEIRA Fórmula: PV PMT = 1+ ( n t+ 1) i n Substituindo: [ ] PMT 5 = 1+ ( ) , 10 PMT PMT 5 5 [ ] = , = , 50 [ ] Vejamos a representação do cálculo na tabela em seguida: Tabela 7 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,75 Total , , ,25 Lembrete Veja que podemos obter os valores das prestações do SAC, de qualquer período, pela fórmula a seguir ou pela tabela apontada. PV PMT = 1+ ( n t+ 1) i n [ ] 77

9 Unidade II 5.5 SAC com carência A ilustração desenvolvida na tabela anterior não previu existência de prazo de carência para a amortização do empréstimo. Ao supor uma carência de dois anos (contada a partir do final do primeiro semestre), por exemplo, três situações podem ocorrer: a) os juros são pagos durante a carência; b) os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização; c) os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor, gerando um fluxo de amortizações de maior valor. Lembrete Carência é o prazo concedido nas operações de financiamento em que o credor não paga ou não amortiza o valor principal da dívida contraída. Vejamos, em seguida, um caso em que a tabela demonstra uma situação em que os juros são pagos durante a carência estipulada. Exemplo 1. Ao final dos 4 primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos financeiros, atinge R$ ,50, ou seja, 14,0175% x R$ ,00. A partir do 5º semestre, tendo sido encerrada a carência de 2 anos, inicia-se a amortização do valor principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, desse momento em diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente: Tabela 8 SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros Período/semestre Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,75 Total , , ,25 78

10 MATEMÁTICA FINANCEIRA Vejamos agora como fica a tabela, com relação ao mesmo exemplo, para o caso de carência e capitalização de juros. Tabela 9 SAC com carência (2 anos) e capitalização dos juros Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,93 Total , , ,22 A tabela ilustra o plano de amortização da dívida na hipótese de os juros não serem pagos durante a carência. Nesse caso, os encargos são capitalizados segundo o critério de juros compostos e devidos integralmente quando do vencimento da primeira parcela de amortização. Quando uma loja de móveis ou outra qualquer faz financiamento de um produto, e o pagamento inicia-se após 3 ou 4 meses, aplica-se o mesmo conceito aqui estudado. Vejamos isso com o exemplo a seguir. Exemplo 2. Um banco concede um financiamento de R$ ,00 para ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo SAC. A operação é realizada com uma carência de 3 meses, sendo pagos somente os juros nesse período. Considerando uma taxa efetiva de juros de 2,5% ao mês, elabore a planilha de desembolsos desse financiamento. 79

11 Unidade II Tabela 10 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,50 Total , , ,00 Observe, no período 1, que o valor pago como prestação é apenas aquele equivalente aos juros: R$ ,00. Note ainda que a amortização só começa a acontecer depois do prazo de PV carência, ou seja, no 4º mês. Lembre que: Amort = ; no caso: /8 = , ou seja: valor doemprestimo n. Portanto, a prestação de cada período equivale à soma: juros + amortização. numero deparcelas Exemplo 3. Um banco concede um financiamento de R$ ,00 para ser liquidado em 10 anos, mediante SAC. Considerando uma taxa efetiva de juros de 25% a.a., elabore a planilha de desembolsos desse financiamento. Observação Ignora-se a carência quando não mencionada no problema. Nesse caso, a amortização já começa então no 1º mês. Lembremos da fórmula: amortização = valor doemprestimo numero deparcelas Temos então = = ,

12 MATEMÁTICA FINANCEIRA Tabela 11 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 Total , , SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS O Sistema de Amortização Francês (SAF), desenvolvido originalmente pelo inglês Richard Price, assumiu essa denominação pelo seu uso amplamente generalizado na França no século passado. Amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula que as prestações sejam iguais, periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras palavras, ao modelo de fluxos de caixa. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. No SAF, os juros decrescem, e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação. É importante, então, que o aluno veja as principais diferenças entre o SAC e o SAF, pois os valores pagos ao final do período de cada um deles são diferentes. Para exemplificar, a planilha financeira do SAC é mais bem elaborada partindo-se da última coluna para a primeira, isto é, calculam-se inicialmente as prestações e, posteriormente, para cada período, os juros, as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor. Da mesma forma em que ocorre com o SAC, o SAF pode ser realizado com ou sem carência, capitalizando ou não os juros durante a carência. Exemplo 1 - SAF sem carência. Consideremos a mesma situação de exemplos já citados: financiamento de R$ ,00, com prazo de pagamento de 10 semestres, com taxas de 14,01755% ao semestre. 81

13 Unidade II Tabela 12 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , ,06 R$5.166, ,50 R$19.184, ,84 R$5.891, ,22 R$19.184, ,83 R$6.717, ,42 R$19.184, ,25 R$7.658, ,87 R$19.184, ,14 R$8.732, ,32 R$19.184, ,00 R$9.956, ,30 R$19.184, ,26 R$11.351, ,70 R$19.184, ,28 R$12.942, ,47 R$19.184, ,03 R$14.757, ,19 R$19.184, ,18 R$16.825, ,59 R$19.184,44 R$99.999, ,58 R$ ,40 As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da fórmula de valor presente: PV = PMT x FPV (i,n) PV = valor presente PMT = valor da prestação periódica, igual e sucessiva FPV = fator de valor presente, sendo: 1 i FPV = ( 1 + ) n i Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se: 1 (, ) , 00 = PMT 0, (, ) = PMT 0, , = PMT 0, = PMT 5, PMT= =., /, semestre 82

14 MATEMÁTICA FINANCEIRA Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em cada um dos períodos. Assim, para o primeiro semestre, têm-se: Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior): 14,0175% x ,00 = R$ ,50. Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e dos juros acumulados para o período): R$19.184,40 R$ ,50 = R$5.166,90. Saldo devedor (saldo anterior no momento zero parcela de amortização do semestre): R$ ,00 R$ 5.166,90 = R$94.833,10. Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes: Juros: 14,0175% x R$94.833,70 = R$13.293,20. Amortização: R$ ,40 R$ ,20 = R$ 5.891,20. Saldo devedor: R$ ,10 R$ 5.891,20 = R$ ,90, e assim por diante. 6.1 Expressões de cálculo do SAF No SAF, as prestações são constantes, os juros, decrescentes e as amortizações, exponencialmente crescentes ao longo do tempo. As expressões básicas de cálculo desses valores são desenvolvidas a seguir. Amortização (Amort): é obtida pela diferença entre o valor da prestação e os juros: Amort = PMT J A amortização do primeiro período é assim expressa: Amort 1 = PMT J 1, o que equivale a: Amort 1 = PMT (PV x i). Como o seu crescimento é exponencial no tempo, o valor da amortização num momento t qualquer é calculado desta forma: Amort1 = Amort1 x (1 + i) t-1 Por exemplo, o valor da amortização no 4º semestre atinge: Amort4 = 5.166,90 x (1 + 0,140175) 4 1 Amort4 = 7.658,60 (valores arredondados) 83

15 Unidade II Prestação (PMT): conforme demonstrado, o valor da prestação é calculado mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelo padronizado para fluxos de caixa: 1 PMT= PV FPV (, in ) Onde: 1 ( i) FPV(, in) = 1 + i n Vale salientar que os cálculos das prestações foram realizados em exemplos anteriores. Saldo devedor (SD): para cada período, é calculado pela diferença entre o valor devido no início do intervalo de tempo e a amortização do período. Logo, para uma dada taxa de juros, o saldo devedor de qualquer período é assim apurado: SD t = PMT x FPV (i, n t) n t 1 ( 1+ i) ( ) SD = PMT i Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre do financiamento atinge: + SD = ( 1 0,., ) 0, ( 10 6) SD = , 44 04, , SD = , 44 2, SD = , 88 Cumpre observar que, nas planilhas, o resultado pode ocorrer com pequenas diferenças nos centavos. No nosso caso não consideramos arredondamentos, pois as tabelas foram desenvolvidas no Excel. Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final de cada período imediatamente anterior). A expressão de cálculo de juros pode ser ilustrada desta forma:

16 MATEMÁTICA FINANCEIRA J 1 = SD 0 x i = PV x i J 2 = SD 1 x i = (PV Amort) x i J 3 = SD 2 x I = (PV Amort1 Amort2 ) x i E assim, sucessivamente. 6.2 SAF com carência De modo idêntico aos demais sistemas, no SAF, podem-se verificar períodos de carência, nos quais, ainda, os encargos financeiros podem ser pagos ou capitalizados. A seguir, ilustramos a situação em que os juros são pagos durante a carência e capitalizados para resgate posterior (juntamente às prestações). Exemplo 1 SAF com carência (2 anos) e pagamentos dos juros. Tabela 13 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,40 Total , , ,00 Observação O cálculo da prestação no 5º período foi realizado com a fórmula vista anteriormente: 85

17 Unidade II 1 PMT= PV FPV (, in ) 1 i Onde FPV in = ( 1 : (, ) + ) i n O sistema francês com carência e pagamento dos juros no período segue basicamente o mesmo esquema anterior (SAF sem carência), diferenciando-se unicamente quanto às prestações dos 4 primeiros semestres (carência). Nesses períodos, são previstos somente pagamentos de R$ ,50 referentes aos juros do valor principal não amortizado (14,0175% x R$ ,00). Observação Para os demais semestres, o raciocínio é idêntico ao formulado anteriormente, apurando-se prestações com valores constantes, juros decrescentes e amortizações crescentes. No quadro SAF com carência, está prevista a capitalização dos juros durante o período de carência de 4 semestres. Somando esse montante ao saldo devedor, tem-se um novo valor ao final do 4º semestre: de R$ ,00, o qual serve de base para o cálculo das prestações com vencimento a partir do 5º semestre, ou seja: saldo devedor (4º semestre) serve de base para o cálculo das prestações após o período de carência (5º semestre): R$ ,00 x (1,140175) 4 = R$ ,00 Prestação (PMT) semestral a ser paga a partir do 5º semestre será: n + 1 ( 1 i) PV = PMT i 86 1 ( 1+ 0, ) = PMT 0, (, ) = PMT 0, (, ) = PMT 0, , = PMT 0, = PMT 5,

18 MATEMÁTICA FINANCEIRA = PMT 5, PMT= = , 5, AO SEMESTRE O preenchimento da planilha financeira a partir do final do período de carência é análogo ao proposto anteriormente. Os valores e 198,999,75 são os mesmos, foram arredondados para facilitar. Vejamos: Tabela 14 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,67 Total , , ,70 Exemplo 2. Um equipamento no valor de R$ ,00 será financiado por um banco pelo prazo de 6 anos. A taxa de juros contratada é de 15% ao ano, e as amortizações anuais são efetuadas pelo SAF, Sistema de Amortização Francês. O banco concede uma carência de 2 anos para o início dos pagamentos, sendo os juros cobrados nesse intervalo. Vamos preencher a tabela: 87

19 Unidade II Tabela 15 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,28 8 0, , , ,28 Total , ,68 Recomendamos ao aluno refazer essas planilhas para treinar o aprendizado, pois o raciocínio matemático se desenvolve com a prática; devemos utilizar os três meios de absorção: audição, visão e sentimento ao aproximarmos os assuntos do nosso dia a dia. 7 TABELA PRICE O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do SAF, Sistema de Amortização Francês. Compreendamos como funciona o Sistema Price com exemplo em seguida, em que consideramos a taxa equivalente semestral de 14,0175 % para o cálculo dos juros (assim como aconteceu nos exemplos usados para o SAC). Exemplo 1 - Sistema Price sem carência: Tabela 16 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,09 88

20 MATEMÁTICA FINANCEIRA , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,31 986, , , ,32 673, , , ,99 345, , , , ,16 Exemplo 2 Empréstimo: R$ ,00 Prazo: 10 anos Taxa: 25% a.a. Usando a fórmula usada para séries de pagamentos iguais com termos postecipados: Observação O termo postecipado significa que o primeiro pagamento será realizado no período seguinte. PMT = PV / FRC (i, n) PMT = ,00 x 0,28007 = R$ ,00 Em que: 1 ( i) FRCin (, ) = 1 + i 1 ( , ) 025, , 025, 10 n 89

21 Unidade II 0, = 3, , PMT = = , 28 5, 5705 Tabela 17 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,26 Total , , ,58 Como o crescimento da amortização é exponencial, o valor dela, em um determinado momento t, é calculado da seguinte forma: Amort t = Amort 1 x (1 + i) t 1 Logo, Amort 6 = 3.007, 00 x (1,25) 5 = 3.007,00 x 3,05176 = 9.176,64 Esse cálculo realizado pode ser desenvolvido para encontrar qualquer período. 7.1 Sistema de amortização misto O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Trata-se simplesmente de uma mescla do Sistema de Amortização Francês (SAF) e do Sistema de Amortização Constante (SAC), por meio de uma média aritmética. Por ser uma mescla entre dois sistemas, recebeu a denominação de sistema misto. Para cada um dos valores do seu plano de pagamentos, devem-se somar aqueles obtidos pelo SAF com os do SAC e dividir o resultado por dois. Ao se adotar o SAM para o empréstimo contraído, têm-se, para o primeiro período (semestre), os seguintes valores: 90

22 MATEMÁTICA FINANCEIRA Tabela 18 SAC Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , ,75 Tabela 19 SAF PMT Juros SAM Amort SD SAM Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , ,06 R$5.166, ,50 R$19.184, ,84 R$5.891, ,22 R$19.184, , , 44 = = , , , 50 = = , , 90 = = , , 10 = , 55 2 SAM SAM = Para os demais semestres, segue-se o mesmo raciocínio, conforme a tabela: Tabela 20 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , ,53 R$7.583,47 R$14.017,50 R$21.600, ,92 R$7.945,61 R$12.954,49 R$20.900, ,41 R$8.358,51 R$11.840,71 R$20.199, ,13 R$8.829,29 R$10.669,06 R$19.498, ,07 R$9.366,06 R$9.431,41 R$18.797, ,00 R$9.978,07 R$8.118,53 R$18.096, ,13 R$10.675,87 R$6.719,85 R$17.395, ,64 R$11.471,49 R$5.223,36 R$16.694, ,01 R$12.378,63 R$3.615,34 R$15.993, ,09 R$13.412,93 R$1.880,17 R$15.293,10 R$99.999, ,41 R$ ,33 91

23 Unidade II 7.2 Comparações entre SAC, SAF e SAM Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização é desenvolvida na tabela a seguir. Tabela 21 Comparação entre SAC, SAF E SAM Sado devedor SAC Amortização Juros Prestação Sado devedor , ,00 SAF Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,75 0, , , ,44 Total , , , , , ,40 Compare os valores com a tabela do sistema amortização mistos, que fizemos na tabela anterior. 7.3 Gráfico de comparação entre SAC, SAF e SAM PMT ($) , , ,40 SAF SAM SAC Período (n) , Figura 12 O ponto em que as retas se cruzam indica valores iguais para as prestações. Calculando-se analiticamente esse ponto de interseção, verifica-se que as prestações se igualam por volta da 4ª 92

24 MATEMÁTICA FINANCEIRA prestação. No SAF, as prestações tornam-se maiores que as determinadas pelos demais sistemas de amortização. Ponto de igualdade das prestações PMTSAF = , 44( constan te) PV PMTSAC = [ 1+ ( n t+ 1) i] n PMTSAC = 1+ ( 10 t + 1) 0, [ ] Igualando PMT SAC e PMT SAF [ 1+ ( 10 t + 1) 0, ]= , [ , 0, t + 0, ]= , , 50 0, t , = , , t = , , 81 t = = 445, 8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital emprestado seja efetuada ao final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez. De acordo com essa característica básica do SAA, não estão previstas amortizações intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente. Exemplo 1 Tabela 22 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,50 Total , , ,00 93

25 Unidade II O exercício a seguir foi baseado em Boggiss (2003), Lapponi (1995) e Puccini (1983). Trata-se de um exercício-padrão, com redação muito próxima ao que geralmente se observa em treinamentos e testes de Matemática Financeira no Brasil. Exemplo 2. Um financiamento para capital de giro no valor de R$ ,00 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 semestres. A taxa de juros contratada é de 10% a.s., sendo adotado o Sistema Americano de Amortização para essa dívida, e os juros pagos semestralmente durante a carência. Calcular o valor de cada prestação mensal. Admita que a taxa de aplicação seja de 4% ao semestre. Calcular os depósitos semestrais que a empresa deve efetuar nesse fundo, de maneira que possa acumular, ao final do prazo de financiamento, um montante igual ao desembolso da amortização exigido. Tabela 23 Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação , , , , , , , , , , , , ,00 Total , , ,00 Para ampliar o exemplo, vamos imaginar que, para facilitar o cumprimento da dívida de R$ ,00 no final do período 4, a empresa decida fazer aplicações mensais para que tenha a quantia no final do período. Assim sendo, quanto deveria aplicar mensalmente? O valor de cada parcela a ser depositada semestralmente no fundo de amortização é de R$ ,00, isto é: FV = , PMT PMT PMT PMT Figura 13 PV = PMT FPV(, in) ( 1+ i) 1 PV = PMT i n 94

26 MATEMÁTICA FINANCEIRA i PMT= PV n ( 1+ i) 1 004, PMT = (, 104) 1 PMT = , Sinking fund ou fundo de amortização Dentro do Sistema de Amortização Americano, costuma-se utilizar um dispositivo denominado sinking fund, ou fundo de amortização, cujo propósito é estocar poupanças periodicamente durante a vigência do empréstimo para, ao final do empréstimo, o montante do fundo igualar-se ao valor da dívida. Lembrete Lembre-se de que a preocupação em formar um fundo desse tipo é a de evitar que o mutuário tenha de desembolsar uma quantia muito grande de dinheiro de uma vez só. Representando matematicamente, se considerarmos: a taxa de juros: i o período: n o montante igual ao principal: S o depósito do período: R o fato de valor presente em séries uniformes postecipadas (valor da tabela): K, surge a seguinte fórmula: R = S / k Por exemplo, se considerarmos um empréstimo de R$ ,00 com uma taxa de juros de 12% ao ano e um prazo de 4 anos, é possível criarmos um fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 10% ao ano. Se: S = R$ ,00 95

27 Unidade II k: a constante para uma taxa de 10% e um período de 4 anos (4,641) R: o valor do depósito anual, temos: R = S/k R = /4, 641 R = ,08 É possível, dessa forma, obtermos a seguinte planilha: Tabela Anos Saldo devedor Depósito Juros , , , , , , , , , , ,08 Total , , Sistema de Amortização Crescente (Sacre) O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado pela Caixa Econômica Federal. Nele utiliza-se a metodologia de amortização constante (SAC anual), mas sem adicionar o valor da TR (Taxa Referencial). Dessa forma, o Sacre proporciona uma amortização variável. Apesar do nome, amortização crescente, ele pode resultar amortizações decrescentes, caso a TR esteja com valor baixo. A intenção desse sistema misto é proporcionar maior amortização do valor emprestado, reduzindo ao mesmo tempo a parcela de juros sobre o saldo devedor. Comparando-o com a Tabela Price, descobrese que a sua prestação inicial pode comprometer até 30% da renda, enquanto na Tabela Price, 25%. O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price as prestações tendem a aumentar sempre, nele, a partir de um momento, as prestações começam a diminuir. Para os cálculos do sistema Sacre, de acordo com a ABC (d.o.) 1, que utilizou dados do SFH, temos os seguintes conceitos: 1 ABC (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE CONSUMIDORES). Cartilha SFH. Disponível em: < cartilha_shf.doc>. Acesso em: 01 dez

28 MATEMÁTICA FINANCEIRA Valor da razão da progressão aritmética (corresponde ao decréscimo das prestações) Valor da primeira prestação: r= b ipv n PMT 1 PV ( 1 b) i ( 1+ i) = n ( 1+ i) 1 n 1 + b ( + i) PV n Valor das prestações no período t (t > 1) PMTt+ 1 = PMTt r Juros na data t J t = i SDt 1 PV = valor do principal PMT1 = valor da primeira prestação b = coeficiente variável por tipo de plano r = razão da progressão (corresponde ao decréscimo do valor das prestações sucessivas). Dependendo do valor de b, o sistema de reembolso pode resultar no Sistema Price (para b = 0) ou no SAC (no caso de b = 1). O denominado Sacre é um caso particular em que b = 0,5. Nesse sistema, devido à ponderação 0,5, o valor das prestações, amortizações, juros e saldos devedores correspondem à média aritmética dos sistemas Price e SAC. 8.3 Custo efetivo Quando é cobrado unicamente juro nas operações de empréstimos e financiamentos, o custo efetivo, qualquer que seja o sistema de amortização adotado, é a própria taxa de juro considerada. Por outro lado, é comum as instituições financeiras cobrarem, além do juro declarado, outros tipos de encargos, tais como: IOC (Imposto sobre Operações de Crédito), comissões, taxas administrativas etc. Essas despesas adicionais devem ser consideradas na planilha de desembolsos financeiros. Exemplo de aplicação Ao longo da unidade, você teve contato com termos das áreas financeira e matemática que correspondem a determinados conceitos. Propomos, por isso, que aprofunde sua compreensão com relação a eles. Tente explicar a seguir com suas próprias palavras o que significa amortização. Caso 97

29 Unidade II necessite, volte ao texto, releia-o e pesquise, em livros e na internet, não só o que o termo significa, mas como os profissionais da área financeira e matemática o utilizam. Saiba mais Para quem gosta de estratégia, a Matemática Financeira é um dos principais exemplos da chamada Teoria dos Jogos. Nesse sentido, recomenda-se assistir ao filme Uma mente brilhante (A beautiful mind), de 2001, com direção de Ron Howard, que aborda a vida de um dos principais autores dessa teoria, o matemático John Nash. Uma interessante crítica a esse filme pode ser encontrada em: < om.br/critic as/ ficha/film e/uma-mente-brilha nte /id/471>. Resumo Chegamos ao fim da unidade II e da nossa disciplina de Matemática Financeira. Você estudou, nesta segunda parte, os sistemas de amortização e mais especificamente os seguintes tópicos: Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos; Sistema de Amortização Constante (SAC); Sistema de Amortização Francês; Sistema de Amortização Americano; Tabela Price; sistema misto; Comparações entre os sistemas de amortização; Sinking fund ou fundo de amortização; Sistema de Amortização Constante (Sacre); Custo efetivo. Parabéns pelo esforço. No entanto, é sempre bom lembrar que você não esgotou todo o conhecimento sobre a Matemática Financeira; esta disciplina é uma introdução. Sempre é necessário estudar mais e se manter atualizado. É muito comum, ao longo do tempo, principalmente se você não aplica constantemente esses conhecimentos, esquecer-se por completo das fórmulas. Contudo, certamente você ainda se lembrará dos conceitos 98

30 MATEMÁTICA FINANCEIRA e suas aplicações, de modo que as fórmulas possam ser relembradas a qualquer momento. O uso de artefatos e dispositivos eletrônicos também ajuda muito nesse sentido. De qualquer forma, aplique sempre esses conceitos de Matemática Financeira. Bom trabalho e bons negócios! Exercícios Questão 1. (AFC/STN/ESAF-2008) Se a CM Correção Monetária for zero, e considerando um empréstimo imobiliário a ser pago em 25 anos com capitalizações mensais, sendo que os juros sobre o saldo devedor de cada mês também serão pagos com (junto) às respectivas parcelas mensais, podemos afirmar que: I. As parcelas de juros são constantes. II. As parcelas de amortização são constantes. III. O saldo devedor é decrescente e linear, financeiramente. Com base no proposto e frente às três sentenças, indicando por V Verdadeira e por F Falsa, a opção correta é: A) V, V, V. B) V, V, F. C) V, F, F. D) F, V, V. E) F, F, V. Resposta correta: alternativa D. Análise das afirmativas Considerando-se os dados do enunciado, teremos: CM Correção Monetária = zero Financiamento imobiliário = 25 anos 99

31 Unidade II Capitalização mensal Pagamento do mês => Juros sobre o saldo devedor e parcelas mensais. Considerando-se os juros compostos, teremos: Regime de Capitalização Mensal P n 1.000,00 Figura 13 Sendo: n = número total de meses de pagamento da parcela mensal Parcela paga mensalmente = P = Juros + Parcela Mensal (PM) = Juros + Amortização constante Saldo devedor inicial = D Saldo devedor (Período 1) = D.(1 + i) P P = Juros + PM = D.i + PM Saldo devedor (Período 1) = D.(1 + i) D.i PM = D + D.i D.i PM = D PM Saldo devedor (Período 2) = [D PM].(1 + i) P P = Juros + PM = [D PM].i + PM Saldo devedor (Período 2) = [D PM].(1 + i) [D PM].i PM = Saldo devedor (Período 2) = [D PM] + [D PM].i [D PM].i PM = D PM PM 100

32 MATEMÁTICA FINANCEIRA Saldo devedor (Período 2) = D 2.PM Saldo devedor (Período n) = D n.pm Sendo assim, podemos analisar as afirmativas: I. Afirmativa incorreta. Justificativa: Juros (Período 1) = D x i Juros (Período 2) = [D PM].i Juros (Período 3) = [D 2 x PM].i Juros (Período n) = [D (n-1).pm].i Logo, as parcelas de juros não são constantes. A afirmativa é incorreta (falsa). II. Afirmativa correta. Justificativa: Amortização (Período 1) = PM Amortização (Período 2) = PM. Amortização (Período n) = PM Logo, as parcelas de amortizações são constantes. A afirmativa é correta (verdadeira). III. Afirmativa correta. Justificativa: Saldo devedor (Período n) = D n.pm => Linear e decrescente. A afirmativa é correta (verdadeira). Assim, a alternativa correta é D (F, V, V). 101

33 Unidade II Questão 2. (AFRF/ESAF ) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ ,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global é: A) R$ 1.405,51. B) R$ 1.118,39. C) R$ 1.500,00. D) R$ 1.512,44. E) R$ 1.550,00. Resolução desta questão na plataforma. 102

34 REFERÊNCIAS Audiovisuais UMA MENTE brilhante. Direção de: Ron Howard. Roteiro: Akiva Goldsman. EUA: DVD ( ). Textuais ABC (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE CONSUMIDORES). Cartilha SFH. Disponível em: < ongabc.org.br/cartilha_shf.doc>. Acesso em: 1º dez ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. São Paulo: Atlas, Matemática Financeira e suas aplicações. 7. ed. São Paulo: Atlas, ASSAF NETO, A.; SILVA, C. A. T. Administração do capital de giro. São Paulo: Atlas, BANCO CENTRAL. SFH Sistema Financeiro Habitacional. Disponível em: < br/?sfh>. Acesso em: 26 set BENNINGA, S. Z.; SARIG, O. H. Corporate finance: a valuation approach. Nova Iorque: McGraw-Hill, BERNI, M. T. Operação e concessão de crédito: os parâmetros para a decisão de crédito. São Paulo: Atlas, BOGGISS, G. J. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: Fundação Getúlio Vargas, BRAGA, R. Administração financeira: uma abordagem introdutória. São Paulo: Atlas, BREALEY, R. A.; MYERS, S. C. Principles of corporate finance. 6. ed. Nova Iorque: McGraw-Hill, BRIGHAM, E. F.; GAPENSKI, L. C.; EHRHARDT, M. C. Administração financeira. São Paulo: Atlas, BRITO, L. Curso da HP12C para uso na Matemática Financeira. Disponível em: < doc/ /curso-da-hp12c-para-uso-na-matematica-financeira-2>. Acesso em: 01 dez BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática Financeira com HP 12C. São Paulo: Atlas, CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira aplicada. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson/ Virtual, FORTUNA, E. Mercado financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. São Paulo:Virtual/Pearson,

35 GITMAN, L. J. Princípios de administração financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra, GROPPELLI, N. Administração financeira. São Paulo: Saraiva, HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, HOJI, M. Administração financeira. São Paulo: Atlas, LAPPONI, J. C. Matemática Financeira: uma abordagem moderna. 3. ed. São Paulo: Lapponi Treinamento e Editora Ltda., LEITE, L. L. Factoring no Brasil. São Paulo: Atlas, LEMES JÚNIOR, A. B. et al. Administração financeira: princípios, fundamentos e práticas brasileiras. Rio de Janeiro: Campus, MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Atlas, OLIVEIRA, D. C. Manual: como elaborar controles financeiros. Belo Horizonte: Sebrae/MG, PEREIRA, W. A. Matemática Financeira. Disponível em: < ABAAAAMloAC/apost-matematica-financeira>. Acesso em: 01 dez PUCCINI, A. L. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, ROSS, S. A.; WESTERFIELD, R. W.; JAFFE, J. F. Administração financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, ROSETTI JÚNIOR, H.; SCHIMIGUEL, J. Análise das percepções de empresários acerca dos conhecimentos de Matemática Financeira e finanças em alunos de cursos superiores de tecnologia. Observatorio de La Economía Latinoamericana, v. 153, pp. 1-14, Disponível em: < ecolat/br/11>. Acesso em: 16 dez ROVINA, E. Uma nova visão da Matemática Financeira: para laudos periciais e contratos de amortização. Campinas: Millenium, SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Pretince Hall, SANTOS, E. O. Administração financeira da pequena e média empresa. São Paulo: Atlas, SANTOS, J. O. Análise de crédito. São Paulo: Atlas, SANVICENTE, A. Z. Princípios de administração financeira. São Paulo: Person Education do Brasil,

36 . A moderna teoria de carteiras e a análise de investimentos. São Paulo: Atlas, Administração financeira. São Paulo: Atlas, TAHAN, M. O homem que calculava. São Paulo: Record, Matemática divertida e curiosa. São Paulo: Record, VAN HORNE, J. C. Financial management and policy. 12. ed. Nova Iorque: Prentice Hall, WESTON, J. F.; BRIGHAM, E. F. Fundamentos da administração financeira. 10. ed. São Paulo:Makron Books, Sites < Exercícios Unidade I Questão 1: ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA (ESAF). Concurso Público Secretaria da Receita Federal 2001: Agente Tributário. Questão 47. Disponível em: < view/335146?offset=400>. Acesso em: 28 out Unidade I Questão 2: ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA (ESAF). Concurso Público Secretaria da Receita Federal 2001: Agente Tributário. Questão 46. Disponível em: < view/335146?offset=400>. Acesso em: 28 out Unidade II Questão 1: ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA (ESAF). Concurso Público Secretaria da Receita Federal 2008: Analista de Finanças e Controle AFC. Questão 45. Disponível em: < rotadosconcursos.com.br/prova/stn-2008-esaf-analista-de-financas-e-controle-afc-prova-1-geralcomum-a-todos-os-cargos-de-afc/327216>. Acesso em: 28 out Unidade II Questão 2: ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO FAZENDÁRIA (ESAF). Concurso Público Secretaria da Receita Federal : Auditor-Fiscal da Receita Federal. Questão 33. Disponível em: < concursosolucao.com.br/provas/1108_afrf (especifica-e-comum)/>. Acesso em: 28 out

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